M. Lubański
"Jazyk łogiki", H. Freudenthal,
Moskwa 1969 : [recenzja]
Studia Philosophiae Christianae 7/1, 249-253
sje, które są już m ożliwe do w ychw ycenia. Całkowite pom inięcie po wyższej problematyki w teorii poznania świadczyć będzie o pozosta waniu poza istotnym nurtem m yśli naukowej.
Dalszą sprawą byłoby zagadnienie precyzowania takich pojęć jak „duchowe”, „materialne”. Jest w idoczne, że dzięki m odelowaniu psy chiki ludzkiej daje się uzyskać w iele ciekawych inform acji odnośnie do wspomnianego zagadnienia. Problem atyka ta zostaje przez to po głębiona i wzbogacona. Przestają już nam w ystarczać potoczne rozu m ienia powyższych term inów, a jesteśm y w stanie całe zagadnienie uściślić i przez to uczynić bardziej jednoznacznym i jasnym . Jest oczy w iste, że omawiane tu zagadnienia posiadają w yraźny w ydźw ięk o cha rakterze światopoglądowym.
Wymienione tutaj, przykładowo, różne im plikacje pyłnące z pro blem atyki odnoszącej się do m odelow ania (zwłaszcza psychiki ludzkiej) wydają sflę wskazywać, jak interesująca i ważna jest cała referow ana powyżej problematyka. Zarazem w szystko w yżej powiedziane przyczy nia się do wytworzenia przeświadczenia, że (mimo coraz w iększej spe cjalizacji w nauce) m ożliw e jest w ypracow yw anie pew nych syn tetycz nych ujęć. A to jest już stw ierdzeniem posiadającym w ydźw ięk i opty m istyczny i humanistyczny.
Freudenthal H., J a zy k logiki, Izdatelstw o „Nauka”, Moskwa 1969.
Podręczników logiki jest dużo. Jeśli w ziąć pod uwagę tylko ostatni okres powojenny oraz ograniczyć się nadto do języka polskiego, to otrzymamy wcale pokaźny ich w y k a z T o t e ż gdy się bierze do ręki m ałą książeczkę H. Freudenthala, ciśnie się na usta pytanie, czy jest to jeden jeszcze z nowoczesnych podręczników logiki, czy też znaj dziemy w nim coś w ięcej, aniżeli sam w ykład klasycznego już m ate riału, w skład którego wchodzi rachunek zdań, rachunek kw an tyfi- katorów, rozważania m etalogiczne. Spis treści jest bardzo schem atycz ny: Zbiory i odwzorowania, Zdania, Podm iot i predykat, Logika for m alna, Język i metajęzyk — oto tytu ły pięciu rozdziałów książki, 1 W ym ieńmy najbardziej znane pozycje pośw ięcone logice w sp ół czesnej. W porządku chronologicznym będą to: A. M ostowski, Logika m atematyczna, Warszawa — W rocław 1948; T. Czeżowski, Logika, War szawa 1949; J. Lukasiewicz, Elem enty logiki m atem atycznej. W arsza w a 1958; T. Kotarbiński, Elem enty teorii poznania, logik i form alnej i m etodologii nauk, W rocław — W arszawa — Kraków 1961; J. Słupecki i L. Borkowski, Elementy logiki m atem atycznej i teorii mnogości, War szawa 1963; K. Pasenkiewicz, Logika ogólna, W arszawa 1968; A. Grze gorczyk, Zarys logiki m atem atycznej, W arszawa 2 1969. Ostatnio ^kazała się „Logika dla inżynierów” Z. Paw laka i A. W. M ostowskiego.
liczącej, łącznie z odpowiedziami do zadań, 135 stron. Nie można na jego podstaw ie niczego w nosić o m eritum pracy. W ystarczy jednak choćby nawet pobieżnie zajrzeć do wnętrza książki, aby bez obawy po błądzenia i przesady, móc powiedzieć: to nie jest podręcznik standar dowy, jest to coś naprawdę nowego i niesłychanie dydaktycznie w ar tościowego. Na czym polega nowość tej pracy i co stanow i o jej dydak tycznych zaletach?
Nowością jest, zdaniem piszącego te słowa, rozpoczęcie w ykładu od elem entów teorii m nogości. A nadto organiczne powiązanie w yłożo nych pojęć teoriom nogościowych z zagadnieniam i logicznym i. Teore tycznie biorąc logika jest nauką najbardziej pierwotną. Można niczego nie znać, a uczyć się „poprawnie rozum ować”. To przekonanie jednak jest zapewne m ocno przesadne. Uczyć się „m yśleć”, z praktycznego oraz operatyw nego punktu widzenia, można jedynie w oparciu o posia dany konkretny m ateriał faktyczny. Uczym y się przecież na konkrecie, nie zaś na abstrakcie. Ten ostatni jest stopniowym w ytw orem naszych intelektualnych kontaktów z poszczególnym i konkretami. W książce prof. H. Freudenthala tym konkretem jest pew ien zasób w iedzy z teorii m n ogości2. Jest on zaprezentow any czytelnikow i po m istrzowsku. Jest zw ięzły, a zarazem jasy, przejrzysty i treściowo obfity. Wrócimy do tej sprawy jeszcze za chw ilę. W tym m iejscu w ypada zasygnalizować, że recenzow ana praca jest na w skroś nowoczesna. Czytelnik może się z niej nauczyć elem entów logiki współczesnej, tej jaka teraz jest upra w iana. Nadto żaden w ażniejszy problem nie został pominięty. Podsta w ow e idee logiki w spółczesnej znalazły tu swój wyraz. Toteż książ ka ta może być, bez najm niejszej przesady, nazwana doskonałym stre szczeniem nowoczesnego stanu logiki. Redaktor przekładu rosyjskiego, Ju. A. Gastiew, nazyw a ją logiką dla dociekliwych. W tym można się dopatrywać w ielkiego jej powodzenia wydawniczego.
Zalet dydaktycznych jest bardzo dużo. I to różnego rodzaju. Przy kładowo w ym ieńm y bardzo przejrzysty dowód prawa rozdzielności do dawania zbiorów w zględem mnożenia m nogościowego, ładne przedsta w ien ie 3 praw dopełnienia dla zbiorów, interesujące ilustrow anie przy kładam i z życia pojęcia odwzorowania, poglądow y dowód nieprzeliczal- ności zbioru punktów dowolnego odcinka, bardzo intuicyjne w prow a dzenie pojęcia liczby kardynalnej, ograniczając się tylko do m ateriału zawartego w pierwszym rozdziale. Już te przykłady w ystarczą, aby
2 Podobną drogą idzie także H. Rasiowa w swej sym patycznej książ ce „Wstęp do m atem atyki w spółczesnej”, Warszawa 1968. D ecyzję swoją uzasadnia następująco: „Wykład przedstawiony w tej książce odbiega od tradycyjnego. Przede w szystkim teoria m nogości nie jest poprzedzo na elem entam i logiki. D ośw iadczenie m oje w ykazało, że teoria mnogo ści jest łatw iejsza dla początkującego m atem atyka niż logika m atem a
w yrobić sobie wystarczająco m ocne przekonanie o istotych oraz licz nych zaletach dydaktycznych pracy.
Książka nie goni za m alow niczością, nie chce „czarować” czytelnika sztuczną oryginalnością. Urzeka natom iast każdego swą prostotą i głę bią ujęcia. Połączenie obu tych cech to w yraźny sukces pisarski Autora.
Wspomniane już było, że w ykład logiki oparty został na podsta w ow ych wiadomościach z zakresu teorii mnogości. Toteż po zaprezen tow aniu czytelnikowi w sposób m istrzowski elem entów teorii zbiorów, pojęcia odwzorowania, liczby kardynalnej itp., przechodzi Autor do przedstaw ienia rachunku zdań. Chodzi, oczywiście, o klasyczny rachu nek zdań. A więc bardzo ładnie w yjaśnia sens funktorów zdaniotwór- czych, zwłaszcza funktora im plikacji (z którym początkujący zawsze miają sporo trudności), omawia następnie sposoby otrzym ywania w y rażeń zawsze prawdziwych (wym ienia tu zasadę równoważności, de dukcji, alternatywy, negacji i podstawienia), podaje 31 tautologii logi ki zdań, zaznaczając, że można je udowodnić bądź przez bezpośrednie przeliczenie opierając się na tabliczkach funktorów zdaniotwórczych, bądź przy pomocy podanych zasad. Inform uje czytelnika o związku m iędzy dwójkowym system em liczenia a logiką zdań oraz porusza za gadnienie zastosowania rachunku zdań do sieci elektrycznych. Znaj dujem y tu ładne przykłady posługiwania się notacją logiczną dla uchwycenia pewnych konkretnych sytilacji. Zwraca także uwagę na problem badania mózgu ludzkiego przy pomocy m aszyn cyfrowych.
N astępnie znajdujemy w ykład klasycznego rachunku kw an tyfik ato- rów. Bardzo przęjrzyście wprowadzone zostały duży i m ały kw an tyfi- kator. Liczne przykłady pozw alają „zobaczyć” ich sens i zastosowania w w ielu różnych przypadkach. 5 zespołów zdań um ożliwia czytelniko w i praktyczne zapoznanie się z posługiwaniem się kwantyfikatoram i. W ydaje się, że każdy kto przerobi podane w tym rozdziale zadania, ten będzie doskonale zorientowany w treści wyrażeń: „każdy”, „istnieje”, „zbiór tych x, które spełniają warunek F (x)”, „to jedyne x, które sp eł nia w arunek F(x)” itd. A także potrafi się nim i sprawnie posługiwać. J est zrozumiałe, że w iele przykładów i zastosowań kw antyfikatorów odnosi się do dziedziny m atem atyki. Z tego zakresu podawane są ilu stracje dla pokazania potrzeby i ważności zwrotów: „każdy”, „istnieje”. D latego też rozdział ten w ym aga pewnego przygotowania m atem atycz nego. Pojęcie funkcji zdaniowej zostało bardzo ładnie wprowadzone. W skazano naturalny sposób jej powstania oraz przydatność tego poję cia w bogatszych wyrażeniach językow ych. Autor, rzecz ciekawa, nie zam ieścił w ielu tautologii rachunku kw antyfikatorów . Z tego w zględu, przy podejściu pedantycznym, można uważać jego w ykład za niekom pletny. Brakuje bowiem rzeczy najważniejszej, m ianow icie praw logiki
kw antyfikatorów . W ydaje się jednak, że nie stanow i to żadnej krzyw dy dla czytelnika. W prawdzie, form alnie biorąc, nie będzie on znał pewnej liczby tautologii, lecz w zamian za to (o ile tylko chce) może uzyskać sprawność w posługiwaniu się kw antyfikatoram i i dobrze uchwycić ich zasadniczy sens. Jeśli tę sprawność uzupełni znajomością praw logiki zdań, to w ydaje się, że w ykształcenie logiczne nic na tym nie straci. N atom iast n iew ątpliw ie zyskiem będzie „w gryzienie się” w technikę operow ania kwantyfikatoram i. A to sprawia, z reguły, każ demu początkującem u dość duże trudności. Toteż mimo wspom nianego braku podania taulogii rachunku kwantyfikatorów , w ydaje się, że z ra cji na w spom niane cechy charakterystyczne, rozdział ten m oże być uważany za w ykład logiki kwantyfikatorów . I to w ykład dydaktycznie bez zarzutu. Co w ięcej, w ykład dydaktycznie wzorowy, gdyż trafia w sedno sprawy, w to co jest istotnie ważne i zasadnicze. I czyni to z elegancją oraz pedagogicznym m istrzostwem.
Z zakresu rozważań m etodologicznych przedyskutowana jest n aj pierw sprawa m etody aksjom atycznej. Ilustrow ana jest ona pewnym fragm entem geom etrii. Autor zwraca tu uwagę na to, że przy podej ściu aksjom atycznym zapomina się o zastanym znaczeniu terminów, zaś przyjm uje się dla nich ten sens, który nadaje im rozpatrywana aksjo- m atyka. K. A jdukiewicz zw ie to stadium teorii naukowej etapem aksjo- m atyczno-abstrakcyjnym . N astępnie podana jest aksjom atyka logiki zdań. Przyjęto trzy aksjom aty. Dwa z nich zawierają tylko funktor im plikacji. Trzeci — oprócz im plikacji zawiera jeszcze negację. Po tem Autor umieszcza twierdzenie o dedukcji z pełnym dowodem. O e le gancji dowodu nie trzeba wspom inać. A także o jego przejrzystości. C zytelnik ma tu dobry przykład jasności w ykładu. Porusza następnie zagadnienie języka propozycjonalnego oraz podm iotow o-predykatyw - nego. Omawia pojęcie niesprzeczności, interpretacji, tw ierdzenie o p eł ności w ęższego rachunku funkcyjnego oraz paradoks S kolem a-L oew en- neim a. D yskutuje zagadnienie języka i m etajęzyka. Zwraca uwagę na to, że dla potrzeb m atem atyki nie w ystarczy ograniczyć się do samej teorii mnogości, ale trzeba nadto przyjąć pojęcie liczby naturalnej. W tym m iejscu, oczywiście, można dyskutow ać z poglądem, wyrażonym przez Autora. W ydaje się jednak, że takie postaw ienie sprawy jest w w ielkiej zgodzie ze zw ykłą intuicją m atem atyczną. Zbyt szczupłe ram y książki referowanej nie pozwalają, aby zagadnienie to mogło być dokładniej omawiane. I zupełnie wystarcza dla „zw ykłego” czy telnika. W ym ienione są w ięc aksjom aty Peano liczb naturalnych. Wy punktowano znaczenie aksjom atu indukcji zupełnej. Podkreślono w aż ność odkryć Goedla głoszących, że arytm etyka liczb naturalnych nie może zostać nigdy w pełni zaksjom atyzowana oraz, że nie sposób w y kazać jej niesprzeczności w znaczeniu absolutnym. A zatem można by
powiedzieć, że przekonanie o niesprzeczności m atem atyki płynie z do św iadczenia licznych pokoleń m atem atyków , którzy w sw ej praktyce naukowej nie natknęli się na żadną sprzeczność. I jeszcze jedno, biorąc pod uw agę zbiory nieskończone, Autor uprzytamnia czytelnikow i róż nicę m iędzy powiedzeniem „każdy” a pojęciem dużego kw antyfikato- ra. Jeśli zbiór jest nieskończony, to m aszyna m atem atyczna nie może nigdy dokonać sprawdzenia zachodzenia jakiejś zależności w e w szyst kich przypadkach. Ta trudność powoduje, że usiłow anie sform alizow a nia w yrażenia „każdy” przy pomocy dużego kwantyfikatora stanowi próbę ujęcia nieskończoności w skończone ramy. A to, oczywiście, m o że liczyć jedynie na częściow y tylko sukces.
Książka jest zaopatrzona w odpowiedzi do zadań. W ydaje się, że jest to cenne dla początkującego czytelnika, który m oże sprawdzić popraw ność swego własnego rozwiązania. W prawdzie zadania są „łatw e” ale wym agają pewnej kultury m yślenia abstrakcyjnego. Stąd też dobrze jest m ieć możność dokonania kontroli poprawności rozwiązania.
Referowana pozycja jest, w zasadzie, adresowana do czytelnika in teresującego się naukami form alnym i. Można to w nosić z doboru przy kładów, tematyki w ykładu oraz z zam ieszczonych zadań. Jednakże dziś coraz powszechniej m etoda m atem atyczna wchodzi do najróżniejszych nauk. A z drugiej strony trudno jest d efinityw nie oddzielić metody m atem atyczne od m etod logicznych. Da się naw et bronić pogląd, że w spółczesna logika jest działem m atem atyki. Toteż, z podanych racji, można wnosić, że książkę om awianą należy uważać za podręcznik logiki dla każdego współczesnego uczonego. Kto uprawia jakąkolw iek naukę, ten w inien znać współczesne ujęcie logiki. I w łaśn ie referowana k sią żka czyni to w dydaktycznie m istrzow sk i sposób. N ie zakłada przy tym żadnych wiadomości z logiki. Może w ięc być polecana każdemu. To jest jej wielką zaletą.
Dobrze by było, gdyby ta piękna praca ukazała się w języku polskim. W ydawca zasłużyłby w ów czas na prawdziwą wdzięczność ze strony czy telnika polskiego.
M. Lttbańsici
Malmberg B., Nowe drogi w ję zyk o zn a w s tw ie . Przegląd szkół i metod,
tłum . z jęz. szweckiego A. Szulc, PWN, Warszawa 1969, s. 381 Książka niniejsza stanow i trzecie wydanie, do którego autor w pro w adził szereg uzupełnień i poprawek, m ających na celu uaktualnienie zam ieszczonego materiału. U zupełnienie dotyczy danych o gram atyce Chom sky’ego, o szkole hiszpańskiej, o analizie B loom fielda oraz za mieszczono nowy rozdział —: Językoznaw stw o stosowane: Uzupełnienia
