Mechanika teoretyczna

1

Mechanika teoretyczna

Wykład nr 1

Wprowadzenie i podstawowe pojęcia.

Rachunek wektorowy.

Wypadkowa układu sił.

Warunki równowagi

Przedmiot

n Mechanika:

– ogólna, techniczna, teoretyczna.

n Dział fizyki zajmujący się badaniem ruchu i równowagi ciał materialnych, ustalaniem ogólnych praw ruchu oraz ich stosowaniem do wyidealizowanych ciał rzeczywistych (punkt materialny oraz ciało doskonale sztywne – ramy, kraty).

2

Program zajęć

⁽¹⁾

n Podstawowe pojęcia.

n Podstawy rachunku wektorowego.

n Układy sił i stan równowagi.

n Reakcje więzów w układach płaskich.

n

Siły wewnętrzne

– w belkach;

– w ramach.

3

Program zajęć

⁽²⁾

n

Siły wewnętrzne:

– w kratownicach;

– w łukach;

n

Reakcje więzów i siły wewnętrzne w układach przestrzennych.

n

Zjawisko tarcia i prawa tarcia.

n

Elementy kinematyki.

n

Podstawy dynamiki.

4

Literatura

n [1] J. Leyko: Mechanika ogólna

n [2] J. Leyko: Mechanika ogólna w zadaniach

n [3] J. Misiak: Mechanika ogólna, T. 1-3 (Statyka, Kinematyka, Dynamika)

n [4] J. Misiak: Zadania z mechaniki ogólnej

n [5] A. Chudzikiewicz: Statyka budowli (Tom 1)

n [6] Z. Cywiński: Mechanika budowli w

zadaniach. Układy statycznie wyznaczalne

5

Zaliczenie

n Ćwiczenia:

– obecności;

– ćwiczenie projektowe;

– kolokwia.

n Egzamin:

– część pisemna;

– część ustna.

6

Działy mechaniki

n Statyka – bada przypadki, kiedy siły działające na ciało nie wywołują sił bezwładności, tj. są

przykładane w nieskończenie długim czasie oraz równoważą się wzajemnie.

n Kinematyka – zajmuje się badaniem ruchu ciał niezależnie od czynników wywołujących ten ruch.

Przedmiotem badań są: droga, prędkość, przyspieszenie itd.

n Dynamika – rozpatruje ruch ciał w zależności od sił działających na nie, bada zależności między takimi wielkościami jak: prędkość, przyspieszenie, pęd, siła, energia itd.

7

Zasady dynamiki Newtona

⁽¹⁾

n Prawo I

Punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub działające siły

równoważą się, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

8

Zasady dynamiki Newtona

⁽²⁾

n Prawo II

Przyspieszenie punktu materialnego jest wprost proporcjonalne do siły działającej na ten punkt, a odwrotnie proporcjonalne do masy punktu materialnego. Jego zwrot i kierunek zgodny jest ze zwrotem i kierunkiem wektora siły.

P = m a _P

a m

9

Zasady dynamiki Newtona

⁽³⁾

n Prawo III

Dwa punkty materialne działają na siebie dwoma siłami równymi co do wartości, tym samym kierunku, ale o przeciwnym zwrocie.

P₁

P2

2

1 P

P=

2

1 P

P =−

10

Idealizacje (1)

n Punkt materialny – ciało o

nieskończenie małych wymiarach, ale posiadające masę.

n Modeluje ciała o bardzo małych

wymiarach w porównaniu z wymiarami otoczenia.

n Wymiary na tyle małe, aby można było pominąć obrót ciała względem układu odniesienia.

11

Idealizacje (2)

n Ciało doskonale sztywne –

odległości między jego punktami nie zmieniają się (nie podlega

odkształceniom pod wpływem działających sił).

n Model ciała rzeczywistego, gdy odkształcenia są pomijalnie małe w stosunku do wymiarów.

12

Idealizacje (3)

n Zasada zesztywnienia

Warunki równowagi sił działających na ciało odkształcalne nie zostaną naruszone przez zesztywnienie tego ciała.

Punkt przyłożenia siły nie ulega przesunięciu mimo odkształcenia konstrukcji.

13

Zasada superpozycji

n Działania poszczególnych obciążeń są od siebie niezależne.

n Efekt działania (odkształcenie, siła wewnętrzna) dwóch lub więcej wpływów (obciążeń) może zostać wyznaczony jako suma efektów

wywołanych działaniem tych wpływów oddzielnie.

14

Skalar i wektor

n Skalar – do opisania niezbędne jest podanie jednej wartości w odniesieniu do określonego punktu w przestrzeni.

n Wektor – do opisania poza miarą (modułem, długością wektora), niezbędne jest podanie:

– kierunku (ułożenia linii działania), – zwrotu (uporządkowania punktów od

początku do końca wektora), – punktu zaczepienia.

15

Interpretacja geometryczna, przykłady

n Wektor można przedstawić jako uporządkowaną parę punktów, z

których jeden jest początkiem wektora, a drugi jego końcem.

n Skalary:

– gęstość, masa, temperatura, energia;

n Wektory

– przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, siła.

16

Rodzaje wektorów

n Wektory zaczepione – związane z punktem przyłożenia;

n Wektory ślizgające się – mogące poruszać się wzdłuż linii działania (np.

wektory sił w mechanice);

n Wektory swobodne – mogą zostać przyłożone w dowolnym punkcie (np.

wektory momentów sił).

17

Podstawowe jednostki

n Masa: g (gram); kg = 1000 g (kilogram)

n Długość: mm = 0,001 m (milimetr);

m (metr); km = 1000 m (kilometr)

n Czas: s (sekunda); min = 60 s (minuta);

h = 60 min = 3600 s (godzina)

n Siła: N = kg m/s2 (niuton);

kN = 1000N (kiloniuton)

n Moment siły: Nm (Niutonometr);

kNm = 1000Nn (kiloniutonometr)

18

Działania na wektorach

n Suma wektorów;

n Różnica wektorów;

n Mnożenie wektora przez skalar;

n Iloczyn wektorów:

– skalarny;

– wektorowy;

– mieszany;

– inne wielokrotne iloczyny wektorów.

19

Zapis analityczny i graficzny wektora

n płaszczyzna n przestrzeń

20

x y

a_y

ax

a

i j

[a a_x, _y]

= a

x y

a a

= +

a i j

2 2

x y

a= a +a

y z

a_z

ay

a k

x i j

az a=[a a a_x, _y, _z]

x y z

a a a

= + +

a i j k

2 2 2

x y z

a= a +a +a

Dodawanie wektorów

] , , [a_x a_y a_z

=

a b=[b_x,b_y,b_z]

] ,

,

[a_x+b_x a_y+b_y a_z +b_z

= c

a b b a

c= + = +

n Suma wektorowa wektorów

a i b :

a

b c

21

Twierdzenie cosinusów

n Kwadrat długości boku trójkąta leżącego naprzeciw kąta γ jest równy sumie

kwadratów długości boków leżących przy tym kącie oraz podwojonego iloczynu tych długości boków i cosinusa tego kąta γ.

γ cos

2 2

2 b ab

a

c= + − a

c ^α b

β γ

22

Zasada równoległoboku

n Suma dwóch wektorów może zostać przedstawiona jako przekątna

równoległoboku zbudowanego na bazie sumowanych wektorów przecinająca kąt między tymi wektorami.

2 2

2 2

2 cos( ) 2 cos c a b ab

a b ab

π α α

= + − − =

= + +

a b α

c

π α−

23

Odejmowanie wektorów

⁽¹⁾

n Różnica wektorów

a

i

b

jest równa sumie wektora

a

i wektora

przeciwnego do

b

:

] , , [−b_x−b_y−b_z

=

−b c=a−b=[a_x−b_x,a_y−b_y,a_z−b_z] ]

, , [a_x a_y a_z

=

a b=[b_x,b_y,b_z]

n Różnica wektorów b i a jest równa sumie wektora b i wektora przeciwnego do a:

] , , [ a_x a_y a_z a= − − −

− d=b−a=[b_x−a_x,b_y−a_y,b_z−a_z]

24

Odejmowanie wektorów

⁽²⁾

a

-b c

b

-a a

d b

( )

^{b a b}

a

c= + − = − ^d=^b+

( )

−^a =^b−^a

25

Skalowanie wektora

n Mnożenie wektora przez skalar (n) – wyniku otrzymuje się wektor o takim samym kierunku, mierze n razy większej (przy |n|>1)

n>1

n lub 1/n razy mniejszej (przy |n|<1) i takim samym zwrocie, jeżeli n>0,

0<n<1

n zaś przeciwnym, jeżeli n<0.

-1<n<0 n<-1

a n a·

a n·a

n a· a n a· a

26

Iloczyn skalarny

⁽¹⁾

n Iloczyn skalarny – wielkość skalarna równa iloczynowi modułów mnożonych wektorów i cosinusa kąta zawartego między nimi (iloczyn miary jednego wektora przez rzut prostokątny drugiego na kierunek pierwszego).

27

Iloczyn skalarny

⁽²⁾

] , , [a_x a_y a_z

=

a b=[b_x,b_y,b_z]

cos ( , ) _{x x y y z z} s=a bo = ⋅ ⋅a b Sa b =a b+a b +a b

a b

α b cosα a cosα

28

Iloczyn wektorowy

⁽¹⁾

n Iloczyn wektorowy (wektor):

– kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez mnożone wektory, – zwrot określony zgodnie z regułą śruby

prawoskrętnej,

– miara równa iloczynowi miar mnożonych wektorów i sinusa kąta między nimi (pole powierzchni równoległoboku

zbudowanego na mnożonych wektorach).

29

Iloczyn wektorowy

⁽²⁾

] , , [a_x a_y a_z

=

a b=[b_x,b_y,b_z] b

a c= ×

a b d= ×

c d=−

( )^{2 ( )2} ( )²

sin ( , ) yz z y z x xz xy yx

c= = ⋅ ⋅d a b Sa b = a b −a b + a b−a b + a b −a b c

i j k

=a a a

b b b

x y z

x y z x y z

z y x

a a a

b b b

k j i d=

a c b

α

a b

d

α

30

(^{a byz a bz y}) ^{(a bz x a bxz)} (^{a bx y a by x})

c= − i+ − j+ − k

Iloczyn mieszany

n Iloczyn mieszany – wielkość skalarna równa objętości

równoległościanu zbudowanego na mnożonych wektorach jako na krawędziach.

c b a )o ( ×

= V

a b d c

α β

α sin ab d=

β α cos sin c ab

V= ⋅

β cos c d V=doc= ⋅

31

Przemienność działań

n Suma wektorów i iloczyn skalarny są działaniami przemiennymi, natomiast różnica wektorów i iloczyn wektorowy nie są przemienne.

a – b = c b – a = d => d = -c a× b = c b× a = d => d = -c

32

Pojęcie siły

n Siła – wzajemne oddziaływanie ciał, które przejawia się w wyprowadzeniu ciała ze stanu spoczynku, bądź przez zmianę ruchu już poruszającego się ciała. Aby scharakteryzować siłę

należy podać wektor, opisujący tą siłę, oraz punkt przyłożenia siły.

33

Układy sił

n Układ sił – dowolna grupa oddziaływań ciał zewnętrznych na analizowane ciało.

n Równoważne układy sił

Dwa układy sił są równoważne wtedy, gdy zastąpienie jednego układu, działającego na ciało sztywne, przez drugi układ sił nie wywoła zmiany ruchu, czyli nie spowoduje zmiany kierunku ruchu, prędkości,

przyśpieszenia, itd.

34

Wypadkowa

n Siła wypadkowa – wektor, który jest sumą wszystkich wektorów sił z

układu, przyłożonego do punktu materialnego i stanowi układ

równoważny, pod warunkiem, że siła wypadkowa jest przyłożona do tego samego punktu materialnego.

35

Płaski i przestrzenny układ sił

n Układ sił nazywamy płaskim, jeżeli kierunki wszystkich sił tego układu położone są w jednej płaszczyźnie.

n W każdym innym przypadku układ nazywamy przestrzennym.

36

Układ sił zbieżnych

n Układ sił zbieżnych – linie działania wszystkich sił przecinają się w jednym punkcie, tzw. punkcie zbieżności.

n Określanie wypadkowej układu sił:

– działających wzdłuż jednej prostej;

– zbieżnych

nmetoda graficzna;

nmetoda analityczna.

37

Siły działające wzdłuż jednej prostej

n Wypadkowa układu sił działających wzdłuż jednej prostej jest wektorem o także działającym wzdłuż tej prostej, zwrocie zgodnym z większą ze składanych sił i mierze równej sumie, gdy miary wektorów

składowych są zgodne, lub różnicy miar wektorów składowych, gdy zwroty składowych są przeciwne.

P1 P2

W P1

P2

W

2

1 P

P

W= + W=P1−P2

38

Wypadkowa

- metoda graficzna

n Wypadkowa układu dwóch sił może zostać wyznaczona jako przekątna równoległoboku zbudowanego w oparciu o wektory

składowe przecinająca kąt między tymi wektorami.

P₁ P2

α

P₁ P2

α π−α P2

W W

α α π cos 2

) cos(

2

2 1 2 2 2 1

2 1 2 2 2 1

P P P P

P P P P W

+ +

=

=

−

− +

=

39

Wielobok sznurowy

n Do końca pierwszej siły przykładany jest początek siły następnej, itd. Początek pierwszej siły połączony z końcem ostatniej określa wypadkową.

P1

P2

P3 W

P4

P1

P2

P3

P4

40

Rozkładanie siły na składowe

n Przez początek i koniec danej siły

przeprowadza się kierunki, na które siła ma zostać rozłożona. Siły składowe mogą zostać wyznaczone jako boki tak zbudowanego równoległoboku.

α

P

β

P1

P2

P

1 2

βα

41

Twierdzenie sinusów

n W dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa

przeciwległego kąta jest stały i równa się długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie.

R a

c ^α b

β γ

c R b

a 2

sin sin

sin = = =

γ β α

42

Miary wektorów składowych

( ) (π α β)

α

β= = − +

sin sin sin

2

1 P P

P

( )

( ) (α ββ)

β α

π β

= + +

= −

sin sin sin

sin

1

P P P

( )

( ) (α αβ)

β α

π α

= + +

= −

sin sin sin

sin

2

P P P

2 β π α+ =

π α π α

cos sin2

sin 2

P P

Px =



 

 −

= πα α

sin sin2

sin P Py=P =

P₁ P2

α

P

β π−(α+β) P2

β

P_x

Py P

α π/2−α

43

Wypadkowa

- metoda analityczna

n Składowe sił układu:

n Składowe wypadkowej:

n Siła wypadkowa:

n Kierunek wypadkowej:

i i

ix P

P = cosα Piy=Pisinαi

nx x

x

x P P P

W = ₁ + ₂ +...+ W_y=P_1y+P_2y+...+P_ny

2 2

y

x W

W

W= +

W W_x

= α cos

W W_y

= α sin

44

Przykład

x y

P_1x P_1y P₁

P_2x P₂ P2y

P3x

P_3y P₃

P₁ P₂ P₃

W

W

W_x W_y

α

α1

α3

α2

45

Wypadkowa układu sił równoległych

n Przyłożenie układu zerowego (układ sił równoważących się, np. dwie siły o takiej samej mierze, linii działania i przeciwnych zwrotach) nie wpływa na stan równowagi ciała.

46

W P1

P2

Z

Z

Z Z

W2

W1

W1

W2

P2

P1

P1

P2

Moment siły

⁽¹⁾

n Moment siły względem punktu – iloczyn wektorowy promienia wodzącego, czyli wektora łączącego omawiany punkt i punkt przyłożenia siły, oraz wektora siły:

P r M^P_O= ×

α sin P r M_O^P= ⋅

α

⋅sin

⊥=r r

P r M_O^P= _⊥⋅

47

O

P r

r┴

α α

Moment siły

⁽²⁾

n Moment siły względem prostej - Momentem względem prostej nazywamy iloczyn wektorowy promienia wodzącego, czyli wektora łączącego punkt prostej najbliższy kierunkowi siły i punkt przyłożenia siły, i wektora siły. _P

′ P r r′

r_⊥′ z

π n Moment siły

względem osi równy jest momentowi rzutu siły na płaszczyznę prostopadłą do osi względem punktu, w którym oś przebija płaszczyznę.

48 z= × = ×′ ′ M r P r P Mz = ⋅P r′ _⊥′

Para sił

n Parę sił stanowią dwie siły o równoległych liniach działania, o przeciwnych zwrotach, zaś o tych samych miarach.

n Ramię pary sił – odległość pomiędzy kierunkami sił nosi nazwę ramienia pary sił.

P P P1= 2=

Pa M=

P1

P2

a

49

P

z

P

M

a

Dowolny płaski układ sił

⁽¹⁾

n

Redukcja do siły wypadkowej przyłożonej w biegunie redukcji i wypadkowego momentu względem tego bieguna.

n

Siły składowe mogą zostać

przeniesione do bieguna redukcji, pod warunkiem przyłożenie

momentu od tych sił względem bieguna redukcji.

50

Dowolny płaski układ sił

⁽²⁾

n Wypadkową siłę wyznacza się dla układu zbieżnego przyłożonego w biegunie redukcji.

n Wypadkowy moment jest równy sumie momentów od sił składowych.

1 n

i i=

=

∑

W P

1 1

n n

o i i io

i= i=

=

∑

× =

∑

M r P M

51

Przykład

⁽¹⁾

x y

P2x

P₂ P_2y P_3x

P3y

P₃ α3

α2

P1x

P_1y P1

α1

(x ,y )_{1 1} (x ,y )3 3

(x ,y )2 2

0

52

Przykład

⁽²⁾

x y

P1x

P1y P1

P2x

P₂ P_2y P_3x

P_3y P3

α1

α3

α2

P1

M^P1₀

0

1 1 1 1 1

0 P y P x

M^P =− _x + _y

53

Przykład

⁽³⁾

x y

P1x

P1y P1

P2x

P₂ P_2y P_3x

P_3y P3

α1

α3

α2

M^P20

0 P₂

2 2 2 2 2

0 P y P x

M^P =− _x + _y

54

Przykład

⁽⁴⁾

x y

P_1x P1y P₁

P2x

P2

P_2y P3x

P_3y P3

α1

α3

α2

M^P3₀

0

P3

3 3 3 3 3

0 P y P x

M^P =− _x + _y

55

Przykład

⁽⁵⁾

x y

P_1x P1y P₁

P2x

P₂ P_2y P3x

P_3y P3

α1

α3

α2

M0

0

W

2 3

= ₁+ + W P P P

56

3 0 2 0 1 0 0

P P

P M M

M

M = + +

Dowolny płaski układ sił

⁽³⁾

n Wypadkowy moment może zostać przedstawiony jako:

– wektor momentu;

– para sił;

– moment od siły wypadkowej przyłożonej nie w biegunie redukcji, a na linii

działania wyznaczonej w taki sposób, że moment od siły wypadkowej równy jest momentowi od sił składowych.

57

Siła wypadkowa

i wypadkowy moment

58

2 3

= 1+ + W P P P

3 0 2 0 1 0 0

P P

P M M

M

M = + +

Moment od wypadkowej

59 0

0

0 W y W x

M =− _x + _y

x y

W M x y₀ W ⁰− ⁰

=

Wx

x M

y0= 0tgα− ⁰

Uogólnienie w przestrzeni

n Układ sił zbieżnych – redukcja do siły wypadkowej przyłożonej w punkcie zbieżności.

n Dowolny przestrzenny układ sił – redukcja do wypadkowej siły i wypadkowego momentu.

60

Klasyfikacja układów sił

61

Układ sił -

układ wypadkowy Płaszczyzna Przestrzeń Zbieżny Siła wypadkowa w

płaszczyźnie Siła wypadkowa – dowolny kierunek w przestrzeni Dowolny Siła wypadkowa w

płaszczyźnie i wektor momentu

prostopadły do płaszczyzny

Siła wypadkowa (dowolny kierunek w przestrzeni) i wypadkowy wektor momentu (dowolny kierunek w przestrzeni)

62

Stan równowagi

n Równowaga statyczna

Punkt materialny (ciało sztywne) jest w równowadze, jeżeli pod wpływem układu sił, nie porusza się on lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Taki układ sił nazywa się zrównoważonym lub

równoważnym zeru.

63

Oswobodzenie z więzów

n Ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie reakcjami.

n Ciało oswobodzone z więzów można traktować jako swobodne pod

działaniem sił czynnych (obciążeń) i biernych (reakcji).

64

Rodzaje sił w mechanice

n W mechanice wyróżnia się następujące rodzaje sił:

– siły zewnętrzne - obciążenie pochodzące od innych ciał;

– reakcje - siły zewnętrzne wynikające ze sposobu zamocowania konstrukcji;

– siły wewnętrzne - wzajemne

oddziaływanie pomiędzy częściami ciała.

65

Więzy – nacisk

⁽¹⁾

n Powierzchnia płaska na płaszczyźnie:

– reakcja prostopadła do płaszczyzny styku;

n Przekrój kołowy na płaszczyźnie:

– reakcja prostopadła do płaszczyzny styku (stycznej w punkcie styczności);

G

R

G ^{G G}

R

66

Więzy – nacisk

⁽²⁾

n Przekrój kołowy oparty o przekrój kołowy:

– reakcja prostopadła do stycznej obu ciał w punkcie styku (wzdłuż prostej łączącej środki okręgów);

n Punkt na płaszczyźnie:

– reakcja prostopadła do płaszczyzny.

G A

B C Q

G A

B C Q

RA

RB

RC

RA

Q R_C

RD R_D

G R_B

67

Równowaga dwóch sił

n Układ dwóch sił pozostaje w równowadze, jeżeli siły te działają wzdłuż jednej prostej, mają przeciwne zwroty i takie same miary.

G R=

G R=−

G G

R 68

Równowaga trzech sił

n Układ trzech sił jest zrównoważony, jeżeli siły te tworzą płaski układ sił, ich linie działania przecinają się w jednym punkcie (układ zbieżny), zaś wielobok sił jest zamknięty.

G

A

B RB

RA G

RB

RA

G

69

Równania równowagi punktu materialnego

n II zasada dynamiki Newtona:

n Jeżeli punkt materialny jest w stanie równowagi statycznej, to:

P=ma

a=0 ⇒ P=0

70

Równania równowagi ciała sztywnego (siły zbieżne)

n II zasada dynamiki Newtona:

n Jeżeli punkt materialny jest w stanie równowagi statycznej, to:

P₁+P₂ +P₃+P₄+...P_n =ma

a=⁰ ⇒

∑

Pⁱ =⁰

i=1 n

71

Układ sił zbieżnych

n Układ sił, przyłożonych do ciała sztywnego, których kierunki działania przecinają się w jednym punkcie.

Układ takich sił jest w równowadze, jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru lub mówiąc inaczej, jeżeli wektory sił tworzą wielobok zamknięty.

W=P¹ P² P³ P⁴ Pⁿ

∑

P =

i=1 n

+ + + +... = _i 0

72

Płaski układ sił zbieżnych

n Układ sił, przyłożonych do ciała sztywnego, których kierunki działania leżą w jednej płaszczyźnie i

przecinają się w jednym punkcie.

Układ takich sił jest w równowadze, jeżeli wypadkowa sił jest równa zeru lub mówiąc inaczej, jeżeli wektory sił tworzą wielobok zamknięty.

W=P¹ P² P³ P⁴ Pⁿ

∑

P =

i=1 n

+ + + +... = _i 0

73

Równania równowagi układu sił zbieżnych

n Aby siły zbieżne były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu współrzędnych muszą być równe zeru.

. 0

; 0

; 0

1 1

1

=

=

=

∑ ∑

∑

= = = n

i iz n

i iy n

i

ix P P

P

74

Równania równowagi

płaskiego układu sił zbieżnych

n Aby siły zbieżne, leżące w jednej płaszczyźnie, były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu współrzędnych muszą być równe zeru.

. 0

; 0

1 1

=

=

∑

∑

= = n

i iy n

i

ix P

P

75

Warunki równowagi układu zbieżnego (podsumowanie)

Wypadkowa układu sił musi być równa 0, tj.

zamyka się wielobok sznurowy sił

(graficznie), a sumy rzutów sił układu na osie układu współrzędnych muszą być równe zeru (analitycznie).

n Przestrzenny układ sił

n Płaski układ sił

0

; 0

; 0

1 1

1

=

=

=

∑ ∑

∑

= = = n

i iz n

i iy n

i

ix P P

P

; 0

; 0

1 1

=

=

∑

∑

= = n

i iy n

i

ix P

P

76

Równania równowagi ciała sztywnego (dowolny układ sił)

n Jeżeli ciało sztywne jest w stanie równowagi statycznej, to dodatkowo:

∑ ∑

∑

= = =

×

−

=

×

=

×

= ⁿ

i

n

i i i i

i n

i

i i

o m m

1 1

1

)

( a a r

r P

r M

0 _o 0

= ⇒ =

a M

77

Warunki równowagi dowolnego układu sił

⁽¹⁾

n Płaski układ sił

lub

lub

l C B A M

M M

n

i iC n

i iB n

i

iA=

∑

=

∑

= ∉

∑

= = =

, , 0

; 0

; 0

1 1

1

1 1 1

0; 0; 0

n n n

ix iA iB

i i i

P M M AB x

= = =

= = = ⊥

∑ ∑ ∑

0

; 0

; 0

1 1

1

=

=

=

∑ ∑

∑

= = = n

i iO n

i iy n

i

ix P M

P

78

Warunki równowagi dowolnego układu sił

⁽²⁾

n Przestrzenny układ sił

0

; 0

; 0

0

; 0

; 0

1 1

1

1 1

1

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n

i iz n

i iy n

i ix

n

i iz n

i iy n

i ix

M M

M

P P

P

79

Przykład

(dwa układy zbieżne)

⁽¹⁾

G

A

B C

Q

r

R

α β

α β

d

R d-R R+r R-r

y1

y2

( ) (² )²

2 R r R r

y = + − −

r R

y

= +² sinβ

r R

r R

+

= − β cos

( )²

2

1 R d R

y = − − R y₁ sinα=

R r d−

= α cos

80

Przykład

(dwa układy zbieżne)

⁽²⁾

∑

^{X=RDcosβ−RC=0}

∑

^{Y=RDsinβ−Q=0}

∑

^{X=RAcosα−RB−RDcosβ=0}

∑

^{Y=RAsinα−G−RDsinβ=0}

Q Q

R_C

RD R_D RC

β β

RB

RA G

RD

RA G

RD

RB

α α

β