Podręcznik teoryi mostów dla inżynierów i słuchaczów szkół politechnicznych : z 94 rysunkami w tekście. Cz. 2, Łuki i wieszary

PODRĘCZNIK

T E O R Y I M O S T Ó W

DLA

INŻYNIERÓW I SŁUCHACZÓW SZKÓŁ POLITECHNICZNYCH

Z 94 RYSUNKAMI W T E K Ś C IE

CZĘŚĆ II. ŁUKI I WIESZARY

OPRACOWAŁ

Dr M A K SY M IL IA N T H U L L IE

RADCA DWORU, PROFESOR SZKOŁV POLITECHNICZNE) WE LWOWIE

...,v* \ C ena 5 k oron.

LWÓW 1913

NAKŁADEM KOMISYI BIBLIOTEKI POLITECHNICZNE]

I. ZWIĄZKOWA DRUKARNIA WE LWOWIE

F < 5 9

¡I. f l L Q g

î-ifiÿ I :SSS|iSlî|S'l PC -' ’ • , )>

¿ 2 4 , o 4 : M à > ÿ 8

* 6 t e 5 ú

I 5 5 |5 g

LUstęp.

§ 1. U w agi o g ó ln e o b elk a c h łu k o w y ch .

W części pierwszej Podręcznika teoryi mostów podzieli­

liśmy dźw igary na belki proste, łukowe, wiszące i układy złożone. Teoryę belek prostych wyłożyliśmy w I. części pod­

ręcznika (tom I. i I I .) ; w drugiej części m ów ić, będziemy o lu k a c h i Avieszarach jakoteż układach złożonych. W praw dzie teorye- łuków i wieszarów maj ą wiele punktów stycznych i moż- naby je razem wykładać, to jednakże ze względu n a jaśniejszy w ykład rozdzielimy j e i obecnie będziemy mówić tylko o łukach.

Dźwigar,, (rys. 1.), w ywierający naw et przy pionowem obciążeniu ciśnienie ukośne na podpory i dążący do ich odda­

lenia, nazyw am y jr o z p ° r- n, ic ą 1 u b d ź w i g a r e m r o z p o r o w y m (n. Spreng­

werkträger, fr. poutre ä jambettes, poutre de chas­

sis, a. strut fram ed girder, cz. nośnik vzperadlowy, vzepreny).

Jeżeli oś takiego dźw igaru je s t linią krzyw ą (rys. 2.), to

■nazywamy go d ź w i g a r e m ł u k o w y m lub ł u k i em (n. Bo­

genträger, fr. poutre en arc, arc, a. arched girder, arch, cz. nośnik obloukovy, oblou/c), zaś mosty, których dźw igary główne są lu k a­

mi, nazyw am y m o s t a m i

/ = strzałka łuku. ł u k o w y m i (n. Bogen­

brücken, fr. pon t en arc, a. arched-bridge, arch-bridge, cz. most obloukovy).

Dr. M. Tłrałlie. Podręcznik teoryi mostów część II. 1 R ys. 2. I = rozpiętość łuku.

R ys. 1.

łuków i udowodnili, że do określenia linii ciśnienia potrzebnem je st wyznaczenie trzech niewiadomych. W tym celu albo ucie­

kam y się do praw ideł spężystości i badam y odkształcenie łuku lub też budujem y łuk w ten sposób, aby trzem danym w arun­

kom zadość uczynić, urządzając p r z _ ? S u_ÍLZ (n> Gelenk, fr. charnière, a. jo in t, cz. kloub).

Są to połączenia przegibne dwu części, na które dźw igar podzieliliśmy. W stanie równowagi moment w miejscu prze­

gubu je s t rów ny zeru, a więc linia ciśnienia musi przechodzić przez przegub. U rządziwszy n przegubów, otrzym amy dla równowagi n równań, które u z y s k a m y , przyrównywuj ąc mo­

m enty sił zew nętrznych dla tych punktów do zera. A że .dla łuku brakuj e nam trzech równań, więc, j eżeli urządzim y w łuku trz y przeguby, otrzym amy dla równowragi jeszcze trzy równania, a- łuk staje się statycznie wyznaczalnym. Jeśli urządzim y tylko dwra- przeguby, to brakować nam będzie jeszcze jednego rów­

nania tak, że łuk będzie niewyznaczalnym pierwszego stopnia.

Przeguby, gdy je st ich tylko dwa, umieszczamy w dolnych końcach łu ku t. zw. w ę z g ł o w i a c h (n. Kämpfer, fr. naissance, retombée) i nazyw am y je p r z e g u b a m i p o d p o r o w y m i lub w ę z g ł o w i o w y m i {Kämpfer gelenk, Auflagergelenlc).

Gdy przegubÓAv je s t trzy, to prócz d w u przegubów pod­

porowych dajem y w k l u c z u (fr. clef) t. zw . pr z e g ub k 1 u- c z o w y (n. Scheitelscharnier, Mittelgelenk).

W praktyce używ am y ł u k ó w t r ó .i p r z e g u b o w y eh, (n. Bogenträger m it drei Gelenken, Dreigelenkbogen, fr. arc

à trois articula­

tions, arc arti­

culé aux nais­

sances et à la clef, wł. arco a tre cerniere, a.

threc — hinged arch, cz. oblouk otrechkloubech), ł ukÓAv d w u p r z e g u b o w y ch, (n. Bogenträger m it Kämpfer- gelenken, fr. arc avec deux charnières, wł . arco a due cerniere

') Dr. Thullie, S tatyka budow li; II. w yd. str. 883 i dalsze.

a. arch with hinged ends, cz. obloulc o dvou kloubech) i ł u k ó w b e z p r z e g u b o w y c l i (n. Bogentrager ohne Gelenke, fr. are

encastré aux nais- sances, are sans articulations, wł.

arco ińcastrato, a.

hingeless arch, cz.

obloulc bez Icloubu).

Łuki mogą mieć

Rys. 4.

dolny

zaś górny prosty poziomy (ryś. 3.), lub obydwa pasy krzyw e (rys. 4.). W pierw­

szym -wypadku (luk prostopasowy) pomost układam y wprost na g ó r n y m p a s i e pro­

stym, w dru­

gim pomost opieramy na łuku bądź za pomocą s ł u ­ p ó w p o m o s t o w y c h (s) (n. Fahrbahnstütze, fr. tympari), usta­

wionych na grzbiecie luku, bądź też f i l a r ó w p o m o s t o- w y c h (n. Fahrbahnpfeiler), umieszczonych w większych od­

stępach. .¡.y,¡

Pomost może też być zawieszony na łuku za pomocą s ł u p ó w w i s z ą c y c h (rys. 5.) (n. Hangestange, Tragstange, fr. tige de suspensión).

F). Teorya łukóLU.

I. Łuk trójprzegubo w y .

§ 2. O ddziaływanie dla obciążenia pionowego.

Łuki mogą być obciążone pionowo lub też mogą na nie działać siły ukośne lub poziome. Dla mostów najważniejszem je s t obciążenie pionow e; najprzód badać też będziemy łuki tylko pionowo obciążone, nie uw zględniając na razie innych rodzajów obciążenia.

*

W celu wyznaczenia oddziaływań podpór przyjm ijm y łuk sym etryczny trój przegubow y (rys. 6.) o przegubie C w po­

łowie rozpiętości. Niechaj działa na łu k ciężar P w odstępie u od lewej podpory, to wywołuje oń o d d z i a ł y w a n i e u k o ­ ś n e p o d p ó r Oj i Os , których kierunki w yznaczym y z wa­

runku, że momenty sił zew nętrznych ze w zględu na przeguby

Ą, B i C muszą być rów ne zeru. Zatem O, ma kierunek AC, a że obydwa oddziaływania i siła P m uszą się przecinać w j ednym punkcie, więc kierunek drugiego oddziaływ ania 0.2 je s t BI).

Ukośne oddziaływ ania Oj i 0 2 dadzą się rozłożyć na składowe poziome iT, i II, i pionowe składowe F, i V2. Skła­

dowe pionowe nazyw am y p i o n o w o m i s k ł a d o w e m i o d ­ d z i a ł y w a ń . poziome zaś p a r c i e m p o z i o m e m I I (n. Ho- rizontalschub, fr. pousse, a. homzontal thrust).

Dla równowagi musi być

/ / = / / , = / / 2

Aby wyznaczyć V1, ustaw m y równanie momentów ze w zględu na p unkt B :

Vtl —P (l—u) = 0, stąd

Fj ^ - U- i podobnie . . . . (la) ... a * )

(2⁾ W punkcie C moment je s t rów ny zeru, więc

. 1) dla C > będzie : V,'. £— H .f = 0

2) Dla będzie :

Vi , ~ — H . 1— m )= 0 , stąd

_ V , l P ( l - 2 u ) _ F u _ m * (8)

— 2 f " 2 f

2

Z rów nań ty ch widzimy, że o d d z i a 1 y w a n i ii p i o n o w e Fj i F2 s ą d l a l u k u t r ó j p r z e g u b o w e g o t a k i e s a m e . ...

j a k d l a b e l k i w d w ó c h p u n k t a c h p o d p a r t e j , z a l i n i a w p ł y w o w a p a r c i a p o z i o m e g o s k ł a d a s i ę

z d w ó c h - p r o s t y c h a c r i c'6 , p r z e c i n a j ą c y c h s i ę y £ Ę ^ $ p l w ś r o d k u r o z p i ę t o ś c i . Mamy bowiem z rów nania 2 ) •(../¿.•‘{z,

l P I -ś-

dla u —l, H — 0 ; dla H = g^., z rów. 3)

„ u —0, 11=0: „ u - f , a zatem c c '= ^ . , jeżeli P = 1.

Oddziaływania O, i 0 2 przecinają się w punkcie D. Jeżeli siła P porusza się od C do B, to p unkt D porusza się po pro­

stej CD) jeżeli siła działa po lewej stronie pun k tu C, to punkt D leży na prostej CD'.

Linia, po której się p un k t D porusza, nazyw a się l i n i ą p r z e c i ę ć i a. s i ę o d d z i a ł y w a ń D' CD (n. Kampferdrucklinie, Schnittlinie der Kdm p fer dr ii cke, fr. ligne d ’ intersection des reactions, a. ihe line o f intersections, cz. sećnice reacku opero- vych). D l a ł u k u t r ó j p r z e g u b o A v e g o o t r z y m u j e m y w i ę c j a k o l i n i ę p r z e c i ę c i a s i ę o d d z i a ł y w a ń d w i e p r o s t e CD i CD'.

Linia wpływowa parcia poziomego wykreślona na rys. 6., odpowiada wypadkowi, gdy nad przegubam i A, B i C leżą poprzecznice. W w ypadku przeciwnym linia wpływowa parcia przedstaw ia się ja k na rys. 7., albowiem linia wpływowa mię­

dzy poprzecznicami je s t prostą. T u je s tto linia parcia ukośnego

'4-fh J. J ijjy-i ¿V * .

<20 jid, j t W f r .» » » » ¿ « « ¿ » V Ął+-

I I', którą w ten sam sposób się kreśli, co linie parcia pozio­

mego II. Z kształtu linii wpływowej H (rys. 6.) wynika, że j na wielkość i / , maj ą m ały wpływ ciężary bliskie węzgłówia,

7.

wielki bliskie klucza. Znając linię wpływową, możemy łatwo obliczyć wielkość parcia poziomego dla jakiegokolw iek obcią-;

żenią i tak :

D la o b c i ą ż e n i a j e d n o s t a j n e g o z u p e ł n e g o , jeżeli przez g oznaczymy ciężar jednostkow y, będzie:

1-

zas

. . . (4)

•. V • D la o b i ą ż e n i a c z ę ś c i o w e g o na długości e od pod­

pory (rys. 8.) ciężarem jednostkow ym otrzym am y:

Hc = p Ą . d d '

« f j ^ ^ i. J 7 7/ ^ ^ ^ ponieważ zas a a 7: -^y=e: a 4/’: '2"==2?»

w ię c H c= j > . j - f

J e ż e l i ł u k o b c i ą ż o n y j e s t u k ł a d e m c i ę ż a r ó w s k u p i o n y c h '(ry s. 9.) i gdy wypadkową ciężarów po lewej

R ys. 8.

stronie przegubu nazwiemy R ' a po prawej R " , to w tym w ypadku będzie parcie poziom e:

H s= R 'y ' + R ''y "

Z rysunku widać, że:

y ':c c ' = e ': - ^ \l

c/ cr1

więc y ' —

2

stą d : H a= ^ f (R'ę' + R " e " ) . . (8)

Z kształtu linii wpływowej parcia poziomego widzimy analogię do linii wpływowej momentów dla belki prostej w dwu punktach podpartej. . A więc każdy ciężar wywołuj e w łuku A

parcie poziome dodatnie, a dla najw. I I musi być cała belka obciążona, największe i najgęstsze ciężary m ają się znajdować w pobliżu klucza, a jeden ciężar musi stać na przegubie klu­

czowym.

§ 3. Momenty osiow e.

W eźmy pod uw agę dowolny p u n k t D w osi łuku (rys. 10.), którego rzędne są a; i y, i przypuśćmy, że na łuk działa ciężar P w punkcie F. Moment w punkcie D b ęd zie:

dla u^>x: ,

s M = Vix —H y, dla u<i%

M = Vxx - l \ x —u ) - I I y

E ys. 10.

Moment zaś dla belki prostej w punkcie, o 2 od lewej podpory odległym, w ywołany tym samym ciężarem P , je s t:

dla u > x : 9Jł = F, z

dla- u<jx: 9 )i= F 1a;—P(x—u).

Ponieważ dla łuku składowa pionowa oddziaływania F, je s t rów na oddziaływ aniu podpór belki prostej w dwu punktach

podpartej, więc stąd wynika, że >

M = m - H y w ~ 4 r ) : ■ (9)

t. zn., że m o m e n t M w d o w o l n y m p u n k c i e ł u k u , r ó w n a s i ę m o m e n t o w i 2)i b e 1 k i . p r o s t e j w d w u

“V <, . 4*vo-vy*+j

tf-

p u n k t a c h p o d p a r t e j z e w z g l ę d u n a p r z e k r ó j p o d t y m p u n k t e m l e ż ą c y , p o m n i e j s z o n e m u o i l o c z y n H y .

W celu wyznaczenia linii wpływowej momentów w yzna­

czmy moment w punkcie Z), który będzie dla u^>x.

My, = Vix — H y = -/ -(-y --)a; - I ł y

lub — / / } ...(lOa) a jeżeli u<jx, to

Mti— Vxx—P(x—u) — H y: ponieAvaż zaś P{l—u) P (x—u) F, x-—P{x—u) = ---- — --- — -l

P P7/

= -j-(lz—u x —lx -\-u l)= -y (l—x) a w ięc:

. . . . (10b) Rzędne a; i y są stałe dla pu n k tu I) ; wyłączywszy więc y przed nawias, możemy dla w yrażenia w naw iasie wykreślić linię wpływową w następujący sposób:

Z rów nań lOa i lOb Avidać, że Mj>je s t różnicą dwu funkcyi

f | JP(l_U) 2»

w, z których pierwsza ma k s z ta łt: ' -— — na prawo od

# i JP(t_

pu n ktu D (rÓAV. lOa), A v z g lę d n ie —-— . — na lewo od punktu

“ V

jD (rów. 10b), a Avięc da s i ę p r z e d s t a A v ić d A v iem a liniam i pro- stemi b d " i d " a , — d ru g a przedstaw ia l i n i ę wpływową parcia poziomego. Do w ykreślenia prostych b d " i d "a , posłuży nam

•Wyznaczenie pun k tu obj ętnego, czyli p u n k tu o tej własności, że ciężar P , na nim stojący, nie daje żadnego momentu ze p-um w z g lę d u na p un k t D. Moment zaś av D b ęd zie się rÓAvnał zeru, g d y oddziałyAvanie O, b ęd zie przechodziło przez te n ż e p u n k t D.

Jeżeli Avięc połączymy p unkt A z punktem D (rys. 10.), aż do przecięcia się av punkcie E z linią „przecięcia się od­

d z ia ły w a ń “, — te d y oddziaływ anie O, z powodu siły P ', d zia­

łającej w pionoAvej przez E nie daje żadnego mom entu ze względu na punkt D.

Jeżeli siła P ' posunie się na praA vo, Avtedy 0\ daje moment ujemny, zaś dla siły P 2 na leAvo od p u n k tu E je st moment

dodatni. Z tego wynika, że p u n k t E je s t punktem obojętnym, a zatem rzędna linii wpływowej M n je st w tem miej scu równą zeru, czyli prosta bd " przecina się z linią wpływową 11 w punkcie e' w pionowej, poprowadzonej przez E.

Linię wpły wową , momentów _wykreślimy więc w ten sposób:

• .Najpierw kreślim y linię wpływową parcia poziomego d c' b, w yznaczamy E przedłużając AD do przecięcia się z 6c, pro­

wadzimy pionową z E aż do przecięcia się z prostą ac' w punkcie e' łączym y b z e' aż do pionowej przez D i kreślimy prostą ad ".

W ten sposób otrzym am y kreskowaną powierzchnię w p ły ­ wową (rys. 10.), której część a d "e ' je s t dodatnią, część zaś e'c'b ujemną.

Z kształtu linii wpływowej możemy bardzo ła tw o ' w yzna­

czyć w wiadomy sposób najniekorzystniejsze położenie układu ciężarów skupionych, a z powierzchni wpływowej możemy w y­

znaczyć największe dodatnie i ujemne momenty dla obciążenia jednostajnego zupełnego.

cP Przypuśćmy, że. oś luku je s t p a r a b o l ą i obciążmy go zupełnie ciężarem j ednostkowym g, to moment w dowolnym

■punkcie (rów. 9.) równa się M = 9J?—Iły , a że

2Jt=J<jr(Z—a;).a:1), zaś parcie poziome wedle równ. 5), H —^ j , więc M ={-gx(l—x)—^ y . y .ql i

Dla paraboli je st

stąd ¿(1—* J = |~ zatem M = f? - .y —?Jf . y = 0.

"Widzimy zatem, że d l a ł u k u p a r a b o l i c z n e g o p r z y o b c i ą ż e n i u j e d n o s t a j n e m z u p e ł n e m j e s t m o m e n t z e w z g l ę d u n a oś w s z ę d z i e r ó w n y z e r u : ciężar własny zatem, jeżeli je st jednostajnie rozdzielony na długości l, i obcią­

żenie zupełne w ywołują tylko siłę podłużną, a l i n i a c i ś n i e - n i a w p a d a w oś.

Z powyższego w ypływ a także, że dla łuku parabolicznego, powierzchnie wpływowe mom entów: dodatnia i ujemna, muszą

*) Dr. T łm llie: S tatyka bud., str. 24, rów. 18.

być sobie rów ne, tein samem tró jk ąty a d "b i ae'b (rys., 10.) muszą być sobie równe, a punkty d " i c' muszą leżeć na prostej poziomej.

§ 4. Momenty jędrne. .

Dla obliczenia przekroju belki łukowej o ściance pełnej potrzeba nam momentów nie ze względu na oś łuku, ,lecz ta k zw. m o m e n t ó w i od m y c h x) (n. Kernmoment, cz. moment

"ku bodu jadroveho) t. j. momentów sił zew nętrznych ze względu na p u n k t y j ę d r n e g ó r n e i d o ln e , m o m e n t u j ę d r n e g o g ó r n o g o (n. oberes Kernmoment) i m o m e n t u j ę d r n e g o d o l n e g o (n. unteres Kernmoment). Tu bowiem stosować mo­

żemy w zór: Tg,I= M d<e,j i zdI —M„ed przyczem Ma je s t 'momentem , jęd rn ym dolnym, Mg górnym. Licząc natężenia w warstwie

Rys. 11.

górnej, w staw iam y moment jęd rn y dolny i odwrotnie dla dolnej J w arstw y — moment jęd rn y górny.

Linie wpływowe momentów jędrnych w yznaczam y w ten sam sposób, ja k linie wpływowe momentów osiowych, z? tą tylko -różnicą, że zam iast rzędnej y punktu leżącego w osi, bierzemy odnośne rzędne y ‘ lub y " punktu jędrnego górnego (g) lub dolnego (d) (rys. 11.),

’) Dr. T h ullie: S tatyka budowli, str. 887.

Dla tego samego przekroju otrzym am y więc dla punkt,u jędrnego górnego inny p u n k t obojętny niż dla dolnego, zatem i inną linię wpływową (r. 11 b i e).

V, h

E ys. 12.

Jeśli uwzględnimy tę okoliczność, że ciężar działa na górną powierzchnię łuku, a więc dla przekroju GD w punkcie G

R ys. 13.

(rys. 12.), to musimy prostą be przedłużyć aż do g " i zwiększyć powierzchnię wpływową ó trójkącik g' g " g '" ■

' J Dla przekrój ów blisko klucza, w których p u n k t jęd rn y górny (gA) leży powyżej B C lub dolny (ci,) poniżej A C (rys.

12.), niema właściwego punktu obojętnego. Pomimo tego kon- strukcya pozostaje ta sama !(iys. 13 b i c). P un ktu e używamy do w ykreślenia linii w pływowej, ja k pierwej, chociaż p u n k t .»obojętny E je s t tu urojonym. Z rys. 13. b i c widać, że dla przekroju blisko klucza otrzym ujem y dla M,, powierzchnię wpływową w całości ujemną, dla Md zaś w całości dodatnią.

Z k ształtu linii wpływowej możemy w yznaczyć najw ię­

kszy moment dodatni i ujemny. Jeżeli łuk obciążony je st cię­

żarem jednostajnym , jednostajnie rozłożonym, to dla najw ię­

kszego momentu dodatniego w dowolnym punkcie D (rys. 10.) albo też w punkcie g lub d (rys. 11 ), należy obciążyć lewą stronę łuku od podpory A aż do pun k tu obojętnego, dla n a j­

większego momentu ujemnego praw ą stronę od pun k tu obo­

jętnego do podpory B.

Z rysunku 10 otrzym am y :

§ 5. N ajw iększe momenty.

na.jw (— M) = —pye'bc' = p y (l— %) 2~

Aby Avyznaczyć c'c", zważmy że g : - ~ —e e ': ^

|) = c c " : ee'

c' c"

najw (—M ) = — g y -(ż—( * - 2 | ) ...( U ) Z rys. 10 otrzym am y podobnie:

najw (-\-M ) = -\-ypae'd "

¿t Aby wyznaczyć d ’d " zważmy, że:

.§Ę 'd".

(13)

(14) najw (+ itT ) =

C#9 "Wzory te możemy jeszcze inaczej napisać:

Z rysunku bowiem wynika, ż e : x : y = £ : E E {

a także l —Ę : ^ - = E E i :f, zatem

a stąd odstęp pun k tu ob ojętnego od leAvej podpory . 2fxl

S = Zy + 2 f x ...

2/a;(Ź—|J a stąd y = --- ^ —

co w sta w iw szy w równ. 11-. i 12. otrzym am y :

n a j ( * - 2 £ )

n Ę w ( + M ) = ^ ( Ę —x) . . . . (15) Dla ciężaru własnego otrzym am y z rów nań 11. i 12.:

M„ - 8 f V 4 f( i ^ y

czyli: ...(16) lub też z rów nań 14. i 15.:

M , = ^ ( i - x ) - Ę y - m - 2|i:

czyli

^ = g [ ^ 3 Z - 2 S) - Z ^ . . . (17) Dla przekrojów blisko klucza, gdzie niema punk tu obo­

jętnego, otrzym am y naj w ( + M), względnie naj w (—M ), dla obciążenia zupełnego, więc wedle 17, jeżeli tylko zam iast g w staw im y p.

jeżeli za y w staw im y rzędne punktów ję d rn y c h : y ' = y + i, i y " —y —i, a przez f oznaczymy odcinki odnośnych punktów oboj ętnych.

r ■' Chcąc w yznaczyć k ształt im ii n a jw ¿fc M, musimy przyj ąć

■“pewien k ształt łuku. Dla łuku np. parabolicznego: y — -j^{l—x)r\fx

... ..." * ...‘ V

co wstawione w rÓAV. 13. ważne dla momentów osiowych, da nam :

* W n o,

5 ly + 2 fx 31— 2 x ... K ’ Jeżeli wartość tą w staw im y w rów nania 11. i 12., to o trzym am y:

■ * . < - « > - • - w

najw ( + J f ) - g - ^ g ± 23:’ czyli

■ ■ '

&

Z rów nań 19. i 20. widać, że

najw (—M ) = n a j w (-M /) •• • ■ ' • (21) Momenty te różnią się tylko znakami.

W celu w ykreślenia k ształtu tych linii, w yznaczam y dla różnych punktów w artości na f, (—M ) i (+ iJf). I ta k :

ć lla y = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6

K= 0,333; 0,357 ; 0,885; 0,417; 0,455; 0,500 l najw (—M ) = —0 —0,0129; —0,0185; —0,0175; —0,0109; 0 p l l

najw ( + A f ) = 0 0,0129; 0,0185; 0,0175; 0,0109; 0 p l 2

Nąjw. 0:019 p l 2 dla a:=0-234 l i 0-395 l.

Dalej otrzym am y dla momentu j ędrnego dolnego:

M,t = N(c+ i ) = M + N i odstęp pun ktu oboj ętn eg o :

2 fxl

~ l y —l i + 2fy ’ 2 ^ a . dla osi parabolicznej £d=

2 fx ( 3 l~ 2 x y u 2

* * * * - !

i - s s S j

najw (—Mit) = — a c^ a osi parabolicznej

n ajw (—Md) = a najAV ( + M,i)

-i) (Z-

*j

- 2 Q

4 g * - g ) ' " ‘ ^' Dla momentu rdzennego górnego mamy

J f , - N ( c - i ) = 31—N i j. _ 2 f i l _ 2fu

ly + li+ 2 fx 2fu(3—2m)+ż, najw

pi(y+ i)(£t,—x) najw

l 100^’

• • ■ -(27) i 1 Z poprzednich rów nań otrzym am y więc n. p. dla --- = _ /"== OjlZ: dla

r o 5 » - o U= 0 najw (—Mg)= —0,0125

„ (—3f,i)=+0,0125

„ (+Jlf,)= 0

„ .( + * * ) - o

Podług tych i poprzednio obrachowanych w artości w ykre­

śliliśmy rys. 14.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 l

0,303 0,351 0,090 0,430 0,476 l

0,435 0,425 0,448 • 0,482 0,526 l

■0,0226 -0 ,0 2 7 6 -0 ,0 2 5 9 -0 ,0 1 8 3 -0 ,0 0 6 6 p l l

■0,0042 -0 ,0 1 0 0 -0 ,0 0 9 7 -0 ,0 0 3 9 -4-0,0058 p l2 0,0102 0,0161 0,0136 0,0060 -0 -0 6 1 pV 0,0168 0,0225 0,0222 0,0164- 0,0065 p l 1

Jeżeli łuk obciążymy układem ciężarów skupionych, to dla najw (-f-iŁf) jeden ciężar ma stać n a przekroju, a ciężary

') Dr. Tłiullie: Poćlr. teoryi m ostów str. 42 i nast.

jednostkow e na długościach A D i D E mają, być o ile możności równe. Dla n ajw (—M ) m a jeden ciężar stać w kluczu, a dłu­

gości E C i CB m ają być o ile można równo obciążone1) (rys. 10. i 11.).

§ 6. Siły poprzeczne.

* Przypuśćm y, że na łu k A B C (rys. 15.) działa siła F w od­

stępie u od podpory A i chodzi nam o wyznaczenie siły po­

przecznej Q w punkcie F. J a k wiemy, siła pop rzeczna2) je s t to składowa, prostopadła do osi, wypadkowej w szystkich sił

R ys. 15.

działających po lewej stronie przekroju. Składam y więc wszy­

stkie siły po lewej stronie przekroju leżące, a więc w w ypadku naszym : Vi , H i P w wypadkową i rozkładam y j ą w kierunku stycznym do osi w punkcie F i w kierunku prostopadłym, przez co otrzym am y dwie sk ładow e: siłę poprzeczną Q i siłę podłużną N.

*) T h u llie: Podr. teor. m ostów str. 42. i następne, J) T h u llie: S tatyka bud. str. 18. i 384.

D r. M. Thullie. Podręcznik teoryi mostów część U . 2

podpartej, to otrzym am y

<2=£l dost cp— H w st cp, albo'

Q —f ...dot cp— H ... (28) w st Cp

Rzędne zatem linii wpływowej rów nają się różnicy rzęd­

nych dot cp i H.

P u n k t przecięcia się tych linii otrzym am y dla Q' = O.

Będzie to p u n k t obojętny E. Jeżeli więc w E stoi ciężar, a Q ma być równe O, to ’«wypadkowa (tutaj oddziaływanie Oj) musi być równoległą do stycznej w F. Aby w yznaczyć więc p u n k t oboj ętny E. kreślim y z A równoległą do stycznej av F, aż do przecięcia się z linią oddziaływań CD w E. K reśląc z E pio­

nową aż do przecięcia się z linią wpływową parcia poziomego ac'b w e, otrzym uj emy p un k t linii w pływ owej dla Q dot cp.

Linia ta, ja k wiadomo składa się z dw u prostyc h . bf' i równo­

ległej do niej a f" , przyczem aav = P dot cp.

Zatem otrzym am y dwie powierzchnie wpływowe ujemne a f " f i eo'b i je d n ą dodatnią ffe .

P dot cp otrzym am y robiąc a m —l J, i kreśląc ma¡ prosto­

padle do stycznej w F . W ten sposób otrzym am y % p u nkt linii bf'.

Jeżeli E w ypada poniżej C (rys. 16.), w tedy niema , w ła­

ściwego pu n k tu obojętnego, lecz konstrukcya pozostaje ta sama.

"VV ten sposób otrzym ane rzędne przedstaw iają nam Q’ Aby więc otrzym ać Q, należy rzędne lub po­

wierzchnie wpływowe pomnożyć przez w st cp. D la punktów blisko klucza, konstrukcya staje się niewygodną, bo p u n k t f' otrzym ujem y bardzo daleko, a powierzchnię wpływową bardzo wielką, zaś czynnik w st cp bardzo mały.

W obec tego, że dla małego k ąta cp je s t dost cp=l, zaś w st cp=¡=0, więc d l a p r z e k r ó j ó w b l i s k o k l u c z a b ę d z i e w p r z y b l i ż e n i u po w staw ieniu tych wartości w rów nanie 28:

Q= O • • • • . . . (29) j a k d 1 a b e ł k i p r o s t e j . Z rów nania 28 otrzym uj emy nieco większe wartości, ja k z rów nania 29. W p r z y b l i ż e n i u w i ę c m o ż e r n y l i n i ę w p ł y w z e k r o i ó w b l i s k o k l u c z a w y k r e ś l i ć j a k d l a b e l k i p r o s t e j .

Jeżeli ciężar działa pośrednio n a łuk zapomocą poprzecznie i słupów pomostowych (rys. 17.), to w tedy siła poprzeczna

R ys. 17.

F1F 2. Z punktów F i i F 2 kreślimy pionowe do przecięcia się z linią wpływową w /j i f t , które to p u n k ty łączym y p ro stą1).

*) Dr. T h u llie: Teorya m ostów str. 71 i nast.

R ys. 16.

w całym przedziale F XF 2 je s t stałą. W ykres więc linii w pły­

wowej pozostaje ten sam, tylko A E je s t w tedy równoległe do

§ 7. N ajw iększe siły poprzeczne.

Z k ształtu linii wpływowej sił poprzecznych (rys. 18.) w ynika bezpośrednio najniekorzystniejsze obciążenie łuku. "Wi­

dzimy mianowicie z rys. 18., że i s t n i e j ą t u d w a p u n k t y

R ys. 18.

o b o j. e t n e K i E. D l a n a i w (+ Q) m a b y ć I n k m i ę d z y t y m i , p u n k t a m i o b ó j ę t n y m i o b c i ą ż o n y , d l a n a j w (—Q) r e s z t a b e l k i , a w i ę c d ł u g o ś c i A K i 'E B .

o-’ Jeżeli łuk je s t obciążony układem c i ę ż a r ó w s k u p i o ­ n y c h , to dla najw ( + Q) jeden z ciężarów ma stać na p ra­

wej poprzecznicy F2, a ciężary jednostkow e na długościach K F 2 i F2E m ają być, o ile możności, równe. Podobne prawidło istnieje dla najw (—Q), dla którego ciężary muszą stać na lewej poprzecznicy Ft i w kluczu C.

Jeżeli obciążymy łuk ciężarem j e d n o s t a j n i e r o z ł o ­ ż o n y m , to możemy napisać:

najw (+ Q) = + p . k xf2e.w st tp=-—(£—x2)f7f i'w stcp

i _-y _d Z rysunku m am y: /,2/‘2/ = c /c//—--- ---

chodzi teraz o wyznaczenie c’e" i xv J a k w § 6. marny:

Z rysunku mamy dalej :

: (g—:*2) = / i/ i ' ' V i ' = xi ■ té—Vi— a)

zatem : x2 :g = x l :(i;—a) więc: x2 — x— 1 ... (30)ê .x

b ®

AVstaw m y te w artości w rów nanie d la:

najw (~r Q), a otrzym am y :

“ j ' v ( + o - y ( ?~ f e ) ■:t=f ■ ~ - g 2 * czyli :

/ , ^ p lw s tm Ë,(£—x . —a)'1

n a j» ( + < 3 ) - L ^ | î _ _ l r _ ' 1 . . . (31, Dla a = 0 , a więc dla obciążenia bezpośredniego, zm ieniając

2j na x, otrzym ujem y:

n ą J w ( + G ) = Ł i g ! Ł 2 . ( Ł ^ . . . (82) Podobnie otrzym am y: n ajw (—Q) = —p . w st rp(aĄ k^ + e&b)

= ——w s t. cp\x/i f i , + (l—Ź). c'c"

Z poprzedniego m am y: f^fx• = / / 2

zatem : n ajw (— Q) = — ^ - w ą t . g > . c ' c " ^ ^ + ( ł — i) a po w staw ieniu wartości za x^ i c'c"

najw (— Q) = — 8/-(f j i |y S(|Z:^){2^ 2+ ( z—£>(*—2£)(£—«)} • (33) dla a = 0 i x j= x będzie:

n ajw ( - 0 ) = - ^ g ^ { 2 x M -(^ -g )(g -2 g )} . . . . (34) W zory te możemy w innej formie przedstawić. Z rysunku bowiem w ynika że :

| sty c z . (p= E E X zatem

£ stycz <p : f= (l—|) : ~ czyli

stycz y = 2 /(^ g> . . . (35) zas c —trz—v --- --- (°b)

2 f+ 1 stycz (p

W staw iając te w artości w rów nania 31, 32, 33 i 34 otrzy­

mamy :

najw ( + dost <P ' ‘ (37)

dla a =0 i xt = x będzie:

n a j w ( + ( - > ) = . d o s t cp. . . . (38) Dalej otrzym amy podobnie:

n ajw ( ~ Q ) = - £ | | z | ) {2^ i 2+ ( ¡ - i ) (l ~ 2Ź) ( £ - c)} • • (39) a dla a= 0 i x1= x będzie:

najw ( - Q )— P - d^ —^ 2«!2+ ( M ') ( ?-ag)} . . . . . (40) D l a o b c i ą ż e n i a c a ł k o w i t e g o c i ę ż a r e m w ł a ­ s n y m otrzym amy

(*-2£) ( I - « ) ] • (41) a- bez w zględu na poprzecznice a więc dla a =0 i i , =2i b ęd zie:

Q ,~ g; d?s* ?.^ - x) * - 2 x * - ( l - i ) ( ¿ -2 g )]

q8=b? : jg ( 8 g - 4 o ;) - P ] . . . . (42) D l a ł u k u p a r a b o l i c z n e g o otrzym am y:

stycz 9p = —— ponieważ zaś , a

4f 4 /

V\ = 7 2 «i V—'xx); 1 2/1= 7 2 (^i + a) (i—®i — a) 4/ 1

więc stycz <p=^-(ż—2Zj — a) a ze względu n a równ. 35. je s t:

2 4 f 0

,

stycz <33= — ^ — = - ^ ( l—2xl — a) więc odległość pun k tu obojętnego

! _

_ _ _ Ł ' . .

a dla a= 0 i 2^ =2: będzie

i-iM

. .

(43)

(44)

W staw iając wartość tą za £ w rów nanie 38., 40. i 42.

otrzym am y dla łuku parabolicznego bez uw zględnienia po­

przecznio :

. , P ( P - S l x + i x 2)2 , . ■ n a jw (± Q h ± z w m = i * j — d ,s t ? ■ • m

zaś Qg= 0 . • ■ (46)

Z atem : D l a ł u k u p a r a b o l i c z n e g o s i ł a p o p r z e ­ c z n a z e w z g l ę d u n a c i ę ż a r w ł a s n y j e s t r ó w n a z e r u , to znaczy, że l i n i a c i ś n i e n i a w p a d a , w oś.

W celu Avykreślenia k ształtu linii najw . (± Q ), obliczamy dla poszczególnych w artości x, wielkość siły poprzecznej z ró­

w nania 45. I ta k :

ai8fe-= 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5;

najw (±<?)=±0,167; ±0,105; ± ± 0 ,0 7 1 ; ±0,059; ±0,069; ±0,125 p l dost <?

stycz ? = 0,4; 0,32; 0,24; 0,16; 0,08; 0

Z nając w artości na stycz cp, możemy obliczyć odpowiednią dost (p, którą to w artością pomnożymy w yniki otrzym ane na n ajw (± Q ).

W ten sposób otrzym am y:

najw, (±<2)=0,155; 0,100; 0,069 ; 0,052 ; 0,069; " 0 ,1 2 5 pl.

P odług tych w artości wykreślone linie (rys. 19.) przed­

staw iają najw (±<2):

§ 8. Siły pobłużne.

Z rys. 15. widzimy, że siła podłużna dla u<Zx N = (V i —P ) w st cp + H dosfc cp.

W staw iając zaś w artość za Vi otrzym am y

■N=---- y~ w st <p+H dost cp.Pu L

Podobnie otrzym am y dla u > x

iV = F 1w st (p-\-H dost cp—P w st cpĄ-II dost cp.

L

Jeżeli rów nania te podzielimy przez dost cp, otrzym am y dla u < x ; N ' = - N -r. U ,

- --- = —P - - s t cp+ Il dost (p l

dla u^>x) N'-- N

, , - = - P * > <p + H

dost <p l

(47)

to

Jeżeli Q nazw iem y siłę poprzeczną dla belki, prostej, W =C l st ( p + H ...(48) Na podstawie tego rów nania możemy wykreślić linię wpływowa siły podłużnej..(rys. 20.). K reślim y w zw ykły sposób

T?>tf

---- .

R ys. 20.

linię wpływową ach dla H. Do tego dodać mamy rzędne linii wpływowej dla siły poprzecznej, pomnożone przez st cp. W tym celu robimy bd= P , kreślim y z ci równoległą do stycznej do osi.

w danym punkcie, to bb'=Psb.cp. Robim y aa' = bb', a w tedy a f'f" b je s t linią wpływową D st cp. Rzędne obie tycli linii Q st cp i I I dodajemy i otrzym ujem y kreskow aną powierzchnię wpływową. Jeżeli obciążenie je s t pośrednie, otrzym ujem y n a­

stępną linię wpływową w edług rys. 21.

Dla danego obciążenia możemy też w yznaczyć e z rów na­

nia N e= -^{M d— M,j) (rys. 21a).

§ 9. Odkształcenie łuku z pow odu zmiany ciepłoty i przesunięcia podpór.

Niechaj przez przesunięcie się podpór powiększy się roz­

piętość łuku o A l (rys. 22.), a równocześnie zmieni się cie­

płota o ± ii0. „

...+...ł ----

R y s. 21 a. R ys. 22.

Z rys. 22. w ynika f = ^ ,

dczSsAs— ~ M Stad zm iana strz a łk i: A f= i --- -... ...

* ^

R ys. 21.

1 a , sAs c z y li: A f = —- ^ A l zt - y

Znak ± w skazuje, że łuk z powodu zm iany ciepłoty zniża się lub podnosi. Jeżeli a oznacza spółczynnik rozszerzal­

ności, a s długość cięciwy łuku, to

Ą = a . i . s ; więc sAs= a .t .s 'i= a . t ^ ~ Jr f 2j 'k t( l \

"Wstawiwszy tę w artość w rów nanie dla A f otrzym am y A f ^ ~ A l ± ~ ( l 2+ ł f ) .j • • • • (49)

Spółczynnik rozszerzalności możemy przyjąć dla żelaza zlew nego «=0,0000118

„ stali miękkiej «=0,0000108

„ żelbetu a = 0 ,0000120

„ ceg ły a = 0 ,0000052

„ w apien ia a = 0 ,0000081

„ kam ienia (przeciętnie) a = 0 ,0000070

„ ' drzewa (podłużnie) a = 0 ,000003 do 0,000010

„ drzewa (poprzecznie) a = 0 ,00003 do 0,00006

Z równ. 49. widzimy, że ta k p rzesunięcie się podpór, które w ywołuje zwiększenie się rozpiętości łuku, ja k również zmniej szenie się ciepłoty, spraw ia obniżenie klucza.

P r z y k ł a d : N iech będzie dany łuk o rozpiętości: 1—2 0 m i strzałce:

/'= 2 ,o m. Jak w ielkieni będzie zniżenie lub podw yższenie klucza łuku, jeżeli przesunięcie A Z=0,5 cm, spółczynnik rozszerzalności a = 0 ,0000118, zaś zm iana ciepłoty i= + 2 0 ° ?

"Według wzoru 49. jest:

!± | T » 00 + * • 256 } w c m

J 4 . 250 ~ 4 . 250 l I

i / = —1,0+3,304 cm.

dla ¿ = + 2 0 ° będzie w ięc A /= -[ - 2,304 cm dla i = —20° zaś A/ = — 4,30-i cm.

§ 10. Odkształcenie łuku w ogóle wskutek obciążenia.

Aby w yznaczyć odkształcenie łuku w skutek obciążenia, odwołujem y się do wyw odu zasadniczych wzorów, dla odkształ­

cenia łuku, podanych w podręczniku „S tatyki BudoAvliU1).

Niech będzie A C B osią łuku (rys. 23.), którego długość od pewnego p u nk tu A nazw ijm y s = A D , k ą t zaś nachylenia stycznej w punkcie D do poziomu niech będzie (p (dodatni licząc w kierunku wskazówki na zegarze). W skutek obciążenia zmienia się ilość q> i ilość s o A f i As.

') Dr. T h ullie: S tatyka B udow li str. 409.

AVtedy

^ Acp.dy r* x

A(p.dx

Jo jo.~.. , jo

Ads je s t to zmiana długości nieskończenie małej cząstki łuku ds, więc

m n , (B1)

przyczem N oznacza siłę podłużną, a A powierzchnię przekroju.

D ajem y znak —, bo N oznaczając ciśnienie, skraca łuk.

i d v - M ... (52) również

ds ... ..eI

Scałkowawszy teraz rów nania 51. i 52. otrzym am y:

Gdy k ształt łuku je s t dany, w tedy znaną je s t zależność między zmiennemi x, y, s i cp, — a zapomocą powyższych rów nań, możemy w yznaczyć odkształcenie łuku.

R ys. 23.

Jeżeli ilości, odnoszące się do początku łuku, (lewego węzgłowia) A, oznaczymy znaczkami 0, a do punktu B znacz­

kami t , to otrzym am y całkując częściowo»«¿uwsaiWe. S o ;

AXi— A x^A c p i y i — A<p0y 0 —\ yd s+

iJ‘9j ds AiJi —Ay0 = —A ęiy l -f A%x0 + ^ ^ x . ds Zważyższy, ż e :

, Adę _ M ' Ads_ N Z&S ds e l 1 ds e A ’ otrzym am y:

AX j AX;> =

% o = — ■ % (

§ 11. Odkształcenie łuku trójprzegubow ego wskutek obciążenia.

Dla łuku trójprzegubow ego nieznaną je s t zm iana kąta w lewem węzgłowiu A<p0. N azw ijm y zmianę k ąta w kluczu Acfl'. i zastosujm y rów nanie 55. do obydwu połówek łuku, to

otrzym am y dla przesunięcia klucza, jeżeli długość łuku całego oznaczymy przez ł (rys. 24.). Dla części AC:

-Axc= — A tpfĄ -^ yd s— ^ Ax,=A<pgf-

Dla części C B :

Podobnie:

£ ' , „ (* l

Ayc= - A ^ + ^ i L ^ d s J y ^

+ ( l - x ) d s - d y

(57)

Jeżeli teraz dodamy oba rów nania 56. i oba 57., a Avyru- gujem y Axc i Ayc, następnie zaś dodamy te rów nania a wyru- gujem y A<pe, to po uproszczeniu otrzym am y zm ianę kątly7lg>n :

Ostatecznie zaś zm ianę k ąta w kluczu A(pc otrzym am y z równ 56.:

A<pc=Aip0- \ T~ d x + ^ ^ d x - ^ ~ -f dx . . . (59) D l a ł u k u p a r a b o l i c z n e g o m am y:

y = ~ x ( l — x)

Jeżeli łuk je s t płaski, możemy przy jąć: ds = dx zaś N = H . Jeżeli zaś dalej przyjm iem y I i A jak o stałe, to gdy siła P działa w punkcie F, przyczem odstęp jej od lewej podpory

w staw ić możemy w rów. 58. dla u^>x:

P (l—u)x 2 P u rl

M = --- --- l i ~ ' — a u < j c :

P u ,, , 2 Pu

1 =

i o trzym am y:

M = T ( l - u ) ---- ¡ f x ( l - x )

Pu[P—6(1— w)3] Pul

3oJ»»—

‘~SaP

■ (60)

Podobnie też otrzym am y zmianę k ąta zlr/Jj na praw ej pod­

porze B :

‘ , Pm[Z3—5w2(Z-m)1 Pul

* < - aosip--- - 1 5 ? » ' • ■ (61) Z nając Acp0 możemy z równ. 55. w yznaczyć Ax i Ay dla dowolnego p u n k tu łuku. Zrobimy to najpierw dla x —u , n a­

stępnie zaś dla x = I ta k dla £ = « będzie:

P fu 2

Axu= — J2 (Z -m)[Z3- 5 ( Z -m)3] +m[5Z(2Z2- 9mZ+11m2) - 1 6m3]

15eiZ _

P u 2

+

-(Z-2m) . (62a)

1 2 e A f I

- 4S ^ ' ,+ 8 ^ ( i“ “ )] ' ' ’ (<i2b) Zaś dla 2:= ^- o trzy m a m y :

■ ■ ■ <6 8 a )

<68b) Zmianę k ąta w kluczu A<pc dla luku parabolicznego otrzy­

mamy w staw iając w równ. 59. odpowiednie w artości za A<p0, i¥, i y:

P u l . (64) i e A f 2

R ów nania 63a, 63b i 64. ważne śą tylko dla u < ^ . Gdyl

ciężar działa po prawej stronie łuku, to możemy użyć tycli samych wzorów, ale musimy liczyć u od prawego przegubu węzgłowiowego, lub p rzy jąć: (l —u) zam iast u.

Jeżeli ciężar P działa w kluczu, to otrzym am y z rów nań 63a, 63b i 64. dla u =

Axc= 0 ...

A n t PI3 P l(l2+4:f2)

ai/e..

480eI 16 e A f2 ■ . . . (65)

A m 7 PI3

¿A(pc —1

480e7 8 e A f2

W staw iając w rów nania 63., 64. i 65. różne w artości na iloczyn — otrzym am y różne wyniki, które zestawim y V tabelce U

t

umieszczonej poniżej. Rozkładam y przytem Ayc na dwie części Ay'c i A y"c zaś Acpc n a A<pc' i A<pc" tak, że Ayc= A yc‘ + Ayr" ; zaś A(pc=A<pc’ + A<pc" . Otrzymane z rachunku wartości przed­

staw iam y :

d la :

ï - 0 , 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

A#c==0 0,0019 0,0031 0,0031 0,0019 0

Ay'c = 0 0,00055 0,00075 V

0,09031 -0,0007' -0 ,0 0 2 1 A'ÿ"c=0 -0 ,0 1 2 5 -0 ,0 2 5 0 -0 ,0 3 7 5 -0 ,0 5 0 0 -0 ,0 6 2 5

;Af'c = 0 -0 ,0 0 0 9 8 -0 ,0 0 2 9 3 -0 ,0 0 5 6 5 -0 ,0 0 9 7 3 —0,0146£

A f'c = 0 -0 ,0 2 5 -0 ,0 5 0 - 0 ,0 7 5 - 0 , 1 —0,125 r / n

E / p p a

l A p

* 5

Na podstawie powyższych w artości w ykreślim y linie w pły- wowe dla Axey Ayrc; A y" c\ A<p'c i Acp"^) (rys. 25.).

R ys. 25.

V

Z kształtu linii wpływowych łatwo poznać możemy spo­

sób obciążenia belki układem ciężarów skupionych dla n a j­

w iększych odkształceń.

*) Porównaj też J a c q u i e r M. Le calcul graphique des ponts en arc à tripple articulation par la méthode des lign es d’influence.

Jeżeli łu k obciążony je st ciężarem jednostajnie rozłożo­

nym, to najw iększe odchylenie poziome klucza nastąpi dla obciążenia jednej połowy łuku. Otrzym am y w ted y:

■ ■ ■ <66) Ponieważ Ayc= A y'c+ A y " c a drugi w yraz je s t ujemny, więc p u n k t obojętny E będzie leżał nieco na lewo od punktu F przecięcia się linii wpływowej Ay'c z osią. Jeżeli A E = x 0 to :

r » ,. ,<\ * * < ' * + * ’ >

8eAP W staw iw szy I —m .A f , otrzym am y:

4Cte0 \ l —* 0)+6Ojn-^-(Z2+ 4 /2) —3Z3= 0 . . . (67) J e s t to rów nanie trzeciego stopnia m ające dwa rzetelne pierw iastki, które w danym w ypadku dadzą się łatw o w yzna­

czyć. P rzyjąw szy w przybliżeniu x0 otrzym am y największe podniesienie klucza, które przy obciążeniu pierwszej i ostatniej, trzeciej części łuku w yniesie:

. / , , x 37p V p l \ P + 4 r f2)

» » J » ( + !y,> • ■ (68)

N ajwiększe zaś obniżenie klucza nastąpi w przybliżeniu przy obciążeniu środkowej trzeciej części łuku i w yniesie:

, 7 X 3 7 p i * , 5 p l \ V + ± P )

1,ą|W ( Jc\ 116640eT 288e A f 2

Pi-zy obciążeniu jednostajnem zupełnem otrzym am y obni­

żenie klucza:

r m + m .

y 8%Af ‘ k

Największa zmiana k ąta w kluczu następuje przy obcią­

żeniu zupełnem a mianowicie wynosi:

1 2L

u .d u

'o L J ~Z~~* *J o

najw u [P + ^ l2(l- u Ą d u ~ l

ostatecznie w y p a d a :

. . bPp p P _ p l * ( 5 , 1 \ ,7 n uajw A ( p - g iQeAn 16e (gOJ A f y

§ 12. Obliczenie przekroju łuku blaszanego.

Bezpośrednie dokładne wyznaczenie przekrojów łuków blaszanych natrafia na mnogie trudności, albowiem dla ozna­

czenia najw iększych momentów są potrzebne linie jędrne, któ­

rych znowu położenie zawisłe je s t od wymiarów przekrój u.

Musimy używ ać więc metod przybliżonych, które tu kolejno przejdziem y.

1. O b l i c z e n i e t y m c z a s o w e. Łuki blaszane możemy obliczać w podobny sposób ja k belki blaszane proste, a mia­

nowicie podług wzoru r I = M e 1), jeżeli tylko zam iast momentów osiowych w staw im y mom enty jędrne górne i dolne. I ta k gdy chodzi o natężenie %d w dolnej w arstw ie przekroju, bierzemy m oment jęd rn y górny Mg i odstęp' kraw ędzi dolnej łuku od osi obojętnej ed %d.I= M q.ed ... (72a) Gdy zaś chodzi o natężenie zg w w arstw ie górnej przekroju, to bierzemy moment dolny Md i odstęp górnej kraw ędzi od osi obojętnej eg xg: I — Md.eg ... (72b)

Ja k wiemy mom enty jędrne, górny i dolny, nie są sobie równe, z czego w ynika, że jeśli przyjm iem y i xd równe, to przekrój nie będzie symetrycznym, a oś obojętna nie będzie leżała w„środku przekroju, lecz nieco się przesunie. Tego prze­

sunięcia osi obojętnej zazwyczaj jed n ak nie uwzględnia się przy obliczeniu tymczasowem, bo je s t ono bardzo małe z tego powodu, że przy mniejszych rozpiętościach, dla których łuków blaszanych w łaśnie się używa, Ma i Md mało się od siebie różnią tak, że możemy z w ystarczającą dokładnością przyjąć oś obo­

ję tn ą w środku ścianki stojącej.

A by otrzym ać przekrój niesym etryczny, dajem y nakładki bądź to o różnej szerokości, bądź o różnej grubości, bądź też nakładki różne co do szerokości i grubości.

Obliczenie grubości nakładek uskuteczniam y, ja k d ia b ełek blaszanych prostych, tylko musimy wprowadzić takie'sam e, ja k poprzednio, zmiany. Tak więc dla górnej n akładki będzie po­

wierzchnia jej użyteczna : (rys. 26.) f

') Dr. T hullie: S tatyka budowli, str. i 387 rów, 577 i dalsze.

A _hr fi __ ° _____ 1

1 9 9 K . .t h ^ h y + ^ d g )

M d SJj

• (73)

Dr. M. T hullie. Podręcznik teoryi m ostów część II. B

zaś dla dolnej nakładki powierzchnia je j użyteczna M g 2 I i

--b'd.d d ( 7 4 )

A r a7 2 Z -S 2 2 r-ydW-

M

r: v ,, j źźźnr ^{■ i}

O *

/ 1 j '?* /¿| (^¿| “

, gdzie i je st szerokością n a­

kładki górnej w zględnie dolnej po odciągnięciu dziur na nity, a więc b'„=b„—2 d zaś b'A—b,r-2 d ; /¿i wysokością ścianki, t natę­

żeniem dopuszczalnem na zgi­

nanie, /j momentem bezw ład­

ności ścianki i kątów ek po od­

ciągnięciu dziur na n ity pionowe.

P rzy obliczeniu przekrój u tym sposobem zachodzi ta oko­

liczność, że musimy znać linie i mom enty jędrne, do których wyznaczenia, znowu potrzebną je s t znajomość przekroju. Mu­

simy więc tu postępować zapo- mocą prób i liczyć dwa razy, przyczem jako pierwsze przy­

bliżenie m ożemy przyjąć odstęp linii jędrnych rów ny przy li­

cznych nakładkach 0,8 /i,, przy małej ilości nakładek 0,7 hy, obliczyć następnie dla tego za­

łożenia momenty jędrne i prze­

krój, poczem w yznaczyć po raz w tóry ju ż dokładnie linie jędrne

^ ..."bz... i

R ys. 26.

i w końcu przeprowadzić cały rachunek po raz drugi.

"Wysokość łuków blaszanych przyjm ujem y równą do ^ rozpiętości. Ściankę dajem y 10 do 15 m m grubą, a to ze względu na to, że działa tu siła podłużna.

2. S p o s ó b M u l l e r a - B r es l a u a .

W edług Miillera-Breslaua, aby odrazu liczyć z większem przybliżeniem grubości nakładek, postępujem y w następujący sposób:

Jeżeli mamy przekrój, którego moment bezwładności ścianki i kątówek ze względu n a oś ss nazwiemy / t (rys. 27.),

przekrój górnej nakładki A ,, dolnej A 2, odstępy środ­

ków ciężkości nakładek od osi ss a, i as,, moment ze względu na p u n k t jęd rn y górny M:n zaś ze względu na dolny Md; to moment bez- Avładności I całego przekroju ze w zględu na oś ss będzie z wielkiem przybliżeniem :

1 ^ 1 , + A . a ^ + A ^ (75) I ta k na podstawie rów­

nań 72 o, i L). możemy w przy­

bliżeniu napisać, ż e : MrjJ ZA- i Md= lT' \

<h a v

Na zwi j my a,

tg Mg

a 2 ta Md

W przybliżeniu je s t /li + /ly Ui + a2 - \

(76)

(77)

R ys. 27.

więc (ht + h2).c

2(1+ c)

h\ + h2 (78)

2(1 + c)

Jeżeli teraz założymy, że oś obojętna ss ma przechodzić przez środek ciężkości przekroju, czyli że A 1a1= A 2a2 torów n.

75. możemy w następujący sposób przekształcić:

I = I i + A i al al + ^ l1a 1a 2= / 1 + A i ax{al + ai) = I i + A i al a ze w zględu na rów. 78.: I = I t A\{h\ + h 2)%c

1 4(1 -f- c) W edle rów nań 72. i 78. m am y:

Md .O/j + h 2)c

2 (1 + c ) . T

(79)

(8 0 )

A ^ h i + h ^ c M a ih i+ tijc

więc 7, 1 —

1_r... 4 (l+ o ) 2(1 + c)t

Stąd możemy w yznaczyć przekrój A l górnej n a k ła d k i:

a 2 M * ^ ( i , 1 1

1 ^ + 7t, ) 2 l 1 + c y • • ’ 1 j Podobnie przekrój J,2 dolnej nakładki, ze względu na to, , A 4 d2 l i i

ze: — = — będzie:

A 2 d 1 o

A i = A lC ~ < A ± / b j * I & i ( 1 + c ) ' ' ‘ (82) W e wzorach. 81. i 82. nie znam y w artości h2 i c, aby więc umożliwić w yznaczenie A t i A 2, możemy przyjąć jako pierwsze przybliżenie: h2 = \ i c = l.

W ten sposób o trzy m am y :

(83)

A — M ± _ 2JT,]

"-1 — /¿( 1

A , = a X

-7. Ji,% m s .

zatem wzory podobne do wzorów 73. i 74.

Obliczywszy teraz w artości A t i A 2 podług równ. 83., możemy, w yznaczyć dokładniej i k 2= h l + d !r+ da i obli- czyć A j i A 2 po raz w tóry ju ż teraz podług rów nań 81. i 82.

Zaznaczyć tu musimy, że przy pierwszem liczeniu może­

my wprowadzić jeszcze jedno uproszczenie. Mianowicie wzory 83. możemy ze w zględu na to, że różnica między M,, i Md nie je s t wielka, napisać ogólnie:

- ...(8 4 )

przyczem M{ oznacza większy moment ję d rn y z momentów Mg i Md, M ;—M + N i, gdzie M je s t to moment ze w zględu na oś, S je st s iłą : podłużną, zaś i promieniem jędrnym ,

n. 1 , M + m 2

• ' ' ' ( ’

Do wzoru 84. wprowadzić należy My ja k największe, co da się w yznaczyć dokładnie, względnie w przybliżeniu dla x = 0,25 l. Dla tego położenia musimy w yznaczyć odpowiednie

H 2 /

N — - i w staw ić wartość i =~.—7, względnie w przybliżeniu

dost <p - - k 2A ” - L J

2 1 . . .

l ~ j t > gdzie A je s t powierzchnią całego przekroju, zaś A 0 przekrojem ścianki i kątówek. A by zatem otrzym ać dokładną

wartość na promień ję d rn y należy liczyć najpierw podług wzoru przy­

bliżonego, wynik trochę powiększyć i liczyć po raz drugi w edług wzoru dokładnego.

3. S p o s ó b M e r a n a. Niech dla przekrój u przedstawionego na rys.

28. oznacza A 0 powierzchnię, J0 moment bezwładności kątówek i ścian­

ki, A i i A 2 powierzchnię nakładek, I mom ent bezwładności całego prze­

krój u A = A 0+ A l + A 2) którego od­

stępy środka ciężkości S od środków ciężkości nakładek niech będą a, względnie a2, to z wdelkiem przybli­

żeniem możemy n a p isa ć :

M d \

...|I\%v\v(a\M \ \ \ \\ t

R ys. 28. A i° i- -A 2a2 - -A,

s k ą d : ® i= ( 3

a\ + a2 = ^

■ ) 'T ’ a2 - ( 1 + ~

( a * - 4 ) =

M . A 2 N azw ijm y ..= cp,

to będzie: «j = ( 1 —<p). A Z h

r j

(86)

(87)

I ^ I a + A i ai * + A 2a11+ A 0( ~ - — a i y = I a+ A ( l — cp*)J~ —A'1 W p rzyb liżen iu otrzym am y m om ent bezAvładności / :

A2 l° ' T Gdy natężenie w A t i A 2 ma być równe, to z rówoiań 71. i 72. otrzym am y:

_ M g.a 2 _ M d.a,\

I ~ ~ T ~ ~

gdzie Mg i Md oznaczają mom enty jędrne górny i dolny.

S tad: i i = ^ = J " 9. . . . . "(88) a 2 Md l - f ę o

' ,Qa.

a ' 9.... J T a + > i „ ‘ ■* * ■ ‘ .

Podług rów nania 72. mamy w przybliżeniu :

I . t —Ma.ai zaś po w staw ieniu w artości za I i % otrzym aińy

f /¿s />2) //

(/„ - M ( 1 ~ V ) • \ - A . ~ Y = M a{ l- c p ) I Stąd powierzchnia całego przekroju :

= ^ 2i^ ■ _ + . . . . (90) a po w staw ieniu cp z rów nania 89.:

. M g + M a , A„/*2- 4 / 0

/¿.t 1 4A2 ' ii/,, . i¥(, ‘ ' ' Przekroje nakładek obliczymy w końcu z rów nań:

A _ 1 + (P A 1 i _ 'Md ' A 1 A 1 ° 2 0 f j f y + j f j 2 0

1 — 93 1 JC, . 1

y 2 2 2 0 J j T + M , , 2 0

(91)

(92)

Na podstawie przekrojów, wyznaczonych w ten sposób, możemy przeprow adzić teraz dokładne obliczenie, a to w yzna­

czając linie jędrne i odnoszące się do tychże najw iększe mo­

menty. Do obliczenia zaś powierzchni yl, i A 2 służą, ja k po­

przednio, powyżej ustaw ione wzory.

Obliczenie powyższe odnosi się w całości także do łuków dwu i bezprzegubowych z tym jeszcze dodatkiem, że przy ostatecznem w yznaczaniu przekroju musimy też uwzględnić w pływ zmian ciepłoty.

§ 13. Siły w e w n ę t r z n e w łu k u k ra to w y m .

'Wyznaczenie _ przekrój ów .poszczególnych części łuku kra­

towego polega na tych samych zasadach, co obliczenie wymia- rów belki kratowej prostej. O ile zatem krata nie zawiera nadliczbowych prętów, rachunek uskuteczniam y na podstawie praw równowagi sił w ew nętrznych i zew nętrznych, działających w każdym węźle, bądź to analitycznie metodą H it te r a, bądź wykreślnie metodą Culmana lub zapomocą planu sił. O ile zaś k rata zawiera p ręty nadliczbowe, to dokładne obliczenie wymaga metod, uw zględniających sprężyste w ydłużenia poszczególnych