Egzamin: Statystyka I, 30 stycznia 2018
1. Niech X1, X2, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu gamma G(α, σ) o gęstości f (x) = Γ(α)−1σ−αxα−1e−x/σ, x > 0.
Załóżmy, że na podstawie ˆα i ˆσ, czyli estymatorów największej wiarygodności parametrów modelu α i σ, estymujemy funkcję parametryczną γ = ασ. Wyznacz asymptotyczny przedział ufności dla γ na poziomie 1 − δ.
2. Entropią rozkładu o gęstości f nazywamy H(f ) = −Eflog f (X). Dywergencją Kullbacka- Leiblera lub entropią względną gęstości f względem gęstości g nazywamy D(f |g) = Eflog(f (X)/g(X)).
Policz w postaci funkcji specjalnej zależnej od parametrów modelu:
(a) entropię rozkładu gamma G(α, σ),
(b) entropię względną dla rozkładów gamma G(α1, σ1) i G(α2, σ2).
3. Mamy dwie niezależne próby proste X1, ..., Xn ∼ G(1, σx) oraz Y1, ..., Ym∼ G(1, σy). Wyznacz dokładny przedział ufnosci dla γ = σx/σy na poziomie 1 − δ.
4. Mamy próbę prostą X1, ..., Xn∼ G(1, σ). Testujemy H0: σ ≤ 5 przeciw H1: σ > 5.
(a) Policz test jednostajnie najmocniejszy dla H0 oraz (b) policz i narysuj moc tego testu.
5. Rozważmy model liniowy Y = Xβ + , w którym X jest macierzą n × p pełnego rzędu p, przy czym pierwsza kolumna X jest równa 1 oraz ∼ N (0, σ2In). Niech dany będzie współczynnik dopasowania modelu do danych R2= 1 − SSE/SST , gdzie SSE =Pn
i=1(Yi− ˆYi)2 oraz SST = Pn
i=1(Yi− ¯Y )2. Pokaż, że:
(a) test R2> c jest równoważny testowi ilorazu wiarygodności dla modelu liniowego zerowego tj. modelu z macierzą X ograniczoną tylko do pierwszej kolumny,
(b) R2 ma rozkład beta B(p−12 ,n−p2 ).
6. W modelu liniowym z poprzedniego zadania policz:
(a) estymator nieobciążony dla ||β||2, (b) estymator nieobciążony dla σ4.
1
