Mieczysław Lubański
W sprawie ilościowego charakteru
matematyki
Studia Philosophiae Christianae 3/2, 321-327
S tu d ia P h ilo so p h ia e C h ristian ae A TK
2/1967
Z ZAGADNIEŃ FILOZOFII PRZYRODY
L u b a ń s k i M.
W sp r a w ie ilo śc io w e g o ch arak teru m a tem a ty k i S l a g a S z c z . W .
Z p ro b lem a ty k i g en ezy życia organ iczn ego
M iec zy sła w L u b ań sk i
W SP R A W IE ILO ŚC IO W EG O C H A R A K T E R U M A TE M A TY K I N ic bardziej pożąd an ego n ie m oże sp o tk a ć au tora nad to, gdy w y r a żon e p rzez n ieg o m y śli znajdą o d d źw ięk w śró d sp e c ja listó w . P iszą ce g o te sło w a sp o tk a ła w ła śn ie teg o rodzaju n a d zw y cza j p o m y śln a sytu acja. U w a ża m b o w iem so b ie za zaszczyt, że w a r ty k u le d y sk u sy jn y m pt. „O ilo śc io w y m ch a ra k terze p rzed m iotu m a te m a ty k i” 1 co n a jm n iej p o ło w a a rty k u łu zo sta ła p o św ięco n a k r y ty c e w y ra żo n eg o p rzeze m n ie sta n o w isk a . M uszę jednak o tw a r c ie w y zn a ć, że p rzed sta w io n ą ta m k r y ty k ą n ie jestem n ie s te ty p rzek on an y. N a ty m m ie jsc u ch cia łb y m dodać d alszy g ło s w d y sk u sji. U czy n ię to sta ra ją c się p rzed sta w ić w ą tp liw o ś c i, ja k ie b u d zi w e m n ie p rzep row ad zon a w e w sp o m n ia n y m a r ty k u le „obrona” tra d y cy jn eg o u jęcia przed m iotu m a tem a ty k i.
N a jp ie r w ch cia łb y m zazn aczyć, że w y d a je się d ezorien tow ać n ie z n a - jącego m a te m a ty k i in fo rm a cja za w a rta w p on iższym tek ście:
„P rzejd źm y tera z do g łó w n eg o p rob lem u , czy p rzed m iotem w s p ó ł c zesn y ch d y scy p lin m a tem a ty czn y ch jest „czysta ilo ść ”, czy też „ w y k ra czają one poza ra m y k a teg o rii ilo ś c i”. P ie r w sz a su p o zy cja je s t tra d y cy jn a . W yw odzi się z p oglądu, iż q u a n ti ta s d is c r e ta (m ów iąc bardziej o g ó ln ie i n o w o cześn ie — m nogość, w y ra ża ją c się zaś tr a d y c y jn ie i c ia śn iej —
1 S. K a m iń sk i, O ilo śc io w y m ch a ra k terze p rzed m iotu m a tem a ty k i, R oczniki F ilo z o fic z n e 14 (1966), z. 1, 126— 130.
liczba) lu b q u a n t i t a s c ontinua (an alogiczn ie: p rzestrzeń , fig u ra g eo m e tryczn a) sta n o w i o b iek t p ozn an ia m a tem a ty czn eg o ” 2.
C hodzi m i tu taj o w y ra żen ie: „ q u a n ti ta s d is c r e ta (m ów iąc bard ziej o g ó ln ie i n o w o cześn ie — m nogość, w y ra ża ją c się zaś tr a d y c y jn ie i c ia ś n ie j — liczb a) lu b q u a n t i t a s co n tin u a (an alogiczn ie: p rzestrzeń , fig u ra g eo m etry czn a )” . S ąd zę, że ktoś, k to n ie zna w sp ó łczesn ej m a te m a ty k i zro zu m ie p o w y ższy fra g m en t w ten sposób, iż to co po ła c in ie z w ie się q u a n tita s d iscreta , d zisiaj n o w o cześn ie z w ie się m n ogością, n a to m ia st q u a n tita s con tin u a to po prostu p rzestrzeń . T rzeba n ie s te ty za p y ta ć, k to sto su je tak ą term in o lo g ię, czy w sp ó łczesn y filo z o f, czy w sp ó łc z e sn y m a tem atyk ? W czyim s ło w n ic tw ie m n ogość i p rzestrzeń są o d p ow ied n ik am i (i to jeszcze p oszerzon ym i) q u a n tita s d iscreta oraz q u a n tita s continua?' K ażd y m a tem a ty k w ie dobrze, że w y r a z m nogość jest sta ry m term in em (dziś już raczej n ieu ży w a n y m ) i zn aczy to sam o co sło w o zbiór. A zbiory m ogą b y ć rozm aite, i d y sk retn e i cią g łe. M ów i się p rzecież np. o zb iorze liczb n a tu ra ln y ch , jak te ż o zb iorze p u n k tó w odcinka, k o ła itp. P o d o b n ie je s t z p o jęciem p rzestrzen i. N ie k ażda p rzestrzeń m u si być cią g ła . M a te m atyk a zna p rzy k ła d y p rzestrzen i d y sk retn y ch (o d op ow iad ających te r m in o w i , q u a n tita s d iscreta). A zatem ... czy w y żej cy to w a n e sło w a m ożna uznać za a d ek w a tn e p r z e d sta w ie n ie w sp ó łczesn eg o sta n o w isk a w m a te m atyce?
Z a jm ijm y się o b ecn ie an alizą rozu m ow an ia, m a ją ceg o u zasad n ić, że p rzed m iotem m a te m a ty k i je s t ilość. C zytam y: „K rąg sto su n k ó w ilo śc io w y c h (i szczeg ó ln iej ich p o sta ci ·— form p rzestrzen n ych ) b ad an ych przez m a te m a ty k ę ogrom n ie się rozszerzył. A le w szy stk o to m ie śc i się w k a te g o rii ilo śc i (jako m n ogości, zbiorze). Z resztą od stron y fo rm a ln ej w y k a zano, że zbiór (klasa) oraz rela c ja są w za jem sp ro w a d za ln e (d efin io w a ln e )” 3.
O statn ie cy to w a n e zd an ie je s t p ra w d ziw e. N ie bardzo jed n ak w id ać, w ja k i sposób m a ono u zasad n iać tr a d y cy jn e u ję c ie p rzed m iotu m a tem a ty k i. D laczego? P o prostu z tej ra cji, że przy u jęciu fo rm a ln y m rela c ji i fu n k c ji u tożsam ia się re la c ję i fu n k cję z jej w y k r e se m . „G dy p ary u p o rzą d k o w a n e u to żsa m im y z p u n k tam i p ła szczy zn y , a ich p op rzed n ik i i n a stę p n ik i o d p ow ied n io z o d cięty m i i rzęd n ym i, to ok aże się, że fu n k cja je s t ty m sam ym co w y k r e s f u n k c j i (w te r m in o lo g ii g eo m etry czn ej)” 4- J ed n a k że to n ie jest w szy stk o . B o w iem ; „ P o jęcie fu n k c ji odróżniać n a le ż y od p o jęcia przyp orząd k ow an ia. P rzez p r z y p o r z ą d k o w a n i e rozu m iem y fu n k c ję z d a n io w ą Ф(х,у) o dw u zm ien n y ch , sp ełn ia ją cą w a ru n k i
Λ Λ 0 (x,a), Λ [0(X, Ηι)Λ0(χ, 0ü)-> (ôi = ÿa)]·“5
* И Χ.Βι.№
2 S. K a m iń sk i, op. cit., 127— 128. 3 T am że, 128.
4 К . K u ra to w sk i i A . M o sto w sk i, T eoria m n ogości, W arszaw a 19662, 73.. 5 T am że, 75.
J a sn ą jest w ię c rzeczą, że w m a tem a ty ce m ożna odróżniać re la c ję (w z g lę d n ie fu n k cję) od jej w y k resu . N ie m ożna ch cieć za w ęzić m a te m a ty k i do sa m eg o u ję c ia czysto form aln ego. B y ło b y to zub ożen iem , o k a le czen iem m a tem a ty k i. W p ra k ty ce m a tem a ty czn ej n a każd ym n ie m a l kroku odróżnia się fu n k c ję od jej w y k resu . N iech p rzyk ład em p o słu ży tu k siążk a: I. M. G elfan d , E. G. G ła g o lew a , E. E. S zn ol, F u n k cii i g ra fik i, M osk w a 1966.
Z arzucono m i p sy ch o lo g isty czn ą in terp reta cję fu n k cji. O ponent m ój p isz e b ow iem : „P onadto, je ś li o k reśli się fu n k cję jako „fak t p rzy p o rzą d k o w a n ia elem en to m jed n ego zbioru ele m e n tó w d ru giego zb ioru ” , to chyba p rzy p sy ch o lo g isty czn ej in terp retacji, że fu n k cja je s t fa k tem p sy c h ic z n ym (operacją m y ślo w ą p rzyp orząd k ow an ia) da się p o w ied zieć, iż p o jęcie fu n k c ji jest p o ję c ie m „ n ie ilo śc io w y m ”.” 6
Sąd zę, że n ie je s t potrzebna in terp reta cja p sy ch o lo g isty czn ą dla u trzy m y w a n ia „ n ie ilo śc io w e g o ” ch arak teru fu n k cji. W ystarczy zw ró cić u w a g ę na cy to w a n y w y żej tek st K. K u ra to w sk ieg o i A. M ostow sk iego. J a sn e je s t, ż e w y sta r c z y tu przez p rzy p o rzą d k o w a n ie rozu m ieć fu n k cję zd a n io w ą Φ(χ,γ).
J eszcze je d e ą c y ta t w ią żą cy się z tą sp raw ą. „Z achodzi p o d ejrzen ie, ż e k r y ty k o w a n y tu A u tor w id zi źródło n ie ilo śc io w e g o ch arak teru p ojęć m a te m a ty k i w ich red u k o w a ln o ści do p ew n y ch p o jęć lo g iczn y ch . B y ło b y to n ie słu sz n e o ty le , że te o sta tn ie p o jęcia m ają w y łą c z n ie z a k r e s o w y ch a ra k ter” 7. O tóż to, w ła śn ie sp raw a teg o za k reso w eg o ch a ra k teru p o jęć logiczn ych . C h ętn ie p o lem izo w a łb y m z w y ra żo n y m w y żej sta n o w isk iem . O b ecn ie jed n a k p o m in ę tę spraw ę.
W yzn aję o tw a rcie, że n ie jestem z w o len n ik iem ja k iejś k on cep cji ty lk o d latego, że jest ona tra d y cy jn a . To za m ało. O ponent m ój p isze: „D ruga ew en tu a ln o ść zap ozn aje w ażn e, choć tra d y cy jn e, ro zró żn ien ie w p ozn an iu jego p rzed m iotu m a teria ln e g o i form aln ego. M a tem a ty k a dotyczy, on ty czn ie się w y ra ża ją c, czegoś, co — jako p rzed m iot m a te r ia l n y — p o siad a obok a sp ek tó w k w a n ty ta ty w n y c h ró w n ież k w a lita ty w n e . A to li p rzed m iotem fo rm a ln y m (w ła śc iw y m k ą tem p atrzen ia na przedm iot m a teria ln y ) m a te m a ty k i są w ła śn ie je d y n ie a sp ek ty za k reso w e, c z y li ilo śc io w e ” 8. T ak p rzed sta w io n a sp ra w a w y d a je się przesąd zać o m ojej p o m y łce. C zy jed n ak za g a d n ien ie to zostało a d e k w a tn ie i p rzek on u jąco p rzed sta w io n e? N a w ia sem w a rto tu zap ytać, czy is to tn ie z a k reso w o ść i ilo ść to jed n o i to sam o? A to zd aje się su g ero w a ć k o ń co w a część c y to w a n eg o tek stu . P o m ija ją c to jed n ak ch cia łb y m je d y n ie zw ró cić u w a g ę, ż e n ie je s t ła tw o od p o w ied zieć na p y ta n ie co je s t w ła ś c iw ie (w ed łu g u ję c ia trad ycyjn ego) p rzed m io tem m a tem a ty k i (zarów no m a teria ln y m jak i fo r
6 S. K am iń sk i, op. cit., 128. 7 T am że, 128.
m a ln y m ? 9 Czy m ożna od e m n ie żądać, abym p r e c y z o w a ł ten problem ? N ie ta k ie zad an ie p o sta w iłem so b ie w a r ty k u le pt. „Ilość a m a tem a t y k a ” w.
M a tem a ty k a w sp ó łczesn a bada m . in. r e la c je oraz ich w ła sn o śc i. S ą dzę, że p ra k ty k a m a tem a ty czn a w sk a z u je , iż n ie m ożna w sz y stk ic h r e la c ji b ad an ych w m a tem a ty ce sp row ad zić do tzw . r e la c ji ilo śc io w y c h . Z teg o w zg lęd u n ie w y d a je się a d ek w a tn e u jm o w a n ie ilo śc i jako p rzed m iotu badań m a tem a ty k i. M ożna b y tak ą te z ę g ło sić, a le je d y n ie jako u ję c ie d efin icy jn e. P o w s ta je p y ta n ie, czy ta k term in o lo g ia b y ła b y zgodna z ro zu m ien iem k a teg o rii przez A ry sto telesa . G d yb y jed n a k p rzy ją ć teg o Todzaju term in o lo g ię, to w ó w cza s, np. m ech a n ik a teo rety czn a b y ła b y n ie
o d różn ialn a od m a tem a ty k i. Czy w ię c p o ży teczn y b y łb y to term in z p u n k tu w id zen ia potrzeb nauki?
W arto w sp o m n ieć tu taj o tym , ż e o b serw u jem y w s p ó łc z e ś n ie w y k r a cza n ie m a te m a ty k i poza p o jęcie zbioru. M am na m y ś li m a tem a ty czn ą te o r ię k a teg o rii. N ie b ęd ę tu p o d a w a ł p recy zy jn y ch o k reśleń . Z a cy tu ję bar dzo jasn y i w y m o w n y te k s t G. C hoqueta. O to on: „T eoria k a t e g o r i i jest n a jm ło d szy m z w ie lk ic h n arzęd zi m a tem a ty k i. N ic n ie św ia d c z y tak s i l n ie o jed n o ści m a te m a ty k i jak w ła śn ie ona. S ta n o w i ona n o w y k rok n a przód w d zied zin ię ab strak cji. Isto tn ie, za jm u je się ona n ie rela c ja m i m ięd zy elem en ta m i ja k ieg o ś u sta lo n eg o zbioru, a le r e la c ja m i m ięd zy p rzed m iotam i u stalon ej k a te g o r ii, a n a w e t re la c ja m i m ięd zy ró żn y m i k a - teoriam i. F ak t, że tak a ogóln ość n ie p o cią g a za sobą tr y w ia ln o śc i ani n a w e t u b óstw a tej teorii, n o si znam iona cudu. A jed n ak tak jest, teoria ta je s t w w ie lu d zied zin ach n ieo d łą czn y m p rzew o d n ik iem m łod ej g e n e r a cji m a tem a ty k ó w .
O gran iczym y się tu ta j je d y n ie do pod an ia k ilk u d efin icji.
N a jp ierw k ilk a p r zy k ła d ó w k ateg o rii: k a teg o ria grup, k a teg o ria p rze strzen i w ek to r o w y c h , p rzestrzen i to p o lo g iczn y ch , zb iorów u p o rzą d k o w a n y c h i o góln iej — k ategoria zb io ró w opatrzonych stru k tu rą p ew n eg o ga tu n k u z w y ró żn io n ą k la są m orf izm ów .
K a teg o ria n ie jest w ię c zbiorem ; w y g o d n ie jest w y o b ra zić ją sob ie jak o p ew n ą k la s ę p rzed m io tó w , ro zu m ieją c p rzez k la s ę coś szerszego niż zb iór” 11.
S ąd zę, ż e w y d ź w ię k „ id eo w y ” jeg o jest ja sn y i w y m o w n y . Z tej w ię c też r a cji n ie w id zę, abym m ia ł zm ien iać p ogląd w y ra żo n y on giś p rzeze m n ie. W sp om in ałem n ieco w y ż e j, że m ój O ponent ta k o p eru je term in a m i ilo ść , zakres, zbiór jak g d y b y u w a ża ł je za syn on im y. T eoria k a teg o rii,
9 Por.: A . G. van M eisen , F ilo zo fia przyrod y, W arszaw a 1963,
232; 234.
1,1 R oczn ik i F ilo zo ficzn e 12 (1964), z. 3, 87—91.
11 G. C hoquet, A n a liza i B ourbaki. W iad om ości M a tem a ty czn e 7 <1963), 107— 108.
w o b ec ta k ieg o stan u rzeczy zachęca do ...w y jścia z tr a d y cy jn eg o u ję c ia p rzed m iotu m a tem a ty k i. O sob iście sądzę, że ch ęć „ za m y k a n ia ” m a te m a ty k i w g ran icach k a teg o rii ilo śc i b ierze się z te g o h isto ry czn eg o fa k tu , ż e dla A r y sto te le sa m a tem a ty k a to b y ła w ła ś c iw ie ty lk o g e o m e t r ia 12. M ój O ponent p isze: „D la teo rii m a tem a ty czn y ch zn a jd u je się m o d ele n ie ilo śc io w e . B y ty sta n o w ią c e ta k ie m o d ele n ie m u szą p osiad ać cech ilości, a le od tej „stron y”, w ty m a sp ek cie n ie są tzw . d zied zin ą żad n ej te o r ii m a tem a ty czn ej. B ad an e przez m a te m a ty k ę sto su n k i z a w sze są b o w iem sto su n k a m i ilo śc io w y m i” 13. M uszę w y zn a ć szczerze, ż e n ie w ie m skąd m ożna czerpać ta k ą p ew n o ść co do w y łą c z n o śc i sto su n k ó w ilo śc io w y c h b a d an ych p rzez m a tem a ty k ę. W obec w sz y stk ic h w y ż e j p rzed sta w io n y ch m y śli jestem sk ło n n y p od ciągn ąć i tę w y p o w ie d ź pod zd an ie ty p u d e fi n icyjn ego.
T rudną je s t sp ra w ą ok reślić czym jest m a tem a ty k a . T oteż ce lo w e b ęd zie za c y to w a n ie tu zdania J. Ł osia. C zytam y: „M atem atyk a za jm u je się a b stra k cy jn y m i tw oram i, n a z w ijm y je m o d ela m i. N iek tó re m o d ele m ają s w o je r e a liz a c je w śród in n ych m od eli. [...] In n e m o d ele zn ajd u ją re a liz a c ję w śród ta k ich tw o ró w , jak fu n k cje, c ią g i czy o p eracje. [...] A le są m od ele, k tórych r e a liz a c je są n ie m a l b ezp ośred n io m a teria ln e , w ta k im sto p n iu , że poprzez n ie m ożna op isać rze c z y w isto ść w sposób, k tó ry m oże słu ży ć p o d ejm o w a n iu k o n k retn y ch d ecy zji r z eczy w isto ść tę k szta łtu ją cy ch . [...] N ajm łod szą z teg o d ziału jest teo ria d ecyzji. [...] O ty m , czy coś jest czy n ie je s t m a tem a ty k ą , d ecy d u je m etod a, a n ie ta k ie czy in n e rea liza cje m o d eli i h e u ry sty czn e ich in te r p r e ta c je ” 14.
W id zim y tu sta n o w isk o , dla k tórego w y r ó ż n ia n ie p rzed m io tó w , m a teria ln eg o i fo rm a ln eg o , przy o k reślan iu m a tem a ty k i, je s t z u p e łn ie n ie p o trzeb n e. C zy n ie m ożna przy ta k im u jęciu pozostać?
P rzed sta w io n a tutaj k on trow ersja, zdaniem' p iszą ceg o te sło w a , ś w ia d czy w y r a ź n ie o jed n ym . O ty m m ia n o w icie, że n ie ja sn e są term in y ilo ść oraz m a tem a ty k a . S ło w a te ró żn ie ro zu m ieją ob ie strony. I stąd d y sk u sja , stąd n iep o ro zu m ien ie. M ój O ponent bardzo szerok o ro zu m ie w y ra z „ ilość”. M oje ro zu m ien ie teg o sam ego term in u je s t z p ew n o ścią w ęższe. W yrazi łem w y żej już obaw y, czy w a rto ta k bardzo szeroko rozu m ieć w sp o m n ia n y term in. C zy p o zo sta n ie on w ó w c z a s op eratyw n y? Co zaś do w ę ż szego jego rozu m ien ia, to ch cia łb y m zau w ażyć, ż e w litera tu r ze fa ch o w ej sp o ty k a się je dość często. Czy m ożna z góry rozsądzać, ja k i je s t ten w ę ż
j12 C ała m a tem a ty k a greck a b y ła w ła ś c iw ie g eom etrią. Por. H . F r e u - d en th a l, R ola in tu ic ji geo m etry czn ej w e w sp ó łczesn ej m a tem a ty ce. W ia d om ości M atem atyczn e 9 (1966), 83— 87.
,13 S. K a m iń sk i, op. cit., 129.
14 J. Ł oś, M a tem a ty k a sto so w a n a czy za sto so w a n ia m a tem a ty k i, W ia d om ości M a tem a ty czn e 8 (1965), 129— 130.
szy sen s bez p rzep row ad zen ia od p o w ied n ich badań szczeg ó ło w y ch ? P o z w o lę so b ie p odać tu jed en p rzyk ład .
W eźm y do ręk i p o zy cję n a stęp u ją cą : C. K u ra to w sk i, T o p o lo g ie II, W a r sz a w a — W rocław 1950. D w a o sta tn ie p a ra g ra fy teg o d zieła noszą n a stę p u ją c e ty tu ły : § 54. L a s u r f a c e s p h é r i q u e S 2. P r o b l è m e s q u a lita tif s. § 55. L a s u r fa ce s p h é r iq u e S .2 P r o b l è m e s q u a n ti ta t if s . É tu d e d u g ro u p e P A. P o w s ta je p y ta n ie, czy u ży ta w y żej term in o lo g ia jest n au k ow o celo w a i u żyteczn a. C zy u czeni m ają praw o, w m ia rę ro zw o ju w ie d z y u ściśla ć i p recy zo w a ć term in y ? I czy n ie m ożna życzyć sob ie, aby filo z o fo w ie n ie o d cin a li się od ży w eg o n u rtu n a u k i i n ie z a m y k a li w starym , jeszcze a r y sto te le so w sk im , rozu m ien iu term in ó w ? P rop ozycja term in o lo g iczn a , za k tórą tu ta j jest prow ad zon a „ a g ita cja ” n ie je s t ja k im ś w y ją tk ie m . P o słu g u je się ta k ą term in o lo g ią ńp. R. C o u r a n t15, czy P h . J. D a v is 16. W obec ta k ie g o stan u rzeczy dość sp e c y fic z n ie w y g lą d a p o sta w io n y m i zarzut, że n ie n a le ż y g ło sić, iż tzw . tw ie r d z e n ie Jordana o d n osi się do k a teg o rii ilo ści, le c z sam o w so b ie je s t czy sto ja k o ś c io w e 17.
W stosu n k u do term in u „ m a tem a ty k a ” sy tu a c ja w y d a je się w y g lą d a ć od w ro tn ie. T ak ja k dla term in u „ ilość” m ój O ponent sto so w a ł m o ż liw ie szero k ie ro zu m ien ie sło w a , p iszą cy zaś t e sło w a , zn aczn ie w ę ż sz e , ta k d la term in u „ m a tem a ty k a ” strona m i p rzeciw n a u siłu je za w ęzić zn a czen ie in te r e su ją c e g o n as w y ra zu , pod czas gd y ja ch cia łb y m rozu m ieć go m o ż li w ie szerok o, zgod n ie z a k tu a ln ą sy tu a c ją w e w sp ó łczesn ej m a tem a ty ce. N ie je s t tu m ie jsc e , aby p rzed sta w ia ć w s z y s tk ie m o ż liw e argu m en ty, p rz e m a w ia ją c e za słu szn o ścią m eg o p u n k tu w id zen ia . O graniczę się do z a c y to w a n ia w y p o w ie d z i, w sp o m n ia n eg o już w y ż e j, R. C ouranta. M ów i on: „Na p y ta n ie „co to jest m a te m a ty k a ” n ie m ożn a o d p o w ied zieć w sp o sób se n so w n y u ży w a ją c o g ó ln ik ó w filo zo ficzn y ch , d e fin ic ji sem a n ty cz n y ch alb o d zien n ik a rsk iej p a p la n in y . T a k ie ch a ra k tery za cje n ie n a d a ją s ię r ó w n ie ż do m u zy k i czy m a la rstw a . N ie m ożna ocen ić w a r to śc i ty ch sztu k b ez p ew n eg o w y c z u c ia ry tm u , h a rm o n ii i stru k tu ry , lu b form y, b a rw y i k om p ozycji. D o ocen y zn a czen ia m a te m a ty k i je s t jeszcze b ar d ziej n iezb ęd n e w n ik n ię c ie w jej isto tę. [...] W zajem n e o d d zia ły w a n ie o g ó ln eg o i szczególn ego, d ed u k cji i in terp reta cji, lo g ik i i w y o b ra źn i — to je s t g łęb o k a isto ta ż y w e j m a te m a ty k i” 18. P ie r w sz e zd a n ie teg o c y ta tu je s t w y m o w n e. N ie b ęd ę w c h o d z ił b liżej w jeg o an alizę. C h ciałb ym na ty m m ie jsc u dodać ty lk o jed n ą u w a g ę ty czą cą się stosu n k u m a tem a ty k i do lo g ik i. W yrażę ją sło w a m i C. V. N ew so n a . „ Istn ieje za tem n iero z str z y g n ię ty dotąd spór w k w e stii: co jest p ierw o tn e, lo g ik a czy m a tem a ,15 R. C ourant, M a tem a ty k a w ś w ie c ie w sp ó łczesn y m , w : M atem atyk a w św ie c ie w sp ó łc z e sn y m , W arszaw a 1966, 16— 17.
16 P h . J. D a v is, L iczba, w : M a tem a ty k a w św ie c ie w sp ó łczesn y m , W a rsza w a 1966, 60.
17 S. K a m iń sk i, op. cit., 129. 18 R. C ourant, op. cit., 12— 13.
ty k a ? T ę n o w o czesn ą w e r sję starego p rob lem u „jajk a i k u r y ” n ie ła tw o ro zw ią za ć. P o d ejm u ją c ją sta jem y w o b ec p rob lem u osta teczn ej p o d sta w y w ie d z y lu d zk iej. P rob lem ten z n a k o m ity lo g ik a n g ielsk i, F. P. R am sey, o k r e ślił jak o „ n ajtru d n iejszą rzecz na ś w ie c ie ” .” 19. J e śli w ię c ta k m ają s i ę sp ra w y , to czy m ożna u w ażać za u zasad n ion ą k o n k lu zję m ego O po n e n ta o ilo śc io w y m ch arak terze p rzed m iotu m a tem a ty k i, w y ra żo n ą sło w a m i: „Tak p rzyn ajm n iej p rzed sta w ia się sp ra w a przy o b ieg o w y m , in tu ic y jn y m rozu m ien iu term in ó w : ilość i jak ość.”? 20
N ie ch cę tw ierd zić, że je d y n y m i źró d ła m i n iep orozu m ien ia w in te r e s u ją c y m n as za g a d n ien iu , są w ę ż sz e i szersze rozu m ien ia term in ó w „ ilo ść”, „ jak ość”, „ m a tem a ty k a ”. Ż y czy łb y m sob ie, żeb y d y sk u sja b y ła k o n ty n u o w a n a . I ab y w ten sposób p rzy czy n iła się do lep szego sp recy zo w a n ia zn aczeń w y stę p u ją c y c h term in ó w , ja k też do bard ziej a d e k w a t n eg o sfo rm u ło w a n o a sam ego p roblem u. N ie w y d a je się b o w iem , ab y stare, tr a d y c y jn e sfo r m u ło w a n ie za g a d n ien ia n ie d o zw a la ło na p ostęp w tej d zied zin ie. M a tem a ty k i n ie możria w c isn ą ć , ta k sądzę, w stare, sz ty w n e r a m y u jęć tra d y cy jn y ch . M a tem atyk a je s t ż y w a i m łod a, n ie da się za m k n ą ć w sta ry ch form ach . R ozsadza je.
S zczep an W. S la g a
Z P R O B L E M A T Y K I G EN EZ Y ŻY C IA O R G A N IC Z N EG O W śród p ro b lem ó w o g ó ln o b io lo g iczn y ch , w o k ó ł k tó ry ch to czy się od w ie c z n y spór n a u k o w y i filo zo ficzn y , n a p ierw szy m m iejscu n a le ż y n ie w ą tp liw ie u m ieścić za g a d n ien ie p o w sta n ia i rozw oju ży cia organ iczn ego na ziem i. P rzy u w a żn y m śled zen iu ro zw o ju nauk, k tó re bądź to b ezp o śred n io (jak b ioch em ia, g en ety k a , cy to lo g ia , p a leo n to lo g ia ), bądź też p ośred n io (a stro fizy k a , g eo fizy k a , g eo ch em ia , w iru so lo g ia itp.) z a in tere so w a n e są p rob lem am i p o czą tk ó w ży cia , k o n sta tu je się ró w n o le g ły , ogrom n y p o stęp badań nad ty m i p rob lem am i. P o w o li i z tru d em przed o czym a u czon ych w y ła n ia się obraz m o żliw y ch dróg i m ech a n izm ó w g e n ezy życia, a p rzyn ajm n iej obraz p ierw o tn ej e w o lu c ji ch em iczn ej m a terii, p ierw o tn y ch w a ru n k ó w a tm o sfery czn y ch , zarys struktur i sy ste m ó w p rzed -ży cio w y ch .
Jak że je s t to jed n a k obraz za m glon y i n ieczy teln y .
D a lek o jeszcze, o ile w o g ó le je s t to m o żliw e, do r o zw ią za n ia t a 19 C. V. N ew so m , Isto ta m a tem a ty k i, W arszaw a 1967, 104. P ro b lem e m stosu n k u m a te m a ty k i i lo g ik i z a jm o w a ł się ostatn io A . C hurch. Zob. jeg o a r ty k u ł pt. „M ath em atics and lo g ie ” zam ieszczon y w „L ogic, M eth od ology and P h ilo so p h y o f S c ie n c e ”, S tan ford 1962, s. 181— 186. W y d źw ięk id e o w y a rty k u łu C hurcha je s t zgodny z w y p o w ie d z ią N ew som a.
