Publiczne tajemnice, czyli szyfry dawniej i dziś

Publiczne tajemnice, czyli szyfry dawniej i dziś

Wojciech Połowczuk

Wydział Matematyki

Szyfr Cezara

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

I Jest to szyfr z przesunięciem.

I ALEA IACTA EST → DOHD LDFWD HVW

I SHFXQLD QRQ ROHW → ?

I Nie znamy przesunięcia. Ile możliwości trzeba sprawdzić?

I Można wymieszać litery, mamy wtedy przyporządkowanie litera – litera

Szyfr Cezara

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

I Jest to szyfr z przesunięciem.

I ALEA IACTA EST → DOHD LDFWD HVW

I SHFXQLD QRQ ROHW → ?

I Nie znamy przesunięcia. Ile możliwości trzeba sprawdzić?

I Można wymieszać litery, mamy wtedy przyporządkowanie litera – litera

Szyfr Cezara

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

I Jest to szyfr z przesunięciem.

I ALEA IACTA EST → DOHD LDFWD HVW

I SHFXQLD QRQ ROHW → ?

I Nie znamy przesunięcia. Ile możliwości trzeba sprawdzić?

I Można wymieszać litery, mamy wtedy przyporządkowanie litera – litera

Szyfr Cezara

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

I Jest to szyfr z przesunięciem.

I ALEA IACTA EST → DOHD LDFWD HVW

I SHFXQLD QRQ ROHW → ?

I Nie znamy przesunięcia. Ile możliwości trzeba sprawdzić?

I Można wymieszać litery, mamy wtedy przyporządkowanie litera – litera

Szyfr Cezara

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

I Jest to szyfr z przesunięciem.

I ALEA IACTA EST → DOHD LDFWD HVW

I SHFXQLD QRQ ROHW → ?

I Nie znamy przesunięcia. Ile możliwości trzeba sprawdzić?

I Można wymieszać litery, mamy wtedy przyporządkowanie litera – litera

Udoskonalony szyfr Cezara

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E J K L V W X C M N O P Q F Y Z A B G H I R S T U

I TAJNE → GDMQL

I HNATGL → ?

I Teoretycznie 26! = 4.03 · 10²⁶możliwości

I To nadal bardzo słaby szyfr

I Łamie się go przy pomocy analizy częstotliwości

I Jak można to poprawić?

I Nadal mamy szyfrowanie symetryczne

Udoskonalony szyfr Cezara

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E J K L V W X C M N O P Q F Y Z A B G H I R S T U

I TAJNE → GDMQL

I HNATGL → ?

I Teoretycznie 26! = 4.03 · 10²⁶możliwości

I To nadal bardzo słaby szyfr

I Łamie się go przy pomocy analizy częstotliwości

I Jak można to poprawić?

I Nadal mamy szyfrowanie symetryczne

Udoskonalony szyfr Cezara

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E J K L V W X C M N O P Q F Y Z A B G H I R S T U

I TAJNE → GDMQL

I HNATGL → ?

I Teoretycznie 26! = 4.03 · 10²⁶ możliwości

I To nadal bardzo słaby szyfr

I Łamie się go przy pomocy analizy częstotliwości

I Jak można to poprawić?

I Nadal mamy szyfrowanie symetryczne

Udoskonalony szyfr Cezara

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E J K L V W X C M N O P Q F Y Z A B G H I R S T U

I TAJNE → GDMQL

I HNATGL → ?

I Teoretycznie 26! = 4.03 · 10²⁶ możliwości

I To nadal bardzo słaby szyfr

I Łamie się go przy pomocy analizy częstotliwości

I Jak można to poprawić?

I Nadal mamy szyfrowanie symetryczne

Udoskonalony szyfr Cezara

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E J K L V W X C M N O P Q F Y Z A B G H I R S T U

I TAJNE → GDMQL

I HNATGL → ?

I Teoretycznie 26! = 4.03 · 10²⁶ możliwości

I To nadal bardzo słaby szyfr

I Łamie się go przy pomocy analizy częstotliwości

I Jak można to poprawić?

I Nadal mamy szyfrowanie symetryczne

Udoskonalony szyfr Cezara

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E J K L V W X C M N O P Q F Y Z A B G H I R S T U

I TAJNE → GDMQL

I HNATGL → ?

I Teoretycznie 26! = 4.03 · 10²⁶ możliwości

I To nadal bardzo słaby szyfr

I Łamie się go przy pomocy analizy częstotliwości

I Jak można to poprawić?

I Nadal mamy szyfrowanie symetryczne

Udoskonalony szyfr Cezara

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E J K L V W X C M N O P Q F Y Z A B G H I R S T U

I TAJNE → GDMQL

I HNATGL → ?

I Teoretycznie 26! = 4.03 · 10²⁶ możliwości

I To nadal bardzo słaby szyfr

I Łamie się go przy pomocy analizy częstotliwości

I Jak można to poprawić?

I Nadal mamy szyfrowanie symetryczne

RSA — wstęp

I Czy można opublikować sposób szyfrowania i zachować tajność korespondencji?

I TAK!

I Algorytm RSA wykorzystuje kongruencje (operacje modulo)

RSA — wstęp

I Czy można opublikować sposób szyfrowania i zachować tajność korespondencji?

I TAK!

I Algorytm RSA wykorzystuje kongruencje (operacje modulo)

RSA — wstęp

I Czy można opublikować sposób szyfrowania i zachować tajność korespondencji?

I TAK!

I Algorytm RSA wykorzystuje kongruencje (operacje modulo)

Kongruencje

Definicja

a ≡ b (mod n) ⇐⇒ reszty z dzielenia a przez n oraz b przez n są takie same.

Przykład

I 7 ≡ 4 (mod 3)

I 25 ≡ 11 (mod 7)

I 51 ≡ 9 (mod 7)

I 25 + 51 ≡ 11 + 9 (mod 7)

I 25 ∗ 51 ≡ 11 ∗ 9 (mod 7)

Kongruencje

Definicja

a ≡ b (mod n) ⇐⇒ reszty z dzielenia a przez n oraz b przez n są takie same.

Przykład

I 7 ≡ 4 (mod 3)

I 25 ≡ 11 (mod 7)

I 51 ≡ 9 (mod 7)

I 25 + 51 ≡ 11 + 9 (mod 7)

I 25 ∗ 51 ≡ 11 ∗ 9 (mod 7)

Kongruencje

Definicja

a ≡ b (mod n) ⇐⇒ reszty z dzielenia a przez n oraz b przez n są takie same.

Przykład

I 7 ≡ 4 (mod 3)

I 25 ≡ 11 (mod 7)

I 51 ≡ 9 (mod 7)

I 25 + 51 ≡ 11 + 9 (mod 7)

I 25 ∗ 51 ≡ 11 ∗ 9 (mod 7)

Kongruencje

Definicja

a ≡ b (mod n) ⇐⇒ reszty z dzielenia a przez n oraz b przez n są takie same.

Przykład

I 7 ≡ 4 (mod 3)

I 25 ≡ 11 (mod 7)

I 51 ≡ 9 (mod 7)

I 25 + 51 ≡ 11 + 9 (mod 7)

I 25 ∗ 51 ≡ 11 ∗ 9 (mod 7)

Kongruencje

Definicja

a ≡ b (mod n) ⇐⇒ reszty z dzielenia a przez n oraz b przez n są takie same.

Przykład

I 7 ≡ 4 (mod 3)

I 25 ≡ 11 (mod 7)

I 51 ≡ 9 (mod 7)

I 25 + 51 ≡ 11 + 9 (mod 7)

I 25 ∗ 51 ≡ 11 ∗ 9 (mod 7)

Kongruencje

Definicja

a ≡ b (mod n) ⇐⇒ reszty z dzielenia a przez n oraz b przez n są takie same.

Przykład

I 7 ≡ 4 (mod 3)

I 25 ≡ 11 (mod 7)

I 51 ≡ 9 (mod 7)

I 25 + 51 ≡ 11 + 9 (mod 7)

Zastosowanie kongruencji do „trudnych” zadań

Przykład

Znajdź trzy ostatnie cyfry liczby 2¹⁰⁰⁰.

I Szukamy n takiego, aby 2¹⁰⁰⁰ ≡ n (mod 1000)

I 2¹⁰= 1024 ≡ 24 (mod 1000)

I 2²⁰= (2¹⁰)²≡ 24² = 576 (mod 1000)

I 2⁴⁰= (2²⁰)²≡ 576² = 331776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁸⁰= (2⁴⁰)²≡ 776² = 602176 ≡ 176 (mod 1000)

I 2²⁴⁰= (2⁸⁰)³ ≡ 176³ = 5451776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁴⁸⁰= (2²⁴⁰)² ≡ 776²≡ 176 (mod 1000)

I 2⁵⁰⁰= 2⁴⁸⁰∗ 2²⁰≡ 176 ∗ 576 = 101376 ≡ 376 (mod 1000)

I 2¹⁰⁰⁰ = (2⁵⁰⁰)²≡ 376² = 141376 ≡ 376 (mod 1000)

Zastosowanie kongruencji do „trudnych” zadań

Przykład

Znajdź trzy ostatnie cyfry liczby 2¹⁰⁰⁰.

I Szukamy n takiego, aby 2¹⁰⁰⁰ ≡ n (mod 1000)

I 2¹⁰= 1024 ≡ 24 (mod 1000)

I 2²⁰= (2¹⁰)²≡ 24² = 576 (mod 1000)

I 2⁴⁰= (2²⁰)²≡ 576² = 331776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁸⁰= (2⁴⁰)²≡ 776² = 602176 ≡ 176 (mod 1000)

I 2²⁴⁰= (2⁸⁰)³ ≡ 176³ = 5451776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁴⁸⁰= (2²⁴⁰)² ≡ 776²≡ 176 (mod 1000)

I 2⁵⁰⁰= 2⁴⁸⁰∗ 2²⁰≡ 176 ∗ 576 = 101376 ≡ 376 (mod 1000)

I 2¹⁰⁰⁰ = (2⁵⁰⁰)²≡ 376² = 141376 ≡ 376 (mod 1000)

Zastosowanie kongruencji do „trudnych” zadań

Przykład

Znajdź trzy ostatnie cyfry liczby 2¹⁰⁰⁰.

I Szukamy n takiego, aby 2¹⁰⁰⁰ ≡ n (mod 1000)

I 2¹⁰= 1024 ≡ 24 (mod 1000)

I 2²⁰= (2¹⁰)²≡ 24² = 576 (mod 1000)

I 2⁴⁰= (2²⁰)²≡ 576² = 331776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁸⁰= (2⁴⁰)²≡ 776² = 602176 ≡ 176 (mod 1000)

I 2²⁴⁰= (2⁸⁰)³ ≡ 176³ = 5451776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁴⁸⁰= (2²⁴⁰)² ≡ 776²≡ 176 (mod 1000)

I 2⁵⁰⁰= 2⁴⁸⁰∗ 2²⁰≡ 176 ∗ 576 = 101376 ≡ 376 (mod 1000)

I 2¹⁰⁰⁰ = (2⁵⁰⁰)²≡ 376² = 141376 ≡ 376 (mod 1000)

Zastosowanie kongruencji do „trudnych” zadań

Przykład

Znajdź trzy ostatnie cyfry liczby 2¹⁰⁰⁰.

I Szukamy n takiego, aby 2¹⁰⁰⁰ ≡ n (mod 1000)

I 2¹⁰= 1024 ≡ 24 (mod 1000)

I 2²⁰= (2¹⁰)²≡ 24²= 576 (mod 1000)

I 2⁴⁰= (2²⁰)²≡ 576² = 331776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁸⁰= (2⁴⁰)²≡ 776² = 602176 ≡ 176 (mod 1000)

I 2²⁴⁰= (2⁸⁰)³ ≡ 176³ = 5451776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁴⁸⁰= (2²⁴⁰)² ≡ 776²≡ 176 (mod 1000)

I 2⁵⁰⁰= 2⁴⁸⁰∗ 2²⁰≡ 176 ∗ 576 = 101376 ≡ 376 (mod 1000)

I 2¹⁰⁰⁰ = (2⁵⁰⁰)²≡ 376² = 141376 ≡ 376 (mod 1000)

Zastosowanie kongruencji do „trudnych” zadań

Przykład

Znajdź trzy ostatnie cyfry liczby 2¹⁰⁰⁰.

I Szukamy n takiego, aby 2¹⁰⁰⁰ ≡ n (mod 1000)

I 2¹⁰= 1024 ≡ 24 (mod 1000)

I 2²⁰= (2¹⁰)²≡ 24²= 576 (mod 1000)

I 2⁴⁰= (2²⁰)²≡ 576² = 331776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁸⁰= (2⁴⁰)²≡ 776² = 602176 ≡ 176 (mod 1000)

I 2²⁴⁰= (2⁸⁰)³ ≡ 176³ = 5451776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁴⁸⁰= (2²⁴⁰)² ≡ 776²≡ 176 (mod 1000)

I 2⁵⁰⁰= 2⁴⁸⁰∗ 2²⁰≡ 176 ∗ 576 = 101376 ≡ 376 (mod 1000)

I 2¹⁰⁰⁰ = (2⁵⁰⁰)²≡ 376² = 141376 ≡ 376 (mod 1000)

Zastosowanie kongruencji do „trudnych” zadań

Przykład

Znajdź trzy ostatnie cyfry liczby 2¹⁰⁰⁰.

I Szukamy n takiego, aby 2¹⁰⁰⁰ ≡ n (mod 1000)

I 2¹⁰= 1024 ≡ 24 (mod 1000)

I 2²⁰= (2¹⁰)²≡ 24²= 576 (mod 1000)

I 2⁴⁰= (2²⁰)²≡ 576² = 331776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁸⁰= (2⁴⁰)²≡ 776² = 602176 ≡ 176 (mod 1000)

I 2²⁴⁰= (2⁸⁰)³ ≡ 176³ = 5451776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁴⁸⁰= (2²⁴⁰)² ≡ 776²≡ 176 (mod 1000)

I 2⁵⁰⁰= 2⁴⁸⁰∗ 2²⁰≡ 176 ∗ 576 = 101376 ≡ 376 (mod 1000)

I 2¹⁰⁰⁰ = (2⁵⁰⁰)²≡ 376² = 141376 ≡ 376 (mod 1000)

Zastosowanie kongruencji do „trudnych” zadań

Przykład

Znajdź trzy ostatnie cyfry liczby 2¹⁰⁰⁰.

I Szukamy n takiego, aby 2¹⁰⁰⁰ ≡ n (mod 1000)

I 2¹⁰= 1024 ≡ 24 (mod 1000)

I 2²⁰= (2¹⁰)²≡ 24²= 576 (mod 1000)

I 2⁴⁰= (2²⁰)²≡ 576² = 331776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁸⁰= (2⁴⁰)²≡ 776² = 602176 ≡ 176 (mod 1000)

I 2²⁴⁰= (2⁸⁰)³ ≡ 176³ = 5451776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁴⁸⁰= (2²⁴⁰)² ≡ 776²≡ 176 (mod 1000)

I 2⁵⁰⁰= 2⁴⁸⁰∗ 2²⁰≡ 176 ∗ 576 = 101376 ≡ 376 (mod 1000)

I 2¹⁰⁰⁰ = (2⁵⁰⁰)²≡ 376² = 141376 ≡ 376 (mod 1000)

Zastosowanie kongruencji do „trudnych” zadań

Przykład

Znajdź trzy ostatnie cyfry liczby 2¹⁰⁰⁰.

I Szukamy n takiego, aby 2¹⁰⁰⁰ ≡ n (mod 1000)

I 2¹⁰= 1024 ≡ 24 (mod 1000)

I 2²⁰= (2¹⁰)²≡ 24²= 576 (mod 1000)

I 2⁴⁰= (2²⁰)²≡ 576² = 331776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁸⁰= (2⁴⁰)²≡ 776² = 602176 ≡ 176 (mod 1000)

I 2²⁴⁰= (2⁸⁰)³ ≡ 176³ = 5451776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁴⁸⁰= (2²⁴⁰)² ≡ 776²≡ 176 (mod 1000)

I 2⁵⁰⁰= 2⁴⁸⁰∗ 2²⁰≡ 176 ∗ 576 = 101376 ≡ 376 (mod 1000)

I 2¹⁰⁰⁰ = (2⁵⁰⁰)²≡ 376² = 141376 ≡ 376 (mod 1000)

Zastosowanie kongruencji do „trudnych” zadań

Przykład

Znajdź trzy ostatnie cyfry liczby 2¹⁰⁰⁰.

I Szukamy n takiego, aby 2¹⁰⁰⁰ ≡ n (mod 1000)

I 2¹⁰= 1024 ≡ 24 (mod 1000)

I 2²⁰= (2¹⁰)²≡ 24²= 576 (mod 1000)

I 2⁴⁰= (2²⁰)²≡ 576² = 331776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁸⁰= (2⁴⁰)²≡ 776² = 602176 ≡ 176 (mod 1000)

I 2²⁴⁰= (2⁸⁰)³ ≡ 176³ = 5451776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁴⁸⁰= (2²⁴⁰)² ≡ 776²≡ 176 (mod 1000)

I 2⁵⁰⁰= 2⁴⁸⁰∗ 2²⁰≡ 176 ∗ 576 = 101376 ≡ 376 (mod 1000)

I 2¹⁰⁰⁰ = (2⁵⁰⁰)²≡ 376² = 141376 ≡ 376 (mod 1000)

Zastosowanie kongruencji do „trudnych” zadań

Przykład

Znajdź trzy ostatnie cyfry liczby 2¹⁰⁰⁰.

I Szukamy n takiego, aby 2¹⁰⁰⁰ ≡ n (mod 1000)

I 2¹⁰= 1024 ≡ 24 (mod 1000)

I 2²⁰= (2¹⁰)²≡ 24²= 576 (mod 1000)

I 2⁴⁰= (2²⁰)²≡ 576² = 331776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁸⁰= (2⁴⁰)²≡ 776² = 602176 ≡ 176 (mod 1000)

I 2²⁴⁰= (2⁸⁰)³ ≡ 176³ = 5451776 ≡ 776 (mod 1000)

I 2⁴⁸⁰= (2²⁴⁰)² ≡ 776²≡ 176 (mod 1000)

RSA

I Klucz publiczny:

I Wybieramy dwie (duże) liczby pierwsze p i q. Liczymy K = p · q

I Wybieramy liczbę E względnie pierwszą z (p − 1)(q − 1)

I Klucz prywatny:

I Wybieramy liczbę D > 0 tak, aby D · E + a(p − 1)(q − 1) = 1 (a ∈ C)

Przykład

p = 7, q = 13, K = 7 · 13 = 91, E = 5, D = 29 (bo 29 · 5 − 2 · (6 · 12) = 1).

RSA

I Klucz publiczny:

I Wybieramy dwie (duże) liczby pierwsze p i q. Liczymy K = p · q

I Wybieramy liczbę E względnie pierwszą z (p − 1)(q − 1)

I Klucz prywatny:

I Wybieramy liczbę D > 0 tak, aby D · E + a(p − 1)(q − 1) = 1 (a ∈ C)

Przykład

p = 7, q = 13, K = 7 · 13 = 91, E = 5, D = 29 (bo 29 · 5 − 2 · (6 · 12) = 1).

RSA

I Klucz publiczny:

I Wybieramy dwie (duże) liczby pierwsze p i q. Liczymy K = p · q

I Wybieramy liczbę E względnie pierwszą z (p − 1)(q − 1)

I Klucz prywatny:

I Wybieramy liczbę D > 0 tak, aby D · E + a(p − 1)(q − 1) = 1 (a ∈ C)

Przykład

p = 7, q = 13, K = 7 · 13 = 91, E = 5, D = 29 (bo 29 · 5 − 2 · (6 · 12) = 1).

RSA

I Klucz publiczny:

I Wybieramy dwie (duże) liczby pierwsze p i q. Liczymy K = p · q

I Wybieramy liczbę E względnie pierwszą z (p − 1)(q − 1)

I Klucz prywatny:

I Wybieramy liczbę D > 0 tak, aby D · E + a(p − 1)(q − 1) = 1 (a ∈ C)

Przykład

p = 7, q = 13, K = 7 · 13 = 91, E = 5, D = 29 (bo

RSA — przykład

A B C D E F G H I J K L M N . . . 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 . . .

I p = 7, q = 13, K = 7 · 13 = 91, E = 5, D = 29

I Napis „BA” zamieniamy na ciąg 0201 i dzielimy na bloki tak, aby blok b był liczbą mniejszą od K.

I Kodujemy b jako resztę z dzielenia b^E mod K

I Zakodujmy 11:

11⁵ = 161051 = 1769 · 91 + 72 ≡ 72 (mod 91)

I Odkodujemy s jako resztę z dzielenia s^D mod K

I Odkodujmy 72:

72²⁹= (72⁴)⁷· 72 = 26873856⁷· 72 ≡ 9⁷· 72 = 4782969 · 72 ≡ 9 · 72 = 648 ≡ 11 (mod 91)

RSA — przykład

A B C D E F G H I J K L M N . . . 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 . . .

I p = 7, q = 13, K = 7 · 13 = 91, E = 5, D = 29

I Napis „BA” zamieniamy na ciąg 0201 i dzielimy na bloki tak, aby blok b był liczbą mniejszą od K.

I Kodujemy b jako resztę z dzielenia b^E mod K

I Zakodujmy 11:

11⁵ = 161051 = 1769 · 91 + 72 ≡ 72 (mod 91)

I Odkodujemy s jako resztę z dzielenia s^D mod K

I Odkodujmy 72:

72²⁹= (72⁴)⁷· 72 = 26873856⁷· 72 ≡ 9⁷· 72 = 4782969 · 72 ≡ 9 · 72 = 648 ≡ 11 (mod 91)

RSA — przykład

A B C D E F G H I J K L M N . . . 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 . . .

I p = 7, q = 13, K = 7 · 13 = 91, E = 5, D = 29

I Napis „BA” zamieniamy na ciąg 0201 i dzielimy na bloki tak, aby blok b był liczbą mniejszą od K.

I Kodujemy b jako resztę z dzielenia b^E mod K

I Zakodujmy 11:

11⁵ = 161051 = 1769 · 91 + 72 ≡ 72 (mod 91)

I Odkodujemy s jako resztę z dzielenia s^D mod K

I Odkodujmy 72:

72²⁹= (72⁴)⁷· 72 = 26873856⁷· 72 ≡ 9⁷· 72 = 4782969 · 72 ≡ 9 · 72 = 648 ≡ 11 (mod 91)

RSA — przykład

A B C D E F G H I J K L M N . . . 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 . . .

I p = 7, q = 13, K = 7 · 13 = 91, E = 5, D = 29

I Napis „BA” zamieniamy na ciąg 0201 i dzielimy na bloki tak, aby blok b był liczbą mniejszą od K.

I Kodujemy b jako resztę z dzielenia b^E mod K

I Zakodujmy 11:

11⁵ = 161051 = 1769 · 91 + 72 ≡ 72 (mod 91)

I Odkodujemy s jako resztę z dzielenia s^D mod K

I Odkodujmy 72:

72²⁹= (72⁴)⁷· 72 = 26873856⁷· 72 ≡ 9⁷· 72 = 4782969 · 72 ≡ 9 · 72 = 648 ≡ 11 (mod 91)

RSA — przykład

A B C D E F G H I J K L M N . . . 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 . . .

I p = 7, q = 13, K = 7 · 13 = 91, E = 5, D = 29

I Napis „BA” zamieniamy na ciąg 0201 i dzielimy na bloki tak, aby blok b był liczbą mniejszą od K.

I Kodujemy b jako resztę z dzielenia b^E mod K

I Zakodujmy 11:

11⁵ = 161051 = 1769 · 91 + 72 ≡ 72 (mod 91)

I Odkodujemy s jako resztę z dzielenia s^D mod K

I Odkodujmy 72:

72²⁹= (72⁴)⁷· 72 = 26873856⁷· 72 ≡ 9⁷· 72 = 4782969 · 72 ≡ 9 · 72 = 648 ≡ 11 (mod 91)

RSA — przykład

A B C D E F G H I J K L M N . . . 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 . . .

I p = 7, q = 13, K = 7 · 13 = 91, E = 5, D = 29

I Napis „BA” zamieniamy na ciąg 0201 i dzielimy na bloki tak, aby blok b był liczbą mniejszą od K.

I Kodujemy b jako resztę z dzielenia b^E mod K

I Zakodujmy 11:

11⁵ = 161051 = 1769 · 91 + 72 ≡ 72 (mod 91)

I Odkodujemy s jako resztę z dzielenia s^D mod K

I Odkodujmy 72:

RSA

I Złamanie RSA wymaga rozłożenia na czynniki liczby K = pq

I Dla bardzo dużych K jest to bardzo czasochłonne również dla komputerów

I Dodatkowo nazwy „kodowanie”, „dekodowanie” są umowne, tzn. można szyfrować kluczem prywatnym i deszyfrować kluczem publicznym (po co?)

I Podpis cyfrowy, czyli uwiarygodnienie własnej tożsamości (potrzebna jest jednak wiarygodna baza kluczy publicznych)

RSA

I Złamanie RSA wymaga rozłożenia na czynniki liczby K = pq

I Dla bardzo dużych K jest to bardzo czasochłonne również dla komputerów

I Dodatkowo nazwy „kodowanie”, „dekodowanie” są umowne, tzn. można szyfrować kluczem prywatnym i deszyfrować kluczem publicznym (po co?)

I Podpis cyfrowy, czyli uwiarygodnienie własnej tożsamości (potrzebna jest jednak wiarygodna baza kluczy publicznych)

RSA

I Złamanie RSA wymaga rozłożenia na czynniki liczby K = pq

I Dla bardzo dużych K jest to bardzo czasochłonne również dla komputerów

I Dodatkowo nazwy „kodowanie”, „dekodowanie” są umowne, tzn. można szyfrować kluczem prywatnym i deszyfrować kluczem publicznym (po co?)

I Podpis cyfrowy, czyli uwiarygodnienie własnej tożsamości (potrzebna jest jednak wiarygodna baza kluczy publicznych)

RSA

I Złamanie RSA wymaga rozłożenia na czynniki liczby K = pq

I Dla bardzo dużych K jest to bardzo czasochłonne również dla komputerów

I Dodatkowo nazwy „kodowanie”, „dekodowanie” są umowne, tzn. można szyfrować kluczem prywatnym i deszyfrować kluczem publicznym (po co?)

I Podpis cyfrowy, czyli uwiarygodnienie własnej tożsamości (potrzebna jest jednak wiarygodna baza kluczy publicznych)