ATOM W POLU MAGNETYCZNYM cz. 1

(1)

1 ATOM W POLU MAGNETYCZNYM cz. 1

(moment magnetyczny; przypomnienie, magnetyczny moment dipolowy elektronu w atomie, wypadkowy moment magnetyczny i

moment pędu elektronu w atomie, moment magnetyczny w niejednorodnym polu magnetycznym, doświadczenie Sterna – Gerlacha, wnioski z doświadczenia Sterna – Gerlacha dla różnych

atomów, żyroskop – precesja momentu pędu; przypomnienie, precesja momentu pędu i momentu magnetycznego w polu

magnetycznym, orbitalny (L) i spinowy (S) moment pędu elektronu;

składanie momentów pędu, słabe i silne pole B; model wektorowy, urządzenie Sterna – Gerlacha jako filtr stanów przestrzennych atomów bez spinów, urządzenia Sterna – Gerlacha w tandemie;

obroty, funkcja falowa elektronu w atomie bez spinu )

(2)

2 Moment magnetyczny; przypomnienie

Przewodnik z prądem w polu magnetycznym B:

a) Prąd I = 0

b) Prąd I płynie „do góry”

c) Prąd I płynie „w dół”

B i L B

v q

F  _e    









Na elektrony w przewodniku działa siła Lorentza F =

q

_e

vB, na przewodnik będzie

działała siła F = LiB

(3)

3 Moment magnetyczny; przypomnienie

Prostokątna ramka o długości a i

szerokości b z prądem o natężeniu I w jednorodnym polu magnetycznym B:

a) widok „z góry”

b) widok „z boku z prawej strony” (od strony boku 2)

Moment siły M obraca ramkę zgodnie z ruchem wskazówek zegara:

B B

n Iab M

sin IabB M

IaB F

; IaB F

2 sin b

2 F sin b

F M

3 1

 

      

















a)

b)

n S I

; B

M     













(4)

4 Moment magnetyczny; przypomnienie

magnetyczny moment dipolowy

 

B E

cos B E

B E

; B E

E E

B B

cos B

d sin B d

M W

1 2

1 0 2

0 0

  











































   

   





B M   







n S

I 

   



moment siły dąży do ustawienia momentu magnetycznego równolegle do pola B, tak by osiągnąć najniższą energię magnetycznego momentu dipolowego w zewn polu B, E

₁

. Wykonując pracę przeciw

momentowi siły (polu B) tak by magnetyczny moment dipolowy był

skierowany antyrównolegle do pola B osiągamy stan o najwyższej energii E

₂

w zewn polu B.

E

₁

E

₂

moment magnetyczny,

a magnetyczny

moment dipolowy

(5)

5 Magnetyczny moment dipolowy elektronu w atomie

e orb e

orb e

e 2 orb

m L 2

q m

2 mvr q

2 vr q

v r r 2 S q

I





 









e orb

orb L

m 2

   q 



m S q _e

s

   



spinowy (własny) magnetyczny moment dipolowy i spinowy (S) moment pędu orbitalny magnetyczny moment dipolowy

i orbitalny moment pędu

bez klasycznego odpowiednika

q

_e

/2m - czynnik żyromagnetyczny

(6)

6 Wypadkowy moment magnetyczny i moment pędu elektronu w atomie

S L

J   





e orb orb

orb L

m 2

g q 

  



m S 2 g _s q ^e

s

   



orbitalny magnetyczny moment dipolowy i orbitalny moment pędu, czynnik Landé’go g

_orb

= 1

spinowy magnetyczny moment dipolowy i spinowy moment pędu elektronu, czynnik Landé’go g

_s

= 2

Całkowity moment pędu elektronu w atomie

Ponieważ czynniki Landé’go dla spinowego i

orbitalnego momentu magnetycznego elektronu są różne, wypadkowy moment pędu i moment

magnetyczny mogą nie być równoległe. Efektywny moment magnetyczny będzie równoległy do

wypadkowego momentu pędu, średnia w czasie ze składowej prostopadłej będzie zero i 1 < g

_ef

< 2

MODEL WEKTOROWY

Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

(7)

7 Wypadkowy moment magnetyczny i moment pędu elektronu w atomie

Doświadczenie Einsteina – de Haasa

b) po włączeniu prądu w solenoidzie w walcu powstaje pole magnetyczne, które ustawia momenty magnetyczne atomów żelaza równolegle do pola magnetycznego. Obserwujemy obrót walca z momentem pędu zgodnym z kierunkiem wypadkowego momentu magnetycznego.

Z zasady zachowania momentu pędu wynika, że każdy atom posiada moment pędu skierowany przeciwnie do jego momentu magnetycznego

a) pole magnetyczne w żelaznym nieruchomym walcu jest równe zeru. Rozkład momentów

magnetycznych jest przypadkowy;

żaden kierunek nie jest wyróżniony.

(8)

8 Moment magnetyczny w niejednorodnym polu magnetycznym

a) elektron w atomie w niejednorodnym zewnętrznym polu magnetycznym;

pole B skierowane „do góry”

b) pole B „do góry”, µ „do góry”, F „w dół”

c) pole B „do góry”, µ „w dół”, F „do góry”

 

   

 

dz z cos dB

F

cos z

B z

E

dz z F dE

z z





















dz F _z    _z dB Od orientacji µ względem pola B będzie

zależała siła działająca na atom w kierunku

„góra-dół”, jej wielkość i zwrot

(9)

9 Doświadczenie Sterna – Gerlacha

Układ doświadczalny Sterna – Gerlacha.

Wiązka atomów srebra przechodzi przez magnes z dużym gradientem pola i pada na płytkę detektora

dz F _z    _z dB

dB/dz

Wynik współczesnej wersji doświadczenia Sterna – Gerlacha. Po włączeniu magnesu wiązka atomów cezu rozszczepia się na dwie;

jedna z równoległym, druga z antyrównoległym

ustawieniem momentów magnetycznych

(10)

10 Wnioski z doświadczenia Sterna – Gerlacha dla różnych atomów

Liczba równoodległych plamek na ekranie wynosi 2j + 1, co sugeruje:

m = j, j-1, …, -j+1, -j

przy czym 2j może być parzyste, lub nieparzyste (dla parzystego 2j wystąpi m

= 0, dla nieparzystego, nie).

Średnia wartość J

_z²

wyniesie:

a skąd, dla j = 1/2 (dla zera jest spełnione)

i dalej można wykazać, że dla dowolonego j:

2 2

2

2z

1 2 1 2 1 4

3 2

2 1 2

1 2

1 2 1 3 J

3    



 

  



 

 

  

 



 

  







m  m g

2 J q

m g 2

q

e z e

e

z



e

  



 

²

   

² ² ₂

2 2

z

2 j 1

j 1

j ...

1 j

J j  











 

  ²

2 j j 1

J  





2 z 2 z

2 y 2 x

2 J J J 3 J

J     

   

       ^j  ^j ¹ 

1 j 2

j ..

j jesli 2

j 1 1 j

1 j 2

1 j ...

1 3 j

J 3

2 2 2

2 2 2 2

z

 







 



 







   

kwadrat

kwantowy

Należy tylko udowodnić (np. przez indukcję), że:

(11)

11  _  _

 1

L  

 _  _

 1 m

2 q

e

orb



e





m  L

_z



Dla orbitalnego momentu pędu: , a dla orbitalnego magnetycznego

momentu dipolowego:

Ani orbitalnego momentu pędu, ani orbitalnego momentu magnetycznego nie da się zmierzyć.

Zmierzyć można skwantowane składowe „z”

obu tych wektorów:

gdzie m =ℓ, ℓ-1, …, -ℓ+1, -ℓ m

m m 2

q

B e

z

 

e

  

 

gdzie m =ℓ, ℓ-1, …, -ℓ+1, -ℓ , a µ

_B

to magneton Bohra

e B

2 m

e

 q 



(12)

12   _ _

4 1 3

s s

S   

m S q

e s e

   



 s 1  _

m s q

e

s



e





Dla spinu (własnego momentu pędu) elektronu:

µ

_S

też jest skwantowane:

gdzie s = 1/2

s B s

e z e

, s

s z

m 2

m m 2 2 q

m S

















gdzie m

_s

= +1/2 i -1/2, a µ

_B

, jak poprzednio, to magneton Bohra

a moment magnetyczny:

Skwantowane są także składowe „z”:

(13)

13  j 1  _

j J  

 ^j ¹  _

m j 2 g q

e ef e

ef

 



m  J

_z



Dodając L i S otrzymujemy wypadkowy moment pędu J:

a wypadkowy efektywny

magnetyczny moment dipolowy:

Skwantowane składowe „z” obu tych wektorów:

gdzie m =j, j-1, …, -j+1, -j m

g m m

2 g q

_ef _B

e ef e

z

    

 

gdzie µ

_B

to magneton Bohra

Dodatkowa energia elektronu w polu magnetycznym:

daje skwantowane poziomy energetyczne:

mB g

B m m

2 g q B

E

_ef _B

e ef e

z

m

       

µ

_z

µ

_ef

B

E     

_ef



(14)

14 Żyroskop – precesja momentu pędu; przypomnienie

a) nie obracający się żyroskop spada wskutek działania momentu siły τ

b) szybko obracający się żyroskop wykonuje precesję wokół osi z

c) zmiana momentu pędu wywołana momentem siły powoduje rotację momentu pędu L wokół punktu O

 t dt  L   t d L L

dt L

d dt ;

L d

g m r



 



 





















(15)

15 Precesja momentu pędu i momentu magnetycznego w polu magnetycznym















 L sin

dt sin dL

B

Ω sin

Δt L θ sin L t

L      

 



bo:

gdzie , to prędkość kątowa precesji:

Ω

e e

m 2

B

 q



MODEL

WEKTOROWY

wyjaśnia, dlaczego tylko składowa „z” ma określoną

wartość

Zachowana jest wartość momentu pędu i momentu magnetycznego jak i ich rzuty na kierunek pola B („z”).

Jeśli pole B zmierza do zera, z zasady zachowania momentu pędu wynika, że zachowane będą oba momenty jak i ich rzuty na wybrany kierunek.

Precesja Larmora

(16)

16 Orbitalny (L) i spinowy (S) moment pędu elektronu; składanie momentów pędu

s j

j

z m ; m m m

J    _ 

    ^j ^- ² ^, ^- ^j ^- ¹ ^, ^- ^j

- ...

2, - j 1, - j ,j m _j 

 ^j ¹  ^; ^j ^s ^, ^s ^- ^1, ^... ^- ^s

j

J         

Zgodnie z mechaniką klasyczną moment pędu jest wektorem, więc: J   L   S 

bez ograniczeń na względną orientację obu wektorów

Wg. mechaniki kwantowej wszystkie trzy momenty

pędu i ich rzuty na wybraną oś są skwantowane

(17)

17 Składanie momentów pędu elektronu w atomie, słabe pole B

Sprzężenie L – S

wektory L i S precesują wokół J tak by:

j = ℓ+s, … ℓ-s

W słabym zewnętrznym polu magnetycznym B wektor J

wykonuje precesję wokół

pola B skierowanego wzdłuż osi z (m

_j

= j, j-1, …, -j)

Nawet w zerowym polu

magnetycznym jest tak samo tzn składowe x i y wektora J są nieokreślone. Określony jest tylko

rzut J na oś z (tak jakby precesja wokół osi z nadal zachodziła)

MODEL

WEKTOROWY

Copyright © 1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc, Introduction to Atomic Physics by Harald A. Enge.© Copyright for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983

z

(18)

18 W silnym zewnętrznym polu magnetycznym sprzężenie pomiędzy

wektorami L i S jest rozerwane, wektory L i S niezależnie precesują wokół

pola B skierowanego wzdłuż osi z

m

_ℓ

+ m

_s

= m

_j

MODEL

WEKTOROWY

Składanie momentów pędu elektronu w atomie, silne pole B

z

(19)

19 dB/dz

o |ℓ, ℓ>

o |ℓ, ℓ-1>

… …

o |ℓ, -ℓ+1>

o |ℓ, -ℓ>

Urządzenie Sterna – Gerlacha jako filtr stanów przestrzennych atomów bez spinu

2ℓ + 1 plamek na płytce detektora

2ℓ + 1 stanów przestrzennych atomów o tej samej liczbie kwantowej orbitalnego

momentu pędu ℓ, różniących się wartością magnetycznej liczby kwantowej m.

Odpowiednia maska przepuszczająca tylko jedną z 2ℓ + 1 wiązek, zmieni urządzenie S – G w filtr stanów przestrzennych atomów wiązki; na ekranie pozostanie tylko jedna plamka. Wiązka niespolaryzowana na wejściu urządzenia zmienia się w

wiązkę spolaryzowaną. Atomy w wiązce spolaryzowanej są w stanie czystym tzn. |ℓ, m>

Feynmana wykłady z fizyki, III tom.

(20)

20 Urządzenia Sterna – Gerlacha w tandemie, obroty

  ^, ^m

R ' m

,

_y



 

 cos ^ 

P

_^m

Atomy z jednego z 2ℓ + 1 stanów

urządzenia S mogą się na ogół znaleźć w każdym z 2ℓ + 1 stanów przestrzennych obróconego urządzenia T. Amplitudę prawdopodobieństwa zajścia takiego zdarzenia możemy oznaczyć:

Będzie to pewna funkcja kąta θ.

Warszawa 1972

W specjalnym przypadku gdy m’ = 0, funkcję taką zapisujemy:

i nazywamy stowarzyszoną funkcją Legendre’a. Jeśli także

m = 0 to funkcja ta to wielomian Legendre’a i zapisuje się ją: ^P

_

 ^cos ^ 

Dla obrotu wokół osi z o kąt :

    ^ ^R ^ ^, ^m ^ ^e

^

^P  ^cos ^  ^ ^aY   ^ ^, ^

R 0

,

_y _z



^im _^m __,_m



  ^,j ^m ^e ^,j ^m

R

_z

 

^im^

Amplituda prawdopodobieństwa:

gdzie Y

_ℓ,m

(θ,) to tzw. funkcja kulista, albo harmonika sferyczna.

Feynmana wykłady z fizyki, t. III

(21)

21 Funkcja falowa elektronu w atomie bez spinu

Niech elektron w atomie ma orbitalny moment pędu opisany liczbami kwantowymi ℓ i m, tzn.

niech znajduje się w stanie przestrzennym | ℓ,m> (względem osi z).

Jaka będzie amplituda prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w stanie przestrzennym | ℓ,m> i w punkcie (r,θ,)?

Poprowadźmy przez punkt (r,θ,) nową oś z’.

Składowa z’ momentu pędu elektronu znajdującego się na osi z’ musi być równa zero; a więc stan przestrzenny względem tej osi musi być |ℓ,0>. Amplituda znalezienia elektronu w stanie |ℓ,0> na osi z’ w różnych odległościach od początku układu

współrzędnych będzie jakąś funkcją r, oznaczmy ją F

_ℓ

(r).

Feynmana wykłady z fizyki t. III

(22)

22 Funkcja falowa elektronu w atomie bez spinu

Jeśli założymy, że znamy F

_ℓ

(r) to możemy zapisać amplitudę znalezienia elektronu w

stanie przestrzennym |ℓ,m> i w punkcie (r,θ,).

Amplituda ta będzie iloczynem amplitudy prawdopodobieństwa przejścia ze stanu

przestrzennego |ℓ,m> określonego w układzie x,y,z do stanu |ℓ,0> określonego w układzie x’,y’,z’ i funkcji F

_ℓ

(r).

Przejście z jednego do drugiego układu współrzędnych wymaga obrotów; najpierw wokół osi z o kąt , potem wokół osi y’ o kąt θ.

ATOM W POLU MAGNETYCZNYM cz. 1

1