Wykład VII Mechanika kwantowa

1

Wykład VII Mechanika kwantowa

Twierdzenie Ehrenfesta

¹

Twierdzenie Ehrenfesta określa związek mechaniki kwantowej z klasyczną.

Średnie położenie

Działanie operatora położenia rˆ na funkcje falową ψ( rt, ) definiujemy jako )

, ( ) ,

ˆ ( r r r

rψ t = ψ t .

Wartość średnia operatora położenia rˆ w stanie kwantowym opisywanym funkcja falową ψ( rt, ) dane jest wyrażeniem

3 2

*

3 (, )ˆ (, ) (, )

ˆ ) ,

ˆ ( r r r r r r

r_ψ ^≡ψ ψ ⁼

∫

d rψ t ψ t ⁼

∫

d r ψ t

Obliczamy



 





∂ + ∂

∂

=

∫

^{d r r} ∂ _t^{t t t} _t^t

dt r d

i

i (, )

) , ( ) , ) ( , ˆ (

*

*

3 r

r

r r ψ

ψ ψ ψ

ψ (i=x,y,z)

Zakładamy, że funkcja falowa ψ( rt, ) spełnia równanie Schrödingera, co daje )

, ( ) , 2 (

) , ˆ ( )

,

( ²

r r

r r

t t

m V t i

i H t

t ψ ψ

ψ 







 ∆ +

−

−

=

−

∂ =

∂ h

h

h ^,

) , ( ) , 2 (

) , ˆ ( ) ,

( _* ² _*

*

r r

r r

t t

m V t i

i H t

t ψ ψ

ψ 







 ∆+

−

=

∂ =

∂ h

h

h .

Tak znajdujemy

( )

[ ]

( )

[

^{(, ) ( , ) (, ) (, )}

]

2

) , ( ) , ( ) , ( ) , 2 (

) , ( ) , 2 (

) , ( ) , ( ) , ( ) , 2 (

ˆ

*

* 3

*

* 3

2

*

* 2

3

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

t t

t t r

r m d i

t t

t t r

r m d i

t t

m V t

t t

t m V r

r i d dt

r d

j j

j i i i i

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ψ ψ

∇

−

∇

∇

−

=

∆

−

∆

−

=



















 ∆ +

−

 −



















 ∆ +

−

=

∫

∫

∫

h h

h h

h

.

Wykonujemy całkowanie przez części, zakładając znikanie wyrazu brzegowego

( )

[

^{(, ) (, ) (, ) (, )}

]

2

ˆ d3r * t r t r * t r t r

m i dt

r d

i i

i ^ψ = ^h

∫

∇ψ ψ −ψ ∇ψ ^,

gdzie uwzględniliśmy, że ∇_jr_i =δ^ij. Teraz całkujemy przez części pierwszy człon i ostatecznie dostajemy

1 Paul Ehrenfest 1880-1833

2

Wykład VII cd. Mechanika kwantowa

m p t

t r m d i dt

r

d _i

i

i ψ ψ (, ) ψ(, ) ^ˆ ψ

ˆ 3 *

=

∇

−

= ^h

∫

^{r r .}

Możemy to też zapisać jako

Widzimy, że wartości średnie operatorów spełniają klasyczne równanie ruchu.

Średni pęd

Średni pęd w stanie kwantowym opisywanym funkcja falową ψ( rt, ) to

) , ( ) , ( )

, ˆ ( ) , ( ˆ )

,

ˆ ( p ^{3 *} r p r ^{3 *} r r

p_ψ ≡ ψ ψ =

∫

d rψ t ψ t =−i^h

∫

d rψ t ∇ψ t ^.

Obliczamy (i=x,y,z)









∂

∇ ∂ +

∂ ∇

− ∂

=

∇

−

= ⁱ _dt^d

∫

^{d r t t i}

∫

^{d r} _t^{t t t} _t^t

dt p d

i i

i

i (, )

) , ( ) , ) ( , ) (

, ( ) , (

ˆ *

* 3

*

3 r

r r r

r

r ψ

ψ ψ ψ

ψ

ψ h ψ h .

Zakładając, że funkcja falowa ψ( rt, ) spełnia równanie Schrödingera, znajdujemy

( )

[ ]

( )

[

^{(, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, )}

]

^.

) , ( ) , ( ) , ( ) , 2 (

) , ( ) , 2 (

) , ( ) , ( ) , ( ) , 2 (

ˆ

*

* 3

*

* 3

2

2

*

* 2

3

r r r

r r

r

r r

r r

r r

r r

r r

t t V t

t t

t V r d

t t

t t

r m d

t t

m V t

t t

t m V r

dt d p d

i i

i i

i i

i

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ψ ψ

∇

−

∇ +

∆

∇

−

∇

∆

−

=



















 ∆+

−

∇

−

∇



















 ∆+

−

=

∫

∫

∫

h

h h

.

Pierwszy człon znika po wykonaniu całkowania przez części przy założeniu, że znika wyraz brzegowy. Różniczkując zaś

(

V(t,r) (t,r)

) (

_iV(t,r)

)

(t,r) V(t,r) _i (t,r)

i ψ = ∇ ψ + ∇ψ

∇

ostatecznie dostajemy

( )

ψ

ψ d rψ t V t ψ t V

dt p d

i i

i (, ) (, ) (, ) ˆ

ˆ 3 *

∇

−

=

∇

−

=

∫

^{r r r}

czyli

Widzimy, że wartości średnie operatorów spełniają klasyczne równanie ruchu.

m dt

d rˆ_ψ pˆ _ψ

=

ψ

ψ V

dt

d ˆ ˆ

∇

− p =