Sterowalność liniowych układów dynamicznych z opóźnieniami w sterowaniu przy ograniczeniach na sterowanie

ZESZYTY NAUKOW E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria AUTOM ATYKA z 122

1998 N r kol. 1388

Beata SIKORA

STEROWALNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Z OPÓŹNIENIAMI W STEROWANIU PRZY OGRANICZENIACH NA STEROWANIE

S treszczenie. Niniejszy artykuł zawiera definicje oraz podstawowe twierdzenia dotyczące względnej oraz absolutnej sterowalności przy ograniczeniach na sterowanie liniowych, ciągłych, skończenie-wym iarowych układów dynam icznych z opóźnienia­

mi w sterowaniu.

CONTROLLABILITY WITH CONSTRAINED CONTROLS OF LINEAR DYNAMICAL SYSTEMS WITH DELAYS IN CONTROL

S u m m ary . This article contains som e definitions and basic theorems concerning the relative and absolute controllability with constrained controls o f linear, continuous, finite dimensional dynam ical systems w ith delays in control.

1. Wstęp

Sterowalność układów dynam icznych je st jednym z podstawowych pojęć teorii sterowa­

nia. Szczególnie rozległa je st problem atyka sterowalności dla układów dynam icznych z opóźnieniami. O ddzielną klasę układów dynam icznych z opóźnieniami stanow ią układy z opóźnieniami w sterowaniu. W pracy [3] sformułowane zostały warunki konieczne i wystarczające sterowalności względnej i absolutnej dla liniowych, niestacjonarnych ukła­

dów dynam icznych z wielokrotnymi, zm iennym i w czasie opóźnieniami w sterowaniu. Po­

nieważ w praktyce sterow ania są zawsze w pewien sposób ograniczone, celowe je st anali­

zowanie sterowalności układów dynam icznych przy dodatkowych ograniczeniach nałożo­

nych na sterowania.

Rozpatrujemy liniowe, ciągle, niestacjonarne, skończenie-wymiarowe układy dynamicz­

ne z opóźnieniami w sterowaniu, opisane różniczkowym równaniem stanu następującej po­

staci:

x (t) = A(t) x(t) + ¿ B , (t) u(v, ( t) ) , t > to, (1)

¡ - 0

gdzie:

x(t) e R n - w ektor stanu chwilowego, u e L2iix([to ,0 0), R m) - sterowanie,

A(t) - (n x n)-w ym iarow a m acierz o elementach aq eL \oc([ to ,°°), R ), k j = l,2,...,n, B¡(t) (i = 0,1,2,..., M) - (n x m )-wymiarowe m acierze o elementach b¡kj e L 2|0C([ to ,co),R),

k = l,...,n ,j = l,...,m ,

v¡: [ to ,oo) - > R , i = 0,1,2,...,M - funkcje absolutnie ciągle, silnie rosnące, spełniające nierówności vM(t) < vM-i(t) < ... < vk(t) < ... < V|(t) < v⁰(t) = t , t e [ to ,oo);

v¡(t) = t - h i(t), gdzie h,(t) > O, i = 0,1,2,...,M s ą zm iennym i w czasie opóźnieniami sterowania.

N iech S, So, Si c R° będą dowolnymi, niepustymi zbiorami, U c R m będzie dowolnym niepustym zbiorem oraz L2([ to, ti],U) oznacza zbiór funkcji całkow alnych z kwadratem w przedziale [ to, tj] o wartościach w zbiorze U. Zbiór ten nazyw a się zbiorem sterowań do­

puszczalnych. Dowolne sterowanie u e L 2([ to, tj],U) będziemy nazywać sterowaniem do­

puszczalnym dla układu dynam icznego o postaci (1). Przy zadanych warunkach początko­

wych z(to) = { xo,u,a } e R ° x L²([vM(to), to],U), gdzie xo = x(to )eR " oraz u,o= u(s) dla s e [ v M(to), to], oraz sterowaniu dopuszczalnym u e L 2([ to, t],U ), dla każdego t > to istnieje jednoznaczne, absolutnie ciągłe rozwiązanie x( t, z(xo),u) równania różniczkowego (1) posta­

ci

x(t,z(to),u) = F(t,to) x(to) + j F ( t , t ) £ B, W u(v¡(r)) dr, (2)

.. ¡-o

gdzie F(t, 1) je st (n*n)-w ym iarow ą m acierzą tranzycji układu liniowego x (t) = A(t) x(t)

W niniejszej pracy zostaną sform ułowane definicje oraz podstaw owe twierdzenia doty­

czące sterowałności przy ograniczeniach na sterowanie ciągłych układów dynam icznych z opóźnieniami w sterowaniu postaci (¹).

Sterowalność układów d ynam iczn y ch . 185

2. Sterowalność względna

N a podstawie definicji względnej sterowalności układów z opóźnieniami w sterowaniu [3] oraz definicji sterowalności układów bez opóźnień przy ograniczeniach na sterowanie [3]

można zdefiniować różne rodzaje sterowalności układu dynam icznego (1) przy ogranicze­

niach na sterowanie.

D efinicja 1. Układ dynam iczny (1) nazyw a się względnie U-sterow alnym w przedziale [ to, tj] ze stanu zupełnego z(to) e R ° x L2([vM(to), to],U) do zbioru S, jeżeli dla dowolnego wektora xi e S istnieje sterowanie u e L 2([ to, fi],U) takie, że odpowiadająca tem u sterowaniu trajektoria x(fi z(to), u ) układu dynam icznego (1) spełnia następujący warunek:

x(fi,z(to ), u ) = xi.

D efinicja 2. Układ dynam iczny (1) nazyw a się względnie U -sterow alnym w przedziale [ to, fi] ze zbioru S o eR " do zbioru S i e R n, jeżeli dla każdego stanu zupełnego z(to)eSo x L2([vM(to), to],U) i dla każdego wektora x e S i istnieje sterowanie dopuszczalne u e L 2([ to, fi],U) takie, że odpowiadająca tem u sterowaniu trajektoria x( t, z(xo), u ) układu dynamicznego (1) spełnia warunek: x( fi, z(to), u ) = x .

D efinicja 3. U kład dynam iczny (1) nazyw a się lokalnie względnie U-sterowalnym w przedziale [to, fi] do zbioru S, jeżeli istnieje niepusty zbiór S o c R ” taki, że układ dyna­

miczny (1) je st względnie U-sterowalnym w przedziale [to, fi] do zbioru S dla każdego stanu zupełnego z(to) 6 S0 x L2([vM(to), to],U) oraz zachodzi inkluzja S c S o c R ”.

D efinicja 4. U kład dynam iczny (1) nazyw a się globalnie względnie U-sterowalnym w przedziale [ to, fi] do zbioru S, jeżeli je st on względnie U-sterowalnym w przedziale [to, fi]

do zbioru S dla każdego stanu zupełnego z(to) e R " x L²([vM(to), to],U).

W przypadku, gdy S= R", mówimy o globalnej względnej U-sterowalności w przedziale [fi, fi]. Natom iast, gdy S={0}, mówimy odpowiednio o względnej U-sterowalności w przedziale [ to, fi] do zera, lokalnej względnej U-sterowalności w przedziale [to, fi] do zera oraz globalnej względnej U-sterowalności w przedziale [ to, fi] do zera [3].

Przyjmijmy, że zbiór S je s t rozm aitością liniow ą w przestrzeni R ” postaci

S = { x e R °: L x = c }, (3)

gdzie L je st znaną (p x n)-w ym iarow ą m acierzą rzędu p, natom iast c e R p danym wektorem.

W szczególnym przypadku, gdy L=I„ (m acierz jednostkow a (n xn)-wymiarowa) oraz c=0, otrzymujemy S={0}.

Określmy zbiór osiągalny ze stanu zupełnego z(to) w chwili t > to dla układu dynam icz­

nego (1) wzorem [3]

Ku([ to, t], z(to)) = { x e R ”: x = F(t,to) x(to) + j F ( t , x ) Bi (*) u(v i(t) ) d t , u e L 2([ to, t],U )}.

D efinicja 5. [3] U kład dynam iczny (1) nazyw a się lokalnie w zględnie U-sterowalnym w xo, jeżeli istnieje te (to ,°o ) takie, że zbiór osiągalny Ku([ to, t], z(to)) zawiera sąsiedztwo punktu xo.

D efinicja 6. [3] U kład dynam iczny (1) nazyw a się globalnie względnie U-sterowalnym w xo, jeżeli zachodzi następujący warunek:

K u ( z ( to )) = U K u([to,t],z(to)) = R n

Aby sform ułować pewne kryteria badania różnych rodzajów sterowalności z ogranicze­

niami na sterowanie układu dynam icznego (1), przy założeniu, że zbiór docelowy S je st po­

staci (3), wprowadźmy funkcję skalarną J: R nx R x R p- > R postaci [5], [3]:

J( xo, t, v) = vTL F(t,to) x(to) + Jsup{vT L F(t,x)£ Bi (x) u(vj(x)): u e L 2([ to, t ],U )}dt - vTc.,

t . ¡ - o

gdzie v e R p je st dowolnym wektorem.

Zauważmy, że korzystając z absolutnej ciągłości funkcji Vj oraz wykorzystując pojęcie funkcji w yprzedzenia r^ [Vi(to), Vj(ti)] - » [ to, ti], będącej funkcją odw rotną do funkcji v-,(t), dla t e [ to ,t[], i = 0,1,2,..., M rozwiązanie równania różniczkowego (1) m ożna przedstawić w postaci:

M v l < * i ł

x(t,z(to),u) = F(t,to) x(to) +

Z J

F(t,n(T)) B,(ri(x)) r, (x) u(x) dx

Ponieważ bez utraty ogólności m ożna założyć, że to = Vk(ti), zatem dla t = t| m am y [3]:

k

x (tj,z (to ),u ) = F (ti,to )x (to ) + Z J F (t i>ri(T))B i(n (x ))

i,

(x) u ,o (x )d x + i-Oy.d,)

+

Z

j F (ti^ri(x)) Bj(ri(x)) r; (x) u,c (x) dx +

+ Z |F ( t , ,r i(x ))B i(rl( x )) f i (x )u (x )d x

¡-o

Pierwsze trzy składniki powyższej sumy zależą wyłącznie od stanu zupełnego w chwili to, z(to), a nie zależą od sterowania u. W prowadzamy oznaczenia [3]:

q(z(to)) = x(to) +

Z

j F ( t o i t o ) Bi(r,(x)) f, (x) u 1# (x) dx + (4) M vl«J>

+

Z

} F (to-ri(x>) Bj(ri(x)) ^ (x) u lt (x) dx

¡■k-Uv,(l0) oraz dla t e [ v i+i(ti),Vi(ti)), i= 0,l,2,...,k-l

Sterowalność układów d ynam icznych. 187

B l i ( t ) = X F ( W j ( t ) ) B j ( r j(t))rj (t) i-o

L em at 1. [3] N iech ukiad opisany następującym macierzowym równaniem różniczko­

wym

y (t) = A(t) y(t) + Bt_ (t) u ( t) , t e [to.ti], (5) będzie liniowym , niestacjonarnym układem dynam icznym bez opóźnień w sterowaniu.

Wówczas

x(t, z(to), u) = y(t, q(z(to)), u ) , t e [to,t|]

N a mocy lematu 1 względna sterowalność w przedziale [to,ti] układu dynam icznego (1) jest równoważna sterowalności w przedziale [to.tj] układu dynam icznego bez opóźnień w sterowaniu postaci (5), dla którego m ożna stosować znane kryteria badania U-stero- walności dla układów bez opóźnień [3].

Funkcja skalarna J( Xo, t, v), dla t = tj, przyjm ie zatem postać:

'l

J(z(to), ti, v) = vTL F(t,, to) q(z(to)) + Jsup{vT L F (tu x) B tj (x) u(x): (6)

l °

u e L 2([ to, tj],U )}dx - vTc

Macierz B ti (t) je st (n*m )-w y m iarow ą m acierzą określoną w przedziale [to, ti], której ele­

menty są funkcjami całkowalnym i z kwadratem, zatem całka w pow yższym wzorze je st do­

brze określona.

Możemy teraz, analogicznie ja k w przypadku układów bez opóźnień przy ograniczeniach na sterowanie [3], [8], sform ułować pew ne kryterium badania sterowalności układu dyna­

micznego (¹) przy ograniczeniach na sterowanie.

T w ierdzenie 1. N iech U będzie zbiorem zwartym oraz E c R p dowolnym zbiorem za­

wierającym 0 jako punkt w ewnętrzny. W ówczas układ dynam iczny z opóźnieniami w stero­

waniu (1) je st w zględnie U-sterowalny ze stanu zupełnego z (to )e R n x L2([vM(to),to].U) do zbioru S postaci (3) w tedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego ti e [ to, « ) zachodzi równość:

min{ J(z(to), tj, v): v e E } = 0 lub równoważnie w tedy i tylko w tedy, gdy

J(z(to), ti, v ) ż O dla każdego v e E , gdzie funkcja skalarna J( z(to), t|, v) określona je st wzorem (⁶).

D o w ó d: N a mocy Lem atu 1 możemy zbiór osiągalny Ku([ to, tj], z(to)) dla układu dynamicznego (¹) zapisać w postaci:

Ku([ to, t,], z(to)) = {x e R ": x = F (t,, to) q(z(to)) + jF ( t,,x ) B,, (r) u(r) dr, u e h \ [ to, t ,],U)}

*0

Zbiór Ku([ to, ti], z(to)) je st wypukły i zwarty. Aby pokazać, że je st to zbiór zwarty, poka­

żemy, że z dowolnego ciągu punktów x ((t|), X2(t2),..., Xk(tk),... należących do Ku([ to, ti], z(to)) można wybrać podciąg zbieżny do pewnego punktu x (ti) eK u ([ to, ti], z(to)). Poniew aż zbiór sterowań dopuszczalnych L2([ to, ti],U) je st słabo zwarty w przestrzeni L2([ to,,t|], R m) (patrz [4], lem at lA ,str,169), zatem istnieje podciąg uki słabo zbieżny do pewnego sterowa­

nia u e L2([ to, ti],U) taki, że

lim J F ( t,t) Bt| (t) u ti (t) d r = jF ( t ,r ) Btj (r) u ( r) dr

'o 'o

Niech x(t) będzie rozwiązaniem odpowiadającym sterowaniu u ( t ) . W ówczas w prze­

dziale [ to, ti] mamy:

t

x(t) = F (th to) q(z(to)) + j*F(t,r) Bti (r) u(t) d t = lim x k( (t).

•o Zatem

lim x k ( t ,) = x ( t , ) s Ku([ to , ti], X o),

t|-K® 1

skąd wynika, że zbiór osiągalny Ku([ to, ti], z(to)) je st zwarty w przestrzeni R ”.

W ypukłość zbioru osiągalnego Ku([ to, ti]*, z(to)) pokazano w [5], [6].

Dzięki w ypukłości i zwartości zbioru Ku([ to, t t], z(to)) również zbiór K u([ to, tj], z(to)) o postaci

K u([ to, ti], z(to)) = { y s R p: y=Lx, x e Ku([ to, tj], z(to ))}

je st wypukły i zwarty. Stan początkowy xo może być przeprowadzony do zbioru S w chwili t|

w tedy i tylko wtedy, gdy w ektor c oraz zbiór K nie są dokładnie separowalne hiperpłaszczy- z n ą czyli gdy dla w szystkich w ektorów v e R p zachodzi nierówność:

v Tc S s u p { v T x : x e K u ( [ to , t i ] , z (to ))>

Uwzględniając postać zbioru R u ([ to, ti], z(to)) pow yższą zależność da się przedstawić nastę­

pująco:

u ^

vT L q(z(to)) + sup{ J{vT L F (t,, r ) (r) u(r) dr: u e L 2([ to, t |] ,U )}- vTc > O

SierowaJność układów d y nam icznych. 189

Zamieniając operację całkowania z operacją supremum wnioskujemy, że c e K u([ to, ti], z(to)) w tedy i tylko wtedy, gdy J( z(to), ti, v) > 0 dla w szystkich w ektorów v e R p. Ponadto można pokazać, że

k J(z(to), ti, v) = J(z(to), t|, kv) dla wszystkich k > 0 , wobec czego, ograniczając się do wektorów v e E , otrzym ujemy tezę twierdzenia.

W niosek 1. N iech U będzie zbiorem zw artym oraz E c R n dowolnym zbiorem zawiera­

jącym 0 jako punkt w ewnętrzny. W ówczas układ dynam iczny z opóźnieniami w sterowaniu (1) je st względnie U-sterowałny ze stanu zupełnego z (to )e R D x L2([vM(to),to],U) do zera wte­

dy i tylko wtedy, gdy dla pewnego ti e [ to, co) zachodzi równość min{ J(z(to), ti, v): v e E } = 0 lub równoważnie, wtedy i tylko wtedy, gdy

J(z(to), tj, v) > 0 dla każdego v eE .

D o w ó d : Twierdzenie 2 w ynika wprost z twierdzenia 1, dla S = {0}, czyli dla L = I„

oraz c = 0. W ówczas zbiór E je st podzbiorem przestrzeni R".

W niosek 2. U kład dynam iczny z opóźnieniami w sterowaniu o równaniu:

x (t) = A(t) x(t) + ^ B , ( t ) u (v ,(t)), t e [ t o ,t|] , (7) i-0

jest względnie U-sterowałny w przedziale [to,t|] ze stanu zupełnego z(to) e R ° * L²([vM(to), to],U) do zbioru S postaci (3) wtedy i tylko wtedy, gdy układ dynam iczny bez opóźnień dany równaniem:

x (t) = A(t) x(t) + Bt, (t) u(t), t e [to, t j , (8) jest U-sterowalny w przedziale [to, ti] z warunków początkowych q(z(to)) do zbioru S po­

staci (3).

D o w ó d : W ynika wprost z lematu 1 i twierdzenia 1.

W n io sek 3. Jeżeli układ dynam iczny z opóźnieniami w sterowaniu o równaniu (6) jest względnie U-sterowalny w przedziale [to, t i ] ze stanu zupełnego z (to ) 6 R n * L 2([VM (to), to],U) do zbioru S postaci (3), to układ dynamiczny bez opóźnień, dany równaniem

x (t) = A(t) x(t) + B(t) w(t), t € [to, tj], (9) gdzie

B (t)= [ B0(t)| B j(t)j... | BM(t) ], w e R (Młl>m

jest U-sterowalny w przedziale [to, ti] z warunków początkowych q(z(to)) do zbioru S postaci (3).

D o w ó d : W eźmy B (t)= [ B0(t)| B i( t) |... | BM(t) ] oraz w(t) = [ w0(t), w ,( t) ,... ,wM(t)]T.

Wówczas dla układu dynam icznego (9) rozwiązanie przyjm ie postać:

J(z(to), ti, v) = vTL F(to, ti) q(z(to)) + Jsup{vT L F(ti, x)B (x) w(x): u e L 2([ to, ti],U)}dx - vTc

*0

•i m

= vTL F(to, ti) q(z(to)) + Jsup{vT L F(ti, x )£ B, (x) Wi(x): u e L 2([ to, ti],U)}dx -vTc.

Biorąc w szczególności Wj(t) = u(Vj(t)), na mocy założenia o względnej U-sterowalności w przedziale [to, ti] ze stanu zupełnego z(to) e R ” * L2([vM(to), to],U) do zbioru S o postaci (3) układu dynam icznego (1), stosując twierdzenie 1 otrzym ujem y tezę wniosku.

W niosek 4. Jeżeli układ dynam iczny z opóźnieniami w sterow aniu o równaniu (7) jest względnie U-sterowalny w przedziale [to, ti] ze stanu zupełnego z(to) = {xo, 0} do zbioru S postaci (3), to układ dynam iczny z opóźnieniami w sterowaniu o równaniu

x (t) = A(t) x(t) + ¿ B , (t) u(v, (t)) + C(t) u(vM(t)), t g[to, ti], i-0

gdzie C(t) je st dow olną (n x m )-w ym iarow ą m acierzą o elementach cy e L 2|0C([ to , C⁰ ),R), k = l,...,n , j = l,...,m , je st względnie U-sterowalny w przedziale [to, ti] ze stanu zupełnego z(to) = {xo, 0} do zbioru S postaci (3).

D o w ó d : Im plikacja wynika w prost z twierdzenia 1 oraz postaci macierzy Btj (t). Dla układu dynam icznego (7) m acierz BSi (t) określona je st wzorem:

B „ ( t ) = ¿ F ( t0,rj(t))B J(rj(t))rJ(t), j-0

dla t e [ v i+i ( t i ) , V i ( t i ) ) , i= 0 ,l,2 ,...,k -l oraz k = lv 2 v ...v M. W pow yższym wzorze nigdy nie występuje m acierz Bm(-)- Zatem na m ocy twierdzenia 1, przy założeniu ulo = 0, sterowalność układu dynam icznego (7) nie zależy od postaci m acierzy przy sterow aniu z największym opóźnieniem.

P rz y k ład 1. N iech dany będzie układ dynam iczny (1) o postaci:

x (t) = x(t) + u(t), t € [⁰,²] (^{1 0})

oraz zbiory U = [0, 1] i E = [-1, 1].

Zbadamy U -sterow alność tego układu ze stanu xo= -1 do zera. Pokażem y, że dodając opóźnienia do układu, który nie je st U-sterowalny, z pew nego stanu xo m ożna uzyskać jego w zględną U -sterowalność z tego stanu.

Poniew aż układ dynam iczny (10) je st stacjonarny, zatem m acierz tranzycji tego układu dana je st wzorem [2], [3]:

F ( t , t o ) = e - '-

Funkcja skalarna J(xo, tj, v) przyjm ie dla układu (10) postać:

Sterowalność układów d y nam icznych. 191

J(xo, 2, v) = xo e2 v + Jsup (u(x) e2 ' 1 v: u e L 2([ 0,2],U)}dx, dla v e E , o

czyli

Tf 9 i x o e 2 y d l a v e t “ 1 -0 ]

°’ ’ | x⁰e 2v + v (e² - ¹) dla v e (⁰,l]

Układ dynam iczny (10) będzie więc U-sterowalny do zera wtedy i tylko wtedy, gdy min{ J(xo, 2, v): v e [ - l , 1]} = 0 ,

czyli ze stanów początkow ych xo e R , spełniających nierówność -1 + e^{’ 2} < xo < 0. Zatem układ ten nie je st U-sterowalny do zera ze stanu xo= -1.

Wprowadzamy do układu dynam icznego (10) trzy opóźnienia hi = 1, h² = 2, łt³ = 3 oraz przyjmujemy u,o = ^ . Otrzymujemy równanie:

x (t) = x(t) + u(t) + u (t-1 ) + u(t-2) + u(t-3), t e [0,2] (11) Wówczas dla układu z opóźnieniem w sterowaniu (11), w przedziale [0, 2] mamy:

v0(t) = t, V|(t) = t-1, V2(t) = t-2, v3(t) = t-3, M =3 oraz k = 2, ponieważ v2(2) = 0, czyli

2

J (z (to ), 2 , v) = q ( z (to ) ) e2 v + Jsup (u(x) B2 (r) e2"' v: u g L 2([ 0, 2],U)}dx, v e E , o

gdzie

J e - + e^{- " 2} dla t e [⁰,¹),

2 [ e - dla t e [1,2) oraz q(z(to)) wyliczamy ze w zoru (4). Po podstawieniu otrzymujemy:

J(z(to), 2, v) = (xo+1- ^ e' 1 - ^-e'2) e2 v + Jsu p {u(x) (e' 1 + e't-2)e2' ' v: u e L 2([ 0,2],U)}dx

0

2

+ Jsu p (u(x) e ^ e2 ' 1 v: u e L 2([ 0,2],U)}dx, v e E

1

Zatem dla układu (11) mamy:

J(z(to), 2, v) =

Układ (11) będzie w ięc w zględnie U -sterowalny do zera ze stanów początkowych Xq gR , (x0 + l - y e ’' - j e '2)e2v dla v e [ - l ,0]

(x0 + l - j e ‘'-■j-e‘2)e2v + ( y - e' 2 + { e 2)v dla v e (0,l]

spełniających nierówność + ^-e^{’ 1} + e^{- 4} < xo 5 -1 + ~ e '¹+ ^-e'2. Zatem po wprowadzeniu opóźnień uzyskaliśm y w zględną U-sterowalność do zera z zadanego stanu xo= -1.

P rz y k ła d 2. Rozważmy układ bez opóźnień w sterowaniu (10) w przedziale czasowym [1, 2] biorąc U = [0, 1] i E = [-1, 1], Łatwo obliczyć, że będzie on U-sterowalny do zera ze stanów początkowych spełniających nierówności - 1 + e-1 < x0 < 0 . Zatem znów nie jest U-sterowalny ze stanu xo= -1. Wprowadzamy do układu (10) trzy zm ienne w czasie opóźnie­

nia sterowania otrzym ując układ o postaci:

x (t) = x(t) + u(t) + u(vi(t)) + u(v2(t)) + u(v3(t)), t e [1, 2], (1 2) gdzie V|(t) = -f t, v²(t) = j-t, v³(t) = ^{7 1}, czyli M = 3 oraz k = 2 ( bo v²(2) = 1). W obec tego F(ti, to) = e oraz

J e1"1 ł - j e 1 ’’ d l a t e [ l , j ) dla t e [ f 2) B2( t ) :

Przyjmując u,o = 0, otrzymujemy:

11

J(z(to), 2, v) = x o e v + Jsup (u(t) (e1" '-!-y e1' ' 1 ) ^ 2 ' 1 v: u e L 2([ 1,2],U)}dx +

+ J s u p { u (x )e !'Te2'Tv : u e L 2([ l,2 ],U )} d t, v e E

Korzystając z tw ierdzenia 1 obliczamy, że układ (12) będzie U-sterowalny do zera w przedziale [ 1, 2] ze stanów xo spełniających nierówności - y - { e'* + y e' 2 + { e -’ < x0 < 0. Widać więc, że podobnie ja k w przykładzie 1, po wprowadzeniu opóźnień uzyskaliśmy względną U-sterowalność z zadanego stanu początkowego xo= -1. Ponadto, w tym przypadku układ z opóźnieniami (12) je st również względnie U -sterowalny z każdego stanu początko­

wego, z którego U-sterowalny był układ bez opóźnień (10) ( bo [ - l + e ' ' , 0 ] c [ _ i _ l e - U l e -2+ ^ , 0] ).

P rz y k ła d 3. Rozważamy dalej układ (10) o postaci:

x (t) = x(t) + u(t), t e [⁰, oo) oraz zbiory U = [0 ,1 ] i E = [-1,1].

W przedziale [ 0, t 3] mamy:

*1

J(xo, t i , v) = xo e‘ V + Jsu p (u(x) e'1' ' v: u e L 2([ 0, tj ],U)}dx, dla v e E , t> 0

0

Zatem

J(X⁰, tl, v) = x0e ''v dla v e [ - l ,0] x0e‘' v + v(e‘' - 1) dla v € (0,1]

Układ dynamiczny (10) będzie w ięc U-sterowalny do zera wtedy i tylko wtedy, gdy min{ J(xo, t i , v ) : v e [ - l , 1]} = 0,

Sterowalność układów dynam icznych.. 193

czyli ze stanów początkowych Xo e R , spełniających nierówność -1 < xo < 0. Zatem układ ten nie je st U-sterowalny do zera ze stanu xo= -1 w żadnym przedziale [0, t|], ti e[0 , oo).

W prowadźmy do układu dynamicznego (10) dwukrotne opóźnienie hj = 1 z m acierzą Bi= e‘ oraz I1 2 = 2 z m acierzą B2= 1. Załóżmy ponadto, że u,o = 0. Otrzymujemy równa­

nie:

Aby znaleźć ta k ie k, żeby V k(ti)=0, wprowadzamy fikcyjne opóźnienie li3= ti z m acierzą

8 3= 0. Wówczas

Układ (13) będzie więc względnie U-sterowalny do zera ze stanów początkowych X oeR,

U -sterowalność do zera z zadanego stanu Xo= -1, nie zmniejszając (w sensie inkluzji) zbioru stanów początkowych, z których m ożna osiągnąć zero jako stan końcowy.

Przykłady 1 ,2 i 3 ilustrują wzajemne zależności pomiędzy U -sterow alnością w przedzia­

le [to, t i ] układu dynamicznego bez opóźnień a względną U -sterow alnością w przedziale [to, ti] układu dynamicznego z opóźnieniami w sterowaniu o tych sam ych macierzach A ( t ) i B o (t).

Przykłady 1 i 2 pokazują, że po wprowadzeniu do układu bez opóźnień, który nie je st U-sterowalny z zadanego stanu początkowego, opóźnień w sterowaniu, m ożna uzyskać jego względną U-sterowalność z tego stanu. Ponadto przykład 2 pokazuje, że dzięki odpowiednio

x (t) = x(t) + u(t) + e' u (t-l) + u(t-2), t s [0, co) Dla układu z opóźnieniem w sterowaniu (12), w przedziale [ 0, tj] mamy:

(1 3 )

J(z(to), t i , v) = x⁰e'' V + js u p (u(x) B,( (t) e 1'" T v: u e L 2([ 0, ti ],U )}dr, v e E

0

e' 1+ 1 + e’1 ’ 2

B „ ( t ) = e - + l

dla t e [0, t , -2) dla t e [ t , -², t , -¹) dla t e [ t , - l , t , )

o ra z

J(z(to), t | , v) = x⁰e ‘‘ v + Jsup {u(t) (e'x + ¹) e1,_' v: u e L 2([ 0, ti ],U )}dr +

o

+ js u p (u (r) e^{' 1} e^{1' - 1} v: u e L 2([ 0, t],U )}dr, v e E t,-i

Zatem dla układu (13) otrzymujemy:

x⁰e' ' v dla v e [ - l ,⁰]

spełniających nierówność

3

< Xo < 0. Zatem w ten sposób również uzyskaliśmy w zględną

dobranym opóźnieniom możemy uzyskać w zględną U-sterowalność z większego (w sensie inkluzji) zbioru stanów początkowych. M ożna by też szukać zw iązku pomiędzy U -sterow alnością w przedziale [to, ti] układu bez opóźnień postaci:

x (t) = A (t)x (t) + B0(t)u (t), (14)

a w zględną U -sterow alnością układu z opóźnieniami w sterowaniu o tych sam ych macierzach A(t) i B o (t) postaci (1). Przykłady 1 i 3 pokazują, że w ogólnym przypadku nie m a implikacji w żadną stronę. Z U-sterowalności w przedziale [to, tj] układu postaci (14) nie m usi wynikać w zględna U-sterowalność w przedziale [to, ti] układu z opóźnieniami postaci (1), co ilustruje przykład 1. Z drugiej strony, przykład 3 pokazuje, że względna U -sterowalność w przedziale [to, t i ] układu dynamicznego z opóźnieniami w sterowaniu nie im plikuje U-sterowalności w przedziale [to, ti] układu dynamicznego bez opóźnień.

3. Sterowalność absolutna

W zględna U-sterowalność układu dynamicznego (1) m a sens w dow olnym przedziale czasowym [ to, t|]. Załóżmy teraz, że rozważany przedział czasu je st odpowiednio długi, tzn.

niech zachodzi nierówność:

to < VM(tl)

W ówczas, na podstaw ie definicji absolutej sterowalności układów z opóźnieniami w sterowaniu [3], można zdefiniować pojęcie absolutnej U-sterowalności.

D efinicja 7. Układ dynam iczny (1) nazywa się układem absolutnie U-sterowalnym w przedziale [ to, fi] ze stanu zupełnego z(to) do zbioru S, jeżeli dla dowolnej funkcji w s L 2([ v M(fi), fi ],U) istnieje sterowanie u e L2([ to, vM(fi)],U) takie, że odpow iadająca te­

m u sterow aniu trajektoria x( t, z(to), w, u ) układu dynam icznego (1) spełnia następujący wa­

runek: x( fi, z (to ), w, u ) e S .

D efinicja 8. Układ dynamiczny (1) nazywa się układem absolutnie U -sterowalnym w przedziale [to, fi] ze zbioru So e R ” do zbioru Si e R", jeżeli dla każdego stanu zupełnego z(to) e S0 x L2([vM(to), to],U), dla dowolnej funkcji w e L 2([ vM(fi), fi ],U) i dla każdego w ek­

tora x e S | istnieje sterowanie dopuszczalne u e L2([to, VM(fi)],U) takie, że odpowiadająca temu sterow aniu trajektoria x( t, z(xo), w , u ) układu dynamicznego (1) spełnia warunek x( t|,z(to ), w , u ) = x .

D efinicja 9. Układ dynam iczny (1) nazyw a się układem lokalnie absolutnie U-stero­

walnym układem w przedziale [to, fi] do zbioru S, jeżeli istnieje niepusty zbiór S o c R° taki, że układ dynam iczny (1) je st absolutnie U-sterowalnym w przedziale [to, fi] do zbioru S dla każdego stanu zupełnego z(to) eSo * L2([vM(to), to],U) oraz zachodzi inkluzja S c SqC R°.

Sterowalność układów dynamicznych . 195

D efinicja 10. Układ dynam iczny (1) nazywa się układem globalnie absolutnie U-stero- walnym w przedziale [ to, fi] do zbioru S, jeżeli je st on absolutnie U-sterowalny w przedziale [to, fi] do zbioru S dla każdego stanu zupełnego z(to) e R ° x L2([vM(to), to],U).

Poniższy lemat pozw ala sprowadzić badanie absolutnej sterowalności układu dynam icz­

nego z opóźnieniami w sterowaniu (1) do badania sterowalności pewnego układu dynam icz­

nego bez opóźnień, co ułatwi badanie absolutnej U-sterowalności układu (1).

L e m a t 2. [3] U kład dynam iczny (1) je st absolutnie sterowalny w przedziale [to, fi] wtedy i tylko wtedy, gdy układ dynam iczny bez opóźnień w sterowaniu o postaci

x (t) = A (t)x ( t) + B (t)u (t), (15) gdzie

M

B ( t) = X F ( t,r,(t) ) B ,( r ,( t))r i (t), (16) i-0

jest sterowalny w przedziale [to, VM(fi)].

M ożemy, analogicznie do przypadku względnej U-sterowalności, sform ułować kryterium badania absolutnej U-sterowalności układu dynamicznego z opóźnieniami w sterowaniu (1).

T w ierd zen ie 2. N iech U będzie zbiorem zwartym oraz E c R p dowolnym zbiorem za­

wierającym 0 jako punkt wewnętrzny. Wówczas układ dynamiczny z opóźnieniami w stero­

waniu (1) je st układem absolutnie U-sterowalnym ze stanu zupełnego z (to )e R “ x L² ([vM(to),to],U) do zbioru S postaci (3) wtedy i tylko w tedy, gdy dla pewnego f i e [ to, co) za­

chodzi równość:

min{ J(z(to), z(ti), vM(fi), v): v e E } = 0 lub równow ażnie wtedy i tylko wtedy, gdy

J(z(to), z(ti), vM(t|), v) > 0 dla każdego v e E , gdzie funkcja skalarna J(z(t0), vM(fi), v) określona je st wzorem:

J(z(to),z(t|), vM(fi), v) = vT L F(ti,to)[ x(to) + £ JF(to,r,(x)) B,(r,(x)) r, (t) u,a (x) dx +

M v i ( ' i )

+ jF(to,r,(x)) B,(r,(x)) r, (x) u t)(x) dx ] + (17)

VM (* I) ^

+ Jsup{vT L F ( t | , x ) B ( x ) u ( x ) : u e L2([to, vM(ti)],U )}dx-v c

*o

D o w ó d : Dla zbioru osiągalnego układu (15) analogicznie do dowodu tw ierdzenia 1.

P rz y k ła d 4. N iech będzie dany układ dynamiczny z dwoma opóźnieniami w sterowaniu o postaci

x (t) = x(t) + u(t) + e‘ u (t-1) + u(t-2), t s [0, co) (18) oraz zbiory U = [ 0, 1 ], E = [-1, 1].

Jak pokazano w przykładzie 3 układ ten je st względnie U-sterowalny w przedziale [0, ti]

do zera ze stanów początkowych Xo e R spełniających nierówność < Xo < ⁰ przy u,o = ⁰. Załóżmy, że ti >2. W szczególności układ (18) będzie względnie U-sterowalny w przedziale [0, ti] do zera. Zbadamy absolutną U-sterowalność układu (18) w przedziale [0, ti] do zera. Funkcja skalarna J( z(to), z(ti), VM(ti), v) przyjm ie postać:

m o

J(z(to), z(t|), v M(t|), v) = v e ' ' [ x o + ^ J e 'r'(,) B,(r,(x)) f,(x) u lo (x) d r +

¡ - 0 v (0)

+ £ | e ' r,<1) B,(r,(x)) r, (t) u,_ (t) d t ] + i-0v (I )

M I

+ Jsu p { u (x )e '‘' TB(x) v: u e L 2([ 0, vM(ti)],U )} d t,

o

gdzie

vM(ti) = v2(ti) = t| - 2

oraz

B(t) = 1 + e ‘ + e~ 2

Zatem, przyjm ując u,o (t) = 0 oraz u ti (t) = - j , otrzymujemy:

2 vi('i>

J(z(to), z(ti), ti-2, v) = v e '¹[ x 0 + ] ^

je'r'(,)

B,(r,(x)) r,(x) dx ] +

> , - 2

+ Jsup{u(x) e^{1' ' 1} (¹+ eT+ e'2) v: u e L 2([ ⁰, v²(t|)],U )}dx

0

Ostatecznie, biorąc v gE, powyższa równość przyjm ie postać:

J( z(to), z(ti), ti-2, v) =

_ | v e t,(x0 + J-e1' - 2 + 2 e 2 ) dla v e [ - l ,0]

| v e 1' (x^{0 + 1} e 1' ^{- 1 + 1} e'2) + v ( t,e*' + e^{' 1} + e^{1- " 2} - ²e'' - e^{' 2} - ¹) dla v e (⁰,¹].

N a mocy twierdzenia 2 układ dynamiczny (18) nie je st absolutnie U -sterowalny do zera w przedziale [0, tj], dla ti>2, ponieważ dla ti -> oo nie istnieje min{J(z(to),z(ti),vM(ti),v): v s E ) .

Stcrowalność układów dynamicznych .. 197

Powyższy przykład pokazuje, że względna U-sterowalność w przedziale [0, t|] nie im pli­

kuje absolutnej U-sterowalności w tym samym przedziale czasowym. Fakt ten w ynika rów­

nież bezpośrednio z definicji 1 i 7. N a podstawie definicji względnej i absolutnej U-stero- walności widać też, że odwrotna im plikacja je st prawdziwa.

4. Uwagi

W ystępujące w praktyce ograniczenia sterowania w znacznym stopniu zm niejszają za­

równo zbiór stanów początkowych, z których można osiągnąć pewien stan końcowy, ja k i z drugiej strony, zaw ężają zbiór osiągalny z danego stanu początkowego w układach dyna­

micznych. Pewne korzyści m ogą jednak wyniknąć z wprowadzenia opóźnień sterowania w układzie dynam icznym bez opóźnień. Jak zostało pokazane w przykładzie 2, dzięki odpo­

wiednio dobranym opóźnieniom m ożna uzyskać U-sterowalność z w iększego w sensie in­

kluzji zbioru stanów początkowych.

W iadomo również, że w praktyce często w ystępują w ahania różnych parametrów. D late­

go warto by się zastanowić, w jaki sposób, nawet małe zmiany ograniczeń nakładanych na sterowania, w pływ ają na inne wielkości takie, ja k zbiór stanów początkowych, z których można osiągnąć pewien stan końcowy, czy też zbiór osiągalny danego układu.

LITERATURA

1. Barmish B., Schmitendorf W.: N ew results on controllability o f systems o f the form x(t) = A(t) x(t) + f(t, u(t)), IEEE Trans. Automatic Control, AC - 2 5 ,3 ,1 9 8 0 ,5 4 0 - 547.

2. Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej. WNT, W arszawa 1977.

3. Klamka J.: Sterowalność układów dynamicznych. PWN, Warszawa - W rocław 1990.

4. Lee E., Markus L.: Osnowy tieorii optimalnogo uprawlienija. Nauka, M oskwa 1972.

5. Neustadt L. W.: The existence o f optimal controls in the absence o f convexity conditions, J. Math. Anal. Appl., 7 ,1 9 6 3 ,1 1 0 - 117.

6. Olech C.:Extremal solutions o f a control system, J. Differential Equations, 2 ,1 9 6 6 ,7 4 - 101.

7. Schmitendorf W., Barmish B.: Null controllability o f linear systems with co n tain ed controls, SIAM J. Control and Opt., 1 8 ,4 ,1 9 8 0 ,3 2 7 - 345.

8. Schm itendorf W., Barmish B.: Controlling a constrained linear systems to an affine target, IEEE Trans. Automatic Control, A C -2 6 ,3, 1981, 761-763.

Recenzent: Prof.zw.dr hab. Tadeusz Dlotko

W płynęło do Redakcji 12.03.1998 r.

A b stra c t

In this article we consider linear, continuous, finite dimensional dynam ical system s with delays in control described by state equation o f the form (1). We give som e definitions o f different kind relative and absolute controllability for dynam ical system (1) w ith constrain­

ed controls. W e formulate some theorems w hich institute the criteria o f relative and absolute controllability with delays o f systems w ith constrained controls. In presented examples we illustrate mutual dependences between controllability with constrained controls o f system without delays and relative controllability w ith constrained controls o f system w ith delays in control (Exam ple 1,2 and 3) as well as implication between absolute and relative control­

lability (Exam ple 4).

W e show that constraining the controls reduces the set o f initial states from w hich we can reach required final state and, on the other hand, also may reduce the attainability domain o f dynam ical system. B ut let us notice that certain advantages can arise through introducing the delays in controls in system w ithout delays. As presents the Exam ple 2, ow ing to properly selected delays we are able, for instance, increase the initial states set.

It is w orth also to reflect in w hich way even a little changes o f constraints putting on controls influence the set o f initial states from w hich we can reach dem anded final state or attainability dom ain o f the given system.