Marek M A GIERA
Akademia G órniczo-H utnicza
DWUPOZIOMOWA METODA STEROWANIA PRZEPŁYWEM PRODUKTÓW PRZEZ ELASTYCZNĄ LINIĘ MONTAŻOWĄ Z MASZYNAMI RÓWNOLEGŁYMI*
S treszczenie. N a pierwszym poziom ie opracowanej metody rozwiązywane jest zadanie rów now ażenia obciążeń m aszyn, sform ułowane dla elastycznej linii m ontażow ej z m aszynam i równoległymi. Rozw iązanie tego zadania um ożliw ia wybór tylko jednej sekwencji montażowej dla każdego produktu, spośród danych alternatywnych sekwencji. Rozpatrzone zostały dw a przypadki: sztywnych, alternatywnych m arszrut m ontażu. N a drugim poziom ie szeregowane s ą operacje m ontażow e. W artykule zaprezentow ano m odele matem atyczne oraz algorytmy heurystyczne (heurystyki relaksacyjne).
A TWO - LEVEL APPROACH FOR FLOW CONTROL IN A FLEXIBLE ASSEMBLY LINE WITH PARALLEL MACHINES
S u m m a ry . The top-level o f presented approach is a machine loading problem , allocation o f assem bly operations and part feeders am ong the stations and selection o f best assem bly sequences for all products so as to balance the station workloads. Fixed or alternative assem bly routes are considered. The base-level is a scheduling o f assem bly operations. The paper presents new mathem atical m odels and heuristic algorithm s.
1. Wprowadzenie
Elastyczna linia m ontażow a (ELM) należy do podstawowych typów elastycznych systemów m ontażow ych (ESM). ELM stanowi zbiór specjalistycznych stacji m ontażowych rozmieszczonych w ustalonym porządku, w którym przepływ produktów odbyw a się jedno-
Praca finansowana częściowo z badań własnych AOH
266 M . M agiera
kierunkow o, bez m ożliw ości pow racania do raz odwiedzonej stacji. Charakteryzuje się ona zdolnością do częstych i szybkich przezbrojeń [6].
W ELM m ontow anych je st równocześnie w iele różnych produktów. M aszyny pracują
ce rów nolegle zgrupow ane są w stadia. Każdy produkt poddaw any je st procesowi montażu co najwyżej n a jednej m aszynie danego stadium. Podczas m ontażu danego produktu niektóre stadia m o g ą zostać pom inięte. Pom iędzy poszczególnym i stadiami m ogą się znajdować bufory m iędzystadialne o ograniczonych pojem nościach {ELM z buforami m iędzystadialnym i). W buforach składowane s ą czasowo produkty oczekujące na kolejne operacje. W przypadku gdy nie m a buforów międzystadialnych {ELM bez buforów), rolę buforów p ełn ią maszyny. W iększe je st w ięc wtedy obciążenie m aszyn i w iększe jest praw dopodobieństw o blokow ania m aszyn niż w przypadku m ontażu w ELM z buforami m iędzystadialnym i.
W celu osiągnięcia ja k najniższych kosztów m ontażu w ELM rozw iązuje się zadanie rów now ażenia obciążeń m aszyn. Polega ono na takim przydziale operacji montażowych do m aszyn, dla którego obciążenia w szystkich m aszyn s ą zbliżone. Brak zbliżonych obciążeń m aszyn pow oduje pow staw anie kolejek i wąskich gardeł w systemie, czego konsekwencją są w yższe koszty produkcji. R ów now ażenie obciążeń m aszyn, ja k i szeregowanie operacji m ontażow ych s ą istotnym i problem am i planowania i sterow ania elastycznego montażu.
O m ów iona bardzo ogólnie problem atyka je st ściśle zw iązana z niniejszą pracą.
W opracowanej m etodzie sterow ania przepływ em produktów przez ELM rozwiązywane jest zadanie rów now ażenia obciążeń m aszyn, a następnie szeregowane s ą operacje montażowe.
A lgorytm y heurystyczne zostały zbudow ane w celu uzyskania stosunkowo krótkich czasów rozw iązyw ania tych zadań. Uwzględniony został przypadek ELM z buforami m iędzystadialnym i, ja k i ELM bez buforów.
2. Ogólny opis metody
Rys. 1 przedstaw ia schem at blokowy opracowanej dwupoziom owej metody sterow ania przepływ em produktów przez ELM z m aszynam i równoległym i. Jak w idać na tym rysunku, punktem w yjścia są zbiory sekwencji montażowych, w ygenerow anych oddzielnie dla każdego produktu (sekwencje alternatywne). Każda sekw encja to ciąg kolejno w ykonyw anych operacji montażowych. W szystkie operacje (oprócz pierw szej) polegają na
dom ontowaniu części lub podzespołu do uprzednio zm ontow anych części. Pierw sza operacja to zam ontow anie części bazowej w uchwycie montażowym. Przykłady algorytmów generowania alternatywnych sekwencji montażowych m ożna znaleźć m.in. w pracach [2, 3].
We: Alternatywne sekwencje montażowe produktów
4* 4
Wy: Harmonogram przepływu produktów
Rys.l. Schemat blokowy dwupoziomowej metody sterowania przepływem przez ELM Fig.l. Block diagram of the two-level approach of flow control in a flexible assembly line
P oziom I
N a pierw szym poziom ie spośród danych alternatywnych sekwencji wybierana je s t dla każdego produktu tylko jed n a sekwencja montażowa, W tym celu rozwiązywane je st zadanie równoważenia obciążeń m aszyn, sform ułowane dla ELM z maszynami równoległymi. N arzę
dziem, służącym do rozw iązania tego zadania, je st programowanie matematyczne.
W opracow anych m odelach matem atycznych oraz algorytmach heurystycznych uwzględnione zostały dw a przypadki:
• sztywne m arszruty m ontażu - typ operacji przydzielony do maszyn należących do tego sam ego stadium;
• alternatywne m arszruty m ontażu - typ operacji przydzielony do co najmniej jednej maszyny (m aszyny te m ogą należeć do różnych stadiów).
M odele te i algorytmy zostały szczegółowo opisane w rozdziale 3.
P oziom II
N a drugim poziom ie operacje m ontażow e są szeregowane. Został uw zględniony przy
padek ELM z buforam i międzystadialnymi, ja k i ELM bez buforów. W zbudow anych modelach m atem atycznych i algorytmach heurystycznych (heurystykach relaksacyjnych) m inim alizow ana je st wartość funkcji aproksymującej długość uszeregowania. W opracowanej metodzie długość uszeregow ania podzielona została n a jednostkow e przedziały czasowe.
268 M. Magiera
Szczegółow e opisy modeli i algorytm ów zbudowanych dla drugiego poziomu opisywanej m etody zostały przedstaw ione w pracy: M. M agiera [4].
3. Równoważenie obciążeń maszyn w elastycznej linii montażowej z maszynami równoległymi
3.1. Opis zadania, param etry i zm ienne
Tablica 1 O znaczenia modeli oraz algorytm ów heurystycznych
Model matematyczny
Algorytm
heurystyczny Opis modelu / algorytmu
Ml M2
HI H2
Równoważenie obciążeń maszyn - sztywne marszruty montażu Równoważenie obciążeń maszyn - alternatywne marszruty montażu
Tablica 2 Indeksy i param etry w ejściow e
In d e k sy : P a ra m e try w ejściow e:
i - m aszyna, a j - przestrzeń robocza maszyny i w ym agana dla operacji j;
/' e / = ; b, - całkow ita przestrzeń robocza maszyny f , - num er stadium, do którego należy m aszyna i, j - operacja, f , e { l,...,i9 } , & - liczba stadiów;
j e J = { l,...,« } ;
P
p - czas wykonywania operacji j w sekwencji s\k - produkt, k e K = { 1... u}
h - zbiór m aszyn, na których m ożna w ykonać operację./;
- zbiór operacji wykonywanych podczas m ontażu produktu k\
- zbiór operacji w ym agających użycia podajnika części, J g <zJ\
s - sekw encja
m ontażow a, Sy - zbiór sekwencji m ontażowych dla produktu typu k, = 0 ; keK s e T = w} T • zbiór w szystkich sekwencji montażowych, T = ( J s * ;
keK R, - zbiór par operacji ( / , r ) , takich że operacja j bezpośrednio
poprzedza operację r w sekwencji montażowej s e T
Tablica 3 Zm ienne decyzyjne
us - 1, jeżeli wybrano sekwencję m ontażow ą s e T , inaczej u , = 0 ; Xj = 1, jeżeli operacjęy przydzielono do m aszyny i e I
j
, inaczej x 0 = 0 ;z IJt = 1, jeżeli do m aszyny i przydzielono operację./ należącą do sekwencji s e S k (dla produktu k), inaczej z js = 0
W zadaniu rów now ażenia obciążeń m aszyn z równoczesnym wyborem sekwencji montażowych danych je st m m aszyn, na których należy zm ontować u różnych, wieloczęściowych produktów . K ażda m aszyna należy do jednego z 9 stadiów. D ana jest liczba w szystkich w ygenerow anych sekwencji montażowych (zapisywanych w postaci ciągu kolejno wykonyw anych operacji), wynosząca w. Produkt niekoniecznie musi przechodzić przez każde stadium . K ażdy produkt m oże być montowany na co najwyżej jednej maszynie danego stadium . N ie m a m ożliw ości pow rotu produktu do maszyn wcześniej odwiedzanych.
Zachowana m usi zostać kolejność m ontażu, określona w danych sekwencjach m ontażowych.
W m odelach m atem atycznych (um ożliwiających uzyskanie rozw iązań optymalnych) i algorytmach heurystycznych został uw zględniony przypadek sztywnych oraz alternatywnych marszrut m ontażu. O znaczenia tych modeli i algorytmów heurystycznych zestawiono w tablicy 1.
R ozw iązanie zadania polega na takim przydziale operacji montażowych do maszyn, dla którego obciążenia w szystkich m aszyn będ ą zbliżone Dla każdego produktu wybierana jest tylko je d n a sekwencja montażowa.
Indeksy i param etry w ejściow e opisanego zadania zestawione są w tabl. 2, a zm ienne decyzyjne, służące do jego rozw iązania - w tabl. 3.
3.2. M odele m a tem aty c zn e
O pisane w poprzednim podrozdziale zadania równoważenia obciążeń m aszyn z równoczesnym w yborem sekwencji montażowych zostały sform ułowane w postaci liniowych modeli m atem atycznych (tabl. 1). Każdy z opracowanych modeli: M l (uwzględniający sztywne m arszruty m ontażu) oraz M2 (uwzględniający alternatywne marszruty m ontażu) zawiera binarne zm ienne decyzyjne (tabl.3). W modelach tych (poziom I na ry s.l) m inim alizowane je s t obciążenie najbardziej obciążonej maszyny - Pmzx. Oto te m odele (M l oraz M2): Zm inim alizow ać funkcję celu P max, przy ograniczeniach [5, 7]:
s e S k , j e J k , k e K ,
( 1 )
i PjsZj, — ^max ’
( 2 )
x e T JgJ
' Z a i x j ^ bi> i e l , j e J s , (3)
270 M. Magiera
/ e / j , j e J k, s e S k , k e K , i e / , r e i , gdzie / , * f t dla i * r, j e J k , k e K , , s e S k , (j , r ) e R , ,
(5) (4)
(
6)
i e S t , i s i l , (j , r ) e R s,
k e K ,
(
8)
x„ = 0 , j e J , i ł l j ,
V i j , V V i
(9) (10)
( 11 )
(
12)
W m odelu M l, zbudow anym dla sztywnych m arszrut m ontażu, uw zględnione musi być ponadto ograniczenie:
Funkcja celu P max zapew nia zrów now ażenie obciążeń w szystkich m aszyn. Rozdział w szystkich operacji pom iędzy maszyny dla każdego produktu zapew niony je st dzięki ograniczeniu (1). W zależności (2) wyznaczone je s t m inim alizow ane obciążenie maszyny, będącej w ąskim gardłem w systemie. N ienaruszenie ograniczenia przestrzeni roboczych ma
szyn zapew nia ograniczenie (3), zaś (4) - przydział każdej operacji do co najm niej jednej maszyny. Przydział produktów do takich maszyn, do których przydzielono odpowiednie operacje m ontażow e, um ożliw ia zależność (5). Ograniczenie (6) zapew nia, że wszystkie operacje m ontażow e produktu, wykonywane w danym stadium , realizow ane b ęd ą na tej samej m aszynie (elim inacja transportu pom iędzy m aszynam i równoległym i). Zachowanie kolejności m ontażu w jednokierunkow ym systemie przepływowym bez pow racania produktu do m aszyn (rów nież do stadiów ) wcześniej odw iedzanych je st osiągnięte dzięki ograniczeniu (7). W ybór tylko jednej sekwencji montażowej dla każdego produktu gw arantuje zależność (8). W celu elim inacji przydziałów operacji i produktów do niew łaściw ych m aszyn m usi być spełniona zależność (9). Ograniczenia (10), (11), (12) zapew niają binam ość zmiennych decyzyjnych. Zależność (13), zbudow ana w yłącznie dla m odelu M l (sztyw ne marszruty),
*ij ^ *<7 “ i e l , r * i , j e J (13)
zapewnia, aby wszystkie m aszyny, którym przydzielono dany typ operaeji, należały do tego samego stadium.
3.3. A lg o ry tm y h eu ry sty c zn e
Rozw iązyw anie zadań program ow ania calkowitoliczbowego, sform ułowanych w m o
delach M l i M 2, je s t stosunkowo czasochłonne. W celu otrzym ania rozw iązań tych zadań w stosunkowo krótszym czasie opracowane zostały heurystyki relaksacyjne (tabl. 1): H I - dla modelu M l, H 2 - dla m odelu M2. Algorytmy te służą do rozw iązyw ania zadań programowania calkow itoliczbow ego, startując z rozw iązania optymalnego liniowej relaksacji m odelu M l lub M 2. Relaksacja ta polega na usunięciu warunków całkowitoliczbowości niektórych zm iennych decyzyjnych. N iech LP(M 1) i LP(M2) oznaczają otrzymane w w yniku relaksacji zadania program ow ania całkowitoliczbowego.
H eurystyki d la E L M z m a szy n a m i rów noległym i: H I (sztywne marszruty), H2 (alter
natywne m arszruty):
Wejście: liniow a relaksacja LP(M 1) - dla H I, LP(M 2) - dla H2.
Wyjście: rozw iązania heurystyczne: z*,, u* , .
• Rozwiąż zadanie L P ' liniowej relaksacji M l (dla H I) lub M2 (dla H2), po odrzuceniu ograniczeń całkow itoliczbow ości zm iennych decyzyjnych: z .js , u*.
• Dokonaj zaokrągleń wyznaczonych przydziałów operacji m ontażow ych do maszyn (14) oraz zm iennych, określających wybrane sekwencje m ontażowe (15):
• Sprawdź, czy dla w szystkich sekwencji m ontażowych operacje m ontażow e zostały przy
dzielone. Jeżeli j -ta operacja i-tej sekwencji nie została przydzielona, to znajdź wszystkie wartości z ljs = 0,5, a następnie przyjmij Zys = 1, dla i-tej maszyny, wybranej spośród maszyn m ontażow ych spełniających warunek: x u = 1, której obciążenie je st najm niejsze, a przydział ten nie spow oduje przekroczenia ograniczeń zasobowych (3).
• W yznacz m aksym alne obciążenie m aszyny montażowej w g (16) i zakończ obliczenia.
(16)
272 M. Magiera
3.4. E k s p e ry m e n ty obliczeniow e
D ane w ejściowe i wyniki [ w %] dla przykładów testow ych
Tablica 4
Parametry grupy Sztywne marszruty montażu Alternatywne marszruty montażu
Grupa 9 m n u w wl w2 w3 w4 wl w2 w3 w 4
1 2 3 15 10 15 0,6 6,1 6,4 37,0 2,6 4,9 5,1 46,2
2 2 3 20 10 20 1,0 6,7 6,9 32,8 2,8 5,3 5,5 37,3
3 2 4 20 10 20 1,2 6,8 7,0 29,5 3,0 5,7 6,9 35,0
4 3 4 30 20 30 1,6 7,3 7,6 21,4 3,3 5,8 7,0 31,1
5 3 5 30 20 30 1,8 7,9 8,3 21,1 3,6 6,2 7,1 27,2
6 3 5 40 20 40 2,3 8,5 9,6 14,4 4,3 6,9 7,7 17,4
7 3 6 30 20 30 3,4 9,2 9,8 10,6 5,5 8,2 9,6 12,1
8 4 6 40 20 40 4,8 10,4 11,0 4,9 6,7 9,9 10,8 5,9
Liczby: 9 - stadiów, m - maszyn, n - typów operacji, o - typów produktów, w - sekwencji;
wl, w2, w3, w4- wartości średnie wskaźników: w l, w2, w3, w4, gdzie:
wl = - P Hmax
P '
p l . B
C P U ’ C P U H
p H ■ p " p ’ -[%] , w2 = -
.B pH _ pLB
p -
1 - , . -
p u ,-[%] ■ » 3 - [%] , » 4 - ^ N
- m aksym alne obciążenie m aszyn, w yznaczone przy pom ocy heurystyki;
- optym alna w artość obciążenia m aszyny będącej w ąskim gardłem w systemie;
- oszacow anie od dołu optym alnego obciążenia m aszyn, w yznaczone przy pom ocy heurystyki;
- czas obliczeń dla algorytm u program ow ania całkowitoliczbowego;
- czas obliczeń dla heurystyki.
T ablica 4 zaw iera zestaw ienie danych wejściow ych i uzyskanych wyników eksperym entów obliczeniow ych przeprow adzonych na opracowanych algorytmach.
Eksperym enty te zostały przeprow adzone dla 8 grup zadań o różnych rozmiarach (w artościach param etrów : 9 , m, n, v , w). D la każdej z grup rozw iązanych zostało 50 przykładów . O pisyw ane eksperym enty m iały na celu porów nanie rozw iązań heurystycznych (w yróżnionych indeksem H) z rozw iązaniam i optym alnym i (oznaczonym i indeksem *)■
R ozw iązania optym alne otrzym ane zostały, wykorzystując M l lub M 2, natomiast rozw iązania heurystyczne - stosując algorytm H I lub H2. W celu uzyskania tych rozwiązań zastosow ano języki program ow ania matem atycznego: LINGO [8], A M PL [1] (solver CPLEX).
W celu porów nania rozw iązań heurystycznych z rozw iązaniam i optym alnym i wyko
rzystane zostały 4 w skaźniki: w l, w2, w3, w4, zdefiniow ane w tablicy 4. Pierw szy z nich wl służy do porów nania m aksym alnych w artości obciążeń m aszyn P"sx i P ’ . O dchyłka rozwią-
zania optym alnego od dolnego oszacowania m aksymalnego obciążenia maszyny je st zachowana w e w skaźniku w2. K olejny w skaźnik w3 wyraża odchyłkę rozw iązania heurystycznego od dolnego oszacow ania maksymalnego obciążenia maszyny. Do porównania czasów obliczeń przeznaczony je st w skaźnik vv4. Tablica 4 zaw iera zestawienie wartości średnich opisanych w skaźników , wyznaczonych dla 2 różnych przypadków: sztywnych, alternatywnych m arszrut m ontażu. W artości średnie wskaźników: w 2, w3 są w iększe w przypadku sztyw nych m arszrut m ontażu, niż w sytuacji gdy marszruty są alternatywne.
Potwierdza to fakt, że zrów now ażenie obciążeń maszyn je st znacznie trudniejsze (czasami niemożliwe) w przypadku sztywnych m arszrut montażu, niż wówczas gdy każdy typ operacji może być przydzielony do m aszyn należących do różnych stadiów. Czas rozw iązywania zadania rów now ażenia ELM , w której marszruty montażu m o g ą być alternatywne, je st oczywiście w iększy niż w przypadku rozwiązywania tego problem u dla ELM ze sztywnymi marszrutami.
4. Uwagi końcowe
W przedstaw ionych algorytm ach heurystycznych nie była relaksow ana zm ienna decy
zyjna Xj (przydział operacji j do maszyny i). Dzięki pom inięciu relaksacji tej zm iennej decy
zyjnej uzyskiw ane rozw iązania s ą stosunkowo bliskie optymalnym oraz zaw sze spełnione je st ograniczenie zasobow e (3) (nie byłoby to m ożliwe, gdyby dla zm iennej Xj w arunek całkowitoliczbowości został odrzucony). Korzyści te odnoszone są kosztem pewnego wydłużenia czasu obliczeń (w porównaniu do algorytmu, w którym wszystkie zm ienne są relaksowane).
W yróżnienie zbioru operacji, które nie w ym agają przydziału podajnika części, co ma miejsce w opracowanych m odelach, nieznacznie kom plikuje te modele, um ożliw ia jednak opis takich przypadków , w których zm ontow ane podzespoły przem ieszczają się na paletach obok innych, uprzednio zm ontow anych części.
LITERATURA
1. Fourer R., Gay D., K em ighan B.: AM PL - A M odelling Language f o r M athem atical Progrcimming. Boyd & Fraser Publishing Com pany 1993.
2. Łebkow ski P.: M etody komputerowego w spom agania m ontażu m echanicznego w
274 M. Magiera
elastycznych system ach produkcyjnych. W ydawnictwo AGH, K raków 2000.
3. M agiera M .'.Algorytm generow ania alternatywnych sekw encji m ontażow ych produktów w ieloosiow ych dla ESM. W ydawnictwo Politechniki Śląskiej, Z eszyty Naukowe, A utom atyka 2000, z. 130, str.85-94.
4. M agiera M .: M odele m atem atyczne i heurystyki relaksacyjne szeregow ania operacji dla elastycznych linii m ontażow ych z m aszynam i równoległymi. Zeszyty Naukowe P olitechniki Śląskiej, Autom atyka, 2002.
5. M agiera M ., Saw ik T.: M odele i algorytm y rów noważenia obciążeń maszyn i wyboru optym alnych sekw encji w elastycznych system ach montażowych, Zeszyty Naukowe A G H , A utom atyka, tom V , zeszyt 1/2, K raków 2001, str. 395-402.
6. Saw ik T.: P lanow anie i sterowanie produkcji w elastycznych system ach montażowych.
W N T, W arszaw a 1996.
7. Saw ik T.: Sim ultaneous Loading, Routing, an d A ssem bly Plan Selection in a Flexible A ssem bly System. M athem atical a n d Com puter M odelling, 1998, vol.28, no.9, pp. 19-29.
8. Schräge L., C unningham K.: LINGO, Optim ization M odelling Language. LINDO System s Inc., Chicago 1991.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. Zbigniew Banaszak
A b s tra c t
T his paper presents a hierarchical, tw o-level approach for flow control in a flexible assem bly line w ith parallel m achines. A flexible assem bly line consists o f a set o f assembly stations o f various types each w ith lim ited working space and is capable o f simultaneously producing a m ix o f product types. The flow is unidirectional. Each assem bly stage consists of one o r parallel m achines. A n assem bly sequence is a list o f sequential actions. The alternative assem bly sequences are given for each product. A n optim al assem bly sequence is such that incurs the m inim um o f assem bly costs, i.e., the m inim um o f assem bly operations required.
The top-level o f described new m ethod is a m achine loading, i.e., allocation of assem bly operations and part feeders am ong the stations and selection the best assembly sequences for all products so as to balance the station workloads. The m odels are constructed for tw o different types o f routes: fixed and alternative assem bly routes. The base-level is aa scheduling o f assem bly operations.
A relaxation heuristics are proposed to reduce CPU tim e required for m ixed integer program m ing. Each heuristic starts from the optim al solution o f the m ixed integer program.
Results o f com putational experim ents w ith the proposed M IP m odels and heuristics are presented.
