B O S S ' 7 6
B E H A V I O U R O F O F F S H O R E S T R U C T U R E S -Tho Norwogian Inalilulo cf Technology
VORTEX SHEDDING AND RESISTANCE I N HARMONIC FLOW
ABOUT SMOOTH AND ROUGH CIRCULAR CYLINDERS
TURGUT SARPKAYA P r o f e s s o r o f M e c h a n i c a l N a v a l P o s t g r a d u a t e S c h o o l M o n t e r e y , C a l i f . 9 3 9 4 0 USA E n g i n e e r i n g T w e n t y y e a r s o f r e s e a r c h o n w a v e s a n d w a v e l o a d i n g h a s s h o w n t h a t much i s t o b e g a i n e d b y c o n s i d e r i n g p l a n e o s c i l l a t o r y f l o w a b o u t c y l i n d e r s a t h i g h R e y n o l d s n u m b e r s i n o r d e r t o i s o l a t e t h e i n f l u e n c e o f i n d i v i d u a l f a c t o r s s u c h as r e l a t i v e a m p l i t u d e , R e y n o l d s n u m b e r , a n d t h e r e l a t i v e s u r f a c e r o u g h n e s s o n v o r t e x s h e d d i n g a n d r e s i s t a n c e . T h i s p a p e r p r e s e n t s t h e r e s u l t s o f s u c h a n i n v e s t i g a t i o n c a r r i e d o u t i n a l a r g e U - s h a p e d v e r t i c a l w a t e r t u n n e l . T h e i n - l i n e a n d t r a n s v e r s e f o r c e s a c t i n g on s m o o t h a n d a r t i f i c i a l l y r o u g h e n e d c i r c u l a r c y l i n d e r s h a v e b e e n m e a s u r e d a t R e y n o l d s n u m b e r s u p t o 7 x 1 0 ^ a n d K e u l e g a n - C a r p e n t e r n u m b e r s u p t o 2 0 0 . T h e r e l a t i v e r o u g h n e s s has b e e n v a r i e d f r o m 0 . 0 0 1 t o 0 . 0 2 . T h e d r a g a n d i n e r t i a c o e f f i c i e n t s h a v e b e e n d e t e r m i n e d t h r o u g h t h e u s e o f t h e F o u r i e r a n a l y s i s a n d t h e l e a s t s q u a r e s m e t h o d . T h e t r a n s v e r s e f o r c e h a s b e e n a n a l y s e d i n t e r m s o f i t s m a x i m u m , s e m i p e a k t o p e a k , a n d r o o t m e a n s q u a r e v a l u e s . I n a d d i t i o n , t h e f r e -q u e n c y o f v o r t e x s h e d d i n g a n d t h e S t r o u h a l n u m b e r h a v e b e e n d e t e r m i n e d , T h e r e s u l t s h a v e s h o w n t h a t ( a ) f o r s m o o t h c y l i n d e r s , a l l o f t h e c o e f f i c i e n t s d t e d a b o v e a r e f u n c t i o n s o f t h e R e y n o l d s n u m b e r a n d t h e K e u l e g a n a n d C a r p e n t e r n u m b e r , p a r t i c u l a r l y f o r R e y n o l d s n u m b e r s l a r g e r t h a n a b o u t 2 x 1 0 ' ' ; ( b ) f o r r o u g h c y l i n d e r s , t h e f o r c e c o e f f i c i e n t s a l s o d e p e n d o n t h e r e l a t i v e r o u g h n e s s k / D a n d d i f f e r s i g n i f i c a n t l y f r o m t h o s e c o r r e s p o n d i n g t o t h e s m o o t h c y l i n d e r ; ( c ) t h e n u m b e r o f v o r t i c e s s h e d i n e a c h c y c l e i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g U^l/D a n d t h e r e s u l t i n g l i f t f o r c e c o u l d b e as l a r g e as t h e i n - l i n e f o r c e ; ( d ) t h e S t r o u h a l n u m b e r d o e s n o t r e m a i n c o n s t a n t a n d v a r i e s f r o m 0 . 1 5 t o 0 . 4 5 d e p e n d i n g o n t h e R e y n o l d s a n d K e u l e g a n - C a r p e n t e r n u m b e r s a n d t h e r e l a t i v e r o u g h n e s s ; a n d t h a t ( e ) t h e u s e o f t h e ' f r e q u e n c y p a r a m e t e r ' D ^ / v T a n d t h e r o u g h n e s s R e y n o l d s n u m b e r U ^ k / v a l l o w a new i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p r e s e n t as w e l l a s t h e p r e v i o u s l y - o b t a i n e d d a t a a n d t h e e s t a b l i s h m e n t o f m o d e l l a w s f o r o s c i l l a t o r y f l o w a b o u t c y l i n d e r s a t s u p e r c r i t i c a l R e y n o l d s n u m b e r s .
INTRODUCTION The p r e d i c t i o n o f t h e f o r c e s g e n e r a t e d b y w a v e s a n d c u r r e n t s r e m a i n s as a b a s i c p r o b l e m i n m a r i n e h y d r o d y n a m i c s . T h e c o m p l e x i t y o f t h e p r o b l e m s t e m s p a r t l y f r o m t h e d i f f i c u l t y o f a c c u r a t e l y d e f i n i n g t h e k i n e m a t i c s o f t h e f l o w f i e l d , p a r t l y f r o m t h e d i f f i c u l t y o f a c c o u n t i n g p r o p e r l y f o r t h e e f f e c t s o f s e p a r a t i o n a n d v o r t e x s h e d d i n g , a n d p a r t l y f r o m t h e d i f f i c u l t y i n e x t r a p o l a t i n g t h e l a b o r a t o r y f i n d i n g s t o v a r i o u s c o n d i t i o n s o f t h e m a r i n e e n v i r o n m e n t . T h e m e t h o d s b a s e d o n d i f f r a c t i o n t h e o r y a n d c l a s s i c a l h y d r o d y n a m i c s a r e a p p l i -c a b l e o n l y t o r e l a t i v e l y s i m p l e -c a s e s , i r r e s p e -c t i v e o f t h e s i z e a n d s h a p e o f t h e s t r u c t u r e , w h e r e s e p a r a t i o n d o e s n o t p l a y a n a p p r e c i a b l e r o l e . I t i s a w e l l - k n o w n f a c t t h a t t h e s h e a r - l a y e r i n s t a b i l i t y a n d t h e n o n - l i n e a r i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e s h e a r l a y e r s , w h i c h i s s t r o n g l y i n f l u e n c e d b y t h e f e e d b a c k f r o m t h e w a k e a n d b y t h e s h a p e o f t h e b o d y , l e a d t o v o r t e x s h e d d i n g i n s t e a d y f l o w p a s t b l u f f b o d i e s . T h e g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h i s s h e d d i n g m e c h a n i s m a r e f a i r l y w e l l u n d e r s t o o d t h r o u g h m e a s u r e m e n t s , f l o w v i s u a l i z a t i o n , a n d n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s f o r v a r i o u s b l u f f b o d i e s , i n p a r t i c u l a r f o r a c i r c u l a r c y l i n d e r h e l d n o r m a l t o t h e a m b i e n t f l o w . A n y e f f e c t , s u c h as t h e p e r i o d i c i t y o f f l o w , w h i c h I n t e r f e r s w i t h t h e p r o -d u c t i o n o f v o r t i c i t y , s h e a r - l a y e r i n s t a b i l i t y , a n -d t h e f e e -d b a c k m e c h a n i s m c a u s e s a d d i t i o n a l t i m e a n d h i s t o r y d e p e n d e n t n o n - l i n e a r I n t e r a c t i o n s . T h e n e t e f f e c t o f t h e s e i n t e r a c t i o n s i s t o c h a n g e t h e v o r t e x s h e d d i n g a n d h e n c e t h e v o r t e x - i n d u c e d o s c i l l a t i o n s b o t h i n f o r c e s a n d s t r u c t u r e I n b o t h t h e i n - l i n e a n d t r a n s v e r s e d i r e c t i o n s . T h e p r o b l e m i s n o t y e t a m e n a b l e t o m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s a n d r e q u i r e s e x p e r i m e n t s o f h i g h i n t r i n s i c q u a l i t y f o r a t l e a s t a p a r t i a l u n d e r s t a n d i n g o f I t s many p e r p l e x i n g a s p e c t s . F o r a m p l i t u d e s o f f l o w o s c i l l a t i o n l e s s t h a n a b o u t o n e q u a r t e r o f t h e l i n e a r d i m e n s i o n o f t h e b o d y l i m i e r s e d i n a s i m p l e h a r m o n i c f l o w , o n l y a n a c o u s t i c -s t r e a m i n g t y p e o f f l o w p a t t e r n i -s c r e a t e d a b o u t t h e b o d y . F o r r e l a t i v e a m p l i t u d e -s b e t w e e n a b o u t 0 . 2 5 a n d 4 , t h e s e p a r a t e d f l o w r e g i o n s a b o u t a c y l i n d e r r e m a i n a t t a c h e d a n d s y n m e t r i c a l . I n t h i s r e g i m e , t h e p r e d i c t i o n s o f t h e d i f f r a c t i o n t h e o r y a r e n o t a p p r e c i a b l y a f f e c t e d b y s e p a r a t i o n . F o r r e l a t i v e a m p l i t u d e s l a r g e r t h a n a b o u t 4 . 5 . t h e n e a r w a k e , a n d h e n c e t h e f l o w a b o u t t h e c y l i n d e r , become a s y n m e t r i c a l a n d g i v e r i s e t o c o m p l e x p r o b l e m s . Much o f p r e s e n t k n o w l e d g e o n s e p a r a t e d h a r m o n i c f l o w s h a s b e e n o b t a i n e d b y means o f m o d e l t e s t s a t R e y n o l d s n u m b e r s g e n e r a l l y t w o t o t h r e e o r d e r s o f m a g n i t u d e s m a l l e r t h a n p r o t o t y p e R e y n o l d s n u m b e r s . T h e s e m o d e l t e s t s h a v e r e l i e d h e a v i l y o n t h e s o - c a l l e d M o r i s o n f o r m u l a f o r e x p r e s s i n g t h e f o r c e a s t h e sum o f a d r a g a n d i n e r t i a f o r c e . T h e v a l u e s o f t h e d r a g a n d I n e r t i a c o e f f i c i e n t s t o b e u s e d i n t h e M o r i s o n e q u a t i o n became t h e s u b j e c t o f many e x p e r i m e n t a l s t u d i e s i n t h e l a s t t w e n t y y e a r s . T h e c o r r e l a t i o n o f t h e s e c o e f f i c i e n t s w i t h t h e r e l a t i v e a m p l i t u d e o f t h e w a v e s ( o r t h e K e u l e g a n - C a r p e n t e r n u m b e r ) h a s b e e n g e n e r a l l y I n c o n c l u s i v e . F u r t h e r m o r e , l i f t f o r c e s w h i c h a r e a s s o c i a t e d w i t h v o r t e x s h e d d i n g h a v e r e c e i v e d r e l a t i v e l y l i t t l e a t t e n t i o n . I t t h u s b e c a m e c l e a r t h a t much I s t o be g a i n e d b y 2 2 1
c o n s i d e r i n g p l a n e o s c i l l a t o r y f l o w a b o u t c y l i n d e r s a t h i g h R e y n o l d s n u m b e r s i n o r d e r t o i s o l a t e t h e i n f l u e n c e o f i n d i v i d u a l f a c t o r s s u c h a s r e l a t i v e a m p l i t u d e , R e y n o l d s n u m b e r , a n d t h e r e l a t i v e r o u g h n e s s o n v o r t e x s h e d d i n g a n d r e s i s t a n c e . I t i s w i t h t h i s r e a l i z a t i o n t h a t t h e p r e s e n t i n v e s t i g a t i o n was u n d e r t a k e n a n d t h e p r e l i m i n a r y r e s u l t s o b t a i n e d w i t h s m o o t h c y l i n d e r s i n a s m a l l U - s h a p e d w a t e r t u n n e l o p e r a t i n g a t r e l a t i v e l y l o w R e y n o l d s n u m b e r s ( 2 , 5 0 0 t o 2 5 , 0 0 0 ) h a v e b e e n p r e v i o u s l y r e p o r t e d [ 1 ] , The p r e s e n t p a p e r d e a l s w i t h i n - l i n e a n d t r a n s v e r s e f o r c e s a c t i n g o n s m o o t h a n d a r t i f i c i a l l y - r o u g h e n e d c i r c u l a r c y l i n d e r s i n h a r m o n i c f l o w a t c r i t i c a l a n d t r a n s c r i t i c a l R e y n o l d s n u m b e r s .
I N - L I N E AND TRANSVERSE FORCES AND GOVERNING PARAMETERS
T h e i n - l i n e f o r c e w h i c h c o n s i s t s o f t h e d r a g f o r c e F^ a n d t h e i n e r t i a f o r c e F.,-i s a s s u m e d t o b e g F.,-i v e n b y [ 2 ] F = F j + F. = 0 . 5 C j f l L D | U | U + 0 . 2 5 C ^ L D ^ T r p d U / d t ( 1 ) i n w h i c h C^ a n d C,^ r e p r e s e n t r e s p e c t i v e l y t h e d r a g a n d i n e r t i a c o e f f i c i e n t s a n d U t h e i n s t a n t a n e o u s v e l o c i t y o f t h e a m b i e n t f l o w . F o r a n o s c i l l a t i n g f l o w r e p r e -s e n t e d b y U = - U [ „ c o -s 6 , w i t h S = 2 T i t / T , t h e F o u r i e r a v e r a g e -s o f C^ a n d C,^ a r e g i v e n b y K e u l e g a n a n d C a r p e n t e r [ 3 ] as 2 i i - 0 . 7 5 j r ( F ^ ^ c o s e / p U ^ L D j d S ( 2 )
{^\^/rMf^
( F ^ s i n ( 3 / p U ^ L D ) d e ( 3 ) T h e m e t h o d o f l e a s t s q u a r e s c o n s i s t s o f t h e m i n i m i z a t i o n o f t h e e r r o r b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d c a l c u l a t e d f o r c e s . T h i s p r o c e d u r e y i e l d s [ 4 ] C_j^5 = - ( 8 / 3 T r ) | " ( F ^ i c 0 S 6 | c 0 S 8 / p D L U ^ ) d B ( 4 ) a n d C^^5 = C|„. E v i d e n t l y , t h e F o u r i e r a n a l y s i s a n d t h e m e t h o d o f l e a s t s q u a r e s y i e l d i d e n t i c a l C^^ v a l u e s a n d t h a t t h e v a l u e s d i f f e r o n l y s l i g h t l y . T h e t r a n s v e r s e f o r c e h a s b e e n e x p r e s s e d i n t e r m s o f v a r i o u s c o e f f i c i e n t s . Some o f t h e s e a r e ( a ) t h e maximum l i f t c o e f f i c i e n t d e f i n e d b y C^ = (maximum a m p l i t u d e o f t h e t r a n s v e r s e f o r c e i n a c y c l e ) / ( 0 . 5 L D p U ^ ) ; ( b ) t h e s e m i p e a k t o -p e a k v a l u e o f t h e t r a n s v e r s e f o r c e n o n n a l i z e d a s a b o v e ; a n d ( c ) t h e n o r m a l i z e d r o o t - m e a n - s q u a r e v a l u e o f t h e t r a n s v e r s e f o r c e . I n a d d i t i o n , t h e f r e q u e n c y o f t h e o s c i l l a t i o n s o f t h e t r a n s v e r s e f o r c e a n d t h e s t r o u h a l n u m b e r h a v e b e e n e v a l u a t e d . I t I s r e c o g n i z e d t h a t t h e c o e f f i c i e n t s c i t e d a b o v e a r e e i t h e r t i m e - i n v a r i a n t a v e r a g e s o r p e a k v a l u e s a t a p a r t i c u l a r moment i n t h e c y c l e . A s i m p l e d i m e n s i o n a la n a l y s i s o f t h e f l o w u n d e r c o n s i d e r a t i o n shows t h a t t h e t i m e - d e p e n d e n t c o e f f i c i e n t s may b e w r i t t e n as F / ( 0 . 5 D L p u | ) = f ( U | „ T / D . U ^ D / v . k / D , t / T ) ( 5 ) i n w h i c h F r e p r e s e n t s t h e i n - l i n e o r t h e t r a n s v e r s e f o r c e . E q u a t i o n ( 5 ) , c o m b i n e d w i t h E q . ( 1 ) , a s s u m i n g f o r now t h a t t h e l a t t e r i s i n d e e d v a l i d , y i e l d s = f l ( K , R e , k / D , t / T ) a n d = f ^ { K , R e . k / D , t / T ) ( 5 ) i n w h i c h K = U^^^T/D a n d Re = U^O/v, a n d k / D r e p r e s e n t s t h e r e l a t i v e r o u g h n e s s . T h e r e i s no s i m p l e way t o d e a l w i t h E q . ( 6 ) e v e n f o r t h e m o s t m a n a g e a b l e t i m e -d e p e n -d e n t f l o w s . A n o t h e r a n -d p e r h a p s t h e o n l y o t h e r a l t e r n a t i v e i s t o e l i m i n a t e t i m e as a n i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d c o n s i d e r s u i t a b l e t i m e - i n v a r i a n t a v e r a g e s as g i v e n b y F q s . ( 2 ) , ( 3 ) , a n d ( 4 ) . T h u s , o n e has C ^ d . C,„, C l ] = f . ( K . R e , k / D ) ( 7 ) I t a p p e a r s , f o r t h e p u r p o s e s o f E q , ( 7 ) , t h a t t h e R e y n o l d s n u m b e r i s n o t t h e m o s t s u i t a b l e p a r a m e t e r i n v o l v i n g v i s c o s i t y . E v i d e n t l y , t h i s i s b e c a u s e a p p e a r s . i n b o t h K a n d R e . T h u s , r e p l a c i n g Re b y R e / K = D ^ / v T I n E q . ( 7 ) , o n e h a s C . j { a c o e f f i c i e n t ) = f . | ( K , e , k / D ) ( 8 ) i n w h i c h e = D ^ / v T a n d s h a l l be c a l l e d t h e ' f r e q u e n c y p a r a m e t e r ' . E v i d e n t l y , e i s c o n s t a n t f o r a s e r i e s o f e x p e r i m e n t s c o n d u c t e d w i t h a c y l i n d e r o f d i a m e t e r D i n w a t e r o f u n i f o r m a n d c o n s t a n t t e m p e r a t u r e s i n c e T i s k e p t c o n s t a n t I n a U - s h a p e d o s c i l l a t o r y f l o w t u n n e l . T h e n t h e v a r i a t i o n o f a f o r c e c o e f f i c i e n t w i t h K may be p l o t t e d f o r c o n s t a n t v a l u e s o f fi. S u b s e q u e n t l y , o n e c a n e a s i l y r e c o v e r t h e R e y n o l d s n u m b e r f r o m Re = gK a n d c o n n e c t t h e p o i n t s , o n e a c h g = c o n s t a n t c u r v e , r e p r e s e n t i n g a g i v e n R e . A r e - a n a l y s i s o f t h e d a t a g i v e n b y K e u l e g a n a n d C a r p e n t e r [ 3 ] t h r o u g h t h e u s e o f e , K, a n d Re I n t h e m a n n e r j u s t d e s c r i b e d c l e a r l y shows [ 5 ] t h a t ( a ) C^^ d e p e n d s o n b o t h K a n d Re a n d d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g Re f o r a g i v e n K; a n d t h a t ( b ) C d e p e n d s o n b o t h K a n d Re f o r K l a r g e r t h a n a p p r o x i m a t e l y 15 a n d d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g Re. A s i m i l a r a n a l y s i s o f S a r p k a y a ' s d a t a [ 1 ] a l s o shows t h a t C^ a n d d e p e n d o n b o t h K a n d Re a n d t h a t C„, I n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g R e . N o t w i t h -s t a n d i n g t h i -s d i f f e r e n c e i n t h e v a r i a t i o n o f C|„ b e t w e e n t h e t w o -s e t -s o f d a t a , t h e s e r e s u l t s p u t t o r e s t t h e l o n g s t a n d i n g c o n t r o v e r s y r e g a r d i n g t h e d e p e n d e n c e o r l a c k o f d e p e n d e n c e o f C j a n d on Re a n d show t h e i m p o r t a n c e o f g as o n e o f t h e g o v e r n i n g p a r a m e t e r s i n i n t e r p r e t i n g t h e d a t a , i n i n t e r p o l a t i n g t h e K v a l u e s f o r a g i v e n R e , a n d i n p r o v i d i n g g u i d e l i n e s f o r f u r t h e r e x p e r i m e n t s as f a r a s t h e r a n g e s o f K a n d e a r e c o n c e r n e d .
BRIEF DESCRIPTION OF EXPERIMENTAL ARRANGEMENT
T h e Q s c i l l a t i n g f l o w s y s t e m c o n s i s t e d o f a l a r g e U - s h a p e d v e r t i c a l w a t e r t u n n e l w i t h a 3 f t b y 3 f t t e s t s e c t i o n . The c r o s s - s e c t i o n o f t h e t w o v e r t i c a l l e g s i s t w i c e t h a t o f t h e t e s t s e c t i o n . T h e t w o c o r n e r s o f t h e t u n n e l w e r e
c a r e f u l l y s t r e a m l i n e d t o p r e v e n t f l o w s e p a r a t i o n . T h e a u x i l i a r y c o m p o n e n t s o f t h e t u n n e l c o n s i s t e d o f p l u m b i n g f o r h o t a n d c o l d w a t e r , b u t t e r f l y - v a l v e s y s t e m , a n d t h e a i r - s u p p l y s y s t e m . O s c i l l a t i o n s i n t h e t u n n e l w e r e o b t a i n e d t h r o u g h t h e u s e o f t h e b u t t e r f l y v a l v e s ( m o u n t e d o n t o p o f o n e o f t h e l e g s o f t h e t u n n e l ) a n d a r a c k a n d p i n i o n s y s t e m a c t u a t e d b y a n a i r - d r i v e n p i s t o n a n d a t h r e e - w a y c o n t r o l v a l v e . T h e f l u i d o s c i l l a t e d s m o o t h l y w i t h a p e r i o d o f T = 5 . 2 7 2 s e c o n d s . T h e e l e v a t i o n , a c c e l e r a t i o n , a n d t h e i n - l i n e a n d t r a n s v e r s e f o r c e s w e r e m o n i t o r e d c o n t i n u o u s l y b y means o f a p p r o p r i a t e t r a n d u c e r s . The a n a l o g u e t r a c e s w e r e a b s o l u t e l y f r e e f r o m s e c o n d a r y o s c i l l a t i o n s s o t h a t no f i l t e r s w h a t s o e v e r w e r e u s e d b e t w e e n t h e o u t p u t s o f t h e t r a n s d u c e r s a n d t h e r e c o r d i n g e q u i p m e n t ( s e e F i g s . 1 a n d 2 ) . S e v e n c i r c u l a r c y l i n d e r s w i t h d i a m e t e r s r a n g i n g i n s i z e f r o m 2 t o 6 . 5 I n c h e s w e r e u s e d . A r t i f i -c i a l r o u g h n e s s was a -c h i e v e d w i t h s a n d o f u n i f o r m d i a m e t e r a p p l i e d o n t h e -c y l i n d e r s u r f a c e w i t h a n a i r - d r y i n g e p o x y p a i n t . A f t e r a s e r i e s o f t e s t s w i t h w a t e r a t v a r i o u s t e m p e r a t u r e s , t h e c y l i n d e r s w e r e p o l i s h e d a n d c o v e r e d a g a i n w i t h s a n d o f d i f f e r e n t s i z e . T h i s p r o c e d u r e was c o n t i n u e d u n t i l t h e d e s i r e d r a n g e s o f a l l t h e g o v e r n i n g p a r a m e t e r s w e r e c o v e r e d . 3 H : i i ± , T R M S V E K E |J|j/ i ' ; f : FORCE A C C E L F f t RATION TRACE : : : a r " i U -t ^ - l r f ' ' '&l-t; + + ^ JP' •I'X q j l : j \ y '-•A- ^ - r - ^ - i - • l U - ' - AL
!
n i K t r H J I r n h -i J -.-if n , •'. . r i i H : - i v - i i/
• — ^ / -F i g , 1 S a m p l e t r a n s v e r s e f o r c e a n d -F i g . 2 S a m p l e i n - l i n e f o r c e a n d a c c e l e r a t i o n t r a c e s a c c e l e r a t i o n t r a c e s E x p e r i m e n t s w e r e r e p e a t e d a t l e a s t f o u r t i m e s f o r e a c h c y l i n d e r a n d f o r a l l s u i t a b l y s e l e c t e d a m p l i t u d e s , r o u g h n e s s h e i g h t s , a n d w a t e r t e m p e r a t u r e s . T h e i n -l i n e a n d t r a n s v e r s e f o r c e s w e r e r e a d e v e r y 0 . 1 s e c o n d f r o m t h e t r a c e s f o r t h e p e r i o d o f T = 5 . 2 7 2 s e c o n d s . T h e n t h e d r a g , i n e r t i a , a n d t h e l i f t c o e f f i c i e n t s , t h e v o r t e x s h e d d i n g f r e q u e n c y , S t r o u h a l n u m b e r , maximum e r r o r b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d c a l c u l a t e d f o r c e s , e t c . w e r e e v a l u a t e d t h r o u g h t h e u s e o f a p p r o p r i a t e e q u a -t i o n s a n d a c o m p u -t e r . T h e a d d i t i o n a l d e t a i l s o f t h e . a p p a r a t u s a n d p r o c e d u r e a n d t h e t a b u l a t e d as w e l l a s p l o t t e d d a t a f o r a l l f o r c e c o e f f i c i e n t s a r e g i v e n I n R e f . [ 5 ] .RESULTS AND DISCUSSION D r a g a n d I n e r t i a C o e f f i c i e n t s f o r S m o o t h a n d Rough C v l i n H e r s - F i g u r e s 3 a n d 4 show C j a n d C,„ as a f u n c t i o n o f K f o r v a r i o u s v a l u e s o f g . A l s o s h o w n I n F i g s . 3 a n d 4 a r e t h e c o n s t a n t R e y n o l d s n u m b e r l i n e s o b t a i n e d t h r o u g h t h e u s e o f K = R e / g . E v i d e n t l y , t h e r e i s a r e m a r k a b l e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e f o r c e c o e f f i c i e n t s , R e y n o l d s n u m b e r , a n d t h e K e u l e g a n - C a r p e n t e r n u m b e r . T h e s m o o t h n e s s o f t h e c o n s t a n t Re l i n e s I s a n o t h e r I n d i c a t i o n o f t h e c o n s i s t e n c y o f t h e d a t a f r o m o n e c y l i n d e r t o a n o t h e r . T h e s e f i g u r e s s h o w t h a t C^ a n d C^ do n o t v a r y a p p r e c i a b l y w i t h Re f o r Re s m a l l e r t h a n a b o u t 2 0 . 0 0 0 a n d h e l p t o e x p l a i n t h e c o n c l u s i o n s p r e v i o u s l y r e a c h e d b y K e u l e g a n a n d C a r p e n t e r [ 3 ] a n d S a r p k a y a [ 1 ] . ?0 30 io 5Q 100 150 200 F i g . 3 D r a g c o e f f i c i e n t f o r s m o o t h c y l i n d e r s as a f u n c t i o n o f K. 0.5 U 00 150 700 F i g . 4 I n e r t i a c o e f f i c i e n t f o r s m o o t h c y l i n d e r s as a f u n c t i o n o f K. 225
T h e d a t a , s i m i l a r t o t h o s e g i v e n i n F i g s . 3 a n d 4 , a r e a l s o p l o t t e d as a f u n c t i o n o f t h e R e y n o l d s n u m b e r f o r c o n s t a n t v a l u e s o f K i n F i g s . 5 a n d 6 . T h e s e f i g u r e s c l e a r l y s h o w t h a t C j d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g Re t o a v a l u e o f a b o u t 0 . 5 ( d e p e n d e n t o n K) a n d t h e n b e g i n s t o i n c r e a s e w i t h f u r t h e r i n c r e a s e s i n Re. T h e i n e r t i a c o e f f i c i e n t i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g R e , r e a c h e s a m a x i m u m , a n d t h e n g r a d u a l l y a p p r o a c h e s a v a l u e o f a b o u t 1 . 7 5 . I t w i l l b e r e c a l l e d t h a t t h e K e u l e g a n C a r p e n t e r d a t a i n d i c a t e d a n o p p o s i t e t r e n d . I t i s b e l i e v e d t h a t t h e K e u l e g a n -C a r p e n t e r d a t a f o r a r e n o t q u i t e r e l i a b l e f o r K > 1 5 . S u f f i c e i t t o s a y t h a t t h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n F i g s . 3 t h r o u g h 6 s h e d new l i g h t o n t h e v a r i a t i o n s o f t h e d r a g a n d i n e r t i a c o e f f i c i e n t s a n d p a r t l y e x p l a i n t h e r e a s o n s f o r t h e l a r g e s c a t t e r p r e v i o u s l y e n c o u n t e r e d I n t h e p l o t s o f C^j v e r s u s Re a n d C^ v e r s u s Re as c o m p i l e d b y W i e g e l [ 6 ] , F i g . 5 D r a g c o e f f i c i e n t v e r s u s R e y n o l d s n u m b e r f o r c o n s t a n t v a l u e s o f K = U j ^ T / D . T h e d a t a o b t a i n e d w i t h a r t i f i c i a l l y - r o u g h e n e d c y l i n d e r s a r e p r e s e n t e d i n F i g s . 7 a n d 8 1 n a m a n n e r s i m i l a r t o t h o s e g i v e n i n F i g s . 5 a n d 6 . I t m u s t b e n o t e d t h a t t h e r e e x i s t s t w o s u c h f i g u r e s f o r e v e r y v a l u e o f K. H o w e v e r , t h e r e s u l t s
T
—
I
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I I m ' 1 — ' — r
0 . 9 - - 5 R e x 1 0O.sl
I . I 1 1I
l _ i
1I
1 1 1 11 —
0.1 0 . 2 0 . 3 0.4 0.5 1 2 3 4 5 F i g . 8 I n e r t i a c o e f f i c i e n t v e r s u s R e y n o l d s n u m b e r f o r r o u g h c y l i n d e r s , K = 5 0 . s h o w n i n F i g s . 7 a n d 8 d i d n o t v a r y a p p r e c i a b l y w i t h K f o r K > 3 0 . T h e s e f i g u r e s show t h a t t h e e f f e c t o f r o u g h n e s s on t h e r e s i s t a n c e t o h a r m o n i c f l o w i s q u i t e s i g n i f i c a n t . N o t o n l y t h e p r e s e n c e o f v o r t i c e s o n b o t h s i d e s o f t h e c y l i n d e r a n d t h e i n c r e a s e d l e v e l o f t u r b u l e n c e b u t a l s o t h e r o u g h n e s s b r i n g a b o u t a n e a r l i e r t r a n s i t i o n t o t u r b u l e n c e . F o l l o w i n g t h e t r a n s i t i o n o f t h e e n t i r e b o u n d a r y l a y e r t o t u r b u l e n c e d u r i n g m o s t o f t h e c y c l e , t h e f l o w r e a c h e s a s u p e r c r i t i c a l s t a t e a n d b o t h t h e d r a g a n d i n e r t i a c o e f f i c i e n t s a c q u i r e n e a r l y c o n s t a n t v a l u e s . Even t h o u g f t h e a c t u a l e v e n t s a r e s o m e w h a t m o r e c o m p l i c a t e d , i t seems u n l i k e l y t h a t t h e r e w i l l b e a n y f u r t h e r t r a n s i t i o n s i n t h e b o u n d a r y l a y e r . The r e a s o n f o r t h e e x p e r i m e n t s w i t h r o u g h c y l i n d e r s i s o f c o u r s e m o r e t h a n t h e d e s i r e t o e x a m i n e t h e e f f e c t o f r e l a t i v e r o u g h n e s s o n C j , C ^ . a n d C|_. I t i s p r o m p t e d e s s e n t i a l l y b y a n a t t e m p t a t a r t i f i c i a l l y i n c r e a s i n g t h e R e y n o l d s n u m b e r t o s u p e r c r i t i c a l r e g i m e b y means o f s u r f a c e r o u g h n e s s . R e c e n t e x p e r i m e n t s [ 7 , 8 ] w i t h s t e a d y f l o w o v e r r o u g h c y l i n d e r s h a v e s h o w n t h a t ( a ) a c h a n g e 1 n f l o w r e g i m e t a k e s p l a c e a t a R e y n o l d s n u m b e r V k / v o f a b o u t 2 0 0 i n d e p e n d e n t l y o f t h e d i a m e t r a l R e y n o l d s n u m b e r ; ( b ) a c o r r e c t s u r f a c e r o u g h n e s s c o n d i t i o n p r o v o k e s s u p e r c r i t i c a l f l o w f o r V k / v > 2 0 0 , ( t h e c o n d i t i o n t h a t m u s t b e r e s p e c t e d i s k / D < 0 . 0 0 2 2 ) ; ( c ) a s m o o t h c y l i n d e r i s n o t a s p e c i a l c a s e b u t b e h a v e s as i f i t h a d a r o u g h n e s s o f a b o u t k / D = 0 . 0 0 0 0 3 5 ; a n d t h a t ( d ) t h e a p p a r e n t d i a m e t r a l R e y n o l d s n u m b e r i s i n c r e a s e d b y a f a c t o r k / ( 0 . 0 0 0 0 3 5 D) f o r a c y l i n d e r o f d i a m e t e r D a n d s u r f a c e r o u g h n e s s k. T h e i m p o r t a n c e a n d t h e c o n s e q u e n c e s o f t h e s e c o n c l u s i o n s a r e s e l f 9e v i d e n t f o r s u p e r c r i t i c a l R e y n o l d s n u m b e r s i m u l a t i o n f o r f l o w o v e r c i r c u l a r c y l i n -d e r s . I n o r d e r t o c a r r y o v e r t h e a b o v e i d e a s t o h a r m o n i c f l o w , t h e d a t a g i v e n i n F i g . 7 w e r e r e p l o t t e d i n F i g . 9 as a f u n c t i o n o f \ ^ / ^ > f o r v a r i o u s v a l u e s o f k / D . A s i m i l a r p l o t f o r h a s b e e n p r e p a r e d b u t w i l l n o t b e p r e s e n t e d h e r e . A l s o s h o w n i n F i g . 9 a r e t h e mean l i n e s c o r r e s p o n d i n g t o s t e a d y f l o w as c o m p i l e d b y S z e c h e n y i [ 7 ] . F i g u r e 9 s h o w s t h a t a c h a n g e i n t h e f l o w r e g i m e t a k e s p l a c e a t a r o u g h n e s s R e y n o l d s n u m b e r o f a b o u t 1 3 0 a n d t h a t t h e d r a g c o e f f i c i e n t a p p r o a c h e s v a l u e s b e t w e e n 0 . 9 a n d 1 . 0 f o r k / D < 0 . 0 0 2 . E v i d e n t l y , t h e c h a n g e i n t h e f l o w r e g i m e o c c u r s a t h i g h e r v a l u e s o f U ^ k / v w i t h i n c r e a s i n g k / D . O f s p e c i a l i n t e r e s t f o r s i m u l a t i o n p u r p o s e s , h o w e v e r , i s t h e s m a l l e r r e l a t i v e r o u g h n e s s e s . 3 . 0 2 . 0 1 1 I I I ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I. / D = 1 / 5 0 0 1 / 3 4 0 ' 1 1 1 / 1 8 0 1 1 1 1 1 I I ' •• 1 / 5 0 > . . . , . j 1 . 0 W l l h k / D = 5 « 1 0 ; \ \ 2 \i _^ \ .•••..5' \ 2 D = k / D x l O ' ' -0 . 6 O.i 0 . 3
\ <
\
k / D = 3 , 5 . 1 0 S T E A D Y F l O V / 0 . 2 1 1 1 I I I ' M i 1 1 1 l l l l l l 5 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 1 0 0 0 F i g . 9 D r a g c o e f f i c i e n t v e r s u s r o u g h n e s s R e y n o l d s n u m b e r . The m a g n i t u d e o f t h e a p p a r e n t i n c r e a s e i n t h e d i a m e t r a l R e y n o l d s n u m b e r c a n b e e s t i m a t e d b y f i t t i n g t h e c u r v e o b t a i n e d f o r s m o o t h c y l i n d e r s ( s e e F i g s . 5 a n d 7 ) f o r K = 50 o n t o t h e r o u g h c y l i n d e r r e s u l t s s h o w n i n F i g . 9 . W o r k i n g b a c k f r o m t h e r e s u l t i n g v a l u e s o f o n t h e a b s c i s s a , t h i s p r o c e d u r e g i v e s a n e f f e c t i v e r e l a t i v e r o u g h n e s s b e t w e e n 0 . 0 0 0 4 a n d 0 . 0 0 0 6 f o r t h e ' s m o o t h c y l i n d e r ' i n h a r m o n i c f l o w w i t h K = 5 0 . F u r t h e r e x p l o r a t i o n o f t h e s e i d e a s w i l l be e x t r e m e l y i m p o r t a n t i n m o d e l t e s t s a n d i n t h e s i m u l a t i o n o f s u p e r c r i t i c a l R e y n o l d s n u m b e r s . I t m u s t , h o w e v e r , b e k e p t i n m i n d t h a t t h e a c t u a l e v e n t s i n h a r m o n i c f l o w a r e c o n s i d e r a b l y m o r e c o m p l i c a t e d a n d t h a t t h e e f f e c t o f r o u g h n e s s c a n n o t b e r e p r e s e n t e d b y k / D a l o n e . A d d i t i o n a l p a r a m e t e r s s u c h as t h e s i z e d i s t r i b u t i o n , s h a p e a n d p a c k i n g o f g r a i n s m u s t b e i n t r o d u c e d . A l t e r n a t i v e l y , o n e c a n d e f i n e a n e q u i v a l e n t r o u g h n e s s h e i g h t k^ o r a r o u g h n e s s - l e n g t h p a r a m e t e r b a s e d o n t h e a c t u a l b o u n d a r y - l a y e r c h a r a c t e r i s t i c s . T r a n s v e r s e F o r c e a n d V o r t e x S h e d d i n g f o r S m o o t h a n d Rough C y l i n d e r s - T h e d a t a f o r t h e maximum l i f t c o e f f i c i e n t f o r s m o o t h c y l i n d e r s a r e s u m m a r i z e d i n F i g s . 10 a n d 1 1 . T h e o r i g i n a l d a t a i n p l o t t e d a n d t a b u l a t e d f o r m a r e p r e s e n t e d i n R e f . [ 5 ] . 2294 . 0 J.O 0 . 5 0 . 4 0 . 2 4 5 3 0 4 0 5 0 F i g . 10 T r a n s v e r s e f o r c e c o e f f i c i e n t v e r s u s K e u l e g a n - C a r p e n t e r n u m b e r f o r s m o o t h c y l i n d e r s f o r v a r i o u s v a l u e s o f Re a n d p .
4 5
F i g . n T r a n s v e r s e f o r c e c o e f f i c i e n t v e r s u s Re f o r c o n s t a n t v a l u e s o f K. 230E v i d e n t l y , t h e t r a n s v e r s e f o r c e c o e f f i c i e n t d e p e n d s on Re f o r Re l a r g e r t h a n a b o u t 2 0 , 0 0 0 a n d r a p i d l y d e c r e a s e s t o a b o u t 0 . 2 f o r l a r g e r v a l u e s o f Re a n d K. I t i s a l s o e v i d e n t t h a t t h e t r a n s v e r s e f o r c e i s a m a j o r p o r t i o n o f t h e t o t a l f o r c e a c t i n g o n t h e c y l i n d e r a n d c a n n o t b e n e g l e c t e d i n t h e d e s i g n o f s t r u c t u r e s . T h e f r e q u e n c y o f t h e a l t e r n a t i n g t r a n s v e r s e f o r c e i s s h o w n i n F i g . 12 i n t e r m s o f f ^ = f ^ / f a s a f u n c t i o n o f K a n d R e . I t i s a p p a r e n t t h a t f ^ i s f a r f r o m b e i n g c o n s t a n t a n d i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g K a n d R e , I n F i g . 1 2 , e a c h f ^ = N l i n e d o e s n o t r e p r e s e n t a n a b s o l u t e l i n e o f d e m a r c a t i o n b e t w e e n t h e f r e q u e n c i e s N-1 a n d N + 1 . O c c a s i o n a l l y , a f r e q u e n c y o f N+1 w i l l R e x i ö £ 1 5 \ 1 . 0 o c c u r o n t h e N-1 s i d e o f t h e N l i n e , a n d v i c e v e r s a . F u r t h e r m o r e , t h e f r e q u e n c y o f v o r t e x s h e d d i n g i s n o t a p u r e m u l t i p l e o f t h e f l o w o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y . T h e f r a c t i o n a l p a r t o f f^, i n d i c a t e s a n i n c o m p l e t e s h e d d i n g w h i l e t h e i n t e g e r p a r t i s a m e a s u r e o f t h e n u m b e r o f v o r t i c e s a c t u a l l y s h e d d u r i n g a g i v e n c y c l e . F o r s m a l l v a l u e s o f K, t h e f r a c t i o n a l s h e d d i n g g i v e s r i s e t o s i n g l e e d d y s h e d d i n g a t a p r e f e r r e d l o c a t i o n . T h e c o n s e q u e n c e s o f t h i s s i n g l e s h e d d i n g a r e t h a t t h e i n - l i n e f o r c e b e c o m e s a s y m m e t r i c a l a n d t h e v o r t e x w h i c h i s s w e p t away p l a y s an i m p o r t a n t r o l e i n t h e f o r m a t i o n o f new v o r t i c e s w h e n t h e f l o v / r e v e r s e s i t s d i r e c t i o n o n c e a g a i n . I n o t h e r w o r d s , t h e d o m i n a n t v o r t e x e s t a b l i s h e s , b y i t s s e n s e o f r o t a t i o n , a p r e f e r r e d l o c a t i o n f o r t h e g e n e r a t i o n o f a new d o m i n a n t v o r t e x . S u c h v o r t i c e s r e m a i n c l o s e t o t h e c y l i n d e r a n d g i v e r i s e t o l a r g e r l i f t f o r c e s n o t o n l y b e c a u s e o f t h e i r p r o x i m i t y t o t h e c y l i n d e r b u t a l s o b e c a u s e o f t h e i r a p p a r e n t l y l a r g e r s t r e n g t h . 0 . 0 5 M il l - 1 — I — 1 — 1 I 1 1 1 1 J L I — L - l l l l l F i g . I Z f ^ a s a f u n c t i o n o f Re a n d K. T h e S t r o u h a l n u m b e r d e f i n e d a s S t = fyO/U^^ f r e q u e n c y o f t h e a l t e r n a t i n g t r a n s v e r s e f o r c e . P l o t s s i m i l a r t o t h a t s h o w n I n F i g . 13 s h o w t h a t S t d o e s n o t r e m a i n c o n s t a n t a t 0 . 2 a s i n s t e a d y f l o w f o r t h e R e y n o l d s n u m b e r s u n d e r c o n s i d e r -a t i o n . F u r t h e r m o r e , S t shows -a s u d d e n j u m p f r o m 0 . 1 5 t o 0 . 2 5 b e t w e e n K = 1 2 a n d K = 1 6 . T h i s i s e x a c t l y t h e r e g i o n w h e r e t h e f r a c t i o n a l s h e d d i n g i s m o s t p r e v a l e n t . f ^ / K i s a n o t h e r m e a s u r e o f t h e F i g . 13 S t v e r s u s K f o r $ = 1 9 8 5 . 12 2 3 1
T h e t r a n s v e r s e f o r c e c o e f f i c i e n t f o r r o u g h c y l i n d e r s i s s h o w n i n F i g . 14 as a f u n c t i o n o f K f o r v a r i o u s v a l u e s o f k / D a n d p . E v i d e n t l y , d o e s n o t v a r y a p p r e c i a b l y w i t h e i t h e r k / D o r a w i t h i n t h e r a n g e o f t h e p a r a m e t e r s e n c o u n t e r e d . I f t h e r e i s some v a r i a t i o n w i t h t h e s e p a r a m e t e r s , i t i s c e r t a i n l y m a s k e d b y t h e s c a t t e r i n t h e d a t a . A c o m p a r i s o n o f F i g s . 10 a n d 14 shows t h a t a mean c u r v e d r a w n t h r o u g h t h e e n t i r e r o u g h c y l i n d e r C|_ d a t a n e a r l y c o i n c i d e w i t h t h e maximum o f t h e s m o o t h c y l i n d e r d a t a . I n o t h e r w o r d s , C|_ f o r r o u g h c y l i n d e r s i s n e a r l y i n d e -p e n d e n t o f t h e R e y n o l d s n u m b e r f o r t h e r o u g h n e s s r a t i o s l a r g e r t h a n a b o u t 0 . 0 0 2 a n d i s n e a r l y i d e n t i c a l t o t h o s e f o r t h e s m o o t h c y l i n d e r a t r e l a t i v e l y l o w R e y n o l d s n u m b e r s . T h u s , i t may be c o n c l u d e d t h a t f o r r o u g h c y l i n d e r s d e p e n d s o n l y o n K ( w i t h i n t h e r a n g e o f t h e p a r a m e t e r s e n c o u n t e r e d ) a n d c o n s t i t u t e s t h e u p p e r l i m i t o f t h e t r a n s v e r s e f o r c e d a t a f o r s m o o t h c y l i n d e r s . A s i m i l a r c o n c l u s i o n may b e t e n t a t i v e l y a r r i v e d a t f o r t h e d r a g a n d I n e r t i a c o e f f i c i e n t s b y c o m p a r i n g F i g s . 5 w i t h 7 a n d 6 w i t h 8 , I n o t h e r w o r d s , t h e d r a g a n d I n e r t i a c o e f f i c i e n t s f o r r o u g h c y l i n d e r s a p p r o a c h t h o s e o b t a i n e d w i t h s m o o t h c y l i n d e r s a t r e l a t i v e l y l o w R e y n o l d s n u m b e r s . T h i s i s p e r h a p s w h y t h e s m o o t h c y l i n d e r d r a g d a t a f o r m t h e u p p e r e n v e l o p e a n d t h e i n e r t i a c o e f f i c i e n t t h e l o w e r e n v e l o p e t o t h e c o r r e s p o n d i n g d a t a o b t a i n e d i n t h e o c e a n , as n o t e d b y W i e g e l [ 6 ] , T h e f r e q u e n c y o f v o r t e x s h e d d i n g a n d t h e S t r o u h a l number f o r r o u g h c y l i n d e r s
1 1—I I I M
1 \ l l l l
•, * *
Q<3 e • l l i l • n i l * 2 0 0 7 O 3 2 4 7 * 4 5 2 9 * 5 3 8 6J \ l l l l i
*•* * *
J Z 3 _ 1 / 3 6 0 1 / 5 0 1 / 1 8 0 1 / 5 0 1 / 1 8 0 1 / 5 0 • D • O •J I I I I I I
3 0 4 0 SO 1 0 0 F i g . 14 2 3 2 Cl v e r s u s K f o r r o u g h c y l i n d e r s f o r v a r i o u s v a l u e s o f k/D a n d 6 . 13h a v e b e e n e x a m i n e d i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h a t f o r t h e s m o o t h c y l i n d e r . The r e s u l t s h a v e s h o w n t h a t n o t o n l y b u t a l s o f^, i s n e a r l y i n d e p e n d e n t o f R e y n o l d s n u m b e r f o r K > 20 and k / D > O . 0 Ü 2 . T h e S t r o u h a l n u m b e r d e c r e a s e d f r o m 0.1 t o 0 . 1 5 i n t h e r a n g e o f K v a l u e s f r o m 5 t ü 12 a n d , f d l l u w i n g a t a t ) i d j u r i i p f r o m 0 . 1 5 t o 0 . 2 8 , r e m a i n e d n e a r l y c o n s t a n t a t S t = 0 , 2 2 f o r K > 18 ( s e e F i g . 1 5 ) . F i g . 15 S t r o u h a l n u n i b e r v e i ' s u s K f o r a p a r t i c u l a r r o u g h c y l i n d e r a n d g . COMMENTS Hli MUK15ÜN' S EQUATION
The o c c u r r e n c e o f r e l a t i v e l y l a r g e l i f t f o r c e s , s i n g l e v o r t e x s h e d d i n g , a s y i m e t i y i n t h e i n - l i n e f o r c e , a n d t h e n e g a t i v e a d d e o - n i a s s c o e f f i c i e n t ( C | | , < 1 ) , a l l i n t h e r a n g e o f K v a l u e s f r o m 1(1 t o 2 0 , a r e d i r e c t l y r e l a t e d t o t i i e o c c u r -r e n c e o f -r e l a t i v e l y l a -r g e -r d i f f e -r e n c e s b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d c a l c u l a t e d i n - l i n e f o r c e s i n t h e same r a n g e u f K v a l u e s . T h u s , f t 1s o n l y i i a i u r a l t h a t n o t o n l y t h e l i m i t a t i o n s o f t h e M o r i s o i i ' s e q u a t i o n b u t a l s o t h e r e a s o n s f u r t h e m b e d i s c u s s e d i n some d e t a f l . I n t h e d i s t u r b a n c e - s e n s i t i v e r e g i o n o f v o r t e x f o n n a t i o n , t h e o n s e t o f a s y i n i i e t r y ( K = 4 . 5 ) a n d t h e s u b s e q u e n t g r o w t h a n d s h e a d i n g o f s i n g l e o r a l t e r n a t i n g v o r t i c e s h a v e p r o f o u n d e f f e c t s n o t o n l y o n t h e measuied i n l i n e f o r c e b u t a l s o o n t h e c o e f -f i c i e n t s c a l c u l a t e d . H o r i s o n ' s e q u a t i o n a s s u m e s t h a t t l i e i n - l i n e -f o r c e F i s a n o d d h a r m o n i c f u n c t i o n , i . e . , F ( 9 ) = - F( o+ i i ) , f o r a f l o w r e p r e s e n t e d b y U = - U j ^ c o s e . T h u s , t h e d r a g a n d i n e r t i a c o e f f i c i e n t s c a l c u l a t e d t h r o u g h t h e u s e o f a n i n - l i n e f o r c e f o r w h i c h F ( e ) / - F( f l + i T ) a r e n o t q u i t e c o r r e c t . T h u s , i t i s c l e a r t h a t p a r t o f t h e r e a s o n f o r t h e l a r g e r d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d c a l c u l a t e d f o i - c e s i s d u e t o t h e u s e o f t h e f o i x e - c o e f f i c i e n t e x p r e s s i o n s [ E q s . ( 2 ) a n d ( 3 ) ] w h i c h a r e d e r i v e d b y a s s u m i n g t h e i n - l i n e f o r ' c e t o be g i v e n 3 r b y a n o d d h a n n o n i c f u n c t i o n . I n t h e r'ange o f K v a l u e s f r o m a b o u t 10 t o 2 0 , p a r t i c u l a r l y f u r l o w v a l u e s o f R e , t h i s a s s u m p t i o n 1s n o t q u i t e c o r - r e c t as e v i d e n c e d by t h e e x p e r i m e n t s ( s e e F i g . 1 6 ) . T h e r e a s o n f o r t h e a s y i m i e t r y i n t r i e m a g n i t u d e o f t h e i n - l i n e f o i x e a n d d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d c a l c u l a t e d f o r ' c e s i s p r i m a r i l y t h e f r a c t i o n a l s h e d d i n g o f v o r ' t i c e s a n d v u r t e x -i n d u c e d o s c -i -i l a t -i o n s -i n t h e -i n - l -i n e f u r c e . Et i s a w e l l - k n o w n f a c t t h a t i n s t e a d y f l o w t h e v o r t e x s h e d d i n g c a u s e s a g r a d i e n t o f f l u c t u a t i n g p r e s s u r e a c r o s s t h e b o d y a n d g i v e s r i s e t o p e r i o d i c f o r c e f l u c t u a t i o n s i n t h e i n - l i n e f o r c e . Re = 8 9 , 8 0 0 = 1 2 . 5
,
P-5
V.
1 FMEA: m e a s u r e d ' \ \ \ l \ FCAL: c a l c u l a t e d A / " ' ! - ' REMF: FMEAFCAL ^ f ' " -CÜSA: v e l o c i t y F i g . 16 C o m p a r i s o n o f m e a s -u r e d a n d c a l c -u l a t e d f o r c e s .I n h a t - m o n i c f l o w , t h e f u l l y g r o w n v o r t i c e s move " — ^ " 6 5 0 , 3 5 0 b a c k a n d f o r t h a b o u t t h e c y l i n d e r a n d d o n o t n e c e s s a r i l y s h e d a l t e r n a t i n g l y . T h u s , i t i s q u i t e p o s s i b l e t h a t t h e o s c i l l a t i o n s i n t h e i n -l i n e f o r c e d u e t o e d d y s h e d d i n g a r e r e -l a t i v e -l y l a r g e r t h a n t h o s e i n s t e a d y f l o w . T h e e f f e c t o f t h e s e o s c i l l a t i o n s may b e i n c o r p o r a t e d i n t o E q . ( 1 ) a s f o l l o w s , F / ( 0 . 5 D L p U ^ ) =
( i , V u j
) C , ^ s i n e
- C ^ l c o s e l c o s e - n C | _ c o s ( 3 9 - ( 9 ) i n w h i c h n r e p r e s e n t s a c o e f f i c i e n t , t h e a m p l i t u d e o f t h e n o r m a l i z e d d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d c a l c u l a t e d f o r c e s , a n d ^ t h e p h a s e a n g l e . S a m p l e c a l c u l a t i o n s t h r o u g h t h e u s e o f t h e a p p r o p r i a t e v a l u e s o f a n d i}. w i t h n = 0.1 h a v e s h o w n t h a t t h e a b o v e c o r r e c t i o n c o n s i d e r a b l y r e d u c e s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e m e a s u r e d a n d c a l c u l a t e d i n - l i n e f o r c e s . T h e s e c a l c u l a t i o n s w i l l n o t b e r e p r o d u c e d h e r e f o r t h e i r p u r p o s e was s i m p l y . t o d e m o n -s t r a t e t h a t t h e e d d y - i n d u c e d i n - l i n e o -s c i l l a t i o n -s c a n a c c o u n t f o r m o -s t o f t h e e r r o r i n t h e p r e d i c t i o n s o f t h e M o r i s o n e q u a t i o n i n t h e r a n g e o f K v a l u e s f r o m 10 t o 2 0 . F o r l a r g e r v a l u e s o f K, t h e p r e d i c t i o n s o f t h e M o r i s o n e q u a t i o n a r e e x c e l l e n t a s e v i d e n c e d b y F i g . 1 7 . FMEA: m e a s u r e d FCAL: c a l c u l a t e d REMF: FMEA-FCAL COSA: v e l o c i t y F i g . 17 C o m p a r i s o n o f m e a s u r e d a n d c a l c u l a t e d f o r c e s f o r l a r g e v a l u e s o f K a n d R e . CONCLUSIONS T h e r e s u l t s p r e s e n t e d h e r e i n w a r r a n t t h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s : ( a ) F o r s m o o t h c y l i n d e r s , t h e d r a g , t r a n s v e r s e f o r c e , a n d t h e i n e r t i a c o e f f i c i e n t s d e p e n d o n b o t h t h c R e y n o l d s n u m b e r a n d t h e K e u l e g a n - C a r p e n t e r n u m b e r ; ( b ) F o r r o u g h c y l i n d e r s , t h e same c o e f f i c i e n t s b e c o m e n e a r l y i n d e p e n d e n t o f t h e R e y n o l d s n u m b e r b e y o n d a c r i t i c a l v a l u e a n d d e p e n d o n l y o n t h e K e u l e g a n - C a r p e n t e r n u m b e r a n d t h e r e l a t i v e r o u g h n e s s ; ( c ) C o r r e c t a r t i f i c i a l r o u g h n e s s may b e u s e d t o p r o v o k e a n d s i m u l a t e s u p e r c r i t i c a l f l o w i n m o d e l t e s t s i n s t e a d y as w e l l a s o s c i l l a t o r y f l o w s ; ( d ) F o r b o t h s m o o t h a n d r o u g h c y l i n d e r s , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e d r a g a n d I n e r t i a c o e f f i c i e n t s i s n o t u n i q u e a n d d e p e n d s o n t h e p a r t i c u l a r v a l u e o f K; ( e ) The t r a n s v e r s e f o r c e i s a s i g n i f i c a n t f r a c t i o n o f t h e t o t a l r e s i s t a n c e a n d m u s t b e c o n s i d e r e d i n t h e d e s i g n o f s t r u c t u r e s ; ( f ) T h e S t r o u h a l n u m b e r f o r s m o o t h c y l i n d e r s v a r i e s w i t h t h e R e y n o l d s a n d K e u l e g a n - C a r p e n t e r n u m b e r s . F o r r o u g h c y l i n d e r s , i t i s e s s e n t i a l l y c o n s t a n t f o r K > 2 0 ; ( g ) T h e r e s u l t s r e p o r t e d h e r e i n a n d t h e c o n c l u s i o n s a r r i v e d a t a r e a p p l i c a b l e o n l y t o c y l i n d e r s i n h a r m o n i c f l o w w i t h z e r o mean v e l o c i t y . The f o r c e c o e f f i c i e n t s f o r h a r m o n i c f l o w w i t h a mean v e l o c i t y s u p e r p o s e d o n i t may d i f f e r s i g n i f i c a n t l y f r o m t h o s e r e p o r t e d h e r e i n .NOMENCLATURE V K i n a n a t i c v i s c o s i t y p D e n s i t y o f w a t e r «jl P h a s e a n g l e L L e n g t h o f t h e t e s t c y l i n d e r Re R e y n o l d s n u m b e r , Uj^D/v T P e r i o d o f o s c i l l a t i o n s i n t h e t u n n e l t T i m e U I n s t a n t a n e o u s v e l o c i t y Uu, Maximum v e l o c i t y 1 n a c y c l e V V e l o c i t y i n s t e a d y f l o w ft F r e q u e n c y p a r a m e t e r , D ^ / v T e 2Trt/T ACKNOHLEDGNENTS The r e s u l t s p r e s e n t e d h e r e i n w e r e o b t a i n e d i n t h e c o u r s e o f r e s e a r c h s u p p o r t e d b y a g r a n t ( A G - 4 7 7 ) f r o m t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n . T h i s s u p p o r t a n d t h e a s s i s t a n c e o f M e s s r s . N. J . C o l l i n s , 0 . T u t e r , a n d S . E v a n s , s t u d e n t s a t t h e N a v a l P o s t g r a d u a t e S c h o o l , a r e g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d . 1 . S a r p k a y a , T . , " F o r c e s o n C y l i n d e r s a n d S p h e r e s i n a S i n u s o i d a l l y O s c i l l a t i n g F l u i d " , J o u r n a l o f A p p l i e d M e c h a n i c s , ASME, V o l . 4 2 , No. 1 , M a r c h 1 9 7 5 , p p . 32¬ 3 7 . 2 . M o r i s o n , J . R , , e t a l . , " T h e F o r c e E x e r t e d b y S u r f a c e H a v e s o n P i l e s " , P e t r o l e u m T r a n s . , V o l . 1 8 9 , 1 9 5 0 , p p . 1 4 9 - 1 5 7 . 3 . K e u l e g a n , G. H. a n d C a r p e n t e r , L . H . , " F o r c e s o n C y l i n d e r s a n d P l a t e s i n a n O s c i l l a t i n g F l u i d " , J o u r n a l o f R e s e a r c h o f t h e N a t i o n a l B u r e a u o f S t a n d a r d s . R e s e a r c h P a p e r N o . 2 8 5 7 , V o l . 6 0 , N o . 5 , May 1 9 5 8 . 4 . S a r p k a y a , T . , " F o r c e s o n C y l i n d e r s N e a r a P l a n e B o u n d a r y i n a S i n u s o i d a l l y O s c i l l a t i n g F l u i d " . ' F l u i d M e c h a n i c s i n t h e P e t r o l e u m I n d u s t r y , ASME, D e c . 1 9 7 5 , p p . 4 3 - 4 7 . 5 . S a r p k a y a , T . , " V o r t e x S h e d d i n g a n d R e s i s t a n c e i n H a r m o n i c F l o w A b o u t S m o o t h a n d Rough C i r c u l a r C y l i n d e r s a t H i g h R e y n o l d s N u m b e r s " , N a v a l P o s t g r a d u a t e S c h o o l T e c h n i c a l R e p o r t N o . N P S - 5 9 S L 7 6 0 2 1 , F e b r u a r y 1 9 7 6 , M o n t e r e y , C a l i f o r n i a 6 . W i e g e l , R. L . , Q c e a n o g r a p h i c a l E n g i n e e r i n g . P r e n t i c e H a l l , I n c . , E n g l e w o o d C l i f f s , N. J . , 1 9 6 4 , p p . 2 5 7 - 2 6 0 . 7 . S z e c h e n y i , E , . " S u p e r c r i t i c a l R e y n o l d s N u m b e r S i m u l a t i o n f o r T w o - D i m e n s i o n a l F l o w O v e r C i r c u l a r C y l i n d e r s " , J o u r n a l o f F l u i d M e c h a n i c s . V o l . 7 0 , P a r t 3 , 1 9 7 5 , p p . 5 2 9 - 5 4 2 . 8 . G u v e n , 0 . , e t a l . , " S u r f a c e R o u g h n e s s E f f e c t s o n t h e Mean F l o w P a s t C i r c u l a r C y l i n d e r s " , I I H R R e p o r t N o . 1 7 5 , May 1 9 7 5 , I o w a C i t y , I o w a . REFERENCES 16 2 3 5
