golfopioop
golfoverslag
VOORWOORD
ALGEMENE INLEIDING
blz. 1
DEEL I SAMENVATTING EN CONCLUSIES 1.1 INLEIDING
1.2 EXTRACT VAN DE DELEN II, III EN IV
1.2.1 Beschrijving van onregelmatige golven 1.2.2 Golfoploop
1.2.3 Golfoverslag
1.3 AANBEVELINGEN VOOR NADER ONDERZOEK
I .4 ENKELE OPMERKINGEN OVER OPLOOP EN OVERSLAG ALS ONTWERPCRITERIA 4 4 6 14 15 17
DEEL II OPLOOP VAN REGELMATIGE GOLVEN II.1 INLEIDING
II. 2 PARAMETERS 11.3 THEORIEËN
11.3.1 Inleiding
11.3.2 Brekingscriteria
11.3.3 Theorieën voor oploop van niet-brekende golven
11.3.4 Theorieën voor oploop van brekende golven
11.4 KWALITATIEVE EXPERIMENTELE RESULTATEN II..4.1 Inleiding
11.4.2 De hellingshoek d 11.4.3 De invalshoek p
11.4.4 De golfsteilheid H/gT2
11.4.5 De verhouding H/d
11.4.6 Het getal van Reynolds Re 11.4.7 Het getal van Weber We
18 19 21 21 21 26 "33 38 38 39 39 39 41 41 42
blz. 11.5 KWANTITATIEVE EXPERIMENTELE RESULTATEN 43
11.5.1 Inleiding 43 11.5.2 Vlak, glad talud 43 11.5.3 Vlak talud, voorzien van ruwheids- 54
elementen
11.5.4 Ruw en doorlatend talud 64 11.5.5 Niet vlak, glad talud 69 11.5.6 Scheve inval 82 11.6 BIBLIOGRAFIE 85
DEEL III OPLOOP VAN ONREGELMATIGE GOLVEN
111.1 INLEIDING 95 111.2 PARAMETERS 96 111.3 THEORIEËN 100 111.3.1 Inleiding 100 111.3.2 Oploopverdelingen 101 111.4 KWALITATIEVE EXPERIMENTELE RESULTATEN 108 111.4.1 Inleiding 108 111.4.2 De hellingshoek a 108 111.4.3 De invalshoek "p 109 111.4.4 De golfsteilheid H /gT^ 109 111.4.5 De verhouding H /d 109 111.4.6 Getal van Reynolds Re 109 111.4.7 Getal van Weber We 109 111.4.8 Vorm energiespectrum 109
_2
111.4.9 De windsnelheidsparameter w /gH 110
111.4.10 De windrichting <pw 110
111.5 KWANTITATIEVE EXPERIMENTELE RESULTATEN 111 111.5.1 Inleiding 111 111.5.2 Natuurmetingen 113 111.5.3 Vlak, glad talud 119 111.5.4 Vlak talud, voorzien van ruwheids- 133
elementen
blz. 111.5.6 Niet vlak, glad talud 137 111.5.7 Scheve inval 142 111.5.8 Windinvloed 145 III.6 BIBLIOGRAFIE 151 DEEL IV IV IV IV IV .1 .2 . 3 .4 GOLFOVERSLAG INLEIDING PARAMETERS THEORIEËN KWALITATIEVE 154 155 156 iPERIMENTELE RESULTATEN 160 IV.4.1 Inleiding . 160 IV.4.2 De hellingshoek a 160 IV.4.3 De relatieve kruinhoogte h,/H 160 IV.4.4 De invalshoek (3 160 IV.4.5 De golfsteilheid f^/gT^ 160 IV.4.6 De verhouding H /d 161 IV.4.7 Getal van Reynolds Re 161 IV.4.8 Getal van Weber We 161
lc
IV.4.9 Vorm energiespectrum 161 -2
IV.4.10 De windsnelheidsparameter w /gH 161 lij K
IV.4.11 De windrichting ip"w 161
IV.5 KWANTITATIEVE EXPERIMENTELE RESULTATEN 162 IV.5.1 Inleiding 162 IV.5.2 Natuurmetingen 162 IV.5.3 Strandmuur met verticale wand 162 IV.5.4 Vlak, glad talud 166 IV.5.5 Vlak talud, voorzien van ruwheids- 173
elementen
IV.5.6 Ruw en doorlatend talud 175 IV.5.7 Niet vlak, glad talud 175 IV.5.8 Scheve inval 176 IV.5.9 Windinvloed 176 IV.6 BIBLIOGRAFIE 178
VOORWOORD
Tot de taak van de door de Technische Adviescommissie voor de Waterkeringen ingestelde werkgroep "Golfproblemen bij dijken" behoort het bestuderen van de problemen met betrekking tot de golfoploop en golfoverslag bij waterkeringen.
In het kader van deze taak is de Werkgroep begonnen met het, inventariseren van de huidige kennis door het verrichten van een uitgebreid literatuuronderzoek. Zij heeft van deze literatuur een kritisch overzicht opgesteld, waaruit mede richtlijnen zijn
gevolgd voor verder onderzoek.
Het geheel is vastgelegd in het rapport "Golfoploop en golfoverslag", waarvan het concept geschreven is door
ir. J.A. Battjes van de Technische Hogeschool te Delft. De eindredactie is verzorgd door ir. Battjes en ir. W.A. Venis van de Deltadienst der Rijkswaterstaat.
De Technische Adviescommissie voor de Waterkeringen is van mening dat dit rapport van belang kan zijn voor hen, die met het ontwerpen of onderhouden van dijken belast zijn en beveelt het dan ook aan in de aandacht van allen, die met golfoploop en golf-overslag bij dijken te maken hebben.
's-Gravenhage, ir. J.B. Schijf
januari 1972 Voorzitter Technische Advies-commissie voor de Waterkeringen.
overslag"is er naar gestreefd:
- een overzicht te geven van de betreffende literatuur,
de in deze literatuur voorkomende gegevens te analyseren en te interpreteren,
- waar mogelijk verbanden te leggen tussen de resultaten uit de verschillende literatuurbronnen,
aanbevelingen te geven voor nader onderzoek, en
een beschouwing të geven over toepassing van de resultaten. In het rapport worden slechts de vloeistofmechanische aspec-ten van de oploop en overslag van golven behandeld. Hierbij worden de kenmerken van de golven en de constructie als gegeven beschouwd. Voorts is verondersteld dat de constructie onbeweeglijk is.
Bij de presentatie van de gegevens is een selectie toegepast; resultaten van incidentele aard zijn in het algemeen niet gerepro-duceerd. Bovendien wordt in een aantal gevallen relatief veel aan-dacht besteed aan gegevens die voor Nederlandse omstandigheden van belang kunnen zijn.
Hoewel gegevens van de oploop en overslag van regelmatige golven niet direct van toepassing zijn op onregelmatige golven zijn ze wel gepresenteerd. Hierdoor kan een bijdrage worden gele-verd tot de kwalitatieve kennis van de verschijnselen, en in een aantal gevallen ook tot de kwantitatieve, mits het stochastische karakter van de onregelmatige golven in rekening kan worden gebrach
Het rapport is samengesteld uit vier delen. Deel I bevat een extract van het in de Delen II, III en IV gegeven literatuurover-zicht. Tevens zijn hierin aanbevelingen voor nader onderzoek opge-nomen, alsmede enkele opmerkingen over de toepassing van oploop- ei overslag-gegevens bij het ontwerpen van dijken. In de Delen II en III worden respectievelijk de oploop van regelmatige en die van on-regelmatige golven behandeld. Een behandeling van de oploop in twe» aparte delen werd zinvol geacht in verband met de grote hoeveelheid gegevens, die over dit onderwerp werd aangetroffen. In Deel IV ten-slotte wordt een overzicht gegeven van de literatuur betreffende
De gebruikte symbolen zijn in een lijst samengebracht, welke aan het eind van het rapport is opgenomen.
1.1 INLEIDING
Dit deel van het rapport "Golfoploop en golfoverslag" wordt grotendeels gevormd door een extract van het literatuur-overzicht, dat in de volgende delen wordt gegeven. In dat over-zicht komen regelmatige en onregelmatige, zowel als brekende en niet-brekende golven ter sprake.
Enkele experimentele gegevens betreffende de oploop en overslag van onregelmatige, brekende golven worden in hoofdstuk 1.2 beknopt weergegeven. In een aantal gevallen worden deze gegevens aangevuld met die van regelmatige golven, nl. wanneer er aanwijzingen zijn dat de invloed van bepaalde parameters voor beide categorieën dezelfde is. Met name doet zich dit voor bij de invloed van ruwheid en doorlatendheid. Hoofdstuk 1.2 begint met een korte beschrijving van de karakterisering van onregelmatige golven. Verwijzingen naar de Delen II, III en IV worden aangeduid met [ ] . Literatuuropgaven worden niet herhaald.
In hoofdstuk 1.3 worden enkele aanbevelingen gedaan voor nader onderzoek, terwijl in hoofdstuk 1.4 een korte beschouwing wordt gegeven over de toepassing van golfoploop en golfoverslag als ontwerpcriterium voor dijken.
in statistische zin. Zo kan men de waarschijnlijkheidsver-deling beschouwen van de individuele golfhoogte H (het maximale verschil in waterhoogte tussen twee opeenvolgende nuldoorgangen in neerwaartse richting), of die van de indi-viduele golfperiode T (het tijdsverloop tussen dezelfde twee nuldoorgangen), alsook de simultane verdeling van H en T. Deze verdelingen zijn bepaald door hun vorm, een kenmerkende golfhoogte H en een kenmerkende golfperiode T . Voor T
k K K. wordt meestal de gemiddelde golfperiode T genomen. Voor H wordt veelal genomen het gemiddelde van het hoogste derde deel van de golfhoogten, Hi , of het gemiddelde van alle golfhoogten, H. De waarde die door 50% van de golfhoogten wordt overschreden H, _x, en de middelbare golfhoogte H = vH worden ook gebruikt,
m
De verdeling van de hoogten van windgolven is bij benadering gelijk aan de Rayleigh-verdeling, gegeven door
kans golfhoogte $s H, bij gegeven HJ = Q4KH' (1.2.1)
Op basis hiervan kunnen de volgende betrekkingen tussen de bovengenoemde golfhoogten worden afgeleid:
1,06 H ( 5 0 )= H = 0.89 Hm = 0,63 Hi (1.2.2)
Samen met vgl. 1.2.1 zijn deze betrekkingen in figuur 1.2.1 weergegeven.
Uit metingen is gebleken dat de plaatselijke golfleng-ten, welke voornamelijk worden bepaald door de perioden en de diepte vóór de dijk, geen directe invloed hebben op de oploop en pverslag van golven die breken op het talud. De perioden blijken echter wel van belang te zijn. Uit een kenmerkende periode T kan een fictieve diep-water
golf-K.
lengte worden-berekend op basis van de formule voor regel-matige golven [vgl. II.3.2J:
T 2
--1
10-x | X 0 1 -\ • • 1 i \i
1\ !
i i X I \t
3xïl ;
i
\ V \ \ Ii
1
\ . . . \ ! — \ ! 1rH
1
1
•1—41-1
S
T
i ! i-LiJ-j-i !
i *
u
ill
Ifl
<_
J - ii r
T 1_
TT
i X i |!
' T :1 M :;
1 i ' ' ! 1 ! : i : : i • ' i! ! I i!
! i : ; ; ; l ~ : ! | i !_ j iL
i i i i ' ! : i i M : ; ; I ' ! ! ! ! i :\ |
f X '•1 \
'SS"
3 | gl . roz
' i ; i • !: . i' i i
' ' !
i : !;i ! ! !
- i • ' ;Jii
M j i ! : | j i j : j ! .1 i ï ! ! ! 1 iK i
i \
i { i i ! j ; 1 ! ; j i i i i ; I i \ u o oa co (O oo oo oo (u _ ooi)Onregelmatige golven kunnen in statistische zin ook worden beschreven als de som van een groot aantal component-golven. Dit leidt tot het concept van een energiedichtheids-spectrum, dat aangeeft hoe de golfenergie is verdeeld over de componenten. Het spectrum is bepaald door zijn vorm, de totale golfenergie, en een kenmerkende frekwentie of periode. In het volgende wordt gebruik gemaakt van de grootheden E , d.i. een maat voor de breedte van het spectrum, en T, d.i. de periode waarvoor de energiedichtheid maximaal is.
1.2.2 Golfoploop
Oploop op vlak, glad talud [III.5.3]
De oploop van golven die breken op een vlak, glad talud onder helling Cl is gegeven door
Z(n)= f1 ( n ) V'HKLo,k' t a n a (1.2.5)
Door gebruik te maken van vgl. 1.2.3 kan dit worden herleid tot
z(n) = f2 (n) Tk l/gHk tana (1.2.6)
Hierin is z, x de oploophoogte met overschrijdingspercen-tage n. De functies f (n) en f (n) geven de vorm weer van de waarschijnlijkheidsverdeling van de oploop, en hangen naast de keuze van de kenmerkende parameters af van de statistische opbouw van de invallende golven, zoals van
de vorm van het energiedichtheidsspectrum of van de simultane verdeling van H en T.
Indien het voorgaande wordt gespecificeerd door T te kiezen als kenmerkende periode, Hi als kenmerkende hoogte, en E als parameter voor de vorm van het energiespectrum gaat, vgl. 1.2.6 over in [vgl. III.5.14]
z(„, = C(n)(E)f / g H ? tana (1.2.7)
Het verloop van C, \(£) is voor een aantal gevallen gemeten.
c( 2 J«) 0 , 9 0 , 8 0 , 7 4 0 , 4 0,2 • ' t1 • o • o O 0 • • o o . o o tan a - 1:4 1 G E M E : T E N • tan a — i : 6 J * BEREKEND o.' 0 , 2 0.3 0 . 4 0.5 0,6 0.7 F K 5 . - 1 . 2 . 2
voor een overschrijdingsfrekwentie van 2%. Dit percentage is gekozen om aan te sluiten bij gangbare formules; de keuze impliceert niet dat de 2% oploop een buitengewone betekenis heeft, anders dan een historische. Uit de figuur blijkt dat C /2) (E ) varieert van ca. 0,55 bij een voor windgolven smal
spectrum (E = 0,34) tot ca. 0,73 bij een voor windgolven breed spectrum ( E = 0,59). Voor de berekening van E is het hoogfrekwente deel van het spectrum afgekapt vanaf het punt waar de energiedichtheid 5% van de maximale bedraagt. De spreiding van de waarschijnlijkheidsverdeling van de oploop neemt toe met de breedte van het spectrum. Van de gemeten verdelingen komt die met de grootste spreiding ongeveer overeen met een Rayleigh verdeling, in welk geval de oploop met willekeurig overschrijdingspercentage n kan worden berekend uit z(o\ volgens
z(
TT = 0.7 7
]/2-
(1.2.8)In het voorgaande is verondersteld dat E representa-tief is voor de vorm van het energiespectrum voorzover het de invloed daarvan betreft op de golfoploopverdeling. In feite kan echter het spectrum bij een gegeven E nog allerlei vormen aannemen. In bovengenoemde proeven hadden de spectra alle een vorm die ongeveer overeenkomt met standaardspectra van zeegang, zoals voorgesteld door Neumann (1953), of door Pierson en Moskowitz (1963). Een voorbeeld is gegeven in figuur I.2.3.a. Het is niet bekend of E ook gebruikt kan
©
F r e q u e n tic F I G . 1 . 2.3
in aan betekenis.
Uit metingen op de Noordzee is gebleken dat voor
praktische doeleinden het energiespectrum van de daar voor-komende zeegang gelijkvormig kan worden gesteld aan een Neumann-spectrum. De breedtemaat E van een dergelijk spec-trum, indien dit op dezelfde wijze wordt afgekapt als hierboven omschreven, is 0,55. Blijkens figuur 1.2.2 is de b i j -behorende waarde van C /9) ca. 0,7, en de 2% oploop is dan
z( 2 ) ~ o,7 f ^ g H i ' tan a (1.2.9)
In de proeven waaruit het gegeven verband tussen C en E is afgeleid was de verhouding T/T ca. 1,05. Door deze verhouding samen met v g l . 1.2.4 te substitueren in vgl. 1.2.9 gaat deze over in
(1.2.10)
Voor een golfsteilheid Hi /L van ca. 5,5% komt de bekende oploopformule
z(2) = 8 Hi tand (1.2.11)
[vgl. III.5.12] met v g l . 1.2.10 overeen. Voor andere golf-steilheden is dit niet het geval.
Het bovenstaande berust op metingen. Men komt tot soortgelijke uitkomsten door aan te nemen dat individuele golven in een onregelmatige golfbeweging gemiddeld eenzelfde oploop veroorzaken als wanneer ze deel zouden uitmaken van een regelmatige golfbeweging met overeenkomstige hoogte en periode.
Vgl. 1.2.7 heeft betrekking op brekende golven. In het algemeen is het niet goed bekend wat de criteria zijn om te bepalen of een gegeven onregelmatige golftrein bij een gegeven taludhelling in voldoende mate als brekend is te beschouwen. In zeegang (golven onder de invloed van de wind die ze opwekt) is de golfsteilheid echter zodanig, dat bij taluds onder een helling van 1:3 of minder vrijwel alle
golven breken. Anderzijds lopen de meeste golven op zonder te breken bij een helling van 1:1^ of meer. Van de oploop van niet-brekende, onregelmatige golven is experimenteel niet veel bekend. Weliswaar wordt in hoofdstuk III.3 hiervoor een theoretisch afgeleide formule gegeven, maar deze is nog niet experimenteel geverifieerd. Wanneer niet alle golven als brekend, dan wel als niet-brekend mogen worden beschouwd zou een schatting van de oploop kunnen worden verkregen door aan de individuele golven uit de onregelmatige golftrein een oploop toe te kennen volgens de figuren II.5.1 of II.5.2.
Invloed ruwheidselementen [II.5.3, III.5.4]
Ruwheidselementen aangebracht op een vlak en glad talud beinvloeden de golfoploop. Deze invloed wordt uitge-drukt in een factor r, de verhouding van de 2% oploop op het ruwe talud tot die op het gladde talud, onder overigens identieke omstandigheden. De relatieve reductie in oploop is dus (1-r).
De waarde van r wordt voornamelijk bepaald door de vorm en plaatsing van de ruwheidselementen en hun grootte t.o.v. de golfhoogte. De invloed van de golfsteilheid en de taludhelling is veel geringer, althans binnen de inter-vallen van deze parameters in de betreffende onderzoeken, die alleen op brekende golven betrekking hadden. De reductie in oploop neemt iets toe met afnemende taludhelling [figuur II.5-.8].
Het is gebleken dat elementen met een vierkante of rechthoekige doorsnede effectiever zijn dan elementen met een driehoekige doorsnede, welke b.v. in een trapglooiing voorkomen. Bij ribbels en kubussen zijn minimale r-waarden gemeten van 0,5 a 0,6, terwijl bij trapglooiingen van over-eenkomstige grootte r minimaal ca. 0,8 bedraagt.
De waarde van r is afhankelijk van de onderlinge af-stand 1 van de ruwheidselementen, gemeten in de oploop-richting. Bij ribbels met een vierkante dwarsdoorsnede is r minimaal als 1 gelijk is aan ca. 6 keer de ribbelhoogte
De werking van onderbroken ribbels is iets groter dan van doorgaande ribbels.
De golfoploop wordt niet merkbaar beïnvloed door
ruwheidselementen beneden het gemiddelde waterniveau [figuur II.5.10J. De reductie in oploop is daarentegen vrijwel recht evenredig met de breedte van de ruwe zone, gemeten in de oplooprichting, boven dit niveau [figuur II.5.11].'
De invloed van de ruwheidselementen neemt toe met de verhouding van hun hoogte k tot de golfhoogte H, . Bij
regel-ie
matige golven is geconstateerd dat de reductie vrijwel niet meer toeneemt als k/H>ca. 0,1 [tabellen II.5.1 en II.5.2]. Het is niet bekend waar deze grens ligt bij onregelmatige golven.
Uit het bovenstaande blijkt dat een aanzienlijke reductie in oploophoogte kan worden verkregen met ruwheidselementen. Hieruit zou een besparing in aanlegkosten kunnen resulteren. Hier staat echter tegenover dat een grotere schade verwacht moet worden indien de ontwerpwaterstand wordt overschreden
[vgl. II.5.34]. Dit is niet slechts bij ruwheidselementen het geval maar ook bij andere factoren die de golfoploop beperken, zoals een berm of de doorlatendheid van de taludbekleding. Invloed ruwheid en doorlatendheid [II.5.4, III.5.5]
Aan bepaalde taludbekledingen, zoals steenbestortingen, is een zekere ruwheid en doorlatendheid inherent. Slechts het totale effect van beide factoren is in een aantal geval-len bepaald. De resultaten zijn samengevat in tabel 1.2.1. De definitie van r is analoog aan die voor ruwheidselementen. In de betreffende proeven waren de stenen of blokken in het algemeen nog juist stabiel onder de golfaanval.
Invloed berm [II.5.5, III.5.6]
Voor een maximale reductie van de golfoploop door middel van een berm moet deze ongeveer op het niveau liggen van de gemiddelde waterstand, en onder de kleinst mogelijke helling. Volgens een gangbare formule [vgl. III.5.19] zou de rela-tieve reductie in oploop, veroorzaakt door een dergelijke
Bekleding glad, gesloten betonplaten basaltglooiing bloksteen >
grasmat J
één laag stortsteen op ondoorlatende onderlaag gezette stenengestorte ronde stenen gestorte breuksteen 0 0 0 0 ,85 ,75 ,6 ,5 r 1
o,
ao,
a a a 9o,
8o,
o,
o,
9 8 65 6TABEL 1.2.1
berm, gelijk zijn aan B/L, waarin B de bermbreedte is en L een plaatselijke golflengte vóór het talud, die overigens niet nader gespecificeerd is. Er zijn aanwijzingen dat de bermbreedte beter uitgedrukt kan worden in een fictieve diep-water golflengte L dan in L. Voorts is gebleken dat de verhouding B/ V H L ook van belang kan zijn. De variatie
K O
van de reductie in oploop met de bermbreedte is echter onvoldoende bekend. Bij onregelmatige golven is de grootste gemeten reductie ca. 40% [figuur III.5.15J.
Invloed scheve inval [II.5.6, III.5.7]
De invalshoek P is de scherpe hoek tussen de golf-voortplantingsrichting en de horizontale component van de normaal op het talud. Er zijn aanwijzingen dat de oploop van brekende golven op vlakke taluds hiermee varieert vol-gens cos p , zolang p < ca. 45 .
Op taluds waar een berm de golfoploop beinvloedt neemt de oploop sterker af dan volgens cos p , omdat de schijn-bare bermbreedte in de oplooprichting toeneemt naarmate de golven schever invallen. De gecombineerde relatieve reduc-tie is waarschijnlijk niet groter dan (1-0,6 cos p ) .
M(50) 10 Percentage overstaande gotvcn H( 5 0 ) FIG. 1 . 2 . 4
1.2.3 Golfoverslag
Het aantal gegevens van overslag over dijken met
flauwe taluds is gering. Voor de overslag van onregelmatige golven over dijken met een vlak, glad talud kan alleen worden beschikt over de resultaten van een proevenserie waarin de helling werd gevarieerd van 1:8 tot 1:2 [lV.5]. De golven werden geheel door wind opgewekt, die een over-dreven grote snelheid moest hebben in verband met de in de goot beschikbare strijklengte. Dit had tot gevolg dat de golfhoogteverdelingen nogal verschillen van die welke onder meer natuurlijke omstandigheden worden waargenomen. De proef-resultaten zijn samengevat in figuur 1.2.4, waar de dimen-sieloze overslag q/gH, >T is uitgezet tegen h,/H/__\. Hierin is q het over de tijd gemiddelde overslag-debiet per eenheid van breedte en h, de hoogte van de dijkskruin boven de gemiddelde waterstand. De golfsteilheid H,__../L , de taludhelling en het percentage overslaande golven zijn eveneens in de figuur gegeven.
1.3 AANBEVELINGEN VOOR NADER ONDERZOEK
De Delen II, III en IV geven een overzicht van de huidige kennis van golfoploop en golfoverslag op basis van de beschikbare literatuur. De vraag is of en in hoeverre deze kennis dient te worden uitgebreid. Bij de beantwoording van deze vraag wordt er van uitgegaan dat het wenselijk is om een voor practische toepassingen voldoend betrouwbare schatting te kunnen maken van de oploop en overslag van onregelmatige golven in een aantal gevallen van algemene aard, zoals een vlak en glad talud, een vlak talud voorzien van ruwheidselementen, een. ruw en doorlatend talud, en een talud met een berm. Gevallen van incidentele aard blijven buiten beschouwing. Daarvoor zal steeds ad hoc een oplossing moeten worden gevonden.
Vergelijkt men de gewenste kennis met de beschikbare, samengevat in hoofdstuk I.2, dan blijkt dat nader onderzoek noodzakelijk is betreffende:
- de oploop en overslag van onregelmatige golven over dijken met vlakke taluds.
In de meeste proeven die reeds zijn uitgevoerd waren de relatieve windsnelheid en de statistische eigen-schappen van de golven in het model nogal afwijkend van die in de natuur. In het uit te voeren onderzoek zullen de golven beter gemodelleerd moeten zijn. Ook zullen steilere taluds (tot ca. l:lj) in het onderzoek moeten worden opgenomen;
- de invloed van een berm op de golfoploop en golfoverslag. Gezien het feit dat dijken met een buitenberm vrij veel voorkomen in Nederland is het van belang de schamele kennis op dit punt uit te breiden. De
experimentele resultaten en de hypothesen genoemd in de paragrafen II.5.5 en III.5.6 kunnen richtlijnon verschaffen voor de opzet van het onderzoek;
- de aard en grootte van schaaleffecten in oploop en overslag. Gezien de belangrijke functie van schaalmodellen in het onderzoek van oploop en overslag is het zeer on-bevredigend dat vrijwel niets bekend is omtrent de
schaaleffecten die zich hierbij kunne'n voordoen. Bij het onderzoek ervan ware te denken aan verschillende aspecten van de waterbeweging, zoals de oploophoogten, laagdikten en snelheden.
In een later stadium kan de invloed van ruwheid op de
overslag en die van scheve inval en wind op de oploop en de overslag worden onderzocht.
De hiervoor omschreven onderzoeken hebben betrekking op de waterbeweging tengevolge van een gegeven invallende golf bij een gegeven, stabiele constructie. Voorzover oploop en gemiddeld overslaand debiet een rol spelen bij het be-zwijken van een dijk onder golfaanval zijn de resultaten van deze onderzoeken ook van toepassing op problemen die dit be-zwijken betreffen. Het lijkt echter waarschijnlijk dat daarbij een meer gedetailleerde beschrijving van de waterbeweging noodzakelijk is. Het ware te overwegen in die richting een onderzoek te entameren, dat zou voortbouwen op metingen die zijn verricht aan een model van de Afsluitdijk (M 872). In een dergelijk onderzoek zouden b.v. de waarschijnlijkheids-verdelingen van laagdikten, snelheden, debieten, drukken en schuifspanningen kunnen worden gemeten. Het zou kunnen dienen als aanzet van een studie van het gehele bezwijk-mechanisme, en kan dan ook een oriënterend karakter hebben. De resultaten ervan kunnen gebruikt worden bij het opstellen van een meer gericht schema van onderzoek.
1.4 ENKELE OPMERKINGEN OVER OPLOOP EN OVERSLAG ALS ONTWERPCRITERIA
Het primaire doel van het rapport "Golfoploop en
golfoverslag" is het geven van een overzicht van de betref-fende literatuur. In het kader van dit rapport worden zowel de invallende golven als de constructie als gegeven beschouwd, Voorts wordt verondersteld dat de constructie onbeweeglijk is, Bij het ontwerpen van een dijk zal men echter nog een keuze moeten doen van een ontwerpcriterium voor de constructie. De behandeling van dit probleem ligt in wezen buiten het bestek van dit rapport. Gezien de huidige praktijk is het evenwel zinvol nader in te gaan op het hanteren van oploop en over-slag als ontwerpcriteria. Dit gebruik is ontstaan doordat men een zekere correlatie aanwezig achtte tussen de stabili-teit van de kruin en het binnenbeloop van de dijk enerzijds en de over de kruin stromende hoeveelheden water anderzijds. Gedurende de laatste decennia heeft men bij het ontwerp van de dijken vaak gesteld dat onder ontwerpomstandigheden 2% van de golven de kruin mag overschrijden. Meer recent werd ook de hoeveelheid overslag expliciet in beschouwing genomen. Het criterium dat een bepaald percentage van de golven de kruin mag bereiken voert in het algemeen niet tot hetzelfde resultaat als het criterium dat een bepaalde gemiddelde hoeveelheid overslag toelaatbaar is. Immers, het criterium voor de golfoploop is een relatieve maat terwijl dat voor de overslag absoluut is. Naarmate de golven hoger zijn zal bij een gelijkblijvend percentage golven dat de kruin be-reikt de hoeveelheid overslag toenemen.
Van de correlatie tussen de stabiliteit van de dijk en de hoeveelheid overslaand water is kwantitatief nog niets aangetoond. In het algemeen blijkt er nog weinig bekend te zijn van de mechanismen, die een rol spelen bij het bezwij-ken van een dijk door golfaanval. In deze situatie heeft het gebruik van een gangbaar criterium, zoals de 2% oploop, het voordeel dat men enigszins een basis heeft voor verge-lijking. Het bepalen van betere criteria, waarin tevens de dijkconstructie betrokken wordt, blijft echter een zeer belangrijk en urgent probleem.
DEEL II
OPLOOP VAN REGELMATIGE GOLVEN
II.1 INLEIDING
De oploop van regelmatige golven op taluds is
uitvoerig bestudeerd, zowel theoretisch als experimenteel. De kenmerkende resultaten komen in het onderhavige deel van het rapport ter sprake. Daarbij is de volgende indeling aangehouden.
In hoofdstuk II.2 wordt door middel van een dimensie-analyse een overzicht gegeven van de grootheden, welke een rol spelen in het proces van de golfoploop. In hoofdstuk II.3 wordt een aantal theorieën behandeld. Experimentele gegevens worden gepresenteerd in de twee daarop volgende hoofdstukken: in hoofdstuk II.4 worden de invloeden van de diverse in hoofdstuk II.2 afgeleide dimensieloze groot-heden in kwalitatieve zin beschouwd, terwijl in hoofdstuk II.5 de kwantitatieve experimentele resultaten worden be-handeld. Dit hoofdstuk is ingedeeld op basis van verschil-lende geometrische factoren die op het talud betrekking hebben. De invloeden van de overige dimensieloze factoren zijn daarbij, voorzover mogelijk, steeds weer apart be-schouwd .
II.2 PARAMETERS
De onafhankelijke parameters, die de golfoploop op een talud bepalen, kunnen worden onderscheiden in para-meters, die kenmerkend zijn voor:
a) de constructie, b) het water, en c) de golfbeweging.
a) Aangenomen wordt dat het talud volkomen star is en onbeweeglijk. Voor een beschouwing over golfoploop (en ook overslag) lijkt deze aanname verantwoord, zodat de dynamische eigenschappen van het talud niet in rekening worden gebracht. Het talud is dan volkomen bepaald door zijn geometrie. Voorts wordt aangenomen, dat deze geometrie, alsmede die van het voorland, geheel gegeven wordt door de vorm en een kenmerkende lengte \ van het dwarsprofiel. Dit zal later worden gespecificeerd voor verschillende gevallen.
b) Het water wordt gekarakteriseerd door de massadicht-heid P , de dynamische viscositeit \x en de opper-vlaktespanning G . De compressibiliteit wordt niet in de beschouwing betrokken.
c) Voor een éénduidige karakterisering van de golfbe-weging als een onafhankelijke variabele wordt dié beweging als kenmerkend beschouwd, die zou optreden in afwezigheid van het talud, ofwel in afwezigheid van terugkaatsing door het talud. Dit is nodig omdat de terugkaatsing mede afhankelijk is van de constructie. De golven worden regelmatig genoemd als ze langkammig zijn en periodiek in de tijd. Dergelijke golven kunnen bij gegeven zwaartekrachts-versnelling g en periode T gekarakteriseerd worden door een hoogte H en een invalshoek P in een zeker referentiepunt met diepte d, mits de golfkammen recht zijn en van constante hoogte in diep water of in water van constante diepte. Indien aan deze voorwaarden niet wordt voldaan, moet de variatie
in voortplantingsrichting en golfhoógte langs een kam gegeven worden.
De afhankelijke variabele is de oploophoogte z, gedefinieerd als de maximale hoogte boven de gemiddelde waterstand bereikt door een tegen het talud oplopende golftong. Ondanks het feit dat het hier regelmatige golven betreft heeft de oploop in het algemeen een
stochastisch karakter met een nauwe verdeling. Aan die verdeling wordt verder geen aandacht geschonken. Het gemiddelde ervan wordt met z aangeduid.
Het bovenstaande kan symbolisch geschreven worden als:
z - f (vorm dwarsprofiel,X,Pwl|i,G,g,d,T,H,P ) (II .2.1)
Deze relatie wordt vereenvoudigd door het vormen van dimensieloze groepen. Een mogelijke combinatie is:
-i- =1 (vorm dwarsprofiel, P . ^ . g . ^ f l f . ^ g i , ^ J (II.2.2)
De onafhankelijke dimensieloze groepen zijn samen, onder de genoemde beperkingen, voldoende om de oploop te
karakteriseren. De invloed van elk der onafhankelijke groepen op de afhankelijke is met een dimensie-analyse echter niet bepaald. Daarvoor zijn meer gegevens vereist, die in het algemeen verkregen worden uit theorie en/of experiment. Voor het probleem van de golfoploop ligt het accent zeer duidelijk op het experiment.
II.3 THEORIEËN 11.3.1 Inleiding
Golfoplooptheorieên kunnen worden onderscheiden in twee categorieën: theorieën voor niet-brekende golven en theorieën voor brekende golven. Deze zijn wezenlijk ver-schillend.
De wiskundige beschrijving van de voortplanting van een brekende golf is nog slechts mogelijk in het kader van de niet-lineaire lange-golf theorie, waarin de breker be-schouwd wordt als een lopende schokgolf. Deze theorie kan alieen toegepast worden als de bodemhelling gering is. Als niet-brekende golven worden beschouwd, is men niet gebonden aan een lange-golf theorie, maar kan een korte-golf
(oppervlakte-golf) theorie worden gehanteerd, waarbij geen beperkingen behoeven te worden opgelegd aan de
bodemhelling resp. taludhelling. Naarmate de bodemhelling geringer is en de diepte kleiner t.o.v. de golflengte, gedraagt een "korte" golf zich meer als een lange golf. Dit biedt de mogelijkheid, o.a. benut door Keiler (1961) en Carrier (1966), om een koppeling tot stand te brengen tussen een korte golf op diep water enerzijds, en een lange golf nabij de waterlijn anderzijds.
Bij het toepassen van één der bestaande theorieën is het nodig te weten of de beschouwde golven zullen breken op het talud. In de volgende paragraaf worden enige criteria hiervoor genoemd. Vervolgens worden voor niet-brekende resp. brekende golven in par. II.3.3 resp. II.3.4 beknopte over-zichten gegeven van de uitgangspunten en resultaten van de diverse theorieën. Een soortgelijk overzicht wordt gegeven door Le Méhauté, Koh en Hwang (1968).
11.3.2 Brekingscriteria
Golven die loodrecht invallen op een vlak, glad talud met hellingshoek CL zullen volgens Iribarren en Nogales
(1949) breken op dit talud indien
H is de hoogte van de invallende golf in -het veronderstelde breekpunt, waar de diepte 1/2 H is. De formule is slechts geldig indien het vlakke talud zich minstens uitstrekt tot een diepte gelijk aan H. Per definitie is
, _ 9T2 S u b s t i t u t i e hiervan in v g l . I I . 3 . 1 geeft a < 2,3 ")/ = t a n dk r ofwel (II.3.2) (II.3.3) (II.3.4)
Een grafische voorstelling hiervan is gegeven in figuur II.3.1.
Het criterium van Iribarren en Nogales is op semi-theoretische wijze tot stand gekomen. Uit de door hen gepresenteerde experimentele gegevens, welke in tabel II.3.1 zijn samengevat, blijkt dat het criterium de golfsteilheid geeft halverwege tussen de grens
H L o 8,1 . 10~2 3.4 . 10 "2 2,9 . 10~Z ton a TOTALE BREKING 0 , 4 2 0 , 29 0 . 3 3 TOTALE TERUGKAATSING 0 . B 6 0 , 5 9 0 , 4 9 GEMIOOELDE 0 , 6 4 0 . 4 4 0 , 41
TABEL J£ . 3.1
van volledige terugkaatsing en die van volledige breking. De steilheid die overeenkomt met het begin van breken is
2
dus kleiner dan 0,19 tan d . De waarden in de eerste en laatste kolom van de tabel zijn in figuur II.3.1 weer-gegeven.
Miche (1944) geeft een lineaire theorie voor de golfbeweging bij een vlak talud zonder voorland. De grens van het breken op het talud, tevens de grens van volledige terugkaatsing, wordt volgens Miche bereikt
5 6 7 8 O 10 tan a
indien het wateroppervlak ter plaatse van de grootste oploop juist raakt aan het talud. Het wateroppervlak ter plaatse van het laagste punt blijkt dan juist loodrecht op het talud te staan. Een en ander is schetsmatig weergegeven in figuur II.3.2.
Aangenomen criterium voor begin van breken: Y = 0° De bijbehorende 5 = 90 .
FIG. H.3.2
De overeenkomstige kritieke steilheid is
(II.3.5)
waarin H de hoogte is van de invallende golf op diep
water. Voor flauwe taluds (tan (X < ca. 1:4) kan vgl. II.3.5 worden geschreven in de meer practische vorm
(-j^£-)kr= 0,25(tana)7 (II.3.6)
Vgln. II.3.5 en II.3.6 zijn grafisch weergegeven in figuur II.3.1.
Voor het extreme geval van een verticale wand geeft vgl. II.3.5 te hoge waarden voor de kritieke golfsteilheid. In dat geval is zowel de voorwaarde Y = 0 , als de bere-kening van de bijbehorende golfsteilheid, onjuist. Het laatste werd reeds opgemerkt door Miche in een latere publicatie (1951). Volgens vgl. II.3.5 is de steilheid van de invallende golf, welke zou overeenkomen met Miche's brekingsvoorwaarde, gelijk aan l/Tl indien de wand verti-caal is. Dit betekent dat de staande golf een kritieke steilheid 2/TT zou hebben. Maar uit de direct afgeleide vergelijkingen voor een staande golf tegen een verticale wand concludeert Miche dat de kritieke steilheid van een staande golf l/TC is. Zelfs deze waarde is nog aan de hoge kant omdat hij is berekend m.b.v. een lineaire theorie. Dit blijkt ook uit de theorie van Penney en Price (1952), experimenteel bevestigd door Taylor (1953), volgens welke de kritieke steilheid van een staande golf op diep water gelijk is aan 0,218. Tevens blijkt hieruit dut de
raak-lijnen aan het wateroppervlak aan weerszijden van de golfkam dan een hoek van 90 insluiten, en niet 0 zoals zou volgen uit de door Miche gebruikte voorwaarde. Uit het bovenstaande volgt dat voor verticale taluds de kritieke golfsteilheid volgens vgl. II.3.5 een factor 2TC/0,218 = 2,9 te groot is. Het verloop van deze correctiefactor met Ct is niet bekend. Keiler (1961) geeft een formule voor de kritieke steil-heid, die is afgeleid voor taluds die slechts in de nabij-heid van de waterlijn vlak behoeven te zijn. Hij heeft gebruik gemaakt van een niet-lineaire lange-golf theorie, welke door Carrier en Greenspan (1958) is ontwikkeld voor analoge omstandigheden. De grens van breken wordt volgens Carrier en Greenspan bereikt wanneer bij toenemende golf-steilheid het wateroppervlak ergens juist verticaal wordt. Keiler drukt deze voorwaarde uit in de kenmerken van de invallende golf op grotere afstand van de waterlijn door de theorie van Carrier en Greenspan te koppelen aan de lineaire korte-golf theorie. Volgens deze theorie geldt bij twee-dimensionale beweging van periodieke golven over een flauw hellende bodem:
-|l = Ks=(2n tanhmd)"2 (II.3.7)
Ho
waarin H de (equivalente) golfhoogte is op (eventueel fictief) diep water, m = 2 TI/L = 2 TT /(plaatselijke golf-lengte), en
n =
T
+iiï7?rkd (ii.3.
8)
K , de relatieve golfhoogte, heet in de Engelstalige s
literatuur "shoaling coëfficiënt". Voor de kritieke golf-steilheid vindt Keiler:
(H \ CC 1 / 2 CL 1/ f -r ~r *r r\ \
— Kr-^nY'W
s(II.3.9)
Substitutie van vgl. II.3.7 geeft
(II.3.10)
welke eveneens op figuur II.3.1 is weergegeven.
Deze uitdrukking lijkt veel op die van Miche, maar er zijn e"nige noemenswaardige verschillen:
In beide formules komt H /L , de gol'fsteilheid op diep water, voor. Terwijl in dé door Miche beschouwde situatie diep water inderdaad aanwezig is, hoeft dit niet het geval te zijn bij Keiler, waar H en L slechts rekengrootheden kunnen zijn.
De formule van Keiler is afgeleid voor kleine talud-hellingen, die echter wel mogen variëren in een profiel. De formule van Miche geldt voor een vlak talud, maar is niet beperkt tot kleine hellingen.
De formule van Keiler is afgeleid met behulp van een niet-lineaire theorie, die van Miche met behulp van een lineaire theorie. Aangezien het hier gaat om een brekings-criterium is de niet-lineaire theorie waarschijnlijk beter dan de lineaire.
- De kritieke steilheid volgens Keiler is ca. 0,5 keer die volgens Miche.
II.3.3 Theorieën voor oploop van niet-brekende golven
Er is een vrij aanzienlijk aantal publikaties bekend waarin het probleem van de oploop van niet-brekende golven langs theoretische weg wordt benaderd. Hiervan zullen uit-gangspunten en resultaten zeer in het kort worden genoemd. Alvorens dit per auteur te doen worden enkele punten ge-noemd van meer algemene aard.
De theorieën hebben alle betrekking op een ideale, d.w.z. niet-viskeuze, vloeistof. Het merendeel ervan be-handelt de voortplanting van periodieke golven over een vlakke, hellende bodem als een twee-dimensionaal probleem. De korte-golf theorieën voor de oploop zijn alle lineair. Van de lange-golf theorieën zijn er enkele niet-lineair• Meestal wordt een staande golf beschouwd. Hiervoor zijn twee wezenlijk verschillende oplossingen mogelijk, afhan-kelijk van het al of niet eindig zijn van de amplitude ter plaatse van de gemiddelde waterlijn. Door superpositie van deze twee oplossingen kan een lopende golf worden verkregen, met een amplitude die onbegrensd toeneemt nabij de water-lijn. Dit is onvermijdelijk in het kader van een ideale-vloeistof benadering. Voor de oploop van niet-brekende golven zijn alleen de theorieën van belang betreffende de
staande golf met eindige amplitude ter plaatse van de waterlijn.
Voor een overzicht van de diverse theorieën is tabel II.3.2 samengesteld. Hierin is per auteur aangegeven wat de aard is van het beschouwde probleem (2- of 3-dimensionaal, lopende of staande golf, etc.), of al dan niet een gelinea-riseerde theorie werd gebruikt, en tevens op welke talud-hellingen de theorie betrekking heeft. Aangezien deze tabel voor zichzelf spreekt wordt in het volgende volstaan met enkele aanvullende opmerkingen.
Kirchhoff (1879), Pocklington (1921), Hanson (1926), Bondi (1943), Miche (1944) en Stoker (1947) geven oplos-singen die geldig zijn voor die waarden van de taludhelling die voldoen aan
. a---'| i q = 1,2,3 (II.3.11) Lewy (1946) breidde dit uit tot
CU-E. 2. p = 1'3'5 --E_<2 (II 3 12)
q 2 ; q= 1,2,3 ' q
De oplossingen gegeven door deze auteurs worden alle geschreven in de vorm van een reeks waarvan het aantal termen toeneemt naarmate de taludhelling geringer is. Vóór het bepalen van de oploop (de amplitude van de verticale beweging bij de waterlijn) berekende Pocklington (1921) de som van deze reeks; zijn resultaat is
(II.3.13)
Dit werd later ook gevonden door Miche en Lewy. Blijkbaar neemt de oploop toe met afnemende taludhelling.
De genoemde theorieën zijn voor kleine taludhellingen moeilijk hanteerbaar omdat het aantal termen van de reeksen dan erg groot wordt. Dit was voor Miche (1944) en
Friedrichs (1948) aanleiding om voor kleine taludhellingen een asymptotische benadering af te leiden van de exacte oplossing. De benaderingsformules van Miche zijn echter slechts geldig in het ondiepe gebied. Die van Friedrichs hebben deze beperking niet. Friedrichs' resultaat komt
re i» ü . " • «3 re re re " ° o 'S S « 3 2- 3 § § "S.^ -" • - • = . • o c ^ er l / l CD N o» — . * r •-» a =i o c::i£3 v» ua . — cc O CD „ ,
^ s- ^
- 5 * S 3 re o. ei •— o r e - » — • ^. => ™ T c7 re ^- * o. — "> n ommmmm
Uil •o o o cn _ i _ » . ^ « ^ . • * LO » » fc_^ * « . ^ i » i L O L O L O t l i ^ 0 1 0 L O L O L O L n ^ Q ^ Q L O L O L O L O L O L O L O C D cn c n c n •„ c n c n t n Ln Ln V7 ^ i n c n « ^ x ^ * * * ^ * * N J r » j * ^ os *»j c n ^"^" * ^ " ^ Q D "^^ **** " C3 C3 C D ^ a c n ^ * L O c n _ * L O cn *"" LD L n X> J> CD X » X » X » I > X » I > I > X » J > X X X X X X X X X X X X X X X X X X x x x x x x x x X X X X X X X X X X X Xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X X X X X X X X X X X. JAAR
PROFIEL a O I S C R E E T a CONTINU 2 - D I M E N S I O N A A L 3 - D I M E N S I O N A A L KORTE GOLF L A N G E GOLF L I N E A I R N I E T - L I N E A I R P E R I O D I E K MIET - P E R I O D I E K S T A A N D E GOLF L O P E N D E G O L F2zeer nauw overeen met de gebruikelijke benadering waarbij het plaatselijke effect van de bodemhelling wordt verwaar-loosd, en waarbij een oplossing wordt gevonden als een successie van constante-diepte-oplossingen die aan elkaar gekoppeld worden door de voorwaarde van een constant energie transport. Het werk van Friedrichs.kan gezien worden als een rechtvaardiging van deze benadering, welke volgens Miche goed is zolang CC niet groter is dan ca. 20 .
Isaacson (1950) gebruikt de oplossing van Lewy en toont aan dat deze geldig is voor willekeurige a < TC Peters (1950) geeft een meer directe oplossing voor alle Q.<TC , zonder tussenkomst van p/q.
Hanson (1926) rèsp. Stoker (1947) geven een oplossing van het probleem van scheef invallende golven, voor het ge-val van volledig terugkaatsende resp. lopende golven. Hun oplossingen zijn beperkt tot de discrete waarden van a gegeven door vgl. II.3.11. Roseau (1951, 1952) en Peters (1952) komen op een geheel andere manier tot een oplossing van het drie-dimensionale probleem, geldig voor alle CC< TC .
De oplossing van het lineaire probleem van de voort-planting van langkammige periodieke golven in een ideale vloeistof over een vlakke bodem is met het werk van deze auteurs zo goed als voltooid. Meer recente theorieën be-handelen niet-lineariteiten, met name in het ondiepe gedeelte dichtbij de waterlijn, en de voortplanting over niet-vlakke bodems. De meeste hiervan zijn beperkt tot flauwe taludhellingen. Om op dergelijke hellingen niet te breken moet de golf een lage steilheid hebben.
Carrier en Greenspan (1958) gebruiken de niet-lineaire lange-golf theorie bij een vlak strand. Zij tonen aan dat er oplossingen bestaan waarbij breken niet optreedt. Hun resultaat behelst enerzijds niet-periodieke bewegingen, die opgewekt worden door het wateroppervlak eerst te deformeren en daarna zonder beginsnelheid los te laten, anderzijds een meer realistische periodieke beweging. Zij gaan uit van vergelijkingen in Euler coördinaten, en komen tot een oplossing door middel van een geschikt gekozen coördinaten transformatie.
Shuto (1967) bereikt hetzelfde resultaat op een meer directe manier door uit te gaan van vergelijkingen in het systeem van Lagrange. Deze methode is vervolgens gebruikt door Shuto
(1968) om de oploop van scheef invallende, lange golven te berekenen.
Keiler (1961) past de lineaire lange-golf theorie toe op de golfbeweging bij de waterlijn, waar het talud vlak wordt verondersteld. Deze beweging wordt gekoppeld aan die op grotere diepte met behulp van de vereenvoudigde korte-golf theorie, d.w.z. dat alle plaatselijke invloeden van de bodemhelling worden verwaarloosd. Zijn resultaat is dus geldig voor niet-vlakke bodems, mits de hellingen niet te groot zijn. De oploop is gegeven door:
(II.3.14)
waarin K de in vgl. II.3.7 gedefinieerde "shoaling
S
coëfficiënt" is, zodat vgl. II.3.14 kan worden uitgedrukt in de equivalente diepwatergolfhoogte H :
•ff- = l/2F (II.3.15)
H o y c. \X
Deze formule is dezelfde als die van Pocklington (1921). Keiler heeft de bovenstaande procedure ook toegepast met gebruikmaking van de niet-lineaire theorie van Carrier en Greenspan (1958) in het gebied nabij de waterlijn. Merk-waardigerwijs is het resultaat precies hetzelfde wat de oploop betreft.
Keiler en Keiler (1965) hebben het geval beschouwd van een vlak talud grenzend aan een horizontaal voorland. Zij gebruiken de lineaire lange-golf theorie in het hele gebied, met als resultaat:
waarin j en D1 Bessel functies zijn van de nulde resp.
de eerste orde. Voor grote waarden van het argument kan men asymptotische benaderingen gebruiken voor de Bessel-functies. Vgl. II.3.16 nadert dan tot
I i i i I 1 1 i <O fO B V g l n . 3.1 7 i 1 • 1 1 i A 1 \ \ V
s.
1 > I • -T "Ti ~
;
i \ i i \ \V
\N
i i \ \ \ \—V^
. 1 \ \ \ ^ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \j
O <n oo(II.3.17)
In figuur II.3.3 is een grafische voorstelling gegeven van beide relaties.
Voor voldoend kleine diepte zou vgl. II.3.14 hetzelfde resultaat moeten geven als vgl. II.3.16. In ondiep water
(d/gT2< ca. 0.005) geldt
j"
^
^ (II.3.18)
waarmee vgl. II.3.14 juist overgaat in vgl. II.3.17. Zoals blijkt uit figuur II.3.3 is de overeenkomst hiervan met vgl. II.3.16 goed voor 2 TI j/d/g/aT > 1.
De theorie van Wallace (1963, 1964, 1965), die betrek-king heeft op eenlinggolven, is hier genoemd in het kader van de theorieën voor periodieke golven, omdat de eenling-golf in sommige gevallen als een grensgeval van een perio-dieke golf wordt beschouwd. Wallace geeft een beschrijving die numeriek moet worden uitgewerkt. Voor verticale wanden
(1964) vindt hij bij benadering, indien H/d > ca. 0,15
-p-=2,5 (II.3.19)
Carrier (1966) beschouwt het geval van de voortplanting van een dispersieve golftrein, opgewekt door een gegeven beweging van een deel van de bodem gedurende een zeker tijdsinterval. Hij geeft een benaderingsformule voor de oploop voor een speciaal geval van deze bodembeweging.
Van Dorn (1966) en Le Méhauté, Koh en Hwang (1968) geven empirische methodes om niet-lineaire invloeden op de golfoploop te benaderen. Van Dorn gebruikt de lineaire vergelijkingen, maar vervangt H daarin door het dubbele van de hoogte van de kam van de invallende golf boven het gemiddeld waterniveau, berekend met behulp van een Stokes theorie of een cnoïdale theorie. Hij heeft uit deze
theorieën een nomogram afgeleid waaruit de relatieve kamhoogte kan worden afgelezen.
Le Méhauté c.s. gaan uit van een staande golf tegen een verticale wand, waarbij
-q-=
(II.3.20)De term A is de relatieve extra verheffing van de kam veroorzaakt door niet-lineaire effecten, en is tot in de 2e orde gegeven door Miche (1944) als
A = -|- mH ( 1+^- sinh'2md-^-cosh"2md)coth md (II.3.21)
Le Méhauté c.s. nemen aan dat de niet-lineaire invloeden op de oploop op een niet al te flauw talud kunnen worden bena-derd door te stellen dat
A (II.3.22)
De in het voorgaande genoemde theorieën voor de oploop van niet-brekende golven geven allen aan dat de oploop toe-neemt naarmate de taludhelling kleiner wordt. Indien echter de helling afneemt tot beneden de kritieke waarde, die af-hangt van de golfsteilheid, gaat de golf breken op het talud, waarmee deze theorieën hun geldigheid verliezen.
II.3.4 Theorieën voor oploop van brekende golven
Zoals in de inleiding tot dit hoofdstuk reeds is gezegd kunnen brekende golven, mits deze de gedaante hebben van een "bore" (lopende schokgolf, lopende watersprong), be-schreven worden met behulp van een niet-lineaire lange-golf theorie. Daarbij wordt gebruik gemaakt van integratie langs karakteristieken. Stoker (1948, 1949, 1957) was de eerste die hier op wees.
In navolging van Stoker hebben verschillende auteurs deze methode toegepast op het probleem van de oploop van een brekende golf. In het algemeen wordt bestudeerd hoe een bore van gegeven (aangenomen) kenmerken zich voort-plant door aanvankelijk stilstaand water van afnemende diepte, zoals geschetst in figuur II.3.4:
FIG. H . 3.4
De invloed van voorgaande golven wordt hierbij niet in rekening gebracht. In de meeste gevallen wordt een ideale vloeistof verondersteld. (Weliswaar treden er in een bore energieverliezen op, maar de details van wat in de bore gebeurt worden niet beschouwd). De resultaten van de diverse auteurs zijn niet zozeer expliciete uitdrukkingen voor de golfoploop alswel methodes met behulp waarvan incidentele gevallen kunnen worden berekend.
Greenspan (1958) en Jeffrey (1964) gebruiken de karak-teristiekenmethode om de plaats te bepalen waar een gegeven aankomende golf zal breken. Ook Kishi (1962) heeft dit pro-bleem beschouwd.
Whitham (1958) geeft een benaderingsmethode voor de berekening van de niet-eenparige voortplanting van een schokgolf. Keiler, Levine en Whitham (1960) voeren een aantal berekeningen uit die de geldigheid van Whitham's benadering schijnen te bevestigen. Zij werken de methode verder uit voor de transformatie van een bore over een hellende bodem. Dit is eveneens gedaan door Kishi (1962).
Ho en Meyer (1962), Shen en Meyer (1963) en Ho, Meyer en Shen (1963) geven een wiskundig gefundeerde kwalitatieve beschrijving van het gedrag van een oplopende bore. Zij be-studeren een aantal eigenschappen van mogelijke oplossingen van de lange-golf vergelijkingen bij een vlak talud. Doordat zij slechts een zeer gering aantal nevencondities invoeren kunnen hun uitspraken van toepassing zijn op een groot aan-tal gevallen. Het algemene karakter van deze uitspraken maakt echter dat het werk voornamelijk als kwalitatief moet worden gezien. Een aantal van hun conclusies luidt:
de vorm van de bore en van het snelheidsverloop bij de waterlijn is vrijwel onafhankelijk van de initiële voorwaarden;
bij de waterlijn nadert de borehoogte tot nul (dit was ook gevonden door Keiler, Levine en Whitham);
voorbij de waterlijn vindt de oploop plaats in de vorm van een dunne laag water die bovendien in de tijd steeds dunner wordt;
de grootste oploop is hoogstens gelijk aan de sneïheids-hoogte U /2g van het water ter plaatse van de waterlijn als de bore daar aankomt, maar: "no method is presently available for estimating the value of U from the properties of swell far from the shore".
In de conventionele lange-golf theorie gaat een niet-brekende positieve golf als
gevolg van het steiler worden van het front over in een bore. Een tussenfase in de vorm van een "spilling breaker"(zie fig.II.3.5) komt in deze theorie niet voor. Le Méhauté (1962) heeft een poging gedaan om deze tekortkoming weg te
:::x:::: v : ! > ¥ # : - x ^ ^ -. -.-:.-""::'-Z'-.'•>>•-.:.•.*>>>.• :*:":::
•x.y>X::::>X::>:>::-:'v:::::::->:>:::-:::::::::::::::-:;::::>-:-:-;o::r:;-y>':::::::;::>:;:::::; ':• \.'X': •'.''-.-' '•: ::""':'"'::-£----::->-:£:>£:ï:">:;::::
„ Spilling breaker " nemen. Hij geeft een
semi-theoretische beschouwing FIG. 1.3.5 over de energiebalans bij
een "spilling breaker", ten dele gebaseerd op de eenling-golftheorie. Bij voldoend grote bodemhelling gaat dit type breker over in een volledig ontwikkelde bore. Le Méhauté geeft nog meer aanvullingen op de door Stoker voorgestelde vergelijkingen. Deze betreffen:
een stabiliserend werkende term in de bewegingsverge-lijking, die samenhangt met de kromming van de stroomlijnen (Boussinesq-term) ;
- een weerstandsterm;
- andere initiële volwaarden, waardoor een grotere nauwkeurigheid in het eindresultaat zou worden verkregen.
Freeman en Le Méhauté (1964) geven gedetailleerde beschouwingen over het gedrag van de golf bij de waterlijn en de oploop. Weerstand wordt alleen in rekening gebracht bij het oplopen als zodanig, dus voorbij de gemiddelde waterlijn. De resultaten zijn afhankelijk van twee coëffi-ciënten, waaronder een weerstandsfactor. Freeman en Le
Méhauté geven geen numerieke waarden v.an deze coëfficiënten. De berekeningen moeten dus aangevuld worden met metingen.
In berekeningen van Le Méhauté en Moore (1965) wordt zowel de exacte integratie methode gebruikt, als de bena-dering welke is voorgesteld door Whitham (1958). De verschil-len tussen de uitkomsten waren aanzienlijk.
Kishi (1966) geeft een andere methode dan Le Méhauté voor de berekening van een onvolledig ontwikkelde bore. Hij baseert zijn werk op dat van Whitham (1958) en Keiler c.s. (1960).
Amein (1966) geeft een overzicht van de methodes die ter beschikking staan om de oploop van ondiep-water golven te berekenen. Hij ontleent zijn randvoorwaarden aan de lineaire korte-golf theorie. In ondiep water gaat hij over op de niet-lineaire lange-golf theorie. De voortplanting van de golven wordt verder berekend met behulp van de karakteris-tieken-methode, met enige modificaties in het gebied voorbij de waterlijn, d.w.z. waar de eigenlijke oploop plaats vindt. Amein brengt geen weerstand in rekening omdat volgens hem onrealistische uitkomsten worden verkregen bij het invoeren van een weerstandsterm overeenkomstig bestaande formules. In tegenstelling tot de andere auteurs beschouwt hij perio-dieke golven. Uit een aantal berekeningen blijkt dat de op-loop toeneemt met de golfperiode.
De voortplanting van periodieke golven over een talud is, behalve door Amein, ook bestudeerd door Daubert en Warluzel (1967). Zij gebruiken de niet-lineaire lange-golf vergelijkingen, inclusief een weerstandsterm volgens Chézy. Voor de numerieke integratie worden de vergelijkingen niet in karakteristieke vorm gebracht, maar direct omgezet in differentie vergelijkingen. De initiële voorwaarde is de
evenwichtstoestand. Aan de zeewaartse rand wordt vervolgens een harmonische beweging opgelegd overeenkomend met een invallende golf. De eerste golf die de kust bereikt loopt tegen een droog talud op en bereikt een veel grotere oploop-hoogte dan de volgende golven, die oplopen tegen terugstro-mend water in. (In hoeverre dit gebeurt en invloed heeft hangt in het algemeen af van de golfsteilheid en de talud-helling). Na verloop van tijd, maar niet voordat de eerste teruggekaatste golf de zeewaartse rand heeft bereikt, stelt zich een periodieke beweging in. Een voorbeeld wordt gegeven van een golf,met T = 2 sec en H = 0,10 m in een diepte van 0,40 m, die tegen een talud onder 1:5 oploopt. De berekende oplooplengte langs het talud was 0,85 m; in een model werd 0,80 m gemeten.
Het is interessant om deze maten te vergelijken met de empirische oploopformule voor brekende golven, gegeven door Hunt (1959):
Z = /HLO % tand (zie vgl. II.5.8, b l z . 4 7 )
II.4 KWALITATIEVE EXPERIMENTELE RESULTATEN II.4.1 Inleiding
In verschillende landen worden- sinds jaren proeven verricht die betrekking hebben op golfoploop, vooral in Duitsland, Japan, Nederland, Rusland en de Verenigde Staten. De verschillen in geografische omstandigheden komen tot uiting in de golfoploop-problemen die men onderzoekt. Zo zijn de in Nederland en Rusland opgestelde golfoploop-formules slechts geldig voor steilere golven. In de Verenigde Staten daaren-tegen zijn golven met geringe steilheden niet onbelangrijk in verband met de grote afstanden en strijklengten op de oceanen, en heeft men in het oplooponderzoek dan ook golven met zeer geringe steilheden betrokken. In Duitsland wordt vaak het voorland in het oplooponderzoek opgenomen. Verder kan het ene land overwegend een ander soort kustverdediging hebben dan een ander. Zo komen in de Japanse literatuur over golfoploop verhoudingsgewijs veel (bijna) verticale wanden voor, z.g. seawalls, al dan niet beschermd door een stapeling van betonblokken. Hoewel er dus verschillen bestaan in de gerichtheid van het onderzoek in de diverse landen, bleek er in de geraadpleegde literatuur een voldoende mate van overeenstemming te heersen over een aantal punten om op grond daarvan enige algemene uitspraken te kunnen doen. Voor zover deze een diffuse weergave zijn van wat in de verschillende bronnen werd aangetroffen, zal geen aparte bronvermelding worden gegeven. In plaats daarvan wordt verwezen naar de Bibliografie, welke aan het eind van dit deel is opgenomen (blz.85).
Alvorens over te gaan tot het presenteren van numerieke resultaten zal de invloed van de dimensieloze groepen, gege-ven in h'oofdstuk II.2, in kwalitatieve zin worden besproken. Hierbij wordt steeds de waarde van één groep gevarieerd, terwijl die van de andere groepen constant gehouden worden. Slechts een glad, vlak talud met hellingshoek Ct wordt be-schouwd, al of niet grenzend aan een horizontaal voorland. In dat geval is
i = f(a,(3,-^3 , 4 -R« ' W e> (II.4.1)
waarin
(II.4.2)
een getal van Reynolds, en
een getal van Weber.
(II.4.3)
II.4.2 De hellingshoek a
Zolang de golf breekt op het talud, d.w.z. zolang CX < a. i neemt z/H toe met a , terwijl z/H weer afneemt voor a > a. . Dit laatste is in overeenstemming met de oploop-theorieën voor niet-brekende golven. Blijkbaar is z/H maximaal indien Ct = a . De afhankelijkheid van z/H en O. is geschetst in figuur II.4.1.
niet breken
z H
FIG. H.4.1 II.4.3 De invalshoek (3
De overgrote meerderheid van de waarnemingen van golfoploop heeft betrekking op loodrechte inval. De weinige gegevens die over scheve inval bestaan duiden op een afname van z/H naarmate de invalsrichting meer van de loodrechte afwijkt.
II.4.4 De Kolfsteilheid H/gT2
Voor zodanig lage steilheden dat geen breken op-treedt komen verschillende onderzoekers tot niet geheel gelijkluidende resultaten betreffende de invloed van de
M
golfsteilheid. Volgens sommige onderzoekers is er geen afhankelijkheid, volgens andere neemt z/H langzaam toe met toenemende steilheid. Blijkbaar is z/H niet erg gevoelig voor de golfsteilheid zolang geen breken optreedt.
Kwalitatief is het wel te verklaren dat z/H toe zou nemen met de steilheid zolang de golf niet breekt. In dat geval treedt immers vrijwel volledige terugkaatsing op. Bij terugkaatsing tegen een wand is de oploophoogte gelijk aan de grootste hoogte boven het gemiddelde waterniveau van de resulterende staande golf ter plaatse van de wand. Van een staande zowel als van een lopende golf neemt de relatieve hoogte van de kam boven de gemiddelde waterspie-gel toe naarmate de golfsteilheid groter wordt. Dit is een niet-lineair effect.
De invloed van de steilheid op z/H is voor brekende golven veel sterker dan voor niet-brekende. Bij toenemende steilheid neemt z/H dan duidelijk af. De verklaring hier-voor kan worden gezocht in het intensiever worden van het brekingsproces met toenemende golfsteilheid, dat blijkbaar de eerder genoemde extra verheffing van de kam van de aan-komende golf meer dan compenseert.
De variatie van z/H met de golfsteilheid is in figuur II.4.2 schetsmatig weergegeven.
2
H
niet breken breken
H
T
11.4.5 De verhouding H/d
De invloed van H/d op z/H is afhankelijk van het al of niet breken van de golven op het talud. Voor golven die niet breken heeft H/d een zwakke invloed op z/H, en wel zodanig dat z/H toeneemt met H/d mits H/d > ca 1/3. Een mogelijke verklaring hiervoor is dat, evenals bij toenemende golf-steilheid, er bij toenemende H/d een grotere relatieve verheffing van de kam boven het gemiddelde niveau optreedt.
Zijn de omstandigheden zodanig dat de golf breekt dan is H/d vrijwel niet van invloed op z/H. Indien de golf nog juist niet breekt op het voorland heeft H/d zijn maximum waarde bereikt. De grootte hiervan is afhankelijk van de golfsteilheid, zodat (H/d)max. niet als een onafhankelijke variabele mag worden beschouwd.
De gecombineerde invloed van golfsteilheid en H/d op z/H is als volgt te formuleren: bij gegeven CC is z/H maximaal voor die combinatie van golfsteilheid en H/d waarbij de golf juist breekt bij de teen van het talud.
11.4.6 Het getal van Reynolds, Re
De invloed van het getal van Reynolds op een stroming is in het algemeen groter naarmate Re kleiner is en de begrenzingen van de stroming meer gestroomlijnd zijn. Bij schaalproeven van golfoploop op een glad, vlak talud, waarbij Re kleiner is dan in het prototype, zal dus een schaaleffect kunnen optreden dat afhangt van de grootte van Re. Een kleinere waarde van Re in het model impliceert dat het effect van de viscositeit relatief groter is. Dit resulteert in een te lage oploop in het model. In de V.S. heeft men hiernaar een onderzoek verricht. De voorlopige conclusie was dat er inderdaad een merkbaar schaaleffect bestond bij veel voorkomende waarden van Re in prototype en model. In het handboek van de C E . R . C (1966) worden correcties aanbevolen tot ca. 20%, afhankelijk van de steilheid van golf en talud. Deze correcties zijn echter gebaseerd op zeer weinig gegevens en daarom niet erg betrouwbaar.
II.4.7 Het getal van Weber, We
Evenals de viscositeit speelt de oppervlaktespanning pas dan een rol van betekenis in het oploopverschijnsel als We beneden een zekere waarde ligt. Als gevolg van het niet op schaal nabootsen van de oppervlaktespanning kunnen in kleine modellen merkbare schaaleffecten optreden in b.v. het breken van de golven. Aangezien het oploopverschijnsel zeer nauw samenhangt met het breken van de golf is dit een punt dat niet uit het oog mag worden verloren.
II.5 KWANTITATIEVE EXPERIMENTELE RESULTATEN 11.5.1 Inleiding
Bij het opstellen van een voor Nederlands gebruik bedoelde samenvatting van beschikbare kwantitatieve experimentele resultaten is het zinvol om het accent te leggen op die gegevens die voor Nederlandse omstandigheden van belang kunnen zijn. Gelet op wat in het voorgaande is gezegd betekent dit dat het accent zal vallen op de oploop van golven die breken op het talud. De meeste gegevens hebben betrekking op loodrecht invallende golven en een glad, vlak talud. Deze zullen in de eerstvolgende paragraaf worden behandeld. In de daaropvolgende paragrafen komt o.m. de oploop op ruwe en niet-vlakke taluds ter sprake.
11.5.2 Vlak, glad talud
In de V.S. zijn veel experimenten verricht met regel-matige golven (Saville, 1956). De resultaten zijn grafisch weergegeven o.a. in het handboek van de C E . R . C . (1966). De figuren II.5.1 en II.5.2 zijn hieraan ontleend. De relatieve oploop z/H is daarin uitgezet tegen cot a , met
o
de golfsteilheid H /gT als parameter. De rechter tak van elke lijn heeft betrekking op brekende golven op het talud; de linker tak op niet-brekende. In de figuren II.5.1 en II.5.2 is een lijn getekend ter plaatse van de overgang tussen beide takken. Langs deze lijn bestaat een verband tussen golfsteilheid en taludhelling. Het blijkt dat dit verband voor alle beschouwde golfsteilheden juist wordt weergegeven door vgl. II.3.6, welke door Miche (1951) is voorgesteld als benadering van zijn brekingscriterium
(vgl. II.3.5) voor steilheden kleiner dan ca. 1%. De relatieve oploop z/H van golven die breken op het talud blijkt toe te nemen met afnemende golfsteilheid; bij een constante golfsteilheid is de oploop dan ongeveer evenredig met tan CL .
In een overzicht van oploopgegevens heeft Franzius (1965) de oorspronkelijke gegevens die aan de C.E.R.C.-grafieken ten grondslag lagen omgewerkt en de relatieve oploop z/H in formulevorm uitgedrukt als functie van Ct ,
cot. a
> 3
0.1
20 3 0 40 cot. a
u
r
3
H/d en H/L. Het nut hiervan is twijfelachtig, want de
formules van Franzius zijn te ingewikkeld om gemakkelijk te kunnen worden onthouden; bovendien is het veel tijdrovender om de oploop te berekenen met de formules dan om deze te bepalen met behulp van de oorspronkelijke grafieken. Volle-digheidshalve worden ze hier wel gegeven:
( V ?( '.58-2,35tana >• 0,092 coto-0,26 ]
( 1 1 . 5 . 1 ) ( 1 1 . 5 . 2 ) voor tan a = 1: 10 ( I I . 5 . 3 ) Franzius voerde ook modelproeven uit om een onafhankelijke toetsing te hebben van de formules en dus indirect ook van de Amerikaanse gegevens. Het resultaat was bevredigend.
De ingewikkeldheid van bovenstaande uitdrukkingen is hieraan te wijten, dat Franzius het hele gebied van breken en niet-breken in één type formule heeft willen vangen. Beperkt men zich tot het gebied van brekende golven dan kan men tot veel eenvoudiger formules komen, zoals is ge-daan door Hunt (1959). Hij vindt op grond van genoemde
Amerikaanse modelproeven dat z/H dan evenredig is met tand , met (H/L)~2 en met (tanh 2 T t d / L ) ~2, ofwel
-1 1
-£- = constantex tand (y-)f (tanh^i^-)"2 (II.5.4)
n L. L wat na substitutie van
L= Lo tanh—j-— (II.5.5)
z
overgaat in p- = constante x ^U=r (II.5.6) Ook de constante werd door Hunt uit de modelproeven bepaald. Zijn uiteindelijke formule is echter niet homogeen in de dimensies. Wordt'die formule in dimensieloze vorm terugge-bracht, dan blijkt dat de constante in vgl. II.5.6 vrijwel 1 wordt:
of
Z = V H L0'
tand (II.5.8)
Hoewel de formule van Hunt elke theoretische ondergrond mist, is het wel mogelijk om een plausibele verklaring te vinden voor de vorm waarin g, H, T en d erin voorkomen. Daartoe wordt vgl. II.5.8 herschreven als
z=0,4TygTÏ tand (II. 5.9) waarbij gebruik gemaakt is van vgl. II.3.2.
De formule heeft betrekking op golven die breken op het talud. Beschouw de waterdeeltjes die tijdens en na het breken van de golf het talud oplopen. De aanvangssnelheden van deze deeltjes, dus de snelheden die zij hebben kort na het breken, zijn van dezeifde orde van grootte als de snelheden tijdens het breken. De horizontale deeltjessnelheden in een brekende golf zijn van de orde l^H. Van de oplopende watermassa zijn de aanvangssnelheden in horizontale richting dus eveneens van de orde VgH- De beweging is periodiek met periode T. Als de vorm van het snelheidsverloop in de tijd bij benade-ring onafhankelijk is van de kenmerken van golf en talud, dan zijn de horizontale uitwijkingen van de orde T VgH, en de verticale uitwijkingen, waaronder de oploop, van de orde T VgH tand . Blijkens vgl. II.5.9 is het laatste inderdaad het geval.
Er wordt op gewezen dat het bovenstaande niet de juist-heid bewijst van de vorm van Hunt's formule. Het is bedoeld als een mogelijke interpretatie ervan, die het inzicht in de structuur kan helpen verdiepen.
Enige ongepubliceerde gegevens van het Waterloopkundig Laboratorium te Delft zijn in figuur II.5.3 vergeleken met vgl. II.5.9. Het is opvallend dat de punten waarvoor
cot a = 6 niet alleen beter overeenkomen met vgl. II.5.9, maar ook onderling beter gecorreleerd zijn dan de punten waarvoor cot a = 4.
Franzius (1965), Drogosz-Wawrzyniak (1965) en Wagner (1968) geven een aantal Russische oploopformules. Deze
M!
worden in het navolgende gegeven evenals twee door Drogosz-Wawrzyniak resp. Wagner zelf voorgestelde formules. De
meeste hiervan zijn gebaseerd op modelmetingen. Alleen indien dit niet het geval is wordt daarvan melding gemaakt. Tevens worden de grenzen genoemd waarbinnen de golfsteilheid en taludhelling in het modelonderzoek zijn gevarieerd.
Djounkowski (1940): z = 3.2 H tan a i ^ cot a ^ 4 0,09 < ^ - ^ 0.10
Drogosz-Wawrzyniak ( 1 9 6 5 ) :
z = 3,8 H tan a Karapetjan: Kultshiski (1956):Kurlowitz ( 1 9 5 7 ) :
2.= 0,067 z = (3*0,2 -g)Hsina cot a=3,5,10 z= ( 3,2*9,6 sinCUHtana 0,06 <-y~ < 0,10 z= H0'1] / Ï 7 L tana Q06 < -G- < 0,10 Maksimcuk (1959): z = / H L sina Pishkin (1941, 1954): = 5,6 H tana $ 6 H (II.5.10) (II.5.11) (II.5.12) (II.5.13) (II.5.14) (II.5.15) (II.5.16) 0,05 < X" < P,De formule van Pishkin heeft betrekking op "de" maximale oploop.
