Z E S Z Y T Y NAUKOWE P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J 1002
Seria: AUTOMATYKA Z. 109 Nr kol. 1175
Jan Węglarz
P ol it e c h n i k a P oz na ńs k a
O P E W NY CH DY S KR E T N O - C 1 Ą G Ł Y C H P RO BL E M A C H S Z E R E G O W A N I A ON S O M E D I S C R E T E - C O N T I N U O U S S C H E D U L I N G P R O B L E M S
DE C E R T A I N S P R O B L È M E S DIS C R E T S - C O N T I N U S D ’ O R D O N N A N C E M E N T
S t r e s z c z e n i e: W p r a c y ro zp a t r u j e s ię p r o b l e m s z e re go wa n ia zadań niezależnych, niepodzielnych, na identycznych, r ów no l e g ł y c h maszynach, z J e d n o c z e s n y m r o z d z i a ł e m z a so b u ciągłego, w celu minimalizacji długości uszeregowania. Pokazano, że d y s k re t ne sf o rm u ł o w a n i e tego p r o b le mu Jest s z c z e g ó l n y m p r z y p a d k i e m sf o rm u ł o w a n i a d y s k r e t n o- ci ąg ł eg o oraz źe to o s t a t n i e da j e p od st a w ę do p e ł n e g o u w z g lę d ni en ia natury p r o b le mu w konstrukcji a l g o r y t m ó w szeregowania.
Summary: This paper deals with the p r o b l e m of sc he du l in g independent, n o n p r e e m p t a b l e tasks on identical, parallel machines to m i n i m i z e s c h e d u l e length. It is pr oved that the d i s c r e t e f o rm ul a t i o n of this p r o b l e m is a special cas e of t he di s cr et e- c o n t i n u o u s formulation, and that th e last f o r mu la ti o n a llows for a dee p analysis of t h e prob le m s p e c i f i c i t y and its u ti l iz a t i o n in the de sign of sc he d u l i n g algorithms.
Résumé: C et a r t i c l e t r ai te le prob lè me d ’o r d o n na n ce me nt des tâches indépendantes, i n d i v i s i b l e s sur les m achines id e nt iq ue s parallè le s pour m in imaliser la longueur de 1 * o r d o n n a n c e m e n t . On a p r ou vé q ue la f or mu l a t i o n d i s c r è t e de ce p r o b l è m e était l e cas spécial de la f o r m u l a t i o n discrète-continue. Alors, cela p ermet d e pre nd re en c o n s i d é r a t i o n la n a t u r e s p é c i f i q u e de c e p r o b l è m e et l ’utiliser en c on st r u c t i o n des a lg o ri t h m s d ’ordonnancement.
1 . Wstęp
O d y s k r e t n o - c i ą g ł y c h p r o b l e m a c h s z e r e g o w a n i a m ó w i m y wówczas, gdy j ed no c z e s n e m u rozdziałowi p o d l e g a j ą z a s o b y d y s k r e t n e Cczyii p o d z i el n e w s p o s ó b dyskretny} oraz ciągłe, czyli podziel ne w s p o s ó b ciągły. P r o b l em y te s t a n o w i ą w a ż n ą k l as ę tzw. m i e s z a n y c h p r o b l e m ó w s z e r eg ow an i a Club r o z d zi a łu zasobów} C63. N a j c z ę s t s z e . w p r a k t yc e s ą tu problemy, w których zasobami dyskretnymi są, o g ó l n i e rozumiane, maszyny. Jeśli s ą to masz yn y r ów no l e g ł e C w szczegó ln o śc i J edna maszyna}, to m a m y do c z y n i en ia z J e d ny m z a s o be m dyskretnym, z ł o ż o n y m z ustalonej l u b dowolnej l i c z b y Jednostek Cmaszyn}. O p rócz t e g o z a s o b u m a m y na ogół d o cz yn i en ia z J e d n y m zaso be m ciągłym, np. pieniędzmi, mocą. P r o b l e m y t e g o typ u b y ł y b adane w licznych pracach i p r z y r ó ż n yc h m o d el ac h w yk on y w a n i a z a da ń - pr ze g lą d głównych wyni kó w znal e źć m oż na w [23 i £33.
O g ó l ni e m o ż n a stwierdzić, ż e d og łę b n a i d e n t y f i k a c j a specyfiki p r o b l em ów d y s k r e t n o - c i ą g ł y c h w y m ag a u wz gl ę d n i e n i a obu ko ns ty t u t y w n y c h e l e m e n t ó w ich natury. T y m c z a s e m w l i t e r a t u r z e p o j a w i a j ą s i ę prace, k t ór y ch a u t o r z y zdają si ę ni e d os tr z e g a ć dyskretnej bądź ciągłej n a t u r y pr ob le mu dyskretno-ciągłego. Prowadzi t o n i e k i e d y d o wy k az y w a n i a w y n i k ó w d awno znanych, a t ak że do r o zp a t r y w a n i a modeli, k t ór e w k o n k r e t n y m ko nt e k ś c i e p r a k t y c z n y m nie m a j ą sensu.
W tej p r a c y p r z e d s t a w i m y p r z y k ł a d powyższej sytuacji, w k t ó r y m p r o bl e m d y s k r e t n o —c i ą g ł y został s f o r m u ł o w a n y jako dyskretny. S f o r m u ł o w a n i e to p r z y t o c z y m y w r o z d z i a l e 2, a w roz dz i al e 3 pokażemy, że Jest o no
312 J a n W ę g l a r z
s z cz eg ól n ym p r z y p a d k i e m s f o r m uł o wa ni a dyskretnc-ciągłeęo. Rozdział 4 zawiera p ro p oz yc je a l g o r y t m ó w szeregowania, w y k o r z y s t u j ą c e s f o r m u ł o w a n i e dyskretnc-ciągłe. a rozdział 5 - uwagi końcowe.
2. S fo r mu ło wa n ie d y s k re tn e
V [43 ro zp at r u j e się p r o b l e m praktyczny. p o l e g a j ą c y na tym. ż e m iden ty c zn yc h d y s t r y b u t o r ó w pa liwa z a s i l a n y c h z e w s p ó l n e g o ź r ó dł a m o c y ma napełnić zbiorniki n statków. M a m y z a t e m m i d e n t y c z n y c h m aszyn M , M M i n niepodzielnych, n i e z a l e ż n y c h zadań Z , Z Z o s t a na c h
1 2 rr, 1 2 n
p o c z ąt ko w yc h x C0J=0, i = l , 2 , . . . , n oraz k o ń c o w y c h x ^ C C ^ J = x >0, 1 = 1 . 2 n, g dz ie C jest n ie z n a n y m a priori m o m e n t e m z a k o ń c z e n i a w y k o n y w a n i a zada ni a Z. * a x jest Jeg o z n a n y m s t a n e m k o ń c o w y m Ctu: p o j e m n o ś c i ą z b i o r n i k ó w paliwa i - te go statkuj. Model w y ko ny w a n i a z a da ni a C czyi i n ap eł n ia ni a z b i o r n i k ó w i - t e go statkuj, 1 = 1 . 2 n. ma postać:
x CtJ = tpi YC t J 3 C1J
i
gdzie jest f u n k c j ą dodatnią. nierosnącą, a YCtJ Jest l i c z b ą zadań wyko ny w an yc h w chwili t; YC t )e]l , 2, . . . .mj-. P rędkość w y ko n y w a n i a zadan ia C n a pe ł ni an ia z b i o r n i k ó w statkuj m a l e j e z a t e m wraz ze w z r o s t e m l i c z b y z ad a ń r ó w no c ze śn ie wykonywanych.
Z r ó żn yc h k r y t e r i ó w optymalności s ze re g o w a n i a n a j w i ę k s z e z n a c z e n i e prakty cz ne ma w t ym w y p ad k u dłu go ść u sz e re g o w a n i a T = max-(C
A u t o r z y C43 u d o w a d n i a j ą m.in. n a s t ę p u j ą c e wyniki.
T w i e r d z e n i e 1
Jeśli w C U <p ~ c/YCTJ. to war to ś ć T jest stała, n ie za l e ż n a od p r z y d z i a ł u zadań do maszyn, i w yr aż a s i ę w z o r e m
V = 1
T wi er d ze ni e 2
Jeśli w C U <p < c/YCtJ, c = ó C U , t o w y k o n y w a n i e za da ń na jednej m a s z y n i e m i n i ma li zu j e T.
Twierd ze ni e 3
Jeśli w C1J <p - c/YCtJ dla YCtJ > n* oraz ~ k dla Y C O i n , g az ie r. < n < m, c > k c/ C n ■+ U , to r ów no l e g ł e w y k o n y w a n i e za d ań z a w s z e prowadzi do mniejszej wartości T niż s z e r e g o w e Cczyii na jednej maszynieJ.
Powy ż sz e wyniki p o s ł u ż y ł y dc podan ia w [43 raczej en ig ma t yc zn ej i nie popartej wynikami obli czeni owymi p ropozycji a l g o r y t m u he ur ys tycznego, r o z w i ą z u j ą c e g o pe wien o g ó l n i e j s z y przypadek r o z w a ż a n e g o problemu.
- Sfor muł o w & ni e d y s k r e t n o - c i a.gł e
Zauważmy, że w s f o r m u ł o w a n i u d y s k r e t n y m nie r o z p a t r u j e s i ę &xpl. tet £e rozdziału z a so b u ciągłego, k t ó r y m jest wyd aj no ś ć w s p ó l n e g o ż r o d ł a m o c y
O p t y n y c h d y » k r » t n o - c i g g ^ y c h p r o b l e m a c h . 313
C p o m p y } . Z a s ó b tan w ys t ęp uj e J e dy n ie implicite: w z w i ą zk u z u ru ch omieniem k o l e j n e g o d y s tr yb ut o ra Cr ó wn o l e g ł e wy ko n y w a n i e k o l e jn eg o zadania) z m n i ej s za s i ę część wydajności p o m p y p r z yp ad aj ą ca na jeden dystrybutor, co w yr aż a model Cl). Poniżej pokażemy, ż e t ak ie p od ej ś ci e nie pozwa la na p e ł n ą a n a l i z ę problemu, a t a kż e prowadzi do wyw aż a ni a d aw no otwartych drzwi. P r z e d t e m Jednak p r z e d s t a w m y s fo rm u ł o w a n i e dyskr et n o- ci ąg ł e r o z p a t r y w a n e g o problemu, uk azując J e d n o c z e ś n i e związek te g o sfor m uł ow an i a ze s f o r m u ł o w a n i e m dyskretnym.
W tym cel u o z n a c z m y przez u C O e l O . l ł ilość z a so b u c iągłego p r z y d z i e l o n ą do z a da n ia Z . to z n a c z y część wydajności p o m p y przy pa d aj ąc ą na dyst ry b ut or n a p e ł n i a j ą c y zbiorniki paliw a l - te go statku.
R o z w a ż m y model
x Ct) = f iu Ct)J. 1 = 1 . 2 n C3)
l l
g d z i © f Jest f u n k c j ą ciągłą, ni emal ejącą, fCOJ^O. Zauważmy, ż©
p o d s ta wi a ją c
u C O = l / Y C O d la Y C t 5 e j l , 2 m}- C O
m a m y f Cl / u CtJ = tf»[YCO] oraz dl a k a żd e go YCtj
Y< t >
£ u Ct) = 1 CS)
1=1
W i d z i m y zatem, ż e p r o b l e m s f o r m u ł o w a n y w r o z d z i a l e 2 Jest s z cz eg ól n ym p r z y p a d k i e m problemu, w k t ó r y m n a l e ż y u sz eregować n z ad a ń niepodzielnych, n i e z a l e ż n y c h na m identycznych, ró w no l e g ł y c h maszynach, p r z y c z y m każde z a d a n i e w ym a ga d o s w e g o wy k on y w a n i a w każdej chwili t Jednej CdowolneJJ m a s z y n y i z a s o b u c i ą g ł e g o w C n i e znanej a p r i o r i 2> ilości O < u^CtD < 1, a model wy ko ny w a n i a z a d an ia ma posta ć C3J. Jest oczywiste, ż e w sz y stkie wyniki d o t y c z ą c e własności o p t y m a l n y c h r o z d z i a ł ó w zaso b u o łącznej ilości równej 1, u z y s k a n e dla c i ą g ły ch u ^ C O , z g o d n i e z m o d e l e m C3J, s ą w s zc ze gólności p r a w d z i w e t ak ż e dla wartości d y s k r e t n y c h w y n ik aj ą cy ch z C4J i C5J. Zauważmy, ż e s f o r m u ł o w a n y p r ob l em w s w y m a s p e k ci e c i ą g ł y m Ctzn.
d o t y c z ą c y m r o z d zi ał u z a s o b u c i ą g ł e g o p o m i ę d z y zadania, k tó r e m a j ą w danej chwili p r z y z n a n e maszyny!) jest k l a s y c z n y m p ro b l e m e m c z a so -o pt y ma ln eg o r o z d z i a ł u z a s o b u o d n a w i a l n e g o m i ę d z y zad a ni a CoperacJeJ niezależne. Jego jedyna s p e c y f i k a p olega na tym, ż e funk cj a f w C3J nie Jest zwi ąz a na z zadaniem, k t ó r e Jest c h a r a k t e r y z o w a n e w y ł ą c z n i e przez st an k o ń c o w y , a z maszyną. Jest t o o ko li c zn oś ć u p r a s z c z a j ą c a C w ogólności w C3J mie li śm y r ó ż n e f u n k c j e f równi eż dla m a s z y n i d en t yc zn yc h - por.C8]J, która Jednak n ie ma w p ły wu na j a k o ś c i o w e własności ro z wi ąz ań optymalnych. Własności te z n a n e są o d po na d d wu d z i e s t u lat i b y ł y p o dane wraz z dowodami w c z a s o p i s m a c h o z a s i ę g u m i ę d z y n a r o d o w y m Cnp. [6]}, w t y m również Cdi a o g ó l n i e j s z e g o p r z y p a d k u z a s o b ó w p o d w ó j n i e o gr a niczonych} w Management S c i e n c e [93, a więc w czasopiśmie. w k t ó r y m ukaz ał a s i ę praca [43.
P o w y ż s z e s t w i e r d z e n i e a b s o l u t n i e n i e s u g e ru j e plagiatu, i lu s t r u j e tylko z j a w i s k o c oraz węższej specjalizacji naukowców.
314 Jan Węglarz
O s o b y z a j m u j ą c © s i ę o p t y m a l i z a c j ą kombinatoryczną, nawet te z e l i t y światowej* nie d o s t r z e g a j ą n i e k i e d y w y n i k ó w "zza miedzy", t a k ż e wtedy, g d y tę miedz ę przekraczają. W s z czególności wyniki c y t o w a n e w Tw. 1 - 3 w r oz dziale 2 s ą od dawna znane. W k a te g o r i a c h m o d e l u C3} d o t y c z ą one odpowiednio: funkcji l i n i o w y c h CTw. 1}, funkcji s p e ł n i a j ą c y c h warunek f < cu, C O , a ogólnie: f . < ^ u ^ C t } , i = 1 , 2 ...n CTw. 2} oraz CdowolnychJ funkcji wkl ęs ły c h CTw. 3}. W d r u g i m p r z y pa d ku c z a s o - o p t y m a l n e Jest sz e re go we w y k o n y w a n i e z a d a ń Ca więc, Jeśli uwzględnić ta kż e maszyny, w yk on y wa ni e za da ń na jednej maszynie}, w t r z e c i m - m a k s y m a l n i e ró wn ol e g ł e w yk on y w a n i e z a da ń Ca więc na w s z y s t k i c h d o s t ę p n y c h maszynach}. Przypadek p i e r ws z y J es t g r a n i c z n y - wartość T Jest stała, n i e z a l e ż n a od r o z d z ia ł u z a s o bu Ca więc ta kż e od p r z y d z i a ł u za da ń d o maszyn} i w y r aż a s i ę wzore m C 2}.
4. A l g o r yt my szer eg ow a ni a
W £43 wykazano, źe r o z p a t r y w a n y problem, s f o r m u ł o w a n y J a k o d y s k r e t n y Cpor. rozdział 2}, Jest N P - t r u d n y Już dla m=2 oraz dla do w ol ny ch ni © r os ną c yc h funkcji <p takich, ż e #C1} = c. tpCZ^ > c/2. Jest to o c z y wi st e u o g ó ln ie ni e k la sy c z n e g o w y ni ku dla p ro bl e m u sz er e g o w a n i a zadań n i e p od z ie ln yc h o s t a ł y c h C a l e n ie i d e nt yc z ny ch } c z a s a c h w yk o ny wa ni a C c z y l i , w t y m modelu, dla ^Cl} = ^C2} =c}. U z a s a d n i o n e Jest z a t e m p os zu k i w a n i e e f e k t y w n y c h i s k u t e c z n y c h a l g o r y t m ó w przybliżonych. Poniżej pokażemy, że s f o r m u ł o w a n i e d y s k r e t n o - c i ą g ł e daj e r a c j o n a l n e p o d s t a w y do konstrukcji i b a d a n i a t ak ic h algorytmów, a p o n a d t o pozw al a na o k r e ś l e n i e sytuacji, w k t ór y ch i s t n i e j ą r o z w i ą z a n i a analityczne.
R oz pa t r z m y p r o b l e m ogólniejszy, g d y w C3} m a m y r ó ż n e f u n k c j e f^ , i =1.2, . . . ,n, p r z y c z y m załóżmy, że s ą o n e wklęsłe, c o o d p o w i a d a s y t u a c j o m praktycznym.
Z a c z n i j m y od przypadku, g d y n = m, t o z n a c z y l i c z b a z a d a ń Jest równa licz bi e maszyn. Wówczas p r o b l e m p r z y d z i a ł u z a d a ń d o m as zy n Jest trywialny, gdyż, Jak w s p o m n i a n o w r o z d z i a l e 3, dla funkcji w k l ę s ł yc h o p t y m a l n e Jest r ów no l e g ł e w y ko ny w a n i e zadań. P o z o s t a j e z a t e m t y l k o p r o b l e m ro z dz ia łu z asobu c i ą g ł e g o p o m i ę d z y m r ó wn ol e g l e w y k o n y w a n y c h zadań. k t ó r ym p rz yd z i e l o n o po jednej maszynie. Jak w i a d o m o Cpor.np. £63}, dla f^
wklęsłych, 1=1,2, ...,m, m i n i m a l n y czas T* w y k o n a n i a z a da ń o stanach k oń cowych , i =1,2,... ,m, jest j e d y n y m d o d a t n i m p i e r w i a s t k i e m r ó w n a ni a
m
£ f"1 C x /Ti = 1 C6D
i * 1
g dz ie f “1 Jest f u n k c j ą o d w r o t n ą do f^ , a o p t y m a l n y rozdział z a s o b u jest s t a ł y dla k a ż d e g o z a d a ni a i ma postać:
u* * i * C x /T*i, i = 1 . 2 ... m C7i
v v v
O p«vnych dy »k r» t n o- c iq g ł yc h problemach. 315
Ró w na ni e C65 m ożna n i e k i e d y roz w ią za ć analitycznie. w szczególności dla t. = c u *''°i , c t> O, a, e ^1,2,3,4}-, k i e d y C63 jes t r ó w n a ni em a lg eb r a i c z n y m rzędu < 4.
P o w y żs ze r o z u m o w a n i e s u g e r u j e d w a p o d e jś ci a d o konstrukcji a l go ry t m ó w p rz yb l i ż o n y c h dla n > m.
P i e r w s z e p o d e j ś c i e Jest co do I s t o t y i d e n t y c z n e z p r z e d s t a w i o n y m w [83 dla a n a l o g i c z n e g o p r o b l e m u z zadaniami podzlelnymi i s k ła da s ię z n as tę p u j ą c y c h punktów:
1° Przydziel zadaniom. w s p o s ó b heurystyczny, ilości z a so b u u , 1=1 ,2,. . . , n.
2° Dla c z a s ó w wy ko ny w a n i a z a d a ń wyn ik a ją cy ch z p o w y ż s z e g o rozdziału zasobu, czyli dla
t. = x. /f. Cu. ), i =1 , 2 n C8J
v i i i __________________________________________________________ _____ - —
rozwiąż k l a s y c z n y p r o b l e m s z e r e g o w a n i a n za da ń na m maszynach.
3° Rozdziel z a s ó b c i ą g ł y p o m i ę d z y części z a d a ń w y k o n y w a n e r ó w n o l e g l e w u s z e re go w an iu o t r z y m a n y m w p. 2°. Jeśli dług oś ć usze r eg ow an i a uległa p r z y tym zmniejszeniu, to przyjmij ten rozdział zasobu, w p r ze ci w ny m ra z ie przyjmij rozdział z p. 1°.
S k o m e n t u j m y k r ó t k o p o s z c z e g ó l n e punkty.
W p. 1° należy, o g ó l n i e biorąc, wziąć pod u w a g ę m od el e i s t a n y końcowe zadań w ten sposób, b y p u n k t y 2° i 3° d o p r o w a d z i ł y d o u s z er e go wa ni a o Jak najmniejszej długości. Można w t y m cel u s k or zy s t a ć z e wskazówek, które d a ł y d o b r e wyniki d la za da ń p o d z i e l n y c h C83, nie ma Jednak gwarancji, że również o b e c n i e b ę d z i e to p o s t ę p o w a n i e właściwe.
P r o b l e m s z e r e g o w a n i a r o z w i ą z y w a n y w p. 2° jest. Jak wspomnieliśmy.
N P - t r u d n y już dla m=2. Do j e g o p r z y b l i ż o n e g o ro z wi ą z a n i a m oż na zastosować a l g o r y t m l u b jeden z a l g o r y t m ó w m a j ą c yc h l e p s z e o s z a c o w a n i e najgo rs z eg o przypadku, np. t yp u M U L T I F I T 133. W w i el u s y t u a c j a c h p ra kt y c z n y c h realne jest nawet z a s t o s o w a n i e a l g o r y t m u dokładnego, o p a r t e g o na p r og ra mowaniu dynamicznym, o złożoności OCn 2 klognO, gd z ie k Jest l i c z b ą klas zadań o J ed na k ow yc h C23.
W p. 3° 'wykorzystujemy wyniki u z y sk an e d la r o z d z ia ł u z as ob u ciągłego, gdyż l i c z b a z ad ań w y k o n y w a n y c h r ó w n o c z e ś n i e jest <m. Najlepiej, rzecz jasna, wy z na cz yć d la k a ż d e g o z b i o r u części z a d a ń op ty m a l n y rozdział zasobu, co w większości w y p a d k ó w p ra kt y c z n y c h jest w pełni realne obi i czeni owo.
P r z e j d ź m y teraz d o p o d e j ś c i a drugiego, które jest c ie k awsze t e o r et yc zn i e i p o z w a l a na z i d e n t y f i k o w a n i e sytuacji, w k t ó r yc h można e fe kt yw n ie w yz naczyć u s z e r e g o w a n i e o p t y m a l n e Cl03. Główn a id e a tego po d ej śc ia p ol eg a na b a d a ni u tzw. po t en c j a l n i e op ty m a l n y c h przyd zi ał ó w zadań d o maszyn, to z n a c z y p r z y d z i a ł ó w ma ją c y c h tę własność, że każde us z er e g o w a n i e o p t y m a l n e Cczyli p r z y p o r z ą d k o w a n i e z a d a n i o m o d c i n k ó w czasu p r a c y m a sz yn i ilości z a s o b u c i ą g ł e g o m i n i m a l i z u j ą c e TO od po w ia da Jakiemuś
316 Jan Węglarz
przydziałowi p o t en cj a ln ie optymalnemu. Łatwo wykazać n as tę p u j ą c e t wi er dz e ni e Cdla p r o s t o t y u t o ż s a m i a m y z a d a n i e z J e g o indeksenO.
T wierd z en ie 4
Dla m maszyn i n z adań niezależnych, n iepodzielnych, o f u n k c j a c h f ^ wklęsłych, 1 = 1 , 2 , p o t e n c j a l n i e o p t y m a l n y przydział z a d a ń d o maszyn jest cią gi e m m - e l e me n to wy ch kombinacji z bi o ru -jl,2,. . . ,n J-, z a p e w n i a j ą c y m niepodzielność k a ż d e g o z a d a ni a i m a j ą c y m m a k s y m a l n ą długość. Dłu go ść ta wynosi n - m + 1 .
Dla ilustracji r o z p a t r z m y - n a s t ę p u j ą c y przykład.
Przykład -
Niech n=5, m=3. Wówczas p r z y k ł a d o w e p o t e n c j a l n i e o p t y m a l n e p r z y d z i a ł y zadań do masz yn m a j ą postać:
Ca} {1 ,2,3}-, {2, 3, 4 {3,4,5}^
Cb} {1 ,2,3}-, -{1.2,4}-, {1,2.5}-
Z b a d a j m y s t r u k t u r ę tych pr z yd ziałów, w y ró żn i aj ąc z a da ni a J e d n o c z ę ś c i o w e C w ys t ęp u j ą c e w d o k ł a d n i e jednej kombinacji!) oraz z a d a n i a wi el oczęści owe, wy s tę p u j ą c e w większej l i c z b i e kombinacji. S t r u k t u r a ta Je s t następująca:
C a > z a da n ia Jednoczęściowe: 1, 5 z a d a ni a wiel oczęści owe: 2 .3,^
l iczba części : 2 3 2 Cb} z a d a n i a Jednoczęściowe: 3 , 4 , 5
z a d an i a wieloczęściowe: 1
licz ba części : 3
Podkreślmy, że podział z a da n ia C t o z n a c z y wartości x O na części r e a li z ow an e w r ó ż ny ch k o m b i n a c j a c h nie oznacza, w w y p a d k u p o t e n c j a l n i e o pt ym a l n e g o przydziału, p r z e r y w a n i a w yk on y w a n i a t e g o zadania, a więc nie narusza zał oż e ni a niepodzielności.
M o ż e m y teraz p r ze ds t a w i ć p o d e j ś c i e do konstr uk cj i a l g o r y t m ó w szeregowania, k t ór e s k ł ad a s i ę z dw óc h punktów:
1° Wybierz p o te n c j a l n i e o p t y m a l n y przydział za d ań d o maszyn.
2° Dla w y b r a n e g o pr zy d z i a ł u rozdziel z a s ó b ciągły.
Wykonując p unkt 1° u w z g l ę d n i a m y s t r u k t u r ę p r z y d z i a ł u Cpor. Przykład}, starając się uzyskać Jej Jak n a j l e p s z ą z g o d no ść z e s t r u k t u r ą z b i or u zadań.
Dla ilustracji tej idei załóżmy, że f * f, i = 1 . 2 n, czyli s t r u k tu ra zbioru z ad a ń Jest o k r e ś l o n a w y ł ą c z n i e przez i c h s t a n y k o ń c o w e , i = 1 , 2 .... n. Niech w r o z p a t r y w a n y m wyżej przykładzie w y n o s z ą one:
x = x = 10, x = x = 20, x = 30. Wówczas ł a t w o zauważyć, ż e Jeśl'i dla
l S 2 4 3
przydziału Ca} r o z d z i e l i m y z a s ó b c i ą g ł y w ten sposób, że k a ż d e z a d a n i e w każdej kombinacji otrzy m a u ^ = l/m, to u z y s k a m y u s z e r e g o w a n i e optymalne.
Od p owiada to b o w i e m pełnej zgodności s t r u k t u r y p r z y d z i a ł u C potencjał n ie optymalnego} z e s t r u k t u r ą z b i o r u z a d a ń Cpodział Z 2 i Z^ na 2 r ó w n e części i Z # na 3 r ó w n e części z a p e w n i a r ó wn om i e r n o ś ć “o b c i ą ż e n i a " każdej
O p e w n y c h g y t k r c l n o - c t g g t y c h p r o b l e m a c h . 317
kombi n a c j i }. Ten s a m wynik o t r z y m a m y dla x^ = x^ = 30, x ^= x = x - 10, Jeśli
z a s t o s u j e m y przydział CbJ. *
W yk or zy s tu ją c p o w y ż s z ą ide ę można wykazać s ze r eg w y n i k ó w szczegółowych, p r z y k ł a d o w o następujący.
T w i e r d z e n i e 5
Jeśli: CiD i\ = f, i=l,2,...,n, f Jest wklę s ła oraz C i O zbiór zadań Z - Z u Z , gd z ie Z n Z = 0,
i 2 1 2
x = x <1> dla Z € X , x = x(2> dla Z € 2; , x ( 1 > > x ( 2 > ,
1 1 1 V 1 2
to u s z e r e g o w a n i e optymalne, w k t ó r y m w każdej chwili k a żd e z a d a n i e Jest
«wykonywane s t a ł ą i l o ś ci ą z a so b u = i / m ^ i s t n i e j e wt e dy i t y l k o wtedy, gdy
|Z ^ | = m - 1 . O d p o w ia da o n o p ot en c j a l n i e o pt ym al n em u przydziałowi u tw or z o n e m u wedł ug s c h e ma tu CbJ.
Zauważmy, że w r o z p a t r y w a n y m pr z yk ł a d z i e m i e l i ś m y Już tę s ytuację C x = x = x J> = 30. x = x = x = x 1 2 3 4 O 2 > ~ ICO.
Oczywiście, w ogólności p o t e n c j a l n i e o p t y m a l n y przydział zadań do m aszyn u z y s k a n y w p. 1° prowadzi ty lk o d o us z er e g o w a n i a przybliżonego, nawet jeśli p. 2° w y k o n a m y w s p o s ó b optymalny. Jednak znają c sch em at y t wo rz en i a p o t e n c j a l n i e o pt y ma l n y c h p r z y d z i a ł ó w i w y n i k a j ą c ą s t ą d ich s t r u k t u r ę , mo ż na wy g enerować przydział, k t ó r y z d u ż y m pr aw do p o d o b i e ń s t w e m prowadzi d o usze re go w an ia optymalnego. P r a w d o p o d o b i e ń s t w o to można zw i ęk sz yć r o zp a tr uj ąc w p. 2° więcej po t en c j a l n i e o pt ym a l n y c h przydziałów, w s k r a j n y m p r z y p a d k u wszystkie, co dla r o zs ą dn yc h r o z m i a r ó w pozwala r oz wi ą za ć p r o b l e m w s p o s ó b dokładny.
C hcąc z n al eź ć o p t y m a l n y rozdział z as o bu d la d a n e g o przydziału, w ogólności m us im y r oz wi ąz a ć p r o b l e m pr og ra m o w a n i a ni e li n i o w e g o z liniowymi o graniczeniami. V p r o b l e mi e t y m ' s z u k a m y op ty m a l n e g o p o d z ia łu x^ , i = 1 , 2 n, na części r e a l i z o w a n e w po s zc z e g ó l n y c h kombinacjach. Jeśli części te dla kombinacji K o z n a c z y m y przez x^ ^ , to m i n i m a l n y czas trwania t,ej kombinacji, T. , w funkcji x w y z n a c z a m y rozwi ąz u ją c r ó w n a n i e C6}
n a p i s a n e dla i e K , x oraz T . St os uj ą c t w ie rd z en ie Lagran ge 'a łatwo
J v j j
pokazać, że dla f = c u 1 c > O , a > 1, i=l,2,...,n, w o p ty m al ny m
Ł l V L
u s z e r e g o w a n i u k a ż d e z a d a n i e w y k o n y w a n e Jest przez c a ł y czas s t a ł ą ilo śc ią zasobu. P o z w al a t o z re du ko w ać l i c z b ę z mi en n yc h w o d po w i e d n i m problemie p r o g r a m o w a n i a nieliniowego.
Rozdział z a s o b ó w w p. 2° można także, rzecz jasna, wyznaczyć h eu rystycznie, d z ie lą c x. , 1 = 1 , 2 n, p o m i ę d z y k om bi n a c j e we dług pewnej r e g u ł y uwzglę d ni aj ąc e j st ru k t u r ę r o zp at r y w a n e g o pr z yd z i a ł u zadań do maszyn. Jak wspomnieliśmy, można wykazać, ż e w niektó ry ch s yt ua c ja ch r eguły t a k i e p r o w a d z ą d o us ze re g o w a ń optymalnych.
J a n W ę g l a r z
5. Uwagi koń co we
Pr zedstawione w p r a c y dyskretno-ci ągł e p r o b l e m y sz er e g o w a n i a maj ą i s t ot n e z n a c z e n i e praktyczne, m. in. w sytuacjach, g d y m a s z y n y C w rozumi en i u ur zą dz eń w y ko nu j ą c y c h p e w n e zadania} s ą z a s i l a n e z e ws pólnego źródła m o c y C e l e k t r y c z n e j , hydraulicznej, pneumatycznej}. S ą one. Jak się okazuje, c i e ka w e t ak ż e z p u nk tu widz e ni a teorii szeregowania. D o t y c z y to z a r ów n o identyfi ka c ji przypadków, w k t ór y ch m o ż n a w s p o s ó b e f e k t y w n y o b l i c z e n i o w o uz ys ki wa ć u s z e r e g o w a n i a optymalne, jak i b a d an i a a l g o r y t m ó w przybliżonych. C i e k a w a jest np. anal iz a n a j g o r s z e g o p r z y p ad k u dla a l g o r y t m ó w r e p r e z e n t u j ą c y c h p o d e jś c ia p r z e d s t a w i o n e w r o z d z i a l e 4. Ważne s ą t ak ż e l i c z n e m o ż l i w e u o g ó l n i e n i a p rz ed s ta wi on e j metodyki. Mogą one do tyczyć np. r ó ż n y c h m o m e n t ó w gotowości zadań, i nn yc h k r yt e r i ó w sz e re g o w a n i a c z y p o d e jś ci a wi elokryteri alnego.
L IT ER A T U R A
[i] Bła że wi c z J. , C e l l a r y W. , Słowiński R. , Węglarz J. : S c h e d u l i n g Under R es ou r c e C o n s t r a i n t s - D e t e r m i n i s t i c Models. J. C. Baltzer, Basel, 1986.
[23 Bł ażewicz J. , Kubiak W. , Sz w ar c f i t e r J. : S c h e d u l i n g independent, fi x ed - t y p e tasks. W: Słowiński R. , W ę g l ar z J. CEds.}: A dvances in Project Scheduling. Elsevier, Amsterdam, 1989, 225-237.
C33 C o ff ma n E.G. CJr.}, G a r e y M. R. , J o h n so n D. S. : A p p ro xi m at io n al g or i t h m s for b i n- pa c k i n g - an u p d a t e d survey. W: A u s i e l l o G. , Lucertini M. , Serafini P. CEds.}: A l g o r i t h m s D e s i g n for Computer S y s t e m Design. S pringer Verlag, Wien, 1984, 49-106.
C43 Dror M. , S t e r n H. J. , L e n s t r a J.K. : Parallel m a c h i n e scheduling:
p r o c e s s i n g rates d e p e n d e n t on number of jobs in operation.
Management Sci. 33, No. 8, 1987, 1001-1009.
153 Janiak A.: D o k ł a d n e i p r z y b l i ż o n e a l g o r y t m y s z e r e g o w a n i a z ad ań i r oz dz i a ł u z a s o b ó w w d y s k r e t n y c h p r o c e s a c h przemysł owych. Pr ac e N a u k ow e I n s t y tu t u Cyber ne ty k i Techn i cz ne j Politechniki Wrocławskiej 87, S e r i a M o n o g r a f i e 20, Wrocław, 1991.
[63 Węgiarz J. : Time-optimal control of r e s o u r c e a l l o c a t i o n in a c o m pl ex of o p er a ti on s framework. I E E E Trans. Systems, M a n a n d Cybernet.
S M C -6, No. 11, 1076, 783 - 78 8
[73 Węglarz J. : On c e r t a i n m odels of r e s o u r c e a l l o c a t i o n problems.
Ky b er n e t e s 2, No. 1 , 1980, 61-66.
[83 Węglarz J. : Mul t ip ro ce s so r sc he d u l i n g wi th m e m o r y a l l o c a t i o n - a d e t e rm in is t ic approach. I E E E Trans. Comp-uters C-29, No. 6. 703-710.
193 Węgla rz J. : Project s c h e d u l i n g with c o n t i n u o u s l y d i v i s i b l e doubl y - c on st ra i ne d resources. Manage me nt Sci. 27, N o . 9, 1981, 1040-1053.
[103 Węglarz J.: S c h e d u l i n g n o n p r e e m p t a b l e tasks wi th additional contin uo us r e s o u r c e C w przygotowaniu}.
„ . „ Recenzent: Prof. dr h. ini. Je rz y Klamk a
Wp ł yn ęł o do Red ak c ji do 30.04.1992 r.
O p t v n y c h d y a k r o t n o - c v q g y c h p r o b l & m Q e h . 319
A b s t r a c t :
This paper deals with s ch ed ul i ng independent, n o n p re e mp ta bl e tasks on identical, parallel machines wh i ch share a c o mm o n continuous, renewable r e s o ur ce Ce.g. power). We start with the d i s c re t e formu la ti on Ctask pr o ce s s i n g rates d e pe nd on a number of tasks p ro ce s se d at time O , which is a special c a s e of the di sc re t e- co nt i nu ou s formulation. Then, on the basis of the s e c on d formulation, we prop os e tw o general methods of c o n s t r u c t i n g ap p ro x i m a t e sc he d ul in g algorithms. The first me thod is a m o d i f i c a t i o n of the method d ev el o pe d for p r e em pt a bl e tasks, whereas the s econd o n e uses t he concept of so call ed v i r t u a l l y optimal assi g nm en ts of tasks t o machines. Stu dy in g the s t r u c tu re of these assign me nt s one can even fi nd s i m p l e rules p r od uc in g optimal schedules in som e cases.
