Model matematyczny silnika klatkowego uwzględniający lokalne nasycenia magnetyczne

Tadeusz J. SOBCZYK 11

MODEL MATEMATYCZNY SILNIKA KLATKOWEGO UWZGLĘDNIAJĄCY LOKALNE NASYCENIA MAGNETYCZNE

Streszczenie. W pracy przedstawiono model silnika klatkowego, w którym uwzględniono nasycenie głównego obwodu magnetycznego przez prądy wszystkich obwodów silnika oraz nasycenia poszczególnych zębów stojana i wirnika przez odpowiednie prądy faz stojana i prętów klatki wirnika. W celu utworzenia takiego modelu wykorzystano formalizm lagrange'a, bazujący na funkcji koenergii. W pracy wyodrębniono koenergię głównego obwodu magnetycznego oraz koenergie obwodów magnetycznych lokalnych strumieni rozproszeń. W wyniku otrzymano model matematyczny, który umożliwia obliczanie efektów niedostępnych dla powszechnie stosowanych modeli obwodowych tej klasy maszyn.

MATHEMATICAL MODEL OF CAGE MOTORS TAKING INTO ACCOUNT LOCAL MAGNETIC SATURATIONS

Summary. In this paper a mathematical model of induction cage motors is presented. The developed model takes into account both saturation of the main magnetic circuit due to currents of motor windings and saturation of leakage zones due to individual currents of stator phases and rotor bars. To create such a model the Lagrange formalism was applied, which required to determine the coenergy function. In the paper the coenergy of the main magnetic circuit and coenergy in the magnetic circuits of leakage fluxes of individual currents are separated. The resulting mathematical model makes it possible to predict effects due to saturation that are unpredictable by circuital models of induction motors being in use at present.

Key words'. Induction cage motors, equivalent magnetising current

1. W S TĘP

M odele m atem atyczne silników indukcyjnych klatkowych bazują zwykle na równaniach obw odów elektrycznych, jakie tw o rzą uzwojenie silnika. Przy takim podejściu silnik stanowi zbór m agnetycznie sprzężonych cewek, w ięc do opisu najwygodniej je st używać indukcyjności własnych i w zajem nych, w ielkości typow ych dla cewek o liniowych charakterystykach. Stwarza to jednak problem y przy uwzględnianiu nieliniowości ferrom agnetycznego obwodu m agnetycznego silników, który ulega lokalnym nasyceniom . Tradycyjnie wydziela się dwa rodzaje nasyceń: obwodu m agnetycznego dla głównego strum ienia m agnetycznego, wytwarzanego przez w szystkie cewki uzwojenia, oraz obwodów dla strum ieni rozproszeń poszczególnych cewek, nasycanych jedynie przez ich w łasne prądy. O bydwa zjaw iska są w silnikach indukcyjnych klatkowych bardzo istotne i nieuw zględnienie ich prowadzi do znacznych różnic pomiędzy własnościam i przewidywanym i z m odelu m atem atycznego a obserwowanym i dla rzeczywistego obiektu. Problemowi temu poświęcono bardzo dużo prac i nadal je st on podejm owany w literaturze fachowej, co świadczy o tym, że nie je s t on do końca satysfakcjonująco rozwiązany.

A by odjeść od wykorzystyw ania indukcyjności własnych i wzajem nych w tzw. „obwodowych”

m odelach m aszyn indukcyjnych, w pracach [6], [8], [9] zaproponowano podejście bazujące na funkcji koenergii m agnetycznej i form ułowaniu równań maszyny bezpośrednio z równań Lagrange'a. Jednym z podstawowych założeń skuteczności i technicznej użyteczności tego podejścia je s t utrzym anie rozdzielnego działanie głównego obwodu m agnetycznego dla strumienia głównego oraz obw odów dla strum ieni rozproszeń. W istocie, nieliniowość obwodu magnetycznego

Prof. dr hab., Politechnika Krakowska, Instytut Elektromechanicznych Przemian Energii,

Katedra Maszyn i Napędów Elektrycznych, 31-155 Kraków, ul.Warszawska 24, tel/fax: +12 628 20 44, e-mail: pesobczy@cyf-kr.edu.pl

w m aszynach powoduje, że te dwa typy strum ieni m agnetycznych na siebie oddziaływają, a ich rozdzielenie w m odelu m atem atycznym je s t kom prom isem w stosunku do komplikacji, ja kie niesie za so b ą uw zględnienie tego faktu.

W pracy podjęto próbę utworzenia m odelu m atem atycznego silnika indukcyjnego klatkowego, który, utrzym ując założenie o rozdzielnym działaniu strum ienia głównego I strum ieni rozproszeń, uwzględnia je d n a k nieliniow y charakter dróg tych strum ieni.

2. Z A S T Ę P C ZY PRĄD M AG N ES U JĄC Y I FU NKCJA KO ENERG II SILN IK A KLATKO W EG O

A b y rozpocząć form alne operacje m atem atyczne zm ierzające do zapisania równań m odelu silnika klatkow ego, należy ustalić założenia odnośnie do uwzględnianych zjaw isk i faktów fizycznych. Niech b ę d ą to typow e założenia, przyjm ow ane przy tw orzeniu „klasycznych” m odeli silników klatkow ych, z w yłączeniem liniowego charakteru obwodu m agnetycznego. Będzie to w ięc m odel sym etrycznie zbudow anego 3-fazow ego silnika o p-parach biegunów i N prętach klatki, u w zględniający jedynie podstaw ow ą harm oniczną rozkładu pola w szczelinie powietrznej, nie uw zględniający żłobkow ania pow ierzchni stojana i wirnika, prądów wirowych w obwodach m agnetycznych oraz w ypierania prądów w prętach uzwojenia.

Podstaw ow ym pojęciem ułatwiającym tw orzenie równań m aszyn bez użycia indukcyjności jest z astępczy prąd m agnesujący, rów now ażny am plitudzie sum arycznego przepływu w szystkich cewek m aszyny. Dla m aszyny posiadającej M niezależnych uzwojeń, generujących przepływ p-tej harm onicznej kw adrat zastępczego prądu m agnesującego określa form a kwadratowa

(

1

W tej form ie kw adratow ej prądy i \ p i ' 2p ■■■ i ' Mp są przeliczonym i prądam i uzwojeń

’ m p = 7 ( Z m ^ m p ) * m = v mp *m i

gdzie: z m - liczba zwojów , k mp - w spółczynnik uzwojenia , im - prąd danego uzwojenia.

Kąty a h a 2, . . . , a M o kreślają położenia kątowe m aksim um przepływu m agnetycznego każdego z uzwojeń. Pozycję kątow ą m aksim um przepływu w ypadkowego p-tej harm onicznej, w stosunku do przyjętego kąta odniesienia, o kreślają wyrażenia:

] M J M

sin pa = — £ (i'mp sin p a m) ; cos pa = — £ ( i’mp cos p a m) . (3)

1(1 m=l *(l m=l

Te dwie w ielkości: zastępczy prąd m agnesujący ¡w oraz kąt p a stanow ią zm ienne zastępcze, które w ysta rcza ją do opisu funkcji koenergii m agnetycznej głównego obwodu m agnetycznego m aszyny od p-tej harm onicznej, niezależnie czy je s t on traktow any ja ko liniowy, czy nieliniowy.

Założenie, że strum ień główny oraz strum ienie rozproszeń nie oddziaływ ają na siebie, pozwala zapisać funkcję koenergii m aszyny w postaci sum y koenergii głów nego obwodu m agnetycznego oraz koenergii obw odów m agnetycznych poszczególnych strum ieni rozproszeń, które w pierw szym przybliżeniu zależne b ę d ą je d yn ie od prądów je wywołujących

E ko = Eg(i(,p,pa)+ S Eo,m(im) • (4 )

m = l

T aka postać funkcji koenergii pozwala zapisać ogólne równania Lagrange'a m aszyny elektrycznej o M uzwojeniach

^ - ^ = u ra - R m i m i d la m = 1 M, dt 3 i m

1 c o s p ( a ( - a 2) • • c o s p ( a ,- a M) 'ip ('np)2 = [i Ip 1 2p ' 'Mp]

cosp(a2 - a ,) 1 • cosp(a2 - a M) 'ip

cosp(aM - a ,) cosp(aM- a 2) • 1 ■Mp

J

d2cp 9Ekl dt

■ + Tm

3Eg

3>a,P 5 in ³(pa) 9i n

d m

H--- :— = U.

dt 9i„

J

d2rp

d i2“ ’

aEg aipp 3Eg 3(pa)

p 9<P 3(pa) 3cp ^{+ T_ (5b)}

W 3-fazow ym silniku klatkow ym można w yróżnić M =3+N niezależnych uzwojeń, tj. 3 fazy stojana (nie rozw ażając tu szczegółów ich budowy) oraz N oczek klatki wirnika, które wspólnie będą m agnesowały głów ny obwód m agnetyczny silnika przez sum aryczny ich przepływ m agnetyczny dla harmonicznej podstawow ej, tj. p-tej. Przyjm ując, że szczelina powietrzna je st równom ierna wzdłuż obwodu, o nasyceniu się głów nego obwodu m agnetycznego decydow ać będzie jedynie amplituda wypadkowego przepływ u m agnetycznego, niezależnie od je g o położenia kątowego. Zatem koenergia głów nego obw odu m agnetycznego będzie funkcją jedynie zastępczego prądu m agnesującego p-tej harm onicznej. O znaczając p rz e z is l, i s2, i s3 prądy fazowe stojana, przez

*o!>'o,2> "‘>'o,n Prądy oczek klatki w irnika oraz przez ksp w spółczynnik uzwojenia faz stojana, a przez k w p w spółczynnik skrótu dla oczka klatki (obydwa dla p-tej harm onicznej), zastępczy prąd m agnesujący silnika klatkowego, oznaczony w skrócie ip (dokładniej, jego kwadrat), określa forma kwadratowa

fi T i T 1 (Vs)2A SS (V5Vw)A,w V l1! 'W J

.(v⁵vw)(Aws)t (vw)²A ww_ .'w.

w której oznaczono

's.l 'o.l r i - x _ x i

2 2

. = 's.2 's,3

; i„ = 'o,N

; a„ = _ X 1 _ x

2 2

_ X - X 1

. 2 2

(

6

: -2-2 k

71 >P ’ Lsinpa ;

oc = —

1

cos pa cos2pa • cos(N - l)pa

cos pa

cos pa • cos(N - 2)pa

A -

cos2pa cos pa

■ cos(N - 3)pa

cos(N - l)pa cos(N - 2)pa cos(N - 3)pa •

A =

cos p<p

cosp(cp-a) cos(p(<p-a) + ^L)

cosp(ip-2a) cos(p(<p-2a) + ^L) cos(pcp + 2-^Ł) cos(p(<p-a) + 2-y.) cos(p(cp-2a) + 2-Sl)

cos p(cp - (N - l)a) cos(p(<|> - (N - l)a) + -y-) cos(p(rp - (N - l)a) + 2-y-)

Koenergia obw odów m agnetycznych strum ieni rozproszeń składa się z dwóch części - koenergii faz stojana oraz oczek klatki wirnika. O ile koenergię zw iązaną ze strum ieniami rozproszeń fa z stojana m ożna w pierwszym przybliżeniu zapisać w postaci sum y trzech identycznych, nieliniowych funkcji, zależnych od prądów poszczególnych faz

E0,. = E * (i1,1) + H‘ ( iI ,2) + E * ( ił>3) ,

to koenergie w ynikające ze strum ieni rozproszeń oczek klatki w irnika m uszą zostać podzielone na koenergie zw iązane ze strum ieniam i rozproszeń prętów klatki oraz segm entów pierścieni zw ierających. W ynika to z faktu, że w prętach i segm entach zw ierających klatki płyną różne prądy.

Dodatkow o strum ienie rozproszeń prętów za m yka ją się przez obwody m agnetyczne silnie nieliniowe, natom iast strum ienie rozproszeń segm entów pierścieni zw ierających za m yka ją się przez powietrze i ich obw ody m og ą być uznane za liniowe. Funkcje koenergii rozproszeń wirnika należy w ię c za p isa ć w postaci:

Eo.w = Z E : ( i n) + 2 Z | L “ » (i0in)2 ,

n=l n=l

gdzie przez i , , i 2,- - , i N oznaczono prądy prętów klatki a przez L“ 8 indukcyjność rozproszenia segm entu pierścienia. N ależy zauważyć, że, z racji sym etrii funkcje koenergii rozproszeń dla poszczególnych prądów s ą takie same, lecz za le żą od ich prądów. Z topologii klatki wynika (rys.1), że prądy prętów klatki /1,/2 >’ " , ,n s ą określone przez prądy oczkowe i 0>i , i 0,2>"‘ >'o,N

ln+^

1 -1 1 - 1

1

‘o.I

*0,2

*o,3

'o .N

(7)

Rys.1. Topologia obwodów klatki Fig. 1. Cagecircuits

Podsum ow ując, funkcję koenergii silnika klatkow ego m ożna przedstaw ić w p o staci;

E|c0 = E g ( v ) + E o ,1 + E o w = E g ( i łl) + L E ’ (i s,k ) + Z E " ( i n ) + 2 Z y L “ 8 ( i o n ) 2 .

k=l n=l n=l

(8) U m ożliw ia ona utw orzenie równań silnika klatkowego, które uw zględnią zarówno nieliniow ość głów nego obw odu m agnetycznego, ja k i nieliniowości obw odów strum ieni rozproszeń.

3. R Ó W N A N IA SILN IK A KLA TK O W EG O U W ZG LĘD NIAJĄCE NIELINIO W O ŚĆ OBW ODU M AG N ETYC ZN EG O

N apisanie równań silnika klatkowego w ym aga jedynie wykonania operacji m atem atycznych na funkcji koenergii (8), w ynikających ze zm odyfikow anych równań Lagrange'a (5a,b). Szczególną uwagę trzeba je d n a k zachow ać przy zapisywaniu równań w irnika, gdyż należy zarówno m ie ć na uwadze za le żn o ść o kreślającą zastępczy prąd m agnesujący (6), ja k również związki pomiędzy prądam i prętów a prądam i Oczkowymi (7).

Rów nania fa z stojana p rzyjm u ją postać:

d r 9 E g ( i ^ ) d r 9 E ^ ( i s,k ) '

dt

l

l J

natom iast w rów naniach oczek w irnika pojawi się kilka członów reprezentujących poszczególne składniki strum ienia rozproszenia oczka

. seg d i o,n _ 2 L ° d t “ d i 3EgM 9 iw ] d i 9 E " ( in_,) 9*n-i 'l d r 9 E £ (i„) 9*„ 1

dt 9*o,n ' dt , 9in-i 9*o,n ' dt ^*o,n

>

“ ( R p r ¡ o , n - l + 2 (R s e g + R p r ) i o , n R pr ¡ o , n + l ) ■ ^la 0=1,2 N. (9b)

Równanie m echaniczne (5b) upraszcza się do postaci;

^ E g ( y ) V ćkp d 2cp _

dt 3 i„ + T „

W tych rów naniach w ystę p u ją trzy nieliniowe funkcje:

£ W = w ( i ) . 9E° ( i, - ) - w , (i ,

Sip ' 3iSik

5En(in) 3 i„

(9c)

reprezentujące nieliniow ości, odpow iednio głównego obwodu m agnetycznego, obwodu strum ienia rozproszenia fazy stojana oraz obwodu strum ienia rozproszenia pręta klatki wirnika. Natom iast

3 i„ 3 i„ 3i„

pochodne cząstkow e — !=-, . oraz —- m ożna w yliczyć z wyrażenia (4) definiującego

3 's,k ^3cp

zastępczy prąd m agnesujący silnika klatkowego, a pochodne 3i„

oraz ze zw iązków (7).

Po w ykonaniu operacji m atem atycznych, zapisanych w równaniach Lagrange'a (9a,b,c), równania silnika klatkow ego m ożna przedstaw ić w następującej form ie m acierzow ej;

(

108

(10b) d/

A ( i„ ) (Vs) ^55 (VSVw)^SW '»

\

+ —d To,s +X 0 T i . - V

dt ,(vsvw)(^sw) (Vw) .'w. dt xo,w 0 R w J_iw ⁰

• 3 A „

'w + T m •

W tych rów naniach w prow adzono dodatkowo oznaczenia

U s,l X V o O s . l )

US = u s,2 . R i = R s • T o ,s = V o ( i s,2 )

A 3 . ^{R s .} V Ó ( is,3)

2(Rseg + R pr) - R pr

- R p r 2 ( R seg + R p r ) ~ R n

^seg ‘ Pf

2 ( R + R )

* 0 , 5

2L o8>0.1 - V a (> 0 ,N - ¡ 0 .1 ) + V o (¡0,1 - ¡ 0 .2 ) 2L oCg' o,2 ~ V o (¡0 ,1 " ¡ 0 . 2 ) + V o ( ¡ 0 ,2 - ¡ 0 ,3 ) 2L o8i o,3 - V o ( ¡0 ,2 - ¡ o , l ) + V o ( ¡0,3 - ¡ 0 , 4 )

- R p r 2 ( R Scg + R p r )

2E o X , N V o ( ¡ o . N - l ¡ o , n ) V o ( ¡ o ,N ¡ o . l )

N ieliniow ą funkcję y/pfip) zastąpiono w nich przez funkcję My(ip) 5Eg(iM)

V u

którą należy interpretow ać jako nieliniow ą przew odność m agnetyczną dla strum ienia głównego.

R ów nania (10) s ą na tyle oczywiste, że nie w ym agają specjalnego komentarza. Należy jednak z w ró cić uwagę na dość zasadnicze trudności ich rozwiązywania za spraw ą nieliniowego charakteru obw odów m agnetycznych rozproszeń. G dy pom inie się zjaw isko nasycania się tych obwodów, m ożna w p row ad zić odpow iednie indukcyjności rozproszeń i je d yn ą nieliniow ą fu n kcją w rów naniach (10) będzie funkcja nieliniowej przew odności dla strum ienia głów nego A( ; „ ) . W rów naniach (10) w ystępuje ona je d n a k przed m acierzą określającą sprzężenia uzwojeń silnika. M acierz ta ma je d n a k układ elem entów taki sam ja k m acierz indukcyjności vyłasnych i w zajem nych przy założeniu liniow ości głów nego obwodu m agnetycznego. Poprzez zm ianę w spółrzędnych m oże doprow adzić do uproszenia struktury tej m acierzy, analogicznie do przypadków liniowego obwodu m agnetycznego. Dodatkow o, należy jedynie w yrazić zastępczy prąd m agnesujący przez nowe w spółrzędne. S ku teczność takich operacji pokazano, m iędzy innymi, w pracach [7], [8], [9], Gdy je d n a k uw zględni się nieliniow y charakter obwodów rozproszeń, w ów czas technika transform ow ania prądów i napięć nie daje żadnych ułatwień, lecz wręcz kom plikuje opis m atem atyczny.

Pozostaje je d yn ie rozw iązyw ać układ równań (10) dla w spółrzędnych naturalnych, tj.

po szukując bezpośrednio prądów faz stojana i oczek klatki. Nie je s t to je d n a k całkiem proste, gdyż, sprow adzenie równań (10) do tzw. postaci norm alnej, tj. do układu równań rzędu pierw szego z pochodnym i po jednej stronie, napotyka na zasadnicze trudności za spraw ą strum ieni rozproszeń prętów klatki. N asycanie się zębów w irnika pod w pływ em prądów w prętach klatki je s t jednym z głów nych efektów w silnikach klatkowych i powinien on być uw zględniany w m odelu silnika na równi z nasycaniem się głów nego obwodu m agnetycznego.

4. W N IO SK I

Rozważania zaw arte w pracy doprow adziły do zapisania równań m odelu m atem atycznego silników klatkow ych, które pozw alają na uwzględnianie nasycania się zarówno głów nego obwodu m agnetycznego, ja k i obw odów m agnetycznych strum ieni rozproszeń. Dyskusja struktury równań m odelu w ykazała, że pow szechnie stosowane transform acje napięć i prądów s ą tym przypadku całkow icie nieprzydatne, gdyż kom plikują jedynie opis m atem atyczny. Równania m uszą w ię c być rozw iązyw ane ze w zględu na naturalne prądy uzwojeń silnika, a zastępczy prąd m agnesujący je st przy tym w ie lk o ś c ią bardzo pom ocą.

L IT E R A T U R A

1. Vas P.; G eneralized analysis of saturated AC m achines, A rchiv fu r Elektrotechnik, V ol.63, 1981, p p.(57-62).

2. Brown J.E., Kovacs K.P., V as P.; A method o f including the effects o f main flux saturation in the generalized equations o f AC m achines, IEEE Trans, on PAS, V o l.103, 1982, pp.(96-103).

3. Nehl T.W ., Fouad F.A., D em erdash N.A.; Determ ination of saturated values o f rotating . m achinery increm ental and apparent inductances by an energy perturbation m ethod, IEEE

Trans, on PAS, Vol. PAS-101, No. 12, 1982, pp.(4441-4451).

4. V as P., H allenius K.E., Brown J.E.; Cross-saturation in sm ooth air-gap electrical m achines, IEEE Trans, on Energy C onversion, Vol.1, N o .1,1986.

5. Boldea I., N asar S.A.; U nified treatm ent o f core losses and saturation in the orthogonal-axis m odel o f electrical m achines, IEE Proc., B, V o l.134, 1987, pp.(355-363).

6. S obczyk T.J.: A n energy-based approach to m odelling the m agnetic non-linearity in ac m achines, Proceedings o f International C onference on Electrical M achines, V ol.3, Vigo, 1996, pp.68-73.

7. Sobczyk T.J.: An analytical expression fo r the total m agnetising current and its application to creating AC m achine equations, Z eszyty Naukowe Politechniki Łódzkiej, Elektryka Nr 91, 1998, str. 157-161.

8. Sobczyk T.J.: An Energy-B ased A pproach to Modelling the M agnetic N on-Linearity in AC M achines, Part II - G eneral equations o f AC m achines accounting fo r saturation due to the main

M MF harm onic, A rchives o f Electrical Engineering, Vol. 48, PWN, W arszawa, 1999, Bull. 3, pp.

9. S obczyk T.J.: Równania m aszyn prądu przem iennego z nasyconym obwodem magnetycznym, E nergetyka, Izviestija Akadem ii Nauk, Rosyjska Akadem ia Nauk, Moskwa, 2000, No.1, pp.19- 30, (po rosyjsku).

10. Sobczyk T.J.: M odelling m agnetic circuit non-linearity o f AC m achines using equivalent m agnetic currents, M ateriały Konferencji: Electrom agnetic Phenomena in Non-Linear Circuits, Kraków, 2000, pp. 1-6.

W płynęło do R edakcji dnia 15 lutego 2001 r.

A b s tra c t

In the paper a m athem atical m odel o f induction cage m otors accounting fo r both saturation o f the m ain m agnetic and saturation o f leakage zones is presented. Because the level of saturation of the m ain m ag n e tic circuit depends on all currents, the equivalent m agnetising current has been introduced as a substitution variable o f the coenergy function o f this circuit. The equivalent m agnetising current is a positive value proportional to the amplitude o f the total MMF o f all machine windings, and its square is g ive n 'b y the quadratic form

f i T i T l

( v s ) 2 A Sj ( v 5 v w ) A j w i . I ' l ' w J

, ( V S V w ) ( A Wl ) ( V w ) A _

in which i, and i w are vectors of stator phase currents and cage mashes, respectively. Matrices A „ , A ww and A , „ depend on w inding angular positions on m achine circumference. It has been assum ed that leakage zones are saturated by individual currents o f stator phases and rotor bars.

T o create such a m odel the Lagrange form alism was applied, which required the coenergy function to be used. In the paper the coenergy function is divided into two parts, the coenergy function o f the m ain m agnetic circuit depending on the equivalent m agnetising current and the coenergy o f leakage zones depending on individual currents. Then, the coenergy function takes the form

279-294.

Recenzent: Prof. dr hab. inż. Krystyn Pawluk

The m odified Lagrange equations

± ( a E g a i n , P + 5 E g 3 ( p g ) l + d 5 E „ | m

d t L 5 i H.P 3 'm 5 ( P “ ) 5 i m

J dt

, d 2(p

V

ćkp 9(pa) ćkp m

lead to the final form of equations fo r induction cage motors

_d_

dt ^{A ( U}

( V s ) ^S S ( ' , SV w ) ^ S f

(^S^wX^Sw) ( Vw) ^ w\

\

_1__

_L

0 T '*

. ‘ w . > dt ^{4^}1 o,w r

0 R w J L 'w . 0

j4 t = | (v>v w) A ( V ) (¡,)T ^ i w | + T m . dt

9 A „ 3<p

The resulting m athem atical m odel m akes it possible to predict effects due to saturation that are unpredictable by circuital m odels o f induction m otors being in use at present.