O pewnych problemach dynamiki układów

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S e r i a : AUTOMATYKA z . 14

________ 1969 Nr k o l . 267

Bogdan S k a l m i e r s k i

1.3« O PEY/NYCH PROBLEMACH DYNAMIKI UKŁADÓW

Opracowanie z a wi e ra p r z e g l ą d podstawowych z a g a d n i e ń d y na mi ki układów i o d z w i e r o i e d l a n i e k t ó r e z a i n t e r e ­ sowania naukowe Ka te dr y Dynamiki Układów Mech an icz- nyoh P o l i t e o h n i k i Ś l ą s k i e j .

W p r a c y w o z ę ś o i d e t e r m i n i s t y c z n e j w y k o r z y s t a n i a s z e r o k o a p a r a t meohan ik i a n a l i t y c z n e j .

W c z ę ś c i p r o b a b i l i s t y c z n e j o g r a n i c z o n o s i ę do a n a l i z y prooesów d r u g i e g o r z ę d u . S t a r a n o s i ę p r z e d -

s t a w i ó p og lą d na o p i s a n e k w e s t i e możliwie o g ó l n i e . Obok a n a l i z y układów d y s k r e t n y o h podano schemat ogólny r o z w i ą z a n i a problemu p r o b a b i l i s t y c z n e g o u k ł a d u o s t a ł y c h r o z ł o ż o n y c h .

1 . Podstawowe r ównania o p i s u j ą c e dynamikę układów

R o z p a t r u j ą c z a g a d n i e n i a dynamiki układów na pie rw sz y p la n wy­

suwa s i ę zawsze problem d e t e r m i n i s t y c z n y .

W u k ł a d a c h a u t o m a t y c z n e j r e g u l a c j i oznacza t o z n a l e z i e n i e d e ­ t e r m i n i s t y c z n e j o dpo wi edzi u k ł a d u na s y g n a ł o tym samym c h a ­ r a k t e r z e .

J e ż e l i zatem wektor X j e s t sygnałem na w e j ś c i u t o z a d a n i e sprowadza s i ę do z n a l e z i e n i a o dpo wi edzi Y u k ł a d u . Rozwiązanie problemu z a l e ż y t a k od samego we kt or a X warunków poozątkowych j a k i parametrów s t r u k t u r a l n y c h u k ł a d u .

Pos zukiwanie Y j e s t n i e zawsze p r o s t e i ł a t w e . Wiąże s i ę ono z r o z w ią z an ie m równania macierzowego, k t ó r e o g ó l n i e r z e c z b i o r ą c j e s t n i e l i n i o w e .

Równanie t o o p i s u j e k o n f i g u r a c j ę u k ł a d u . N a t u r a l n i e j e s t ono r óżne d l a układów r ó ż ny ch typów f i z y c z n y c h , a l e w w i ę k s z o ś ­ c i przypadków d a j e ono s i ę p r z e d s t a w i ó za pomocą metod mecha­

n i k i a n a l i t y o z n e J . Nie wchodząo w powszechnie znane zas ady me oh an iki ( z a s a d a d’ Alemberta czy z as a d a H a m i l t o n a ) p r z e j -

dziemy do r e z u l t a t ó w wydedukowanych z podstawowych t w i e r d z e ń . Konsekwencją p r z e k s z t a ł o e ń s t a j e s i ę u k ł a d równań Lag ra ng e’ a

g d z i e

E - j e s t e n e r g i ą k i n e t y o z n ą u k ł a d u l u b j e j anal oganem d l a u k ł a d u n i e m e c h a n i o z n e g o ,

q 1 - w s p ó ł r z ę d n ą u o g ó l n i o n ą L ag ra n ge ’ a (Dla układów e l e k ­ t r y c z n y c h ł a d u n e k )

Qj - s i ł ą u o g ó l n i o n ą lu b w i e l k o ś c i ą a n a l o g i c z n ą d l a i nnyc h n i ż u k ł a d me ch an ic zny ,

X - m noż ni ki L ag r a n g e ’ a .

Do równań ( 1) n a l e ż y d oł ąozyó r ównania możliwych p r z y s p i e ­ s z e ń , ażeby i l o ś ó niewiadomych o dpowiadał a l i c z b i e równań.

Równania t e s ą n a s t ę p u j ą c e :

(2) - o

Funkoje C-^1 ^ , C^2 ^ , D ^ŁL i D^2 ^ w s p ó ł r zędnyoh i c z a s u z a l e ż ą od s t r u k t u r y więzów nał ożon yoh na u k ł a d .

J e ż e l i ograniozymy n a s z e r o z w a ż a n i a do układów h o l o n o m i o z - nyoh, t o j a k wiadomo, można w tym przyp adk u zawsze dobraó t y ­ l e n i e z a l e ż n y o h w s p ó ł r z ę d n y c h u o g ó l n i o n y c h i l e j e s t s t o p n i ewobody. S t ą d u k ł a d ( 1 ) u p r o ś c i s i ę . Prawe s t r o n y b ędą z a w i e ­ r a ł y t e r a z t y l k o s i ł y u o g ó l n i o n e Qj .

x )' " (

1

) " o d n o s i s i ę do węzłów h o lo mi oz nyoh , a " ( 2 ) " do więzów a n ho l omi cz n yo h.

Obowiązuje konwencja s umaoyj na.

O pewnyoh problamaoh dynamiki układów 41 E n e r g i a k i n e t y c z n a wyrażona p r z e z w sp ó ł r z ę d n e u o g ó l n i o n e i p r ę d k o ś o i u o g ó l n i o n e s k ł a d a s i ę z t r z e o h n a s t ę p u j ą o y o h s k ł a d ­ ników :

E = E0 + E1 +' E2 (3)

E0 = (q f • • • i q f t ) ( 3 a )

E1 3 (*1^ • • • t ) 4*1» (31))

E2 " ? a Jk ^q1 •** qN* ^ qk

Wprowadzamy o b e c n i e p r z e s t r z e ń Riemana o k r e ś l o n ą tensor em

•i fi

metryoznym a j j ^ • • • < ł > t ) . J a k widaó w p r zy p a d k u , gdy w i ę ­ zy u k ł a d u z a l e ż ą od ozas u r ó w n i e ż i w ł a s n o ś o i l o k a l n e owej p r z e s t r z e n i u l e g a j ą zmianie w o z a s i e .

Z a g a d n i e n i e r uo hu u k ł a d u można rozważaó j a k o probem r u ch u pun kt u w p r z e d s t a w i o n e j p r z e s t r z e n i Riemana. Nazywaó będziemy t ę p r z e s t r z e ń p r z e s t r z e n i ą k o n f i g u r a o y J n ą . Równania (1) można z a p i s a ó po łatwyoh p r z e k s z t a ł c e n i a o h n a s t ę p u j ą c o :

'i1 + r j a 4r 4S - P1 (*)

g d z i e

P 1 J e s t symbolem C h r i s t o f f e l a I I r o d z a j u

X3

p l - h -f c ł ■ § ? ( w - ^ 4 1 a l i i 4 a >

a 1 ^ j e s t sprzężonym t e n so r e m metrycznym.

Każde z równań (4) j a k widaó j e s t równaniem d r u g i e g o r z ę d u . P r z e d s t a w i e n i e równań r uo hu w p o s t a c i (4) n i e j e s t j e d y n e . Można wprowadzić i nn e p r z e s t r z e n i e .

Przykładem może byó tzw. p r z e s t r z e ń f a zo wa , k t ó r e j wymiar j e s t d w u kr ot ni e w i ę k s z y . W t e j nowej p r z e s t r z e n i w y s t ę p u j e obok N w s p ó ł r z ę d n y c h ą 1 N pędów u o g ó l n i o n y c h Pj z d ef i ni ow an yo h n a s t ę p u j ą o o ;

d f OE ' i " r a i

P< “ T T ( 5 )

Ponieważ E * £ a 4^ 4^ + a., 4*^ + a (

pr z e t o

P j = a j i 4 1 + a r

S tąd

4 1 = a 1J ( P;J - a . ) (5a)

4 -ł

g d z i e a " j e s t t e n so r em sprzężonym do t e n s o r a metrycznego p r z e ­ s t r z e n i k o n f i g u r a o y j n e j .

Wprowadzając nową f u n k c j ę

H = Pj 4^ — E + V.

zwaną f u n k o j ą H a m i l t o n a , w k t ó r e j V j e s t e n e r g i ą p o t e n o j a l n ą u k ł a d u .

F unkcję t ę można z a p i s a ó n a s t ę p u j ą c o :

H = \ a J k ( Pj - a j ) ( P k “ a k ) - a 0 + V*

O pewnych problem ach dynam iki układów 43 Równania r u o hu w t e j nowej p r z e s t r z e n i można p r z e d s t a w i ć w p o -

s t a o i :

• Qh

q i 3 17^7»

(

6

)

• o _ _QH_

P± - Q± . - 0q Są t o tz w. r ównania kan on lozne H a mi l t o n a .

Równania t e po p o d s t a w i e n i u w y r a ż e n i a na f u n k c j ę H s ą n a s t ę p u ­ j ą c e :

ą 1 = a 1* ( Pj - a j ),

>i - Qi ‘ * z ■fj? (pj - - at ) - *3k f j i <pic - ak> +

+ 1380 . ° T ^. 0 q ^ 0 q ^

Równania ( 6) s ą równaniami p ie r w s z eg o r z ę d u .

Punkt równowagi u k ł a d u o k r e ś l a s i ę z z a ł o ż e n i a p^ » O,zatem j e s t on wyznaczony z u k ł a d u równań

Q - - G S - * O (6ł>)

1 O ą 1

2 . Uwagi na t e m a t s t a b l l n o ś o i układów

S t a b i l n o ś ć J e s t pewną oeohą układów. Układ s t a b i l n y p os ia da t ę w ł a s n o ś ć , że j e s t mało w r aż li wy na zmiany w i e l k o ś c i , k t ó r e d e ­

c y d u j ą o je g o r e a k c j i . Innymi sł owy , j e ż e l i u k ł a d p r a c u j e w pewnych war unkach, a zmiany tyoh warunków w sposób n ie z n a c z n y wpływają na zmiany c h a r a k t e r u jego p r a c y , t o obserwujemy s t a ­ b i l n e zachowanie s i ę r o zp at r y w a n e g o o b i e k t u ; w r a z i e p r z e c i w ­ nym mamy do c z y n i e n i a z n i e s t a b i l n o ś c i ą .

P o j ę o i e s t a b i l n o ś o i r ozumi ane i n t u i c y j n i e j e s t t a k b a r d z o o g ó l ­ n e , że ohoąo je zamknąó w ramach ś c i s ł e g o z a p i s u matematyczne­

go, musimy p r e o y z y j n i e s c h a r a k t e r y z o w a ć c e c h y , k t ó r e u k ł a d po­

w i n i e n zachować« Na tym t l e p o w st a ły i i s t n i e j ą r ó ż n e d e f i n i ­ c j e s t a b i l n o ś o i .

Rozpatrzmy n p . u k ł a d o jednym s t o p n i u swobody, o p i s a n y rów­

nan iem:

tf + ” 0 ^

Punkt o k r e ś l a j ą c y p o ł o ż e n i e równowagi, w tym pr zyp adk u n i e z m ie ni a swego p o ł o ż e n i a w o z a s i e . Przyjmujemy p o o z ą t e k u k ł a d u w pu nkci e równowagi. Uznamy, że oeohą c h a r a k t e r y s t y c z n ą b ę d z i e

o d l e g ł o ś ć , o ( & ) punktu t r a j e k t o r i i f a z o w e j od p o ł o ż e n i a rów­

nowag i. P o ł o ż e n i e t o będziemy u w a ż a l i za s t a b i l n e , o i l e małym zmianom warunków początkowyoh (zmiany p Q = p ( 0 ) i q 0 = q ( 0 ) ) , t o w a r zy s zy ć będą małe zmiany o d l e g ł o ś c i . U ś c i ś l a j ą c wypowiemy t w i e r d z e n i e Liapunowa o s t a b i l n o ś o i . Powiadamy, że p o ł o ż e n i e równowagi p => q *» 0 j e s t s t a b i l n e , o i l e d l a k a ż d e j l i o z b y <?>o

I s t n i e j e taira l i o z b a <J > 0 , że j e ż e l i

«o(5Co)<S to' d l a każdego t > 0 z a o h o d z i n ie równoś ć

*(3C) < £

P o s ł u g u j ą c s i ę r aohunkiem zdań i k w a n t y f i k a t o r ó w , wypowie­

d z i a n e t w i e r d z e n i e można z a p i s a ć k r ó c e j : p o ł o ż e n i e równowagi p = q * 0 j e s t s t a b i l n e , o i l e prawdziwe j e s t n a s t ę p u j ą c e z d a n i e l o g i o z n e :

A

V r s ( X 0 ) < s = ^

A

£ ( X ) < £ ]

£>0 3>0 I- t > o * J

O pewnyoh problem ach dynam iki układów 45 Symbole

A

ⁱ

V

n o s z ą nazwę k w a n t y f i k a t o r ó w : ogólnego i s z c z e ­ gółowego. Wzór , A f ( x ) osy tamy: d l a każdego x s p e ł n i o n a J e s t f u n k o j a f ( x ) ; V f ( x ) o zń ao z a, że I s t n i e j e t a k i e x s p e ł n i a j ą c e f u n k o j ę f ( x ) . =■=£»' J e s t znakiem i m p l i k a o j i . Zdanie a = > b n a l e ż y o z y t a ó : J e ż e l i a t o b .

P o j ę c i e s t a b i l n o ó o i , omówione p r z e d o h w i l ą , z i l u s t r o w a n e pr zykładem u k ł a d u o jednym s t o p n i u swobody j e s t n a t u r a l n i e t a k i e 3amo w p r zyp ad ku układów o w i e l u s t o p n i a o h swobody. J e ­ dyną r ó ż n i c ą j e s t t o , że w omawianym p r ob le mi e o d l e g ł o ś ć p unktu t r a j e k t o r i i f a z o w e j od pulnktu równowagi okr eś lamy n i e na p ł a s z ­ c z y ź n i e , a w p r z e s t r z e n i 2N wymiarowej. A zatem p un kt równowagi o k r e ś l o n y równaniem (6b) j e s t s t a b i l n y , o i l e i s t n i e j e t a k i o b s z a r warunków poozątkowych w p r z e s t r z e n i f a z o w e j , d l a k t ó r y c h o d l e g ł o ś ó < p ( X ) pu nk tu t r a j e k t o r i i od pu nk tu równowagi n i e p r z e k r o o z y z góry z a ł o ż o n e j w i e l k o ś o l . Przykładowo d l a u k ł a d u konserwatywnego warunkiem s t a b i l n o ś c i pun kt u r ównowagi, J ak t o z a r a z pokażemy, J e s t i s t n i e n i e w tym p un kci e minimum e n e r g i i p o t e n c j a l n e j V. Warunek t e n j e s t znany w l i t e r a t u r z e [13] pod nazwą k r y t e r i u m L agr ang e’ a - D i r l o h l e t a . W c e l u dowodu p r z e p r o ­ wadzimy n a s t ę p u j ą o e rozumowanie:

Zauważmy na p o o z ą t k u , że punkt równowagi o k r e ś l o n y równaniami

A w i ę o , w p u n k c i e , w którym e n e r g i a p o t e n c j a l n a p r zy jm uj e w a r - t o ś ó e k s t r e m a l n ą n i e d z i a ł a j ą żadne s i ł y na u k ł a d ; J e s t zatem s p e ł n i o n y podstawowy warunek s t a t y k i .

Nie z m n i e j s z a j ą c o g ó l n o ś o i r ozważań możemy p r z y j ą ć t a k u k ł a d w s p ó ł r z ę d n y o h , ażeby p o o z ą t e k je g o zn aj d owa ł s i ę w po­

ł o ż e n i u r ównowagi. Po wyo hyl en iu u k ł a d u z t e g o p o ł o ż e n i a i po n a d a n i u mu p r ę d k o ś o i p o c z ą t k o w e j , t z n . po z r e a l i z o w a n i u warunków począ tkowych, obserwować będziemy r u ok u k ł a d u . Euoh

t e n j e

3

t r e p r e z e n t o w a n y p r z e z r u c h punktu w p r z e s t r z e n i f a z o ­ wej w zdł uż t r a j e k t o r i i f a z o w e j . J e ż e l i u k ł a d J e s t k o ns e rw a -

tywny, t o je g o p e ł n a e n e r g i a T =• 3 + V p o z o s t a j e s t a ł a « Zatem t r a j e k t o r i a fazowa l e ż y na p o w i e r z o h n i o ró wn ani u

j a 1 ^ p ^Pj + V(q1 , q 2 , . . . , q £ ) ■* o o n s t (8)

S t a ł a po pr aw ej s t r o n i e ró wn an ia z a l e ż y od warunków p o o z ą t k o - wyoh, a więo od e n e r g i i u d z i e l o n e j u k ł a do wi w o h w i l l t = 0«

Wychodząc z p o oz ą t k u u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y o h , g d zi e z n a j d u j e s i ę minimum e n e r g i i p o t e n c j a l n e j i g d zi e przyjmiemy v ( 0 , . . . , 0) =

= 0 obserwować będziemy powierzchnie; z a m k n i ę t e , zamykaJąoe o d r az t o w i ę ks z e o b s z a r y , hemeomorfiozne z k u l ą . Dokąd p un kt t r a j e k ­ t o r i i f a z o w e j b ę d z i e p o r u s z a ł s i ę po p o w i e r z c h n i homeomor fioz- n e j z k u l ą , d o t ą d można mówió o s t a b i l n o ś c i u k ł a d u w s e n s i e Liapunowa. Widad, że b i o r ą o n a j m n i e j s z ą z k u l , w k t ó r e j z n a j ­ d u j e s i ę p o w i e r a o h n i a T = o o n s t mamy pewnośó, ża t r a j e k t o r i a fazowa n i e o d d a l i s i ę b a r d z i e j od p oo zą t ku u k ł a d u w s p ó ł r z ę d - n y oh, J ak na o d l e g ł o ś ć : równą p r o mi e ni ow i owej m i l i . Można z a ­ tem w o t o c z e n i u p o o z ą t k u u k ł a d u , w s p ó ł r z ę d n y o h , w którym e n e r ­ g i a p o t e n o j a ł n a p r zy jm uj e w a r t o ś ć minimum, z n a l e ź ć d l a k a ż d e j k u l i d o m k n i ę t e j t a k i o b s z a r og ra ni oz o ny p o w i e r z o h n i ą T = o o n s t warunków początkowych, że t r a j e k t o r i a wychodząoa z n i e g o po­

z o s t a n i e w c z a s i e r u o h u u k ł a d u zawsze wewnątr z t e j k u l i . J a k widać u k ł a d zachowawczy s k l e ro no m io zn y d l a k t ó r e g o e n e r g i a p o t e n o j a ł n a p r z y j m u j e w a r t o ś ć minimum j e s t układem s t a b i l n y m w s e n s i e Liapunowa.

Łatwo zauważyć, że s i ł y giaroskopowe n i e mają wpływu na s t a b i l n o ś ć u k ł a d u ( n i e z m i e n i a j ą s t a n u e n e r g e t y c z n e g o u k ł a d u ) . J e ż e l i na u k ł a d konserwatywny s t a b i l n y d z i a ł a j ą s i ł y d y s s y p a - tywne t o u k ł a d J e s t a s y m p t o t y o z n i e s t a b i l n y .

Rzeoz ywi śoi e w u k ł a d z i e tym małe jo p e ł n a e n e r g i a T, a więc p o w i e r z c h n i a ( 1 8 . 9 ) " k ur ozy" s i ę , a zatem t r a j e k t o r i a fazowa dąży do p oo z ą t k u w s p ó ł r z ę d n y o h .

Należy zauważyć, ża j e ż e l i w p o c z ą t k u u k ł a d u w sp ół r z ę d n y c h f u n k o j a V p r z y j m i e w a r t o ś ć maksimum, t o u k ł a d konserwatywny

j e s t n i e s t a b i l n y .

O pewnych problem ach d ynam iki układów

17

N i e s t a b i l n o ś ć wynika z f a k t u , że p o w i e r z c h n i T = c o n s t r i e

¡nożna zamknąć w k u l i o dowolnym promi eniu«

Na z a k o ń c z e n i e zwróćmy uwagę na t o , że w p r zyp adk u s t a b i l ­ n o ś c i s i ł y p o t e n c j a l n e po w y c h y l e n i u u k ł a d u z p o ł o ż e n i a r ó w ­ nowagi s ą zwrócone do p un kt u równowagi, a w p r zyp adk u gdy punkt równowagi n i e j e s t s t a b i l n y , s i ł y p o t e n c j a l n e mają c h a r a k t e r

o d p y c h a j ą c y , t z n . s ą zwrócone od t e g o pu n kt u na z e w n ą t r z . O c z y w iś c ie wynika t o s t ą d , że w obydwu p r z y p a dk a ch g r a d i e n t

p ol a p o t e n o j a l n e g o ma inny zwrol;.

3 . Z a g a d n i e n i e l l n e a r y z a o j l równań

Rozważać będziemy u kł ady holonomiozne s k l e r o n o m i o z n e . Dla t y c h układów b ę d z i e

Załóżmy w d al szym c i ą g u , że w p o o z ą t k u u k ł a d u w spó łr zę dn yc h e n e r g i a p o t e n c j a l n a u k ł a d u V p o s i a d a w a r t o ś 5 minimum. Wiado­

mo na p o d s t a w i e k r y t e r i u m Lagr ange5 a - D i r i o h l e t a , że t e n punkt j e s t punktem równowagi t r w a ł e j .

Rozpatrzmy t e r a z z a g a d n i e n i e małych d r g a ń u k ł a d u dokoła po­

ł o ż e n i a r ównowagi.

W t a j s y t u a c j i równania r u ob u można ł a t w o z l i n e a r y z o w a ć o g r a n i c z a j ą c r o z w i n i ę c i e f u n k o j i V ( q 1 , . . . «J.1*) do wyrazów kwadratowych o r a z p r z y j m u j ą , że w ł a s n o ś o i l o k a l n e p r z e s t r z e n i k o n f i g u r a o y j n e j w o b s z a r z e r u c h u z m i e n i a j ą s i ę t a k mało, że można uważać, że składowe t e n s o r a me tr yczn eg o w tym o b s z a r z e s ą s t a ł y m i .

(9a)

o r a z

W związku z tym r ów na ni a r u oh u p r zyj mą k s z t a ł t

• i „ i k

4 “ 3 P]j#

( 9 o )

n QV

Pi ” Qi " “

Ponieważ

V “ \ c i k 9 1(l k #

a z p i e r w s z e g o z równań w y ni k a, ż e :

„ „ ¿k

p i " a i k q » p r z e t o można n a p i s a ó

a i k qk + c i k qk * Qi ( a)

W y d z i e l a j ą o z s i ł u o g ó l n i o n y c h s i ł y dyssypatywne o k r e ś l o n e p r z e z f u n k o j ę R e i l e i g h a

u 1 y, A* A*

? i k q q *

zmodyfikujemy u k ł a d równań ( a ) . Jego o s t a t e c z n a p o s t a ó J e s t n a s t ę p u j ą o a

a l k qk + h i k qk + Ci k qk = Qi

Maoierze [ a - j J , 1 s ą m a c i e r z a m i s ymet ryoznyml o e l e m e n t a c h s t a ł y c h .

Załóżmy, że u o g ó l n i o n o s i ł y s ą f u n k o j a m i c z a s u .

O pewny olh problem ach d ynam iki układów 49 Równania (10) można p r z e p i s a ó w b a r d z i e j z w a r t e j f o r m i e :

Li k qk “ Qi ( i 0 a )

Łi n •l08* “ a o i e r z ą 3ymeitryozną l i n i o w y c h o p er a t o r ó w r ó ż n i o z - kowyoh. Rozwiąz anie w tym p r zy padk u u k ł a d u (10) może byó doko­

nane n p . metodą t r a n s f o r m a c j i oałkowyoh co p r owadzi do wyniku

qk = Lk i Q±x ) , (11)

g d z i e 1 j e s t r ó w n i e ż o p e r a t o r e m li niowym.

4 . Opis z j a w i s k przypadkowych w u k ł a d a oh dynamicznych

Z a s t o s o w a n i e metod s t a t y o z n y o h do b adań dynami ki układów s t a ­ nowi j e d e n z n a j b a r d z i e j a k t u a l n y c h problemów. Konleoznośó p r o b a b i l i s t y c z n e g o p o t r a k t o w a n i a z a g a d n i e ń dynami ki wynika z powszechnego wyst ępowania sygnałów przypadkowych, powodująoyoh przypadkowe zmiany k o n f i g u r a o j i u k ł a d u . P r z y k ł a d a m i n i e d e t e r m i - n i s t y o z n y o h o b c i ą ż e ń mogą byó ( np. w u k ł a d a oh mechanicznych) wymuszenia k i ne mat yc zne d r g ań pojazdów p o r u s z a j ą o y o h s i ę po n i e r ó w n e j p o w i e r z o h n i , d r g a n i a b ud o w l i po dcza s t r z ę s i e ń z i e m i , d r g a n i a powłok wywołane ź r ó d ł a m i a k u s t y c z n y m i i t p .

We w s z y s t k i c h t y c h pr zypadkaoh o p i s d e t e r m i n i s t y c z n y J e s t c a ł k o w i o i e n ie a de kw an tn y i musi byó z a s t ą p i o n y innym. P r z y ­ p a d k i t e n a l e ż y uważaó ja k o problem p r o b a b i l i s t y c z n y , wymaga­

j ą c y i nne go a p a r a t u matematycznego, k t ó r e g o podstawy z aw dzi ę­

czamy głównie pracom N, Wi e n e r a , A . J . Ch in czy na, A.N. Kołmo- gorowa, M. P l a n o k a , M. Loe've.

x ^ l k l Qi = / & k l ( t —T ) ( ¡ . ( s O d t

g d z i e : G ( t ) j e s t Impulsową f u n k o j ą p r z e j ś c i a u k ł a d u z n

" w e J ś o i a m i " i n " w y j ś c i a m i " .

T r a n s f o r m a t a L a p i a c e ' a tyoh f u n k c j i tworzy m a c i e r z p r z e j ś o i a r o z p a t r y w a n e g o u k ł a d u , a t r a n s f o r m a t a F o u r i e r a j e s t c h a r a k ­ t e r y s t y k ą o z ę s t o t l i w o ś o i ą u k ł a d u .

Metody p r o b a b i l i s t y c z n e można w z a s a d z i e p o d z i e l i ć na t r z y g r u p y :

1 ° metody k o r e l a c y j n e ,

2 ° metody równań k i n e t y c z n y c h Fokkera-Planoka- Kol raogor owa, 3 ° metody q u a s i - s t a t y c z n e .

W o p r a c o w a n i u , ze wzgl ęd u na p r o s t o t ę i stosunkowo dobre p r z y b l i ż e n i e r z e c z y w i s t o ś c i o g r a n i c z o n o s i ę do omówienia grupy p i e r w s z e j .

W o p a r o i u o a n a l i z ę k o r e l a c y j n ą można u s t a l i ó zw ią z k i po­

między w a r t o ś c i a m i ś r e d n i m i o r a z momentami d r u g i e g o r z ę d u , po­

między w e jś o ie m a w y jś c ie m u k ł a d u .

Wiadomo, że p r o c e s p o s i a d a p e ł n ą c h a r a k t e r y s t y k ę p r o b a b i l i s ­ t y c z n ą , o i l e znane s ą w s z y s t k i e zgodne r o z k ł a d y g ę s t o ś o i praw­

do podobieńst wa ; wtedy bowiem j e s t j e d n o z n a c z n i e o k r e ś l o n y ope­

r a t o r u ś r e d n i a n i a E d l a momentów i f u n k c j i k o r e l a o y j n y c h . War tość ocze kiwaną p r o c e s u o k r e ś l a w y r a ż e n i e :

E [<łk ( t ) J « E [Lk i Q± ( t ) ] x ) (12)

Założymy w n as z y o h r o z w a ż a n i a o h , że p ar a m e tr y s t r u k t u r a l n e u k ł a d u p o s i a d a j ą c h a r a k t e r d e t e r m i n i s t y c z n y . W związku z tym można n a p i s a ć :

E [ q k ( t ) ] - Lk l E [Q± ( t ) ] ( I 2 a )

Bez n a r u s z e n i a o g ó l n o ś c i r o z w i ą z a ń można t u z a ł o ż y ć , że p r o ­ c e s na w e j ś o i u p o s i a d a ś r e d n i ą równą z e r o .

x ^Ogólnie w a r t o ś ć oczekiwaną f u n k c j i w i e l u zmiennych losowyoh ' d e f i n i u j e m y n a s t ę p u j ą c o :

oo oo

E | f ,X£, « . » j « . . J f (x^ ,*2» • • •

- o o -o o

• • • • x yt t ^ , • . . t g ) dx, ćmcg . . . dx^j

g d z i e : g ( x ^ , . . . x M, t ^ , . . . t M) j e 3 t g ę s t o ś o i ą prawdopodo­

b i e ń s t w a .

O pawnyoih problem ach dynam iki układów 51 M aci er z k o r e l a c y j n ą , d l a te g o p r o c e s u , d e f i n i u j e s i ę n a s t ę p u ­

j ą c o :

Wiążąc ma oi er ze k o r e l a c y j n e w e j ś c i a i w y j ś o i a u k ł a d u n a pi sz e my :

lub po w y k o r z y s t a n i u t w i e r d z e n i a F u b i n i e g o o p r o du kt ow an iu miar

W t e n sposób o tr zymal i śmy prawo p r z e j ś c i a maoierzy k o r e l a o y j - n e j p r z e z r o z p a t r y w a n y u k ł a d . Wzór (13) j e s t podstawą n i e t y l k o do o k r e ś l e n i a maoier zy k o r e l a c y j n e j na ' w y j ś o i u u k ł a d u , u m o ż l i ­ wia on r ó w n i e ż wyznaozeni e ś r e d n i e g o kwadratowego o d c h y l e n i a p r o c e s u . Znajomość t e g o o d c h y l e n i a j e s t ważna, gdyż na t e j pod­

s t a w i e można o k r e ś l i ć prawdopodobieństwo p r z e k r o o z e n i a w a r t o ś ­ c i z a d a n e j p r o o e s u . Problem z na o z n i e s i ę u p r a s z o z a gdy z a ł o ż y s i ę n or ma l no ś ć p r o o e s u .

N. Wiener i Chinożyn z a p r o p o n o w a l i metody s p e k t r a l n e , k t ó ­ r e p o l e g a j ą na z a s t ą p i e n i u m a c ie r z y k o r e l a c j i !K(t1 , t 2 ) p r z e z ma oi er z S ( ^ » ^ 2 ) P°Pr z e z p r z e k s z t a ł c e n i e :

q <ł

E [^3 ( t i ) qI ( t 2 )] - E [Ls l Ql ( t 1 ) Ll J Q3 ( t 2 ) J ,

E p i t . , ) qr ( t 2 )] - (13)

l u b p i s z ą o k r ó c e j

(14)

N a k ł a d a j ą c o p e r a c j ę J na w y r a ż e n i e (13) otrzymamy:

s r ( w 1f o>z ) - 3) [ l s1 LrJ B(Q±Qj)]-

co po p r z e k s z t a ł c e n i a c h d a j e :

S s r ( w1» aJ2 ) “ ®8 l ( l ®*( l W2 J SQ±Q ^ < V (15)

Znajomość m a ci er zy $ ( u)^ oj2 ) j e s t pod st awą do o k r e ś l e n i a poozu ki wane j maoier zy k o r e l a o y j r i e j . W tym c e l u n a l e ż y na (14) wykonać o p e r a c j e o d wr o tn ą, I t a k

&C(ti,t2 ) = J“ 1 3 ( Wg) (16)

O p e r a t o r j e s t n a s t ę p u j ą c y :

oo oo

J ^g f i ( « , • )e^^ w 1^1 w2^2^d cJ^d alg ( 1 6 s ) 4 5C -00-00" J

Zapr ez en to wa na metoda s p e k t r a l n a j e 3 t h a r d z o o g ó l n a . Zawiera w i ęo w s o b i e p r o c e s y r ó ż n y c h typów. Mamy t u na m y ś l i p r o ce s y n i e s t a c j o n a r n e j a k i s t a c j o n a r n e . Te o s t a t n i e s t a n o w i ą k l a s ę mni ej o g ó l n ą . Przypominamy, że procesem s t a c j o n a r n y m w s z e r ­ szym s e n s i e nazywamy t a k i p r o c e s d l a k t ó r e g o maciierz k o r e l a c y j ­ na z a l e ż y t y l k o od r ó ż n i c y czasów t ^ - t g *

Ha z a k o ń c z e n i e t e g o u s t ę p u przypominamy j e s z c z e , że i s t n i e ­ j ą r ó w n i e ż p r o c e s y d l a k t ó r y c h ś r e d n i e po p r z e s t r z e n i p r o b a b i ­ l i s t y c z n e j można zastępowaó ś r e d n i m i l i c z o n y m i po c z a s i e . Ta­

k i e p r o c e s y nazywamy erg od ycz ny mi . W p r zy pa dku p r z y j ę c i a h i p o ­ t e z y możemy ś r e d n i e znajdować na p o ds t a w i e z n a j o m o ś c i t y l k o j e d n e j r e a l i z a c j i o t r z y m a n e j n p . z d o ś w i a d o z e n i a . S t ą d t e ż h i ­ p o t e z a t a ma ważny a s p e k t p r a k t y o z n y .

O pewnyoh problem soh dynam iki układów 53 5. Z a g a d n i e n i e p r o b a b i l i s t y o z n e u k ł a d u o s t a ł y o h r o z ł o ż o n y c h P roblem t e n przeds ta wi my p od aj ąo r e p r e z e n t a t y w n y p r z y k ł a d .

Niech b ę d z i e dana p ł y t a p r o s t o k ą t n a o wymiarach axb i s z t y w n o ś - o l z g i n a n i a D.

Równanie r óż ni oz ko wa d r g a ń p ł y t y j e s t n a s t ę p u j ą o e :

g d z i e

5 - g r ub o ś ć p ł y t y , W - u g i ę o i e p ł y t y ,

ą - g ę s t o ś ć m a t e r i a ł u p ł y t y ,

Z ( x , y , t ) - o b c i ą ż e n i e przypadkowe d z i a ł a j ą o e na p ł y t ę , ae - w s p ó ł c z y n n i k o k r e ś l a J ą o y t ł u m i e n i e d r g a ń u k ł a d u . Załóżmy, że p ł y t a j e s t zamooowana przegubowo na b r z e g a c h . R oz wi ąz a ni a w tym p r zy padku można poszukiwać w f o r m i e :

W ( x , y , t ) = T Z s i n S i i s i n (1 8 ) m=1 n®1

P o d s t a w i a j ą c proponowane r o z w i ą z a n i e do równania r ó ż n i o z - kowego r u o h u i w y k o r z y s t u j ą c o r t o g o n a l n o ś ó f u n k c j i własnyoh otrzymamy:

2

(17)

O o

D

g d z i e

Zmn( t ) ”“aS

J

/ z ( x » y ^ ) s i n s in dxdy

Wykonując n a s t ę p n i e na r ó w na ni u (19) t r a n s f o r m a c j ę F o u r i e r a d o - s t a ją my :

- “m / 1 “' ) W 1 “' ) ’0 B c t r a n s f o r m u j ą c wynik n a p i s z e m y :

i

*®n( t > “ / A « * * - * ) Zmn( < r >d r

-o o

A zatem

wU , y , t ) -

OO OO ^ ^

■ i* St £ [

^{-OO O O}

_III rJ Z(I’1’ r 5 a“ “ 1

x s i n d T d x d y J s i n iŁŁŁ g j ^ 5 ^ -1 (20)

Na p o d s t a w i e r o z w i ą z a n i a (20) wyznaczymy f u n k c j e Gr eena.

W tym c e l u położymy

z ( * » y »'£')=■ 5 ( x - §,) <S(y-T?) <S (?r ) . Tu c> oznaoza d y s t r y b u c j ę D i r a o a .

Zatem f u n k c j a wpływu Greena w y r a z i s i ę wzorem

Wi l ) ( x , J , S , 7 , t ) - Oo oo

• Z Z V i t ) . 1 » s ą » r n a ę , 1 , s ą , u ( 2 1 )

■X 1'.Nie n a l e ż y sumowaó po m i n .

O pewnyoh probleroaoh dynam iki układów

R oz w ią z a n i e wyrażone p r z e z f u n k o j ę wpływu można z a p i s a d n a s t ę ­ p u j ą c o :

t a b

III

V ^ \ x , y , £ , , t - T ) z ( £ ,

,17

, f ) d & d r (

22

⁾

- o o O O

R o z w i ą z a n i e t o j e s t "bardzo wygodne do d a l s z e j d y s k u s j i p r o b l e ­ mu p r o b a b i l i s t y c z n e g o ,

Choąo o b l i o z y d d y s p e r s j ę u g l ą d n a l e ż y o k r e ś l i d i n a s t ę p u j ą c ą ś r e d n i ą

t t a b a b

B [ ( w ( x , y , t ) ) 2] - / / / / / / W , ^ ? i # t - VĄ) x

- 0 0 - 0 0 ó O O O

x * ( 1 ) ( x , y , r 2 ) x

X 7l * ^i)•^í^2,,?2, ^" 2 d ^2d ^td 7 ld ^2d72 ^

J a k zauważamy z a k ł a d a s i ę d e t e r m l n l s t y o z n y c h a r a k t e r p a r a ­ metr dw s t r u k t u r a l n y c h układu*

Okązuje s i ę , że wprowadzenie f u n k o j i wpływu J e s t b a r d z o wy­

godne 1 d l a t e g o t e n sposdb p r z e d s t a w i e n i a r o z w i ą z a n i a z o s t a ł p od k re ś l o n y *

Dokonując p r z e g l ą d u metod i w s ka z uj ąc na k o l e j n o ś d rozwa­

ż ań n a l e ż y p o d k r e ś l l d t r u d n o ś o i na J a k i e nap ot yk a s i ę w o k r e ­ ś l a n i u ś r e d n i e g o kwadratowego o d o h y l e n i a od ś r e d n i e j na w yj ­ ś c i u u k ł a d u . Z a g a d n i e n i e k ompl i ku je s i ę z r a o j i t r u d n o ś c i c a ł ­ ko wa ni a, k t d r e t u w y s t ę p u j e * Z a g a d n i e n i e J e s t s z o z e g d l n i e u c i ą ż l i w e z w ł a sz oz a w przypadkaoh k i e d y s y g n a ł wejśoiowy j e s t n i e s t a o J o n a r n y [24^ .

S y gn ał wyjśoiowy j e s t wtedy r ó w n i e ż n i e s t a o J o n a r n y * Ale n i e t y l k o w t e d y . W przypadku z a b u r z a n i a u k ł a d u procesem s t a -

0

jonarnym możemy uzyskad odpowiedź n i e s t a c j o n a r n ą na s k u t e i t skońozoneigo o za s u d z i a ł a n i a z a b u r z e n i a [6^*

LITERATURA

[1] Babakow I .M, - Teor i j a k o l e b a n i j - Moskwa 1958, [

2

] Banaoh S, - Maohanika - PWN Warszawa 1956,

[

3

] B o ł o t l n W,W, - S t a t i 3 t i c z e s k i e mi etody w s t r o i t i e l n o j me- o h a n i k l e , S t r i i z d a t , Moskwa 1965.

M Bułgarów B.W. - K o l e b a n i j a - Moskwa 1954,

[

5

] C r a n d a l l S.B:. ( e d ) , - Random v i v r a t l o n r o i , 2 MIT p r e s s , 1963.

[ó] Czogała E. - 0 r e a k o j i pewnych układów meohanloznyoh o s t a ł y c h r o z ł o ż o n y o h na wymuszenia przypadkowe ( p r a oa dok­

t o r s k a ) ma szyn op is P o l i t e o h n i k a S I . , Gliwioe 1969.

[

7

] Gantmaoher F . R . - L e k c j i po a n a l i t i o z e s k o j mech ani ki e - Moskwa P i ż m a t g i z 1960.

[8] Giohman I . I . , Skorochod A.W. - Wstęp do t e o r i i prooesów s t o o h a s t y o z n y c h , PWN, Warszawa 1968.

[

9

] K o m it e t E l e k t r o t e c h n i k i PAN Dynamika układów e l e k t r o m e o h a - n i o z n y o h . P ra oa zbi orowa - PWN Warszawa 1963.

0 0 ] Landau L e , L i f s z i o E. - Mechanika - Moskwa 1958.

0 1 ] Loeve M. - P r o b a b i l i t y t h e o r y , Van N os t r a n d Co, Chapt X.

0 2 ] l a S a l l e and L e f s o h e t z - S t a b i l i t y by L i a p u n o v ' s D i r e c t Method w i t h A p p l i c a t i o n s , Academic P r e s s , New York and London, 1961.

03j

Ł o j e j a ń s k i j L . G . , Ł u r i e A . I . - Kurs t e o r e t i o z e s k o j meoha- n i k i tom I i I I . Moskwa 1955.

0 4 7 Maxwell C . , - A T r e a t i s e on E l e c t r i c i t y and Magnetism.

Oxford 1873.

0 5 ] N i k o ł a j e n k o N.A. - Wi e ro j a t n o s t n y j e mietody d i n a m i o z e s - kogo r a s o z e t a m a s z y n o s t r o i t i e l n y o n k o n s t r u k o j i , I z d . Ma- s z i n o s t r o j e n i e M., 1967.

0 6 ] Pugaozew W.W. - T i e o r i j a s ł u c z a j n y o h f u n k o j i i j e j e p r i - ł o ż e n i j e k zadaozam a w t om a ti oz e sk og o u p r a w i e n i j a , F i z m a t - g i z M 1962.

0 7 ] Rcfmanienko A . F . , S i e r g i e j e w G.D. - Woprosy p r i k ł a d n e g o a n a l i z a s ł u c z a j n y o h pr ooesow. I z d a t . “S o w i e t s k o j e r a d i o “

Moskwa 1968.

0 8 ] R o s e m b l a t t M. - Pr oo es y s t o o h a s t y o z n e , PWN Warszawa 1967.

0 9 ] S k a l m i e r s k i B . , Czogała E. - O pewnym p r o b l e m i e n i e s t a ­ c j o n a r n y c h d r g a ń powłok pod wpływem o b c i ą ż e ń p r zy pa dko ­ wych. Rozprawy I n ż . 2 . 1969.

(

20

] S k a l m i e r s k i B, - Kinematyka i dynamika d l a automatyków, P o l i t e o h n i k a Ś l ą s k a s k r y p t u o z e l n i a n y Nr 2 24 , G li wi c e 1968.

O pewnyoh problemach. d ynam iki układów 57 [21] S k a l m i e r s k i B. - Dynamika układów a e o h a n i o z n y o h s s k r y p t

u o z e l n i a n y , G l i w i o e , 1969«

[22] Susłow G.K. - T e o r e t i o z e s k a j a mechanika - G o s t i o h z d a t 1946.

[23] Synge J . L . , S o h i ł d A. - Tens or o a l o u l u s - T o r o n t o 1959.

[

24

] T y l i k o w s k i A. - N i e s t a o j o n a r n e p rooes y w u k ł a d a o h mecha- n i o z ny oh wywołane pewnymi z a b u r z e n i a m i losowymi (prao;a d o k t o r s k a ) m a sz y n o p i s . P o l i t e o h n i k a S I . Gliwioe 1969.

[253 Wiener N. - K i b e r n e t i k ( p r z e k ł a d z a n g . ) , M. , S o w i e t s k o j e r a d i o " 1958.

[26] W h i t t a k e r E . T . - Dynamika a n a l i t y c z n a - PWN Warszawa 1959.