Minimalizacja strat przez dobór wartości zadanej UAR

(1)

S e r i a : AUTOMATYKA z . 15 Nr k o l . 2 87

KRZYSZTOF GOSIEWSKI K a te d r a A u to m a ty z a c j i P r o c e só w P r z e m y sło w y c h

MINIMALIZACJA STRAT PRZEZ DOBÓR WARTOŚCI ZADANEJ UAR

S t r e s z c z e n i e . A r t y k u ł p o d a je m eto d ę o k r e ś l e n i a w a r t o ś c i z a d a  n e j UAR, p r z y z a ł o ż e n i u , ż e zn a n a J e s t e k s t r e m a ln a c h a r a k t e r y  s t y k a s t r a t w o b i e k c i e w f u n k c j i w i e l k o ś c i r e g u lo w a n e j i ż e J e s t on a w ogólnym p rzyp ad k u n ie s y m e t r y c z n a .

P r z y z a ł o ż e n i u , ż e p r z e b ie g w i e l k o ś o i r e g u lo w a n e j J e s t s y g  n a łe m s t o c h a s t y c z n y m o znanym i s t a ły m r o z k ł a d z i e g ę s t o ś c i p r a w d o p o d o b ie ń stw a , p odano m eto d ę w y z n a c z a n ia w a r t o ś c i z a d a  n e j , z a p e w n ia j ą c e j minimum o c z e k iw a n y c h s t r a t .

C h a r a k t e r y s t y k a s t a t y c z n a s t r a t w y ra żo n y ch Jako w a r t o ś ć s t r a t p rzyp ad a- J ą cy o h n a J e d n o s t k ę c z a s u (n p . z ł / g o d z . ) S* w f u n k c j i w i e l k o ś c i r e g u lo w a  n e j y J e s t z w y k le c h a r a k t e r y s t y k ą p o s i a d a j ą c ą minimum. Minimum t o może b yć n a g r a n i c y o b s z a r u w y zn a czo n eg o p r z e z o g r a n i c z e n i a t e c h n o l o g i c z n e (a )

(n p . m aksym alna m o ż liw a do u z y s k a n i a t e m p e r a t u r a ) , w z g lę d n ie minimum we

w n ą tr z o b s z a r u d o p u s z c z a ln y c h zm ian param etrów (b^t

Z a ł o ż e n i a :

1 ) Zakładam y ż e y ( t ) J e s t f u n k c j ą przypadkow ą s t a c j o n a r n ą c z y l i ż e j e j w a r t o ś ć o c z e k iw a n a ( n a d z ie j a , m a tem a ty czn a ) my J e s t s t a ł a .

2 ) W artość za d a n a UAR rów na J e s t w a r t o ś c i o c z e k iw a n e j f u n k c j i y Vz m Zajmiemy s i ę z a g a d n ie n ie m d ob oru war

t o ś c i z a d a n e j y z pod k ą tem m i n im a l iz a  c j i s t r a t . O czyw istym J e s t , ź e J e ż e l i w i e l  k o ś ć y m ogłab y b yć s t a ł a w c z a s i e wów

c z a s n a l e ż a ł o b y u trzym yw ać w a r t o ś ć z a d a  n ą y z = y m ir|. J e ż e l i Jednak p r z y jm ie m y , ż e w a r t o ś ć y z m ie n ia s i ę w sk u te k d z i a ł a  n i a z a b u r z e ń p rzypadkow ych u k ła d u autom a

t y c z n e j r e g u l a c j i i s t a n o w i r ó w n ie ż p ew - ymin

R y s . 1

~y n ą przypadkow ą f u n k c j ę c z a s u ,w ó w c z a s w y ła  n i a s i ę p ro b lem d ob oru w a r t o ś o i y_ Z t a k

(2)

44 K r z y s z t o f G o s ie w s k i

3 ) Z a k ła d a n y , ż e r o z k ła d g ę s t o ś c i p r a w d o p o d o b ie ń stw a f u n k o j i y J e s t z n a n y , oznaczam y g o p r z e z f ( y ) .

4 ) Z akładam y, ż e zn a n a J e s t f u n k c j a s t r a t S * ( y ) i ż e J e s t o n a s t a ł a . 5 ) Z akładam y, ż e zm ian a w a r t o ś c i z a d a n e j y z n i e p ow od u je zm iany r o z  k ła d u g ę s t o ś c i p r a w d o p o d o b ie ń stw a f ( y ) c o J e s t ró w n o zn a czn e m . i n . z za>~

ło ź e n ie m l i n i o w e g o UAR.

D la u p r o s z c z e n i a , w s z y s t k i e f u n k c j e r o z p a tr y w a ć b ę d z ie m y Jako f u n k c j e p a ra m etru E « y - yw 1n, g d z i e y m:Ln J e s t w a r t o ś c i ą d l a k t ó r e j f u n k c j a S * ( y ) p r z y jm u je w a r t o ś ć m in im a ln ą .

F u n k c ję S (y ) w yrażam y w ię c ja k o (E)

f (y ) Jako f i (E)

s t ą d Jako w a r t o ś ć o c z e k iw a n a

mE - Ez - - y » i n

R y s. 2 O ozyw istym J e s t , ż e J e ż e l i f u n k c j a (E) J e s t f u n k c j ą p a r z y s t ą o r a z r o z k ła d f ( y ) J e s t sym e

t r y c z n y w ów czas aby o trzy m a ć minimum s t r a t w in n o b y ć m 0 t z n . y ^ ^ « * m y m^n . J e ż e l i ra m io n a e k s t r e m a ln e j c h a r a k t e r y s t y k i s t r a t m ają r ó ż n y k s z t a ł t w ów czas m i n i m a l i z a c j ę s t r a t otrzym am y p r z y * 0 t z n . y EOpt ⁹*

y min*

K o r z y s t a j ą c z e z n a n e j z a l e ż n o ś o i d l a f u n k c j i z m ie n n e j p rzy p a d k o w ej ( p a t r z [ 1 ] s t r . 111) o k r e ś l i ć m ożna w a r t o ś ć o c z e k iw a n ą d l a s ’

•ł-OO

mg* » (E ) f 1 (E3 dE (1 )

— o o

I n t e r e s u j e n a s m i n i m a l iz a c j a s t r a t w pewnym o k r e s i e p r a c y UAR c z y l i m in i

m a l i z a c j a w y r a ż e n ia

/

^d S ( t ) d t ■ m in ^% ( 2 )

*1 g d z i e :

S * ( t ) J e s t f u n k c j ą p rzypadkow ą o f u n k o j i g ę s t o ś c i p r a w d o p o d o b ie ń stw a f 2 ( s ’ ) i w a r t o ś o i o c z e k iw a n e j m^ .

Łatwo m ożna w y k a z a ć , ż e ( p a t r z [ 1 ] s t r . 200) •

*S

a B - / ms ."dt (3 )

t 1

(3)

g d z i e j

ms - w a r t o ś ć o o z e k iw a n a ^{B trat}w o k r e s i e ^{t ^}, t g o z y l l s

(4 )

W p rzy p a d k u p r z e b ie g ó w p rzyp ad k ow ych I n t e r e s u j e n a s o o z y w i ś c i e m i n i m a l i z a - o j a w a r t o ś c i o o z e k iw a u a j s t r a t ms . K o r z y s t a j ą c z z a ł o ż e n i a s t a o j o n a m o - ś o l możemy n a p is a ć

P r z y k ła d 1

R e a k to r o h e a io z n y , do k t ó r e g o d o p ły w a ją 2 s u b s t a n c j e A i B w yp ływ a z a ś p ro d u k t C . Zakładam y I d e a l n e m i e s z a n i e w r e a k t o r z e . Z akładam y, t e s t r a t y p o w s t a j ą j e d y n i e w s k u te k n ad m iaru c z y n n ik a A lu b B w r e a k t o r z e ponad i — l o ś ó , k t ó r a d a j e p e ł n e p r z e r e a g o w a n ie .

(5 ) - oO

(9 )

J e ż e l i Ez ■ m^

w ów ozas d o s t a n ie m y

(1 0)

o ż y l i

- 0 (1 1)

anłE

9 “b2

(4)

R y s . 3

g d y y > ya i n

W i e l k o ś c i ą r e g u lo w a n ą J e s t pewna w i e l k o ś ć f i z y k a l  n a y (n p . pH*) z w ią z a n a J e d n o z n a c z n ie z e s t o p  n iem p r z e r e a g o w a n ia .W r e a k t o r z e p r z y jm u je ona w a r t o ś ć y mir| w ów czas g d y p r z e r e g a o w a n ie J e s t zu

p e łn e t z n . gd y w p r o d u k c ie C n i e ma p o z o s t a ł o - ś o i A lu b B g d y j y < ym in w y s t ę p u j ą s t r a t y c z y n  n i k a A w ów czas

dS

a r AV

AVB * CB

(1 2)

(1 3 )

g d z i e ś

AY* - n a d m ia r yrzw p ływ u c z y n n ik a A ponad p r z e p ły w d a j ą c y p e ł n e p r z e - r e a g o w a n ie p r z y danym p r z e p ły w ie Yg* i o k r e ś lo n y c h s t ę ż e n i a c h c z y n n ik a A i B .

AYg - n a d m ia r p r z e p ły w u c z y n n ik a B ponad p r z e p ły w d a j ą c y p e łn e p r z e r e a g o w a n ie p r z y danym p r z e p ły w ie i o k r e ś l o n y c h s t ę ż e  n i a c h c z y n n ik a A i B ,

CA,C g - c e n y cz y n n ik ó w A i B .

J e ż e l i z a ło ż y m y , ż e w i e l k o ś ć r e g u lo w a n a y J e s t l i n i o w ą f u n k o j ą nad m iaru AV* i A V * w ów ozas możemy n a p is a ć s

x 7

B y s . 4

S ( y ) “ "k1 - y + a 1 d l a y < y_rain

’ ( y ) - V y + a 2 d l a y < y m in

(1 4 )

(1 5 )

w p ro w a d za ją c zm ien n ą E = y - y ^ ^ o t r z y  mamy z a l e ż n o ś ć S * (E ) p o k a z a n ą n a r y  sunku 4

d l a m in

S ^ (E ) - - k 1 E d l a E < 0 (1 4 )

S* (E) m k g E d l a S > 0 (15')

Z akładam y, ż e w p o b l i ż u p u n k tu p r a c y J e s t l i n i o w a z a l e ż n o ś ć m ię d z y s t o p  n ie m p r z e r e a g o w a n ia a pH.

(5)

Z akładam y, ź e w i e l k o ś ć r e g u lo w a n a E z m ie n ia s i ę przypadkow o i ż e p o s i a - d a n o rm a ln y r o z k ła d g ę s t o ś c i p r a w d o p o d o b ie ń stw a G a u ssa

f . ( E ) » - p r e- h 2 ( E " mE)2 (1 6 )

1 \jn

P o d s t a w ia j ą c (14') (1 5 1) i (1 6 ) do (1 1 ) otrzym am y r ó w n a n ie m •

a i / - k . E — e - ^2 ^®-11^ ^ 2 dE + / k „ E ~ e-1 *2 ó e ]

L- i 1 { 2 J

Xi

w c e l u r o z w ią z a n i a c a ł e k w l i c z n i k u s t o s u j e m y p o d s t a w i e n ie

% o h (E - mg)

l i c z n i k p r z y b i e r z e p o s t a ć :

(1 7 )

m.

“tlłTln

“ łUŁg

/ %e~ % + (1 8 )

-b m E t - i 2

D o k ła d n e w y l i c z e n i e c a ł k i / e " dA>w g r a n ic a c h in n y c h Jak 0 --- “ J e s t

J —ry?-

n ie m o ż li w e i d l a t e g o u c i e c s i ę musimy do r o z w i n i ę c i a f u n k c j i e w s z e  r e g M a c la u r in a ( i n t e r e s u j e n a s r o z w i n i ę c i e w o k ó ł p k t . E * m^ c z y l i 0 ) i o d r z u c e n ia d a ls z y o h w yrazów s z e r e g u

" ^ 2 2 o 2 " ^ 2

/ e- ^ i e~% d ^ + j e~% -

- OO -OO o

V ' Vjr

c a łk a P o is s o n n e * a « -Vp-

. t T 8 (1 . 0 9 )

/

(6)

podobnie

+ «a

/ e -*2 a « J p +

hm 11»

* v

-hm £

p o d s t a w i a j ą c do (1 8 ) o tr z y m a n y :

hm * (ŁmE) 3 l

s ■ ^{~ w}

V5F

L "^" - ^ + “ 3 J

3

i v o r “^ e

s t ą d

E

c z y l i

Ł - ,

i i ___

- i + 1 k 1 k 2

(20)

(

_{2 1}

)

£ f - 2 ^ ( 1 - ! * 24 - 1 *_ h 2 m E > - - ° <2 2 >

* Ć - Ą .£ ^ ( , - 1 A | - i . - A l , <2 3 )

y> (mg) (

24

)

R o zw ią za n iem r ó w n a n ia (2 3 ) j e s t w a r t o ś ć “ g o p t “ E" o p t* ?ra,T- <iłowe r o z  w ią z a n ie o trzym u jem y j e ż e l i j ^ g o p t j ^ ^

P r z y k ła d 2

Krzywa s t r a t S* (E) d l a r e a k t o r a w p r z y k ł a d z i e I j e s t p r z y j ę t a p r z y d o ś ć n i e r e a l n y c h z a ł o ż e n i a c h i d e a l n e g o m i e s z a n i a w r e a k t o r z e o r a z p r z y z a ł o ż e n i u , ż e i s t n i e j ą j e d y n i e s t r a t y surow ców A i B z p o m in ię c ie m in n y c h s t r « t . w i e l u p r zy p a d k a ch p r a k ty c z n y c h k rzy w a s t r a t n i c p o s i a d a " o s t r e -

(7)

R y s . 5

go" minimum n a p r z e c i ę c i u dwu p r o s t y c h l e c z k s z t a ł t , k t ó r y w p o b l i ż u minimum p r z y b l i ż y ć m ożna o d c in k a m i p a r a b o l . Na r y s . 5 p o k a za n y J e s t t a k i k s z t a ł t k r z y  w ej s t r a t z p o m in ię c ie m s t r a t s t a ł y c h S * , k t ó r e n a m i n i m a l i z a c j ę n i e m ają w p ły-

S * (B )

s! (e)

k 1 E d l a E C O

k 2 E d l a E > 0

P o d o b n ie ja k w p r z y k ła d z i e 1 zak ład am y n orm aln y r o z k ła d g ę s t o ś c i praw dopo

d o b ie ń s t w a G a u s sa , s y g n a łu E.

P o d s t a w ia j ą c do (1 1 )

[ f e E2 - Ł .

- h 2 (E-mE) 2

e h dE - w dE

= 0 (2 5 )

p o d s t a w i a j ą c <= h (E - m^)

-hm^,

v ‘ w h /

-hmE _ lm E

e- *1" d>> + 2 J % e ~ ^ &% + j X 2 e_>2

- ® o -

00 Y

śt

+ oo +°° +oo

U f e - *2 d : w i ^ / / e ^ d J

L —hm_ - W J

(2 6 )

-hmE '" E

- ł l l Ł g o ^ _ h n l E

f X 2 e~ %2 AX m A .2 e~ %2 d X + f X 2 e _% d * , = Ł <L°--- vC--- - i

\lsr 4

—hm . 2 2

o i 4 n 6 v 8 . \fir . -ł -ł .-i h

(8)

p o d o b B ifi^•

+00

/ j * ^ H. h3 Ą (J. - i ^ t ) (2 8 )

-hm E

P o d s t a w ia j ą c ( 1 9 ) , ( 2 0 ) , ( 2 7 ) , ( 2 8 ) , do (2 6 )

s t ą d otrzym u jem y r ó w n a n ie :

ąm g.

amE (k . + k 2>

>,2 2 i 2

w — ii ntp p , nip

+ £ e *■ + mg (4 h - 2h e L) 8 *3

“ T “e h

^{(3 0 )}

s t ą d :

Kj + k .

E e

T T T -h mE

“E \ / F

+ “ i?

r r i ---

(4 h - 2h e E) - | mE

(3 1 )

k 1 ,

£ 1

22___

k 1

^ + 1

(3 2 )

R o z w ią z a n ie r ó w n a n ia (3 1 ) d a j e w a r t o ś ć ®EOpt = E2 o p t P0^ 0131116 3®^ v P r z y  k ł a d z i e 1 , j e ż e l i | j < 1 •

U wagi końcow e

P o c z y n io n e n a w s t ą p i ę z a ł o ż e n i a , w w i e l u p r a k ty c z n y c h p r zy p a d k a ch mogą b y ć z w y s ta r c z a ją c y m p r z y b l i ż e n i e m s p e ł n i o n e . C z ę s t o je d n a k z d a r z a s i ą , ź e z a ł o ż e n i e , i ż r o z k ła d g ę s t o ś c i p r a w d o p o d o b ie ń stw a s y g n a łu r e g u lo w a n e g o n i e z a l e ż y od w a r t o ś c i z a d a n e j , n i e j e s t s p e ł n i o n e . P r z y p a d k i t a k i e mogą m ieć m i e j s o e n p . p r z y o b ie k t a c h s i l n i e n i e l i n i o w y o h . U j ę c i e a n a l i t y c z n e wpływu n i e l i n i o w o ś c i j e s t sp ra w ą t r u d n ą .

(9)

R ów nież c z ę s t o z d a r z y ć s i ę m o ż e , ź e n i e j e s t s p e ł n i o n e z a ł o ż e n i e y b Z

- niy, może t o w y s t ą p i ć n p . w p rzyp ad k u u k ła d u p r a c u j ą c e g o z b łę d e m s t a — ty c z n y m lu b w p rzy p a d k u d z i a ł a n i a z a k łó c e ń p r o c e s u o n ie s y m e tr y c z n y m r o z  k ł a d z i e g ę s t o ś c i p r a w d o p o d o b ie ń stw a .

R o z w i n ię c ie p ro p o n o w a n ej m eto d y o k r e ś l a n i a w a r t o ś c i z a d a n e j pow inno p ó j ś ć w k ie r u n k u r o z w i n i ę c i a m etod y n a p r z y p a d k i, w k t ó r y c h n i e s ą s p e ł  n io n e w spom niane w y ż e j z a ł o ż e n i a .

LITERATURA

£ l j P ugaczew U .S . - T e o r ia f u n k c j i p rzypadkow ych i j e j z a s t o s o w a n i e d o z a  g a d n ie ń s t e r o w a n i a a u to m a ty c z n e g o . V/yd. MON 1 9 6 0 .

R ę k o p is z ło ż o n o w R e d a k c j i d n ia 3 . I I . 1969 r .

MîHKMAJM3ALKH liO T E P b IiyTÉM flHEOPA SARAHHOro 3HAHEHKH CNCTEMbl ABTOMATHhECKOrO P E ryJttiPO B A H lU i (.CAP)

Pe3nue

3 C T a T b e n p H B O ^ H T c a u e T O f l o n p e x e x e m u i 3a £ a H H o r o 3H a ' i e H n a CAP n p M y c j a o - b h b x H S B e c T H o f i B i c c T p e a a a f c H o i i x a p a K T e p H C T H K H n o T e p i . o d i e x T a k s k ( p y H it m i K p e - r y A K p o B a H H o f t B e f l H ' i H H u h n p a y c J i o B / . a x < ir o b o f i m e n H B J i a e T c a o H a H e c z u e T p K - u e c K o k . R p e A n o J i a r a a , v r o x o a p e r y j i n p o B a H H o k B e j i z v z H K a s x a e T c a c r o x a c T n < i e - C K B M C H T H a j I O M ü3B e C T H O T O H D O C T O H H H O r O p a C n p e A e J i e H H B B e p O H T H O i i n X O T H O C T H ,

p a3p a f i o ï a H u e T o a o n p e ^ e x e m i a o a x a H H o r o 3B a v e i m a , o d e c n e i J K B a x i m e r o l i H H H U y u

oxHAaHHHx noTepb.

THE LOSSES MTWTMAT.T7.ATTOTT BY THE GET POINT ESTABLISHMENT HI THE CLOSED CONTROL LOOPS

Summary

The p a p er p r e s e n t s a m ethod o f t h e s e t p o in t e s t a b l is h m e n t i n t h e c l o  se d c o n t r o l l o o p s , w i t h a s s u m p tio n t h a t t h e e x tr e m a l l o s s e s c h a r a c t e r i  s t i c i s known a s a f u n c t i o n o f t h e c o n t r o l l e d v a r i a b l e , and t h a t i t ’ s g e  n e r a l l y a s y m m e t r ic a l. I t ’ s a ssu m e d , t h a t t h e c o n t r o l e d v a r i a b l e ch a n g e a s a s t o c h a s t i c s i g n a l w i t h c o n s t a n t p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n .

P r e s e n t e d m ethod g i v e s t h e minimum o f l o s s e s e x p e c t e d .