ten
Odpowiedzi do Iwiczeti
cz$gd i
Kozdziat 1 Str. 2.
Str. 2.
1 i 2 t.
3i4 }[K(T+tj3_l].
5 i 6 |(sht—sint).
1 tH—1
1 t—1
1
t—i
1 e* -b e-*
1 et—erf
1 cos t
1 1 -b cost
I.
2 ~b cos t 1 e-f- cost
Str. 8. («> m-
(«) (P)
nalezy do klasy C, bo t-fl>0.
nie nale£y do klasy C (niecnjgla dla t = l).
nalezy do klasy C, bo t=t=i.
nalezy do klasy C, bo e*>0 i e—*>0.
nie nalezy do klasy C (nieci%gla dla t = 0).
i
nie nalezy do klasy C (nieci^gla dla J=(2fr-bl)^, k = 0,1,2,...) nie nalezy do klasy C (nieciffcgla dla t=(2k+l)n, k=0,1,2,...) nalezy do klasy C, bo 2-bcost>0.-
nalezy do klasy C, bo cos t =(= i dla t rzeczywistego.
(P) {2sint—2 cos 1+2).
t— — sin nt>.
n J n n)
«
t 3 \ , , 3 2t . t*l +"n+2/- Str. 9.344 Odpowiedm do dwiczed
Eoad^iai 3
Str. 37. 1. (a)
(p) (e3<+2e-=<).
(y) s+l+{2e"+8r^.
(S) {4+i+2 cos t—ain i}.
(e) jl—■ oos i— -p= e-<® ■ sin tj.
(n)
«*—I+{sint}.(ft) j4tsh2f + eoa 2i-|-- sin2£ l
<0 f
4
j| 6 ^[^sinT f-{‘006 ■?']}•
Kozdzial 4
Str, 44. 1. (a) a; = sin /ft J.
(P) $= Ji sin t — “ Bin 2?j.
M * = {-| + raeI'+Hcosl~H8ini}-
(S) «- j^i3+2H-2«-'J.
(e) * = ||ts+U—y)(*—1)+ —yj «_/H- - cos t—i sin tj . (vj) *-{*0.
(ft) m = ji(is—si i-sin t) 1
+ 1)
1 + - eost +
■i]
+ [
2
a 2(a8 +1) *] Sln a1\ ’ (x) a: = |j3—2a + ^ta+ ^2a—^—|yi + i/3(“|cos(H-+ (|y + ^~
(st> *“{§5cll2t" II) t H- cos 2t} . 16 Sir. 44. 2. {a) x =* {2—2<r*—2t*er*}t
y - {**->-$—2r-t—2t*e-*}.
(P) x = (tf(cosf — 2 sin t)}, y = {t'fcoai + 3 sin t)}.
(r) £ — |—j 4- “ cos 2t—3 sin 2ij, y = ||t + 3 00a 2t+
Odpowieizi do dwiczed 345-
ran
(S)
(e)
(l>
W
<0
1 f 1
“1 i 2 1 f 2
= 1 i 3 J 1 1
~1 l 2
-H
ftl,f 3ffl |^z3 11 . K25 1 e* + - e-f—eos-l—£-)- -^=e//s sin i-g-tf,
4 4 2 4JQ3 2 J
3 „ ■ V23)
+ 008
_6— 4£—£=+ ^t^ + -^ct>8 2i+^sLa aj ,
s =
{2
— tf}, y = {—2
+ 4t#—**}.3
= {—2
-f Se'—U1}.x = |—ll«w+ 20e»'-ch^pt—£=<*'•
, . (-„«.+ 1 J'-A*p.j,
Eo2dzial 5 Sir. 61.
1. Dl» rys. 16:
23(£s+2EUK1Cf!+l)_
J = iSdJS+itjjJiXJs31 + [(iB-\-jt1+-tc2)±j+Jt-t<'1{-t{+zlii)G\s+K{]Z+lK1+'£Bt)
i
DIa iyB- 17:
Ell _L\ _E_ _ (21?jg—£)s— 2Bt _
— icj
2. Zakladamy, ze 1 * 0, i-*0, i + O.X + O, 2^*0, «, + 0, E, + 0.Wtedy Oj
B, = iSj, ^ • Bt. L = G,E\.
3. I— Ji— J, = 0, r7 = o.
J,— J4 -Tg = 0, 1,-2, + Jg^O, Ii—Jg+A-O-
~(I—+
‘ J-(Z—J)+BiJl+^474+^(J«—f»)=-E!’
V, + ^ ft - ft- f*’ - TTs ft" Jt) = °’
^*+^ft”r.^ift~JsS-c;(7,"I,)=0’
346 Odpowiedzi do dwiozeii
StT. 66.
1* Dla rys. 29:
Dla rya, 30:
2. Dla rys. 31:
.Z = -f- 4"
— Zjl^ "I" Z^X^, 4~ £*■!*
Hr
#2
+~ _ ZtZ2Z9 W + Mi + W
r-^+r.+i,-
ra.Z,4.g,g.+Z.ZJ fZ.g.+Z,g<+Z,g|)
* ^ “I- 1&A+^1^4+^A) ? - g1z,(T1+ia)+zt(Z1+z,)i, , z.(g,+2:,)i8+z4^(/.-tI,)
X)la rye. 32:
7 __ZtZ2Z%_ , _
" ZiZi+Z^i+faZt Z9Zt+Z4Z§-hZ4ZB
_ Z,Z^ZtZ.+ZiZt+ZtZt)(I1+It+I»)+2iZlZ^ZiZt+Z1Zt-i-ZlZ1)(l4+Tt+Tt)
^ V W V J V V J_ Z^ZzZai z\z
t~i~ZtZt-j-ZiZ^)-r Z4Z $Z ${Z2Z$
V. V _ *5^ £V. _ \ —!— —I “I— 5f* /j* —{— ) -fZ±Z2)
Dla rys. 33;
7_* ,
Z,Z% ; Wj” 1 + zx+z, ^ ZiZ'+ZiZt+ZtZ*
-— (ZgZg-j- ZtZa-j- Z4Zs)[Z^(Zi g^^hZgZgZ^Zj
I ^ "" "
77V
i rrtr I &
V \tVv V _
i7
.r/.J\
_L 7 .fA.fA J
.4-ZJ\
3.
Z =
(4- t H- ^ 4^a)+)
Z^Zi+Z^Zt+Z^Zi+ZiZtZ^Z^ZiZ^Z^Zt+Z^Z^ZtZiZs
4.
1*% R | Ox
^‘P-TjHt-
ZiZ%4-Z±Z4r}rZlZ^4mZtZ^+Z^y\-Zl*^*+ZtZt-\- ZtZg
r^n1 T - 1 i - L - - r-nr^fL— —5*
— 1 j JKj “ ” 6 9 f ® g >
u x,
Bya. 136.
0,-1
(Kozwi^zanie to mosna rozuinied w dowolnie przyj^tym uMadzie jednoafcek, na przyklad: Henry* Ohm, Farad.) Kozwi^zanie nie jest jedyne, gdyz jak widzie- liimy na sir, 63, kazdy optir ornowy maze by6 zast^pxony przez rdwnowazny
jnn iiMad, pizedstawiony na rysunku 22.
Odpowiedzi do dwiezen 347
£tr. 69.
Dla rys. 35:
Dla rye. 36:
Dla rye. 37:
:Str. 74.
Dla rys. 41:
Wprowadimy ozn aczan ie: D = (Lx Rx CjS® H-L^+Ri) (R±0^ 4-7^® + -Ri)
—M^(R1Cls-bl)[Rz^+1)- Wtedy
h = § (-Ei^iS + l^L^O^+L^+Bt), lt — ^ B1018(i)2J1C'ifiI+i'as-|-SE),
I»=|
(L^O^+L.s+B^,
I4 = J WBi Ox*+1 ){-Bi a*+l).
It=^MBIO^‘(B101* + l), I,= ~M*(E1C1s +
1).Dla rye. 42:
Napiezmy: D — s{Ms + Ej) (M8 — hzs * iy — M ~t" ~jjj 8 H"^i"t'-®*)*
^Vtody
4! = ^(2.Ms2— ilS1—XEs2—S,s — . L*o)* + tti
RxLg) v = y-rarotgiW+jBi(JJi+4V
/fl =
^0
(7j_GJ 1/ JJ2CU;y mox+o*
+1 )!wa+i t (R*Olw* + l , -vn \ v = y-arctg (—5^- + •
io “ MLw f
22(4=—iCf^ + ^O'o)*) v, = ?) + arotg £cu(2+£i0S£1)S) '
'iea (j/Ctu2 —2)2+cua(I>4--ftiC)t J?2 0S£U!+4
348 Odpowiedzi do fiwiczen
<P)
Ct)
as
tt1 1 E^Us ‘ Jt2 E1 Us
+
1/I 0W1 Ls\ I 1 0\ / LO^+1
\0,« lj\0 I J \Oj« l)~ [<£*+££?!
X* (X,XE—J4a) s M
Str. 84.
Dla zwartych koccdw:
(a) lx = + 6'sJ 'j®!, = Os ■ .
M A-
I=z%
3 As' LtOs
{A1L,—MI)(Jat+Lt ■ JSi, MOs
■Mx.
Odpowiedzi do cwicz&n 349
ran
Dla wolnyeli kofic6wi
M 4 =
Os-f-l j, ^ SjOs
^(iStOs+i) ‘ > -®2 ‘— ExVs + l 1 B, ,m r X010,*«+(01+0,)< „ „ E, (W 11--X(J„* + I-** ^*=i6’,s»+I '
Il-2^0**+l Bi’ E*~ LxO& +1 ■Bl‘
Eozdzial 6
Str. 93. 1. (a) ® = e<** (^+-&+<»* + . (P) x = (Bsini+Ocost)#*,
(Y) + G-e-V*-2^*+ <?-
(8) * = .d+£e/P + Ce,+.Des/w+^|sinf-—|g«wt-
cos i.
2. (a) a!=3fa—t—l+(2—0) sini+(l+a) coat, y = t2+2+(l+a) smt+03—2) cost
» —
4 +S)-*-
‘'-r?4"+ (&+'i+w)*J'"i“,+ ('-ber)r"-“‘
(Y) ® = 444+BeW+3(7sr-i»
j, = — 26.4 —■ 4Be« — Ce-”',
« =—75,4—lOBtP-pSGer*1'.
shi Sti. 96. I. (a) B-gjfjj.
(j3) Nieroswi^alne.
2, x = e*-'KP ‘fiin U
Str. 97. M a-.A+B^+Gr^+jg*"—igg*"'"*** gdzie-.
" s
—- (—2 sin 2 — 4 cos 2-f 6) + -, 160 4 fii 3 B= (sin 2 + cos 2 — 2) +
0= ji. (3 8in 2 + 9 cos2 — L0) —ie*.
96(T
8
((J) a = 26^-0 [cos ((—2) — Bin ((— 2)].
y = 2^-^ ‘COB (t— 2). (
350 Odpowiedzi do dwiczen
fen
Rozdzial 7 Str, 99, (a) Jeden. pnukt nieci^glo£ci dla =
/5=(i_A}^. hr
(P) Funkty nied^glogci tylko dla, i = hn (h— 0, ± I, ±2
7
1) tt (a*fi)7u n/a Ttr/i7 p^=-i/rE-<s/,4-^-
paint J p —Sint j paint j 2pr f 2 ajtTE ftA-i-i]rt o 0
lire
(y) Jeden punkt nieciqglosoi dla t— 1- i
/ T~~ = / £-| = / / KF^ii 17 F r
(£) Jeden punkt nieci^gloaci dla t = l] f(t)^—l dla 0^t< l i f(t)=1 dla *> Ia stq,d
t
f lf(T)\dr = L o
Str. 102, Hiecb. wte&y dla jest:
t
fx | f 0 -dr J =0,
/
W/i+*= {f 0-dr}-0, o
a dla t fi -j- X~
/W/* = |J
0-dr+. f dr J
={t—fi
—A},o *•+*
. p+x t
% l' fp+1
=» |
fo ■
dr+
J dr\~ {t—ju—l}, fi+x' T^f - nb -«*■
rh'1-
{1•" -1>* /*■«rn
*) --{ml™-*
)•Str, 106,
l-Odpowiedzi do ewiczen 351
Ponieiyaz r(X)=^ je = 1dr (podatawieni©
o t = or, a>0), wi$c
Str, 10
(P)
3
2
1 -
i i
! ! i i I t T"-1 r: 1 s
i i iRjs. 136.
CZ$&5 II Rozdzial 1 Str. 119. (oc)
rw
= {;m /'(A) = o
<Y> /'(A) = {<
(S) /'(A) = T
V
Str. 120. (a)
y
rw
=(P) rw
-/'"(A) =
(r)
/"(A) - /'"(A) = (S) /"(A) =:Str. 133. 1. oos nt 1
—-- 5
% | 2. Nieok £a
{—2A) {*+!»■*••+*!<•}
—2X
Sa + i
S*+l
2(U2—21*) —24Xi^—m
Rozdzial 3
t
2. Niech *„ = [J f* Wtedy f„-0 i [*(«,*}—0[<£)r
352 Odpowiedzi do frwiczei
Str. 135. 1. (cc) a" = {n*e-"}==si|—e "j-
Pomewaz w przedziale Q<t<oo, wifto a,-»s2{(> =1.
[Podwdjna etrzaika i oznacza jeinostajna zbiemost ciiigu. funk- oyj, pojedynoza zak, Strzalka -* oznacza zbieznoW ci%gu opera¬
te row w aensie definicji z § 12 (str. 133) Inb tea zwyklq, zbieznofs6 oi^gti liczbowegoO t
(p) a„ = {iiHe~nt} = a2 jte-"*+ e~nt+t —| = s2{/"W}-
Punkcja {/„(<)—(} ma pochodna {—nte-nt—e~af}i jest wi<jc malej^aa; zat^rn
|/»W—1|< |/«(W—*ol =
. 4
,, u
t — e—m — — (0
gt^d /* :£ {f} w kazdyni przedziale i wobee tego An -* ^0)—i. 1
(y) an = {n—nH + 1=
2M—2nft dla 0<i<-
dla — <Ti^oo 7t
rf-T* dla 10<K«
——— 4-t dla ~ <t<oo 3n
Foniewaz
I/.W—i] =
_L
3t&dla Os£t<-^
dla i<t<oo n
<
" 7Ja . t+?aJa + — i-3 dla
n [- n n 37t + -+- dla
n 1
_
dla— 1 z£t<oo n J
4^ 1
3u dla ^ *^t<oo n J s£— dla O^tcco,
An
■wi^c fn {t} w calym przedziale 0^f<oo i w kousekwenoji aK -* = 1*
m
Fuakeja {f*(t)—t} jest ajemna i malej%ea w przedziale (0,1);
w pudkeie t*= 1 osi$ga mioimiiia rdwne liezbie —^ — -, a dla t> 1 jest rosnaca* Zatem w kazdym przedziale 0^i<t0 jest
!/»(<)—‘K^qrpf l/»(i»)—iol — ^qri +
n . ;+l . I _ V '-'ifli — C|f * 71+1
Poniewaz £a -*■ 0, wi$e i a*-►**{$}=1.
Odpowie&zi do ewiczen 353
Str, 145, (
!, a„ = {ti3 sin «i+w4t cos at} = s‘J4: cos «f + lain nt + (*——] =
\*ir n n* \ -**{/»(*)>■
Si
Poniewaz !/*(*)—ts| = ^ + - dla wise j, t {i} w prze¬
dziale 0<t<to i Uj^s^i’} = s6-2P = 2a*.
k a -f “ a + is
K
] = + 6^(71^)}- 3 J0 dla* 0<i<7t dla fjr<t<oo]
Poniewaz {A(7t,t)} ^ 0 w kazdym. przedziale (zob* za- danie 2 na etr. 133}, wi^c s{Tt(7M)} -*0 i w koasekwencji a + '0*
«) s(i + irF) s(l+«“?*) ktadu.
■e-j^ i korzystamy z poprzedniego przy-
Ry^* ] 37.
Rachunek Operatordw 23
354
Sir. 153.
Str, 160,
Str. 172.
O&powiedzi do dwiczen
„i
Bozdzial 5
S _ i r~\ ___ a .-*1
i=6 _|
' r\ .*
^ r\j:
<=6yJ i=6i 1 t
t zu (=6- 1
1
[- /Vi t=7 J
t=7i 1
1
i - 1 -£
1= 8 J I ^ I E-10
1 .v^r t w
Bv*. 133,
Sposdb kon&tmkcji np, dla
(Zitikj ktorego kotice bjj iia ry- ftimkii ozaaczone pizez W i f>*
u ie jest hikiem kola, lecz hi Idem krzywej ezwartego stopnia.)
ol At
Rys. 140.
Gdy to
^(i,-2)
dla a i#(M)
=H%- 5 )
dla !<a<a0— - a aM-V A)
r“j
dlabn
Odpowiedzi do 6wiozefi 3553. («)
gdy zafi to
fii
(H)
dla 0<A<Ae~.x(k,l) = A(A„—A)] dla J,,—£<j<£
dla Dla t > aAo rueh powtarza si^ okroaowo.
Kys, 142.
23*
-356 Odpowiedzi do Cwiozeri
ion
Rozdzial 6
Str. 183.
Jk*-\ *-3
* * i -» " j
2v-'+2±<'+f$-
*-l “ *=2 ^ 3 a
= 1 + P-1 (P---l M+l
n-*-oo
(p>l).
3
. y~ > f *!._Ti-(«+i)w_rL i—p i—i» Str. 184, (a) Wyoika % udowoduionej zbieznolci dla ^ 1
so « . oo (d) Jest to szerog:
2
<S=3? = i+ (^W<l +
n**I n—1
Zbiezno£6 ostatniego szeregu zostala pop^zednio udowodniona*
(a) siant _ 1 a34 < —
7lK
(P> |
cosnt ^ 1 1 ^ 7t*
00 l (r) y
^ (2^ —D*
cos (2n—l) irA , -5T“L—“a +
00
^ 1 cos
<2n + iP ‘ I 1 cos (2^+ 1)itA
j (2» -J-l}1 Ao
1 fl J 11. _
- sm at
— \a 8U1 °®j’ ia
< - * 1 a
(p) _ e-iyi = exp |■ Fimkcja w klamrach ma w punkcie
A f jte i = — makaimum rowne
U A Str. 211. 1. X"(k) = evx"(l). '
^"{A)—a%X(A) = «w"(A}—a***«a!(a) = w[sr"(A) — a‘«(l)]=0.
X{0) = *£(0) = &tJ*i “ v- X'{A) = sv ■ x'(X).
sv * a^j *= ^ * 0 ^ 0.
Odpowiedzi do tfwiezen 357
2
Fimkcja X(A) = (X(AJ)} przedstawia zmiany temper&tury w prQcie, ktory w chwili 0 raial wsz^dzie temperature 0 i ktdrego pooz^tkowi A = 0 nadajemy temperature ® = {uft)},.
izolnjjtc iednocze^nio koniec A = A^.
X(A) - (n — \ J rtA
2 ,9 a Ao
$tr+ 213. 1. .X"(A) — — sy * a"(A)i
Xf,{X) —a?& - a?(A) — — «i[«"(A)—a2$ * x(A)] =s 0.
X'(0) = — sv ■ *'{0) = — sv - ij = V.
Fimkcja X(A) = {X(A,i)} przedstawia zmiaiiy temperatury w pr^cie, w kidrym odplyw ciepla przez pimM A—0 okre^lony jest funkcj^ v = koniec zbs A — A* jest stale utrzymywany w temperaturze 0; w chwili t = 0 caly pr^t ma temperature 0.
St,. 23B. M
Poniewaz
r(i+i) = jr{« = i K^,
r(2+t)= (i+i)7’(i+i)--^jK;,
r(3+*)= {2+i)r(2+|) = i^|^
i ogdlnie
r{«+i) = l-3-...*(2»—1)
1^
(2m)I
2a-2-4..»-2 n 2,**n\ *
W1QC
j y »p_ y =
={?=;“2 ^l-
358 Gdpowiedzi do cwiczed
(3) Ziidauy wzor znajdujcmy z poprzadniego, zastgptijqiC l przez —A.
(r) iii-»-a T--
= {^(2^)}-
.. i*v&r* i (^+1)3
czgg<5 hi Rozdzial 1 Str. 260. t«) 35 = G 4 ,
CP) x =s c ■ , (r) & = Ct
(S) a; s= 4- e2 - + c ■ e~A/i.
(a) a; — 0,
Str, 271, M 35(A) — - - e—Ws.
' 8
(P) x(K) - bV-Us.
M %W = j-+*pj ‘ (eW-1*1 + ' (S) cc(A) ——e”A 4- .
Rozwi^zania b^ jedyne.
Rozd^iat Str, 274. w a0(A)=}(aA + 6).
(P) S+S^+T*'*
W *,W = Va*+^a*.
Str, 276. W ^(A) = ^ ' «-**■
<P> il 11 1 t
<T> wtt(A) = ^-e“^.
Str, 277. M / 4(1+5*) , 8 1 -1)3
(P) MV 1 ^ t
^"ll 6«*+12S^ 48*)
1 4-, 1 A T ^(s_ 1)*'
♦ 4
A2|‘e-*.
0 dpo\7iedzi do 6wicsen 355
Str. 278. (a) 01,(1) = ~ + ^ +
1 s +4* *
(3) %W = 4-*-U+i'^ 3s2
(T) «bW-l e-4 e»X
(*—I]a s(2* + l)(s+
2
f Str. 279. (a) a;0(A) = ■ cos As + ~ ■ sin As.(P) +)ffl ~ !) cqbAs +
+j{i=ipBin ^ - £2s •C08 ^+<^s-1
)m
■ ^g^+a+i ■ (r) *dW ”—4—^psinA^.® 2sf8
Str. 281. (a) x(X) = ~ (6e_+1).
+
+
{•y) aj(A) = e%* + sin A .
(S) x(X) = \- -—i-1 • cos ^2 +
l.® 4^(S>_I)J
-1 (4
-12
■ 23_
j , \ ^ 1—e~* \sa a1 ^ 3s 3^/+
r——FJ—w^i-suu^.L* ■ sin 2 |/2 l« 2^2(6=—1)^ J (e) a;(A)=e^a +
8K+D
ftozdzial 3 Str. 289. («) sfA.t) = A + siu A-eh t
tp) a{A,f) = e-A[(2—f>)siat—2t'C08t+2A(sint-(-co8i)+AJ-sinq + jj.
(y) Dla 0<t<A:
x(X,t) = tl(—2t -h ts—<r* + cost + sin t);
dla 0<A<h
a(A,t) = e*(—2t+tB+ cost+ sin t) + 2(t—A)—(t—A)J—cos (t—A)—sin ((-A).
(S) Dla 0^t<A:
dla 0<A<t:
*4 , /, » ',,.1/ 5 |/f -—A
![x∈[0;t] |ϕ 00 (x) | wynika ci ˛ agło´s´c T . Liniowos´c T jest oczywista.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)