Wykład VII Mechanika

1

Wykład VII Mechanika

Zagadnienie Keplera

Problem dwóch ciał

) 2 (

1 2

) 1 , , ,

(r₁ r₂ r₁ r₂ m₁r₁² m₂r₂² V r₁ r₂ L        







 (tylko oddziaływanie wzajemne ciał)



















) (

) (

2 1 2 2 2

2 1 1 1 1

r r V r

m

r r V r

m   



 



R

- położenie środka masy, r

-położenie względne













 

2 1

2 1

2 2 1 1

r r r

m m

r m r R m









 









 



 



2 1

1 2

2 1

2 1

m m

r R m

r

m m

r R m

r

 



 













 



 







 















 



 







 













x X M m x x

x X x X x

x X M m x x

x X x X x

2 2

2 2

1 1

1

1

2 1

2 1 2

1 ,

m m

m m m

m

M      - masa zredukowana

) 2 (

1 2

) 1 , , ,

(R r R r MR² r² V r L       





 













) ( 0

r V r

R

M 







Problem dwóch ciał został sprowadzony do problemu jednego ciała w zewnętrznym potencjale.

Siła grawitacyjnego oddziaływania

r r r

m Gm F

 

2 2

 1 , F r

|| siła centralna Zachowanie momentu pędu

r

r

m

p

r

J     









, _{ } 0

0 0



















 

r r F r r r m r r dt m

J

d        



Wektory r i p

leżą w niezmieniającej się w czasie płaszczyźnie – ruch odbywa się w płaszczyźnie.

- swobodny ruch środka masy

2

Wykład VII cd. Mechanika

) ( ) 2 (

) 1 2 (

) 1 ,

(r r r² V r x² y² V r

L 



 



 









  

Współrzędne biegunowe ( ) ( )

2 ) 1 , , ,

(r r r² r^{2 2} V r

L        

 

















) 0 ( 0

2 2

dr r r dV

r dt r d



















_{i N}

q t q q L q

t q q L dt

d

i i

 



, ) ( , , ) 0, 1,2, ,

(  



















 



 















2 2 3

2

) 2 ) (

(

const 0

r r J dr V

d dr

r dV r r J dt J dJ



 

J |r^p^||r^p^_ |r²^

r r

m Gm r

V _{ 1 2 } )

( - potencjał grawitacyjny

₂

2

2 r J

 - potencjał odśrodkowy

2 2

eff( ) ( ) 2

r r J V r

V ^{ }  - potencjał efektywny

Radialne równanie ruchu nie ma jawnego rozwiązania.

Równanie toru

const )

2 ( 1 2

2 ) 1 ( ) 2 (

1

eff 2 2

2 2 2

2

2       

 r V r

r r r J

r V r

r

E     

 



 (zachowanie energii)















r r r J

E r J



 





2 2 2 2

2 2

1 















 



  





r r E J dt

dr r J dt d











2 2 2

2

2



 



  





r r E J r

J

dt dr dt d

dr d





 

 

2 2 2

2 2

_



 



   0

2 ²

2

r r

E J 

 dr

r rdV_eff( )



3

Wykład VII cd. Mechanika







 

 





 



  





r

r r

r

J E

J Jz

dz J

E J

r r E J r

J

dr ^1/

/ 1

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

0

0 0

/ 2

) / 1 (

/ 2

' ' 2 ' 2

'













 



 





¹ z '

r

2 2

2 /

2

/ J E

J Jz







 



 

 

 



( )



arccos



( )



arccos

1 ⁰

) ( arccos

) ( arccos )

(

) ( 0 2

0 0

r r

d d^r

r r

r





 

 

 ^











 





 

cos 

 









 





 cos

/ 2

/ cos /

) ( )

( arccos

2 2 0 2

0 



 







J E

J r

r J r

Krzywa stożkowa

Krzywa stożkowa

0

 ^okrąg 2

2

E_2J

1

0 ^{elipsa 0}

2 ²

2





 E

J



1

 ^{parabola E0}

1

 ^{hiperbola E0}

Ruch po okręgu



J2

p

r   ,



 



 ^{2 2}

2 2 2

eff 1 0

2 )

( J

r r J r

r J r dr

d dr

r

dV   

 



 





 



 



Ruch odbywa się po dnie potencjału efektywnego, ₂

2

min 2J

V

E _{ }

J r v J

r r J

J





 





  _  

 ²  ₂,

Opis ruchu po okręgu można otrzymać korzystając z warunku równowagi sił:







 _  ²

2 3 2 2

2 J

r r r J r

r

v      , ₂

2 2

2 2

2 2

2 r r J

J r

E v  



 _ 













Okres obiegu: _{2 3/2}

3

2 2

2

E J

v

T r   

















 

cos ) 1

(   p

r _

J2

p

2

2 2

1 

   ^{J E} - mimośród

4

Wykład VII cd. Mechanika

Prawa Keplera

¹

I prawo Keplera

Każda planeta Układu Słonecznego porusza się po elipsie, w której jednym ognisku znajduje się Słońce.

Ściśle rzecz biorąc ognisko odpowiada położeniu środka masy, ale Słońce jest dużo cięższe od planet więc leży blisko środka masy układu.

2 1

2 1

m m

m m

 



2 2

1 m m

m   

II prawo Keplera

W równych jednostkach czasu promień wodzący planety zakreśla równe pola (prędkość polowa jest stała).

const 2

2 , 1

2

1 2  2  

 



 

 ^J

dt r d dt d d

r d

III prawo Keplera

Stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu średniej arytmetycznej największego i najmniejszego oddalenia od Słońca jest stały dla wszystkich planet.

pole elipsy:  ab okres obiegu:

T J



 2

 

E J b p

E a p

 



 2 ^, _{1 2}

1 ^{2 2} 

 

 



2 /

2 E3

T _   

a E r r

2 2

min

max  _{ } 

 

1

2

2 1

2 2

3 2 3 min max

2 4

) (

4 4

2 / )

( a G m m Gm

T r

r

T  





 _

 



 

1 Johannes Kepler 1571-1630