Sterowalność dyskretnych układów dynamicznych przy ograniczeniach na sterowanie - przegląd problemów

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI Sl^SKIEJ, Seriaj_ADTOMŁTIKA z.94-

1968 Hr k o l .9 7 0

Jerzy Klamka P o litech n ik a Ś lą s k a

STEROWALNOSC DYSKRETNYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH IRZY OGRANICZENIACH NA STEROWANIE -

- PRZEGLĄD PROBLEMÓW

S tr e s z c z e n ie . A rty k u ł sta n o w i p rz e g lą d problemów s te r o w a ln o ś c i d y sk re tn y c h układów dynam icznych p rz y ( ^ g r a n ic z e n ia c h n a s te ro w a n ie opracowany n a p o d staw ie p u b l i k a c j i z o s t a t n i c h l a t . P rz e d sta w io n o w arunki s te r o w a ln o ś c i p rz y o g ra n ic z e n ia c h n a s te ro w a n ie d l a l i n i o ­ wych, d y s k re tn y c h układów n ie s ta c jo n a r n y c h i s ta c jo n a r n y c h o r a z d la s ta c jo n a r n y c h d y sk re tn y c h układów n ie lin io w y c h .R o z p a try w a n e e ą rów­

n ie ż s ta c jo n a r n e u k ła d y d y s k re tn e ty p u 2-D .

1.Vlpro wadzenie-*

Sterowalność układów dynam icznych j e s t jednym z podstawowych p o ję ć t e o - j l i sterow ania,W n in ie js z y m a r ty k u le p rz e d sta w io n o problem atykę s te r o w a l­

ności d y sk retn y ch ,sk o ń czen ie-w y m iaro w y ch układów dynam icznych p r z y d o d at­

kowych o g r a n ic z e n ia c h n ało żo n y ch n a s te ro w a n ie .O g ra n ic z e n ia t e pow odują,że sterowania d o p u sz c z a ln e p rzy jm u ją w a r to ś c i w pewnym u sta lo n y m wypukłym i zwartym z b io r z e .R o z p a tr u je s ię d y s k r e tn a u k ła d y lin io w e zarówno n i e s t a c j o ­ narne, jak 1 s t a c j o n a r n e ,a ta k ż e s ta c jo n a r n e ,n i e l i n i o w e u k ła d y d y s k r e tn e . Omawiane są rów nież n i e l i n i o w e ,s t a c j o n a r n e u k ła d y d y s k re tn e ty p u 2-D . Poda- jne zostaną podstawowe d e f i n i c j e i p o j ę c i a zw iązane ze s te ro w a ln o e c ia u k ła ­

dów d y sk re tn y ch .W sz y stk ie zam ieszoone w a r ty k u le tw ie r d z e n ia i w n io sk i po­

dane są bez dow odów ,jedynie z odnośnikam i do ty c h p o z y c ji lite r a tu r o w y c h , iw których zam ieszczone s ą p e łn e dowody. A rty k u ł z a w ie ra pon ad to s z e r e g .ko­

mentarzy o ra z uwag d o ty c z ą c y ch za g a d n ie ń b ez p o śre d n io zw iązanych ze s t e r c - 'walnoócią układów d y s k r e tn y c h .R o z p a tru je s ię między innym i zagadnienie wys-'

&aczania s te r o w a n ia d o p u sz c z a ln e g o ,p rz e p ro w a d z a ją c e g o d y s k re tn y u k ła d dyra- joamlczny z zadanego s ta n u początkowego do żądanego s ta n u końcowego w u s t a ­

lonej l i c z b i e kroków .

Artykuł opracowano zarówno n a p o d staw ie p ra c szczegółow ych [1 - 4] , {9 - 13] ,ja k i p u b l i k a c j i o c h a r a k te r z e przeglądowym [5 - 8] , Stosow ana term in o ­ logia pokrywa s i ę z o zn a czen iam i zam ieszczonym i w p ra c a c h (5 - 8] .W szystkie podstawowe d e f i n i c j e i p o j ę c i a z o s t a ł y p rz y to c z o n e w o p a rc iu o p u b lik a c je źródłowe [ i - 4] , [9 - 13] .

wykonana w ram ach program u reso rto w eg o R P .1 . 0 2 . , " T e o ria B terow ania 1 optym alizacja c ią g ły c h układów dynam icznych 1 procesów d y s k r e tn y c h " .

154 J . Klamki

2 . Opis u k ła d u dynamicznego i podstawowe d e f i n i c j e .

Niech b ę d z ie dany d y s k r e tn y ,lin io w y ,n ie s ta c jo n a r n y , skończenie-wymlarc- wy u k ła d dynamiczny o p isa n y n astęp u jący m równaniem różnicowym ;

x (k + l) - A (k )x (k ) + B (k )u (k ) k > kQ /2.1/ g d z ie : k £ Z - z b ió r l i c z b c a łk o w ity c h ,

x(k) £ Rn j e s t wektorem s ta n u u k ła d u , u ( k ) ć U C R m j e s t sterow aniem dopuszczalnym , A(k) j e s t n*n-wymiarową m a c ie rz ą ,

B(k) j e s t nxm-wymiarową m a c ie rz ą .

Niech U eRn b ę d z ie dowolnym zbiorem ,S ekw encją ste ro w a ń dopuszczalnyct nazywa s ię dowolną sekw encję u - j u ( k Q) ,u ( k Q+l} ,u ( k Q+2) , . ..j- ta k ą ,ż e u ( k ) e U C R m d la w sz y stk ic h k ^ k Q .Z b ió r w sz y stk ic h s e k w e n c ji sterow ań do­

pu szczaln y ch oznacza s i ę symbolem My[ko ,o°^ , a w p rzy p ad k u ,g d y sekwencje są o k re ś lo n e je d y n ie d l a k £ [k Q,k ^3,symbolem Ku [ko, k ^ ] ,

D la u s ta lo n e g o s ta n u początkowego x ( k0)£Rn o ra z z a d a n e j se k w e n c ji ste- rowań d opuszczalnych u £ H ^ [ k o ,® ^ i s t n i e j e jednoznaczne ro z w ią z a n ie x ( k ,x ( k Q) , u ) rów nania różnicow ego /2.1/ o k r e ś lo n e d la w s z y s tk ic h k > k0 następującym wzorem Q>]:

x ( k ,x ( k o) , u ) - ? ( k , k o) x ( k J + ~ B (k . j+ l) B f j ) u ( t ) M c* O.

g d z ie F (k , j ] j e s t nwi-wymiarową m a c ie rz ą t r a n z y c j i u k ła d u dynamicznego /2,1/ , zd d iin io w an ą w sposób n a s tę p u ją c y £5] :

( l d l a k « J

F ( k , j ) - j A ( k - l) A ( k - 2 ) .„ . A ( J + l)A ( j) d l a k > j (_ n ie o k re ślo n a d l a k < j

V przypadku n ie o so b liw y c h m acierzy A(k) , k ć Z ,m a c ie r z t r a n z y c j i ?(k ,j^

j e a t o k re ś lo n a ró w n ież d l a k < j n a s tę p u ją c ą ró w n o ścią [5 ]:

- A"^k)A” ik + l)A - 1( k + 2 ) . , . A~1(j~ 2 )A “ 1( j - l )

■Oprócz n ie a ta o jo n a r o e g o u k ład u dynam icznego / 2 . 1 / b ę d z ie rów nież rozpaW wany d y s k re tn y s ta c jo n a r n y u k ła d dynam iczny o p is a n y n a stęp u jący m równani®

różnicowym :

x (k + l) - Ax(k) ♦ Bu(k) k » 0 /2.1:

V tym przypadku m a cierz t r a n z y c j i F ( k , j ) - Ak "3 d l a k » j , a gdy m aclerii j e a t n le o a o b llw a , równość t a j e a t praw dziw a rów nież d l a k - c j ,

D la u s ta lo n e g o a ta n u początkowego x ( o ) £ R n o ra z z a d a n e j se k w e n c ji sterotó d opaeaczalnych uftM gfp,«») jed n o z n aczn e ro z w ią z a n ie rów nania / 2 . 3 / jeet dane n a s tę p u Jąoya wzorem ( jjj:

' Sterowalność d y s k re tn y c h układów . . . ₁₅₅

x ( k , x ( 0 ) , u ) ~ A kx ( 0 ) + i > ~ A k- 3 - 1B u m /2,4/ j

Podobnie ja k w przypadku c ią g ły c h układów dynam icznych[5 ], [6] , [8] , dla układów d y s k re tn y c h p o s t a c i /2,1/ lu b /2,3/ można sform ułow ać s z e re g d e f in ic ji różnych rodzajów s te r o w a ln o ś c i .

D e f in ic ja 2 . 1 . ' Układ dynamiczny / 2 . 1 / nazywa s ię U-sterow alnym w p rz e ­ dziale [k » k j ] , j e ż e l i d l a każdego s ta n u początkowego x(k ) £Rn o ra z każdego

o n ®

stanu końcowego x ^ i S i s t n i e j e sek w en cja ste ro w a ń dopu szczaln y ch u (k ) , t(k Q+l) , . . . , u ( k1-2) ^ ( k ^ l ) t a k a ,ż e o d p o w ia d ająca t e j se k w e n c ji t r a j e k t o ­ ria układu dynamicznego /2.1/ s p e ł n i a warunek :

x (k V x (-ko ) ’U) “ X1

D e f in ic ja 2 .2 . Układ dynamiczny / 2 . 1 / nazywa s ię U -sterow alnym w chw i­

l i kQ , j e ż e l i d la każdego s ta n u początkow ego x (k Q) e Rn o ra z każdego sta n u końcowego x1^e Rn i s t n i e j e c h w ila (x (k o ra z sekw encja sterow ań do­

puszczalnych u (kQ) ,u ( k Q+l) , . , , ,u (k .j (x (kQ) ,x ^ ) - i ) t a k a ,ż e odpowiada ja c a te j sek w en cji t r a j e k t o r i a u k ła d u dynamicznego /2.1/ s p e ł n i a warunek :

x ^ l C x (k0) ' x l ) * x ^ko ) ' u) = X1

D e f in ic ja 2 .3 . U kład dynam iczny / 2 . 1 / nazywa s i ę U -sterow alnym ze zbioru Do CRn do z b io r u D^C Rn w p r z e d z i a l e [ko , k 1] , j e ż e l i d la każdego etanu początkowego x (k Q^ € D o o ra z każdego s ta n u końcowego x1 e D.) i s t n i e j e sekwencja ste ro w a ń d o p u szcz aln y c h u6Mjj[ko ,k ^ ] t a k a ,ż e o dpow iadająca t e j sekwencji t r a j e k t o r i a u k ła d u dynamicznego /2.1/ s p e ł n i a warunek :

x ( k1,x ( k o) , u ) »

D e f in ic ja 2 .4 . Układ dynam iczny / 2 . 1 / nazywa s i ę U-sterow alnym ze zbioru Do CRn do z b io r u C Rn w skończonym c z a s i e , j e ż e l i d l a każdego s ta n u początkowego x (k Q^ £ D o o ra z każdego s ta n u końcowego x16 D^ i s t n i e j e ch w ila k^<co o raz sek w en cja ste ro w a ń d o p u sz c z a ln y c h u e M u (ko , k 1J t a k i e , ż e odpowia­

dająca t e j se k w e n c ji t r a j e k t o r i a u k ła d u dynamicznego /2.1/ s p e ł n i a warunek:

x (k1>x (ka ) ' u} X1

J e ż e l i D . = D. = D .to zam ia st® U -stero w a ln o śc i z D do D, mówimy w s k r ć -

J 0 - 1 n i l i ^

¡oie o U -s te ro w a ln o ś c i w D,. J e ż e l i n a to m ia s t Dq = R o ra z D^ = | 0 ; » / D0 = l J oraz D1 = Rn /. t o mówimy odpow iednio o g lo b a ln e j U -s te ro w a ln o ś c i do z e ra

/ n

/ g lo b aln ej U -s te ro w a ln o ś c i z z e r a / , a gdy D^ = D1 = R o g lo b a ln e j U -s te ro - walnoścl.W p rzy p ad k u ,g d y O e i n t Do o r a z D1 ■= {°}ż D0 = joj-oraz O e i n t D1 / ; Posługujemy s i ę odpow iednio te rm in o lo g ią : lo k a ln a U -stero w aln o ść do z e ra / lokalna U -ste ro w a ln o ść z z e r a / , a gdy O e i n t D ^ ) ; t ermi nem : lo k a lr.a C-sterowalnośó.

Bardzo c z ę s ło z b ió r docelowy D^ j e s t ro z m a ito ś c ią l i n i o > a , t z n . D^ = jx£Rn : Lx b cj. , g d zie 1 j e s t pxn-wymiarową m acierzą c r a z c e k ” , lu b p cd - P rzeatrzenią lin io w ą / c ■* O / .

^ d a lsz e j c z ę ś c i p ra c y z a k ła d a s i ę , ż e z b i ó r U j e s t wypukły i zw a rty .

156 J.Klamka

3 . K r y te r ia s te r o w a ln o ś c l układów n le s ta c jo n a m y c h i

Z asadniczą r o lę przy form ułow aniu k r y te r ió w U -s te ro w a ln o ś c i n ie s ta c jo ­ n arn y ch układów dynamicznych / 2 . 1 / o d g ry w a 'fu n k c ja s k a la r n a J : Rn *Z xRs<

*Rn—o-Ro p o s t a c i n a s tę p u ją c e j [10], [11] :

j ( x ( k ) , k , x , v ) » v Ti ( k , k ) x ( k o ) + mar YTF ( k , j +l) B C 3 ; u ( j ) - i n f V1, x £ D 1

/3 .1 / V o p a rc iu o fu n k c ję J można uzy sk ać w ie le k r y te r ió w U -s te ro w a ln o ś c i układs dynamicznego / 2 , 1 / p rz y różnych p o s ta c ia c h zbiorów Dq o ra z B., [10] , [11],

T w ierdzenie 3 .1 . [10~[^arunkiem koniecznym i w y starczający m O-sterowalnoi o i u k ład u dynamicznego /2..1/ ze s ta n u r ( k Q) do wypukłego i domkniętego z b io ru docelowego B.J w p r z e d z ia le [k ,k ^ ] j e s t , aby z a c h o d z iła n a stę p u ją c a nierów ność !

£ » , f l y p l J ( * ( ko ) ' k1' 3C»V^ ° / g

W przypadkujgdy z b i ó r docelow y B1 n i e j e s t wypftkły l u b n i e j e s t domkni*

t y , wówczas z a m ia st tw ie r d z e n ia 3.1 w y k o rz y stu je s i ę do b a d a n ia U-s terow i n o śo i n a s tę p u ją o e - tw ie r d z e n ie .

T w ierdzenie 3 .2 . [1 Oj.Warunklem koniecznym U -s te ro w a ln o ś c i u k ła d u dyna­

micznego /2 .1 / ze s ta n u * (k0j| do z b io ru w p r z e d z ia le [kQtk13 j e s t , aby

mar min j ( x ( k ) , k . , x , v ) > 0 /3.3/

Utrfl «1 1 '

Wniosek 3 .1 . ¡ jo l. J e ż e l i z b ió r docelow y B^ j e s t o tw a rty , wówczas warun­

kiem w y starczającym U -s te ro w a ln o ś c i u k ła d u dynamicznego / 2 . 1 / ze s ta n u do z b io ru B^ w p r z e d z ia le [ k ^ k ^ ] j e s t , aby

sup min j ( x ( k j , k1f x,v) > 0 /3.+/

xcd1 N M

Wniosek 3 .2 . FlO], J e ż e l i z b ió r docelowy j e s t dom knięty,v/ówczas wa­

runkiem w y starczającym U -s te ro w a ln o ś c i u k ła d u dynamicznego /2 .1 / ze stanu

^ ( k ^ db z b io ru D1 w p r z e d z ia le [kQ, k J j e s t , aby

“ 5 J ( x Cko ) ' k l*x »v^ 0 /3 -5 /

r€D1 gv| »1 1 7

J e ż e l i z b ió r dooelowy j e s t dom knięty, wypukły o ra z n ie p u s ty , wówczas warunek /3 « 2 / j e s t równoważny warunkom / 3 . 3 / o ra z / 3 , 5 / , O gólnie warunek / 3 . 2 / J e s t ła tv d .e js z y do sp raw d ze n ia n i ż w arunki / 3 . 3 / o ra z / 3 . 5 / , a zatffi j e ż e l i z b ió r docelowy B^ j e s t dom knięty i wypukły i wówczas do b a d a n ia U- s te ro w a ln o ś c i u k ład u dynamicznego /2.1/ w ykorzystujem y tw ie r d z e n ie 3.4.

Ibwody tw ie rd z e ń 3 .1 £ 3 .2 o ra z wniosków 3 .1 i 3 .2 o d a r te s ą n a zna­

nych tw ie r d z e n ia c h o o d d z ie la n iu zbiorów wypukłych jjo ] o ra z w łasnościacł fu n k cjo n ałó w lin io w y c h .

Sterowalność d y s k re tn y c h układów . , , 157

W d a ls z e j c z ę ś c i n in ie js z e g o p o d ro z d z ia łu z a k ła d a e i ę , ż e m acierze A(k) eą n ie o so b liw e d la k e z , a więc i s t n i e j e m a c ie rz odw rotna j?“ ^k, j ) d l a wszystkich k , j 6 Z, N ależy p o d k r e ś lić ,ż e z a ło ż e n ie to j e s t bardzo n a tu r a ln e i zawsze s p e łn io n e w s y t u a c j i , gdy u k ła d d y s k re tn y otrzym any j e s t p rz ez dyskretyzację u k ła d u c ią g łe g o . W tym przypadku bowiem m a cierze A (k ), k i Z są wyznaczane n a p o d staw ie z a le ż n o ś c i [12j :

A Ck )

gdzie Pc ( t , s ) j e s t m a c ie rz ą t r a n z y c j i c ią g łe g o u k ła d u d y n am ic zn eg o ,n ieo so - bliv® d la w sz y stk ic h t , s 6E, [6] , n a to m ia s t 1 > 0 j e s t okresem d y s k r e ty z a c ji.

Zatem w sz y stk ie m ac ie rz e A(k) otrzym ane p rz e z d y sk re ty z a c ję c ią g łe g o u k ła ­ du dynamicznego są m acierzam i n ie o so b liw y m i.

T w ierdzenie 3.3» PlO l-Jeżeli z b ió r docelow y j e s t dom knięty i wypukły, to warunkiem koniecznym g lo b a ln e j U -s te ro w a ln o ś c i do z b io ru u k ład u dy­

namicznego /2.1/ j e s t , aby

/ 5 . 7 / .p in sup | ^ > max [ y ^ l f k . k - j ) B( j ) u ( j ) l - i n f v TF " t k , k 1

H-1 k e z u(j)eu v 7 7J ^ * I

natomiast warunkiem w y starczający m j e s t , aby

{ ^ ■ ^ f v V ^ k-3)B^ uC3)]- £ ^ V<(k’ko)x}= +~ ^

W przypadku, gdy z b ió r docelowy n i e ..je s t dom knięty lu b n ie j e s t wypuk­

ły,stosow anie tw .3 .3 j e s t n ie m o ż liw ą . Wówczas przy b a d a n iu g lo b a ln e j D-sterowalności u k ła d u dynamicznego /2,1/ do z b io ru docelowego D1 p o słu g u ­ jemy się poniższym tw ie rd z e n ie m 3.4.

Tw ierdzenie 3 . 4 . 0O].Warunkiem koniecznym g lo b a ln e j U -ste ro w a ln o śc i układu dynamicznego /2.1/ do z b io ru docelowego n ie k o n ie c z n ie wypukłego i domkniętego j e s t , aby

( W ^ u ( p CvTF" ^ ' k - j ) B ( j ) u ( j ) ] - v V ] k , k J x J = / 3 . 9 / natomiast warunkiem w y starczający m j e s t , aby

=*k 1

I r ufi5u v V l k , k0)xj=

6»P sup min -

*2), kez ||wj| »1

h +0<, / 3 .1 0 /

Warunki g lo b a ln e j U -s te ro w a ln o ś c i do z b io ru docelowego D, sform ułow a­

ne w tw ie rd z e n ia c h 3 .3 o ra z 3.4 są tru d n o spraw d zaln e ze względu n a w ystępo­

wanie w n ic h symbolu + « . N ależy rów nież n a d m ie n ić ,ż e podobne warunki g l c b a l - fiej O -stero w aln o ści do z b io ru docelowego D, d l a c ią g ły c h układów dynamicz­

nych przytoczone eą m iędzy innym i w p ra c y [ 8 ] , g d z ie podano t a k i e in n e k r y ­ teria badania U - s te r o w a ln o ś c ic ią g ły c h układów dynam icznych.

158 ^{J , Klamka}

Rozpatrzm y o b ecn ie z a g a d n ie n ie tz w ."b a n g -b a n g " s te ro w a ln o e c i układu dynamicznego / 2 . 1 / . Załóżm y,że s te ro w a n ia u ( k ) e D ( k ) d la k ć Z ^ a z b io ry U(k) sa zw arte i wypukłe d la w sz y stk ic h k e Z .Z a g a d n ie n ie "bang-bang" sterował- n o ś c i d la układów dynamicznych /2.1/ ro z w ią z u je w p e ł n i n a s tę p u ją c e twier­

d z e n ie .

T w ierdzenie 5 .5 . 0 1 Załóżm y,że s ta n x ^ ć B ° j e s t o sią g a n y ze sta n u po­

czątkow ego x(_kQ) £ Rn p rz y za sto so w a n iu pewnej se k w e n c ji ste ro w ań dopusz­

cza ln y c h u o ju ( k o) , u ( k o + l ) , . , . , u ( k 1) ^ , u ( k ) i i ( k ) d l a k € [k ^ k .j] .Wówczas s ta n j e s t rów nież o sią g a n y ze s ta n u początkowego x(_ko) p rz y zastosowali!;

se k w e n c ji stero w ań ,v/(ko +l) , . . , g d z ie każde s te ro w a n ie if(k) k6(k ,k.j] j e s t punktem ekstrem alnym z b io r u 0(k j >kfi[k ,k ^ ] z;, wyjątkiem co najw yżej n indeksów k »

N ależy p o d k r e ś lić , że można skonstruow ać p rz y k ła d y układów dynamicznyc!

o p o s ta c i /2.1/ p o k azu jące , ż e oszacow anie n w ts f ie r d z e n ie n iu 5 ,5 n ie . może być popraw ione /z m n ie js z o n e / ,

T w ierd zen ie 3 .5 j e s t d y s k re tn ą w e rs ją z n a n e j z l i t e r a t u r y 0 ] ciągłej zasad y '.'.'bang-bang”,P rz y pewnych dodatkowych z a ło ż e n ia c h może być ona uogól\

n io n a n a przypadek nieskończenie-w ym iarow ych, d y sk re tn y c h układów dynamici-

nych 0 ] . r .

Z zag ad n ien iam i .U -s te ro w a ln o ś c i o ra z "bang-bang" s te r o w a ln o ś c i układs dynamicznego /2 .1 / ś c i ś l e 'w ią ż e s i ę problem w yznaczania s te ro w a n ia , dopusz­

c zaln eg o p rzep ro w ad zająceg o u k ła d dy n am iczn y 'że s ta n u początkow ego x ty.) i z b io ru docelowego .U -ste ro w a ln o ść u k ład u dynamicznego /2 .1 / ze stanu psj czatkowego x (k ^ ) do z b io ru docelowego g w a ra n tu je i s t n i e n i e co najmniej jednego ta k ie g o s te ro w a n ia d o p u sz c z aln eg o ,O cz y w iśc ie w ogólnym przypadku i s t n i e j e na o g ó ł w ie le ste ro w a ń d o p u szcz aln y ch p rzep ro w ad za jący ch U-stero-.

walny u k ła d dynamiczny i /2,1/ ze s ta n u początkow ego do z b io ru docelowego!

ło n lż s z e tw ie r d z e n ie p o d a je ogólną p o s ta ć z b io ru w sz y stk ic h sterow ań dojsz' c z a ln y c h , r e a liz u ją c y c h “wyżej wymienione p r z e j ś c i e .

T w ierd zen ie 3 .6 . 0 0 ] Z ałóżm y,że u k ła d dynam iczny / 2 . 1 / j e s t U-stert*.

walny ze s ta n u początkowego x (^0) óo z b io ru docelowego w p rzedziale {V0,k.j] .Wówczas k ażd a sekw encja stero w a ń d o p u s z c z a ln y c h ,k tó ra przeprowadzi u k ła d dynamiczny /2.1/ ze s te n u początkowego x ( k Q) do z h io ru docelowego 3|

j e s t elementem z b io ru Ny£ko ,k ^ ] c Dt0,k^3 zd efin io w an eg o n a stę p u ją c o *

s c [ V ki ] ■ {u 6 Ho C V ki3 ! ^TFCki ' ko}x (ko ) + ^ Z ^ ( . kv i +1) B0)<

' . 3“Ko

- in f ( v Tx) » o f /3.11.1

y. & x J

N ależy p o d k r e ś lić , że tw ie r d z e n ie 3 ,6 n i e s tw ie r d z a ,ż e k a ż d a sekweac?

ste ro w a ń d o p u szczaln y ch n a le ż ą c a do z b io ru Ng(kQ,k .j] p r z e p r o w a d z a układ

Sterowalność d y s k re tn y c h układów . . . ₁₅₉

dynamiczny /2 .1 / ze s ta n u początkowego x (k Q) do z b io ru docelowego n a ­ tomiast p o d aje ono ,ż e k ażda sek w en cja ste ro w a ń dop u szczaln y ch r e a l i z u j ą c a to p rz e je c ie n a le ż y do z b io ru Ny(k ,k.j3 ,

Wniosek 3 .3 . [10] J e ż e l i

i n f min j ( x ( k ) , k , , x , y ) » 0 /3.12/

'oraz X£D1

W

in f min j ( x ( k ) , k , x , v ) < 0 d la k=k ,k +1, . . . , k, - 1 /3.13/

xćD1 ||v[| =1 0 0 1

jto żadna sek w en cja stero w ań d o p u sz cza ln y ch u £ M y j k ^ ^ - l ] n ie przep ro w ad za

¡układu dynamicznego /2.1/ ze s ta n u początkowego x( k Q) do z b io ru docelowe™

:go Zatem k ażd a sekw encja stero w ań d o p u szcz aln y ch u e H g [ k Q, k^3 r e a l l s n —

|jąca to p r z e j ś c i e j e s t sekw encją stero w ań c z a so -o p ty m a ln ą.

Szczegółowa p ro c e d u ra w yznaczania se k w e n c ji stero w ań d o p u sz c z a ln y c h przeprowadzających u k ła d dynamiczny^ /2.1/ ze s ta n u początkowego x (k o)d o zbioru docelowego p rz e d sta w io n a j e s t w p ra c y [10] .fo d an o tam ró w n ież pewne p rzy p ad k i s z c z e g ó ln e ,z k tó ry c h je d e n d o ty c z ą c y s ta c jo n a rn y c h układów dynamicznych z o s ta n ie zaprezentow any w następnym p o d r o z d z ia le ,I r o c e d u r a wyznaczania se k w e n c ji ste ro w a ń d o p u szc zaln y ch podana w a r ty k u le [10} u m o ż li- wia re k u ren cy jn e o b lic z a n ie p o szcze g ó ln y ch ste ro w a ń .

In te re su ją c y m zagadnieniem j e s t z b a d a n ie wzajemnych r e l a c j i pomiędzy 0-st ero w oln o ścią układów c ią g ły c h o ra z U -ste ro w a ln o śc i ą układów d y s k re tn y c h , Madomo [i2] , ż e Hn-s te r o w a ln o ś ć u k ład u c ią g łe g o n i e zawsze im p lik u je Rn- sterowalność u k ła d u d y sk re tn e g o otrzym anego p o p rz ez d y sk re ty z a c je u k ła d u ciągłego. Z ależy t o w s t o t n y sposób od d łu g o ś c i o k re su d y s k r e t y z a c j i T > C . Podobna s y tu a c ja ma m ie js c e rów nież w przypadku U -s te r o w a ln o ś c i, U - s te r o - walnośó u k ład u c ią g łe g o n i e zawsze im p lik u je U -stero w aln o ść odpow iadają­

cego mu uk ład u d y sk re tn e g o , otrzym anego p o p rze z d y s k re ty z a c ję z okresem T.

Innym is to tn y m zagadnieniem j e s t z b a d a n ie wzajemnych z a le ż n o ś c i pomię­

t y sterow aniem ciąg ły m a odpowiadającym.mu sterow aniem dyskretnym o tr z y c e - m poprzez d y s k re ty z a c ję z okresem T . Można wykazać [10] ,ż e n ie i s t n i e j e wzajemne z w ią z k i pomiędzy sterow aniem ciąg ły m a sterow aniem d y s k re tn y m ,tz n , efekt z a sto so w an ia s te ro w a n ia d y sk re tn e g o do u k ład u d y sk retn eg o ctrzym ar.e- i°cgo poprzez d y s k re ty z a c ję z u k ład u c ią g łe g o j e s t in n y n iż u ż y c ia ste ro w a ­ nia ciąg łe g o do u k ła d u c ią g łe g o .

Kależy rów nież p o d k r e ś l i ć ,ż e w o d ró ż n ie n iu od c ią g ły c h układów dyna­

micznych,w u k ła d a c h d y sk re tn y c h z a ło ż e n ie o w ypukłości z b io ru UC.Rm j e s t bardzo i s t o t n e .H a t u r a układów d y s k re tn y c h s p ra w ia ,ż e z b ió r o s ią g a ln y d la sterowań p rzy jm u jący ch w a r to ś c i ze z b io ru B j e s t n a og ó ł i s t o t n i e m n ie jsz y niż z b ió r o s ią g a ln y d l a ste ro w a ń p rzy jm u jący ch w a rto ś c i w o to c z c e wypukłej zbioru U. Dla c ią g ły c h układów dynam icznych z b io ry o s ią g a ln e w obu ty c h Przypadkach eą id e n ty c z n e .

160 J.Klamka

4 . K r y te r ia s te ro w a ln o ś c l układów atac jo n a rn y ch .-

W przypadku lin io w y c h ,d y s k r e tn y c h ,s ta c jo n a r n y c h układów dynamicznych / 2 . 3 / do b a d a n ia ic h U -s te ro w a ln o ś c i można o c z y w iśc ie w ykorzystać wszystkli r e z u l t a t y przedstaw ione- w p o d ro z d z ia le 3 . Tym n ie m n ie j w y k o rzy stu jąc spe­

c y fic z n e cechy układów s ta c jo n a rn y c h można sform ułow ać d l a n ic h oddzielne k r y t e r i a b a d a n ia U - s te r o w a ln o ś c i.K r y te r ia t e ,w p rz e c iw ie ń s tw ie do k ry te ­ rió w d o tyczących układów n ie s ta c jo n a r n y c h , s ą stosunkow o ła tw e do sprawdzi' n i a i za sto so w a n ia w p r a k ty c e .

W c e lu s k ró c e n ia i u p ro s z c z e n ia z a p is u wprowadza s i ę n a s tę p u ją c e oz»

c z e n l a p ] ;

Im B - o b raz odwzorownia lin io w e g o rep rezen to w an eg o m a c ie rz ą B , a f f (u )- o to c z k a a f i n i c z n a z b io ru U ,

ri(.u )-w z g lę d n e w nętrze z b io ru U ,

<(A|U> » U + AU + A2U + . . . + An“1U.

Ponadto z a k ła d a s i ę , ż e z b ió r UCRm j e s t wypukły i o g ra n ic z o n y . P o n iższe tw ie rd z e n ie 4 .1 p o d a je warunek k o n iecz n y i w y s ta rc z a ją c y glo­

b a ln e j U -a te ro w a ln o śc i / Dq » * Rn / u k ła d u dynamicznego / 2 . 3 / d la do­

wolnego o g ran iczo n eg o i wypukłego z b io ru U c R m .

T w ierdzenie 4 .1 . f3JU kład dynamiczny / 2 . 3 / j e s t g lo b a ln ie U-sterowali!

wtedy 1 ty lk o w tedy,gdy je d n o c z e ś n ie s p e łn io n e s ą n a s tę p u ją c e warunki : / i / w szysftkie w a rto ś c i w łasne m a c ie rz y A , s1 , s 2 , . . . , s i t . . . , s n sp ełn iają

warunek : | s j » 1 d l a i -1,2, . , . , n ^ / i i / < A |aff(U + (-U ))> » Rn g d z ie U - Im BU,

/ d i i / j e ż e l i v € k e r ^ - 1^ , t o nieró w n o ść y ^ w śO d l a w sz y stk ic h weU im p lik u je ,ż e v « O ,

V p rzypadku,gdy O e r i ( u ) , można n ie c o o s ł a b i ć w arunki g lo b a ln e j U-ste- ro w a ln o śc l podane w tw ie rd z e n iu 4.1.

T w ierdzenie 4 .2 . fel J e ż e l i O £ r l ( u ) , to wdrunkiem koniecznym 1 wystar­

czającym g lo b a ln e j U -st e ro walno śc i u k ła d u dynamicznego /2.5/ . j e s t , aby jed- n o c ż e ś n ie s p e łn io n e b y ły n a s tę p u ją c e w arunki :

A / Js^i =» 1 d l a i -1,2t . . , , n ,

/ i i / < £ |a f f ( 3 u ) > = R15, P

W przypadku,.gdy zero j e s t punktem wewnętrznym z b io r u U , t z n , Oćint(flj wówczas warunek / i i / w tw ie r d z e n iu 4 .2 można z a s t ą p i ć warunkiem :

/ i i * / < A | Ł s B > . Rn .

P rzykładam i n a j c z ę ś c i e j sp o ty k an y ch w p ra k ty c e zbiorów U s p e łn ia ja c p i z a ło ż e n ie 0 € i n t ( U ) es n a s tę p u ją c e z b io ry :

U « | u € R m i

U *j u€R i t i-**19 2* • • • f za 9 u « »* ♦ • >^3.* • • • J1

Sterowalność d y s k re tn y c h układów . 161

W ykorzystując d e f i n i c j e U -s te ro w a ln o ś c i podane w p o d ro z d z ia le 2 można sformułować s z e re g wniosków d o ty czący ch wzajemnych r e l a c j i pomiędzy różnymi rodzajami U -s te ro w a ln o ś c i.

Wniosek 4.1 ♦ T3] Układ dynamiczny / 2 , 3 / j e s t g lo b a ln ie U -sterow alny wtedy i ty lk o wtedy ,g d y j e s t on ró w n o cześn ie g lo b a ln ie U -stero w aln y z z e r a

¡oraz g lo b a ln ie U -ste ro w aln y do z e r a .

Wniosek 4 . 2 . f3] J e ż e l i m a c ie rz A j e s t n ie o s o b liw a .to u k ła d dynamiczny

|/2.3/ j e s t g lo b a ln ie U -stero w aln y z z e r a wtedy i ty lk o w tedy,gdy j e s t on globalnie U -ste ro w a ln y do z e r a ,

i

In te re su ją c y m zagadnieniem j e s t w yznaczenie se k w e n c ji stero w ań dopusz­

czalnych p rzep ro w ad zający ch u k ła d dynamiczny /2.3/ ze s ta n u początkowego ,r(ko) do zadanego s ta n u końcowego x^ w c h w ili k^ .Rozpatrhym y t o zag a d n ie ­ nie dla szcze g ó ln eg o przypadku u k ład u dynam icznego /2.3/ , a m ianow icie d la przypadku u k ła d u jednowe jścio w eg o / B = b £ R n/ , t z n . d l a m = © .postaci :

x(k+1) = Ax(k) + bu(k) k^ - 0 / 4 . 1 /

Niech o z n a c z a nwk^-wymiarową m acierze p o s t a c i n a s tę p u ją c e j :

\ ” [Ak-l" 1b . Ak 1- 2 b Ab , b ] / 4 . 2 /

Tw ierdzenie 4 . 5 . J e ż e l i u k ła d dynamiczny / 4 . 1 / j e s t g lo b a ln ie Rn- eterowalny w p r z e d z ia le [0 ,k ^ ] o ra z U -ste ro w a ln y z punktu x(0)€R r‘ do punktu r^6Rn vf p r z e d z ia le [0,k ^] , k ^ n , wówczas s te ro w a n ie d o p u szczaln e u * p rz e ­ prowadzające u k ła d dynam iczny /4.1/ ze s ta n u początkowego x (0) do punktu x1 Jestjpostacl n a s tę p u ją c e j :

u* > {u^O) ,r ? 0 ) » ( f j ~ Ak 1x(pV) d i a k o n

oraz 1

f ■ - C i " k i - 1 *? f e r A* 1x0?) ) 1115 k i < n W przypadku,gdy k^ = n .z a ło ż e n ie o g lo b a ln e j Rn- s te r o w a ln o ś c i u k ład u dynamicznego /4.1/ j e s t równoważne n ie o s o b liw o ś c i n*n-wymiarowej m acierzy

^n ° \ .H aleźy jed n ak p o d k r e ś lić ,ż e g lo b a ln a Rn- s t e r o walno ść u k ład u dyna- łicznegj /4.1/ n i e g w a ra n tu je i s t n i e n i a odpow iedniego s te ro w a n ia dopusz­

czalnego,Wynika t o z n ało żo n y ch n a s te ro w a n ie o g r a n ic te ń reprezentow anych Zioren U .Tak więc z a ło ż e n ia o U -s te ro w a ln o ś c i z punktu x ( p ) do punktu x^

¡eet konieczne do I s t n i e n i a odpow iedniego s te ro w a n ia d o p u sz czaln e g o . W przypadku‘b rak u o g ra n ic z e ń n a s te ro w a n ie .z a g a d n ie n ie w yznaczenia

°dpoviednlego s te r o w a n ia prz ep ro w ad zające g o u k ła d dynamiczny / 4 . 1 / ze s t a r W początkowego x (p ) do s ta n u końcowego w c h w ili było rozpatryw ane w Pracy [6] , P rzypadek ,g d y k ,> n można rozw iązaó p o słu g u ją c s i ę rów nież twierdzeniem 4 .3 i d z ie lą c o d c in e k n a k r ó ts z e p o d p rz e d z la ły . Dowód twierdzenia 4 .3 b a z u je n a p r o s ty c h p r z e k s z ta łc e n ia c h wzoru re p r e z e n tu ją c e »

|o rozwiązanie rów nania różnicow ego / 4 . 1 / •

162 J .K la m k i

Isto tn y m zagadnieniem ś c i ś l e związanym z U -s te ro w a ln o ś c ią układu dyi micznego /2,3/ j e s t problem w yznaczania s e k w e n c ji ste ro w a ń dopuszczalnych g w aran tu jący ch p o zostaw anie t r a j e k t o r i i u k ła d u w zadanym z b io r z e D c Rn, Tak sform ułowane z a g a d n ie n ie p ro w a d ti b e z p o śre d n io do d e f i n i c j i tzw . U-st;

b i l n o ś c i w z b io rz e D u k ład u dynamicznego / 2 , 3 / , £11] .

D e f in ic ja 4 .1 . Układ dynamiczny / 2 , 3 / nazywa s i ę U -sta b iln y m w zbic- r z e D, j e ż e l i d la każdego s ta n u początkowego x(c^D i s t n i e j e sekw encja sten wań d o p u szczalnych u6My[0,e°) t a k a ,ż c o d p o w iad ająca t e j s e k w e n c ji trajekt:

Jria uk ład u dynamicznego /2.3/ s p e ł n i a warunek :

x ( k ,x ( 0 ) ,u ) ć D d l a w s z y s tk ic h k > 0 /4.3/

Sekwencja stero w ań d o p u szczaln y ch u ć M ^ f p ,» ) , u trz y m u ją c a trajektoii u k ład u dynamicznego /2.3„ / w zadanym z b io r z e D( z a le ż y w i s t o t n y sposób od s ta n u początkowego x (o ) i d la ró ż n y c h stanów początkowych j e s t n a ogół ta k ż e różna,W d a l s z e j c z ę ś c i n in ie js z e g o p o d ro z d z ia łu dodatkowo zakłada i!

że z b ió r DC R j e s t wypukły i z w a rty . P o n iż s z e tw ie r d z e n ie p o d a je warunek konieczny i w y s ta rc z a ją c y U - s ta b iln o Ś c i w z b io r z e D u k ład u dynamicznego f‘

T w ierd zen ie 4 .4 . Pli~l Warunkiem koniecznym i w y starczający m U-stabll- n o ś c i w z b io rz e D u k ład u dynamicznego / 2 .3 7 j e s t , aby

min min fv^A x) + max ( v TBu) - min iv^x )]•> () /4J

*-x£D ^ ućU V ' xeD V

Dowód tw ie r d z e n ia 4 .4 zam ieszczony w p ra c y £113 b a z u je n a znanym [1], 00] , [11] tw ie rd z e n iu o o d d z ie la n iu zbiorów wypukłych w p r z e s tr z e n ia c h sfc.

ozenie-w ym iarow ych. Można rów nież p o k a z a ć ,ż e warunek /4.4/ j e s t rónoważny warunkowi n astęp u jącem u :

min jm in ( v TAx) + max(vTBu) - min (vTx ) l >= O /4.5|

||v||«1 <-x€D ' u&U ' xgD J

J e ż e l i u k ła d dynamiczny / 2 . 3 / j e s t U - s ta b iln y w z b io r z e D,wówczas dii!

każdego s ta n u początkowego x(p)&DCRn i s t n i e j e sek w en cja ste ro w a ń dopusz­

c z a ln y c h u 6 Mjj(P,łO u trz y m u ją c a t r a j e k t o r i ę u k ła d u dynamicznego /2.3/ w z b io rz e D d la k a ż d e j u s t a l o n e j l i c z b y kroków k e 2 . Sekw encja t a n o s i nazuę

■ d o p u sz c z a ln e j se k w e n c ji p o d trz y m u ją c e j 0 1] , P o n iż sz e tw ie r d z e n ie umożliwi numeryczne w yznaczenie d o p u s z c z a ln e j.s e k w e n c ji p o d trz y m u ją c e j d l a U-stabli- nego w z b io rz e D u k ład u dynamicznego / 2 . 3 / .

T w ierd zen ie 4 . 5 . [ jl] Z ałóżm y,że u k ła d dynam iczny / 2 . 3 / j e s t U-stabii- ny w z b io rz e D .. Wówczas d l a każdego s ta n u początkow ego x ( 0 ) ć D o ra z dowol­

nego k^-0 i s t n i e j e d o p u sz c z a ln a sek w en cja ste ro w a ń p o dtrzym ujących ufiKjJlJ s p e ł n i a j ą c a warunek :

min j v TAx(k) + v^BuCk) - raln(vTx ^ > 0 d l a k = 0 ,1, . . . ,k-1 /4>s g d z ie

x (k + l) . Ax(k) + B u(k) • d l a k - 0 ,1 , . . . , k - 1

/Sterow alność d y s k re tn y c h układów , 16 5

5. D y sk retn e u k ła d y n ie lin io w e 1 wielowymiarowa.

S te ro w aln o ść n ie lin io w y c h układów d y sk re tn y c h o ra z n ie lin io w y c h u k ła ­ dów d y sk re tn y c h ty p u 2-D p rz y o g r a n ic z e n ia c h n a s te ro w a n ie h y ła r o z p a tr y ­ wana w p ra c a c h [4] o ra z [9] .W p ra c y [9] w o p a r c iu o tw ie rd z e n ie S chaudera o punkcie s ta ły m wyznaczono o b s z a r DCRn e te r o w a ln o ś c i d l a n a stę p u ją c e g o n i e ­ liniow ego, s ta c jo n a rn e g o u k ła d u d y sk re tn e g o s

x(k+ l) - f(x (_ k ), u (k )) • k * 0 /5.1/

Jaijo przypadek sz c z e g ó ln y ro z p a trz o n o s te ro w a ln o ś ć d y sk retn eg o u k ład u dy­

namicznego lin io w e g o względem s ta n u o ra z n ie lin io w e g o względem ste ro w a n ia , opisanego n a stę p u ją c y m równaniem różnicowym :

x(k+l) - Ax(k) + g(u(k)j) k > 0 /5.2/

gdzie A j e s t s t a ł ą nxn-wymiarową m a c ie rz ą .

obu powyższych przy p ad k ach z a k ła d a s i ę , ż e z b i ó r w a r to ś c i stero w ań U jest wypukły i z w a rty . Z a ło ż e n ie t o ma i s t o t n e z n a c z e n ie d l a metody p rz e ­ prowadzania dowodów o p a r t e j n a tw ie rd z e n iu S chaudera o p u n k cie s ta ły m .

W p ra c y [4] sform ułowano w arunki w y s ta c z a ją c e D -s te ro w a ln o ś c i w o to c z e ­ niu-zera d l a n ie lin io w e g o ,s ta c jo n a r n e g o - u k ła d u dynamicznego ty p u -2 -D »opi­

sanego n astęp u jący m układem równań różnicow ych :

** (j*-) (?-• 3) * x2 ^ ‘ '0» UC^* ij) „1

^(fjj+l) “ ^2 (f ’ ’ X 2 Q', 0 , uC?-> ij)

.gdzie i , j e Z+ s ą d o d a tn im i lic z b a m i c a łk o w ity m i.

Przy odpow iednich z a ło ż e n ia c h , d o ty c ząc y ch w ypukłości f u n k c ji f^ o ra z

»w ykorzystując pewne tw ie r d z e n ia z tz w . a n a liz y w ypukłej,w p ra c y [4] po- dano warunki w ystarczające U -s te ro w a ln o ś c i u k ład u dynamicznego /5.3/.k 'a - ,runki t e s ą u o g ó ln ie n ie m n a p rzy p ad ek n ie lin io w y c h układów ty p u 2-D znanych

r l i t e r a t u r y k r y te r ió w s te r o w a ln o ś c i d l a lin io w y c h ,s ta c jo n a r n y c h u k ła ­ dów typu 2-D .W arunki D -s te r o w a ln o ś c i sform ułow ane w p r a c y[43 d l a układów dynamicznych ty p u 2-D mogą być stosunkow o ła tw o u o g ó ln io n e na przypadek układów dynam icznych ty p u M-D [7] , t z n . układów d y sk re tn y c h o M zmiennych n ie z a le ż n y c h .

' V p rzeg ląd o w ej p u b l i k a c j i [7] p rzy to czo n o te k ż e in n e k r y t e r i a b ad an ia lokalnej Rn- s te r o w a ln o ś c i w o to c z e n iu z e r a d l a n ie lin io w e g o u k ład u d y s k re t­

n o / 5 .1 / . K r y t e r i a t e są o p a r te n a b ad an iu lin io w e g o p r z y b liż e n ia układu dynamicznego / 5 . 1 / , a otrzym ane r e z u l t a t y mają c h a r a k te r warunków w y sta rc z a ­ jących. Ponadto w p ra c y [7] zam ieszczono rów nież pewne r e z u l t a t y d o ty czące sterowalności b ilin io w y c h układów d y sk re tn y c h zarówno jednorodnych, jak i nde jedno rodnych. W tym przypadku’ n i e z a k ła d a s i ę i s t n i e n i a o g ra n ic z e ń na sterowanie,a otrzym ane r e z u l t a t y b a z u ją n a pewnych tw ie rd z e n ia c h z tzw . slgebiy d e c y z y jn e j.

164 ^J,Klamka

LITERATURA

0 3 A r t s t e i n Z .: D is c r e te and c o n tin u o u s bang-bang and f a c i a l sp a c e s or i lo o k f o r th e extrem e p o i n t s , SIAM J o u r n a l R ev ie w ,v o l.2 2 ,n o .2 ,s'S t'i1 7 2 . 185

,

.

CO Evans M ,E.,M urthy D.N, : C o n t r o l l a b i l i t y o f d i s c r e t e - t i m e sy stem s with p o s i t i v e c o n t r o l s , IEEE T r a n s a c tio n s on A utom atic C o n t r o l ,v o l .2 2 ,no,6

«*> *942-945,1977.

E ) Evans M»E. ¡Bounded c o n t r o l and d i s c r e t e - t i m e c o n t r o l l a b i l i t y , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f System s S o i-e n c e ,v o l. 1 7 , 0 0 . 6 , s£ 2 v 9 4 5 -9 5 7 i19#

f4] F arad iew R.G.,Wu Hgok E a t , : C o n t r o l l a b i l i t y o f n o n l i n e a r two-dimensio]

n a l d is c r e t e - t i m e sy stem s w ith c o n s tr a in e d c o n t r o l s , O ptim ization,vol, n o .6 ,s tjt:6 6 9 -8 7 6 ,1 9 8 5 .

[5] Klamka J , : S tero w aln o śó układów dynam icznych - p r z e g lą d problemów , Archiwum A utom atyki i T e le m e ch an ik i,to m XXVI, z.2 ,s1 fi> 2 7 9 -3 0 9 ,1 9 8 1 , j<5] Klamką J ,-: S tero w aln o śó układów dynam icznych z o p ó ź n ie n ia m i, Zeszyty

Haukowe P o l i t e c h n i k i Ś l ą s k i e j w G liw ic a c h , z e s z y t Autom atyka ,nr>58, aS iv 1 -1 7 0 ,1 9 8 1 . '

P3 Klamka J . s S tero w aln o śó d y s k re tn y c h układów dynam icznych - p rzeg lą d problemów. Z eszy ty Haukowe P o l i t e c h n i k i Ś l ą s k i e j w G liw ic a c h ,z e s z y t A utom atyka,nrv84, s*r» 10 J - 1 1 8 ,1 9 8 6 .

[8] K lam ka‘J . s S te ro w a ln o śó układów dynam icznych p rz y o g r a n ic z e n ia c h na

« te r o w a n ie ,- p r z e g lą d problem ów ,. Archiwum A utom atyki i Telem echaniki, torn XXXII , z . 1 - 2 ,0 * ^ 2 1 - 3 4 , 1987 .

S taro E w ieo k i M. : Domaines de co m m an d ah ilite des p ro c e s s u s é c h a n tillo n ­ n é s non l i n é a i r e s , Podstawy S te ro w a n ia ,tom 4 , z . 2 , sfci',101-114,1974.

0dj Van T H R .P ,, S ch m iten d o rf W .E.; C o n s tra in e d c o n t r o l l a b i l i t y o f discret tim e sy ste m s, I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f C o n t r o l , v o l . 4 3 ,n o . 3 , s i r , 941-956 1986

.

p i] Van T i l R .P ., S ch m iten d o rf Vi.E. : G lobal c o n s tr a in e d h o l d a b l l i t y o f dis­

c r e te - tim e syBtem s, IEEE T r a n s a c tio n s on A utom atic C ontrol,vol.A C -31, n o .8 , B éa.761-763,1986,

g ¿3 Xunlong T .,L a ix ln a n g S .,H û ish e n g Z .: C o n t r o l l a b i l i t y and o b s e r v a b i l i t y

o f d i s c r e t e sy ste m s,C h in e se A nnales o f M a th e m a tic s ,v o l.3 , n o , 3 , s i r , 273- 278,1982.

g ^ E U i o t D .Ł ., Tarn T .J .,G o k a T, : C o n t r o l l a b i l i t y o f d i s c r e t e b i l i n e a r ey terns w ith bounded c o n t r o l s , IEEE T ra n s a c tio n s on A utom atic C o n tro l, v o l.A C -1 8 ,n o ,2 , s tr » 2 9 8 - 30 1 ,1 9 7 3 .

' ' ^ _ B o c a a z o n tiP r o f .d r iła b ^ in ż ,S » W a lc sa k '

» p ły n ę ło do S e d a k o ji do 198B -Q 4-30.

Bterowalno66 d y s k re tn y c h ukiaddv? . . . ___________________________________ 16g

ynPABIHEEiTOCTB JJKCKPETHUX CHCTQa HPil HMK'JHH 0EPABS9B-

Hiia H4 ynPABJtEHSS7. 0B30P n p o s n a

I P e 8 d a 9

C ts im HBJiseics odaopoa npodjsea ynpsBaeHEH aps Eaasraaa orpaHjreaaaS aa ptpaaaeHna jpm #hqhp3shhx j^HauHaecsHz cacsa u , paapadoTaHmn: Ha oqeob©

onytiHEHOBaaHHx sa noasejiHHe roaa padoT. npejtcvaaaeHH ycaoBHH ynpa&SHesaoo?a hdh hsjiothh orpaHaaeaafi Ha ynpaBEQHEe

am jime&sss. Beoramompasz z

%Jl

PaOCtiOTpSHH T8KS9 OSagCHOHapHHQ J5HOHpeSHH8 CEOTeiSH TEHa 2 -

CONTROLLABILITT OP DISCRETE DTHAMICAL SYSTEMS WITH CONSTRAINED CONTROLS 4 A SBRVEI

S u m m a r y

The p a p e r p r e s e n t s a s u rv e y o f p ro b le m s a s s o c i a t e d w ith th e d i s c r e t e - -time dynam ical s y ste m s w ith c o n s t r a i n e d c o n t r o l s . I t has b e e n p r e p a r e d on the b a s i s o f r e c e n t p u b l i c a t i o n s . The c o n t r o l l a b i l i t y c o n d itio n s w ith co n stra in e d c o n t r o l s f o r l i n e a r tim e - v a r y in g and t i m e - i n v a r i a n t d i s c r e t e - -time sy stem s and f o r t i m e - i n v a r i a n t n o n lin e a r d i s c r e t e - t i m e sy ste m s a r e p resen ted . S t a t i o n a r y 2-D d i s c r e t e s y ste m s a r e a l s o c o n s id e r e d .