Wypadkowa przestrzennego układu sił zbieżnych

(1)

1

Mechanika teoretyczna

Wykład nr 5-6

Układy przestrzenne.

Wypadkowa przestrzennego układu sił zbieżnych

n

Metoda graficzna:

2

= +

2

1 1

W P P

2

=

₁

+

3

= + +

1 2 3

W W P P P P

1 n

i i=

= ∑

W P

P

1

P

2

P

3

W

1

W

2

P

1

P

₂

P

3

W

2

Analityczna metoda

wyznaczania wypadkowej

3

2 2 2

x y z

P = P + P + P P

P

x

P

z

P

y

x z

y

α β

γ

cos

^x 2 ^x2 2

x y z

P P

P P P P

α = =

+ +

2 2 2

cos

^y ^y

x y z

P P

P P P P

β = =

+ +

2 2 2

cos

^z ^z

x y z

P P

P P P P

γ = =

+ +

2 2 2

cos α + cos β + cos γ = 1

Analityczna metoda

wyznaczania wypadkowej

4

z

cos P = P γ

P

′

x

P P

P

z

P

y

x z

y

ϕ γ

sin P ′ = P γ

cos sin cos P

x

= P ′ ϕ = P γ ϕ

sin sin sin P

y

= P ′ ϕ = P γ ϕ

1 n

i i=

= ∑

W P

1 n

x ix

i

W P

=

= ∑

1 n

y iy

i

W P

=

= ∑

1 n

z iz

i

W P

=

= ∑

2 2 2

x y z

W = W + W + W cos W

^x

α = W cos W

^y

β = W cos W

^z

γ = W

Warunki równowagi

przestrzennego układu zbieżnego

5 x

0 W =

1 n

i i=

= ∑ = W P 0

y

0 W =

z

0 W =

1

0

n

ix i

P X

=

= =

∑ ∑

1

0

n iy i

P Y

=

= =

∑ ∑

1

0

n

iz i

P Z

=

= =

∑ ∑

a b

a

h

G

a b

a

h

G N

1

N

2

N

3

Układ zbieżny - przykład

6

0 X=

∑

0 Y=

∑

0 Z=

∑

a b

a

h

G N

1

N

2

N

3

x y z

α

β sin 2h 2

h b β=

+ cos ²b ² h b β=

+

2 2

sin a

a b α=

+ cos ²b ² a b α=

+

1cos 2cos 3cos 0

N α+N α+N β=

1sin 2sin 0

N α N α

− + =

3sin 0

N β+ =G

2 2

3 sin

G G

N h b

β h

= − = − +

2 2

1 2 2 2 2

2 b G b 0

N h b

a b −h + h b =

+ +

1 2

N =N

2 2

1 2

N G a b

= h +

2 2

N G a b

= h +

Iloczyn wektorowy

7

= × c a b

x y z z y

c =a b −a b

y z x xz

c =a b−a b

z xy yx

c =a b −a b

(

^y^z ^z^x^y

)

^y

(

^z ^x ^z ^x^z

) (

^x^y ^y^x

)

x y z

c c c

a b a b a b a b a b a b

a a a b b b

= × = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − =

=

c a b i j k

i j k

c

cx

cz

cy

x

z

y

i j

k

a c

b

x= ⋅cx

c i

y= ⋅cy

c j

z= ⋅cz

c k

Moment siły względem punktu

8

0 x y z

x y z

r r r

P P P

= × =

i j k M r P

M0

P

r 0

A ^{0 0, 0, 0}

( )

^{A x y z}

(

^{, ,}

)

rx=x ry=y rz=z

0

x y z

P P P

= × =

i j k

M r P

0 x z y

M = ⋅ − ⋅P y P z

0 y x z

M = ⋅ − ⋅P z P x

0 z y x

M = ⋅ − ⋅P x P y

(2)

Moment siły względem punktu

9

0 x y z

x y z

r r r

P P P

= × =

i j k M r P

M0

P

r 0

A 0

(

x y z0, 0, 0

)

^{A x y z}

(

^{, ,}

)

0

rx= −x x ry= −y y0 rz= −z z0

0 0 0 0

x y z

x x y y z z

P P P

= × = − − −

i j k

M r P

( ) ( )

0x z 0 y 0

M = ⋅ −P y y − ⋅ −P z z

( ) ( )

0y x 0 z 0

M = ⋅ −P z z − ⋅ −P x x

( ) ( )

0z y 0 x 0

M = ⋅ −P x x − ⋅ −P y y

Moment wypadkowej względem punktu

n

Moment wypadkowej układu sił względem punktu równy jest sumie momentów od sił składowych tego układu względem tego punktu.

10 1

n i i=

= ∑

W P

0 0

1 1 1

n n n

i i i

i= i= i=

= × = × ∑ ∑ = × = ∑

M r W r P r P M

Moment siły względem osi

n

Moment siły względem osi równy jest momentowi rzutu siły na płaszczyznę prostopadłą do osi względem punktu, w którym oś przebija płaszczyznę.

11 z

= × = × ′ ′ M r P r P

M

z

= ⋅ P r ′

_⊥

′ P

′ P r r ′

r_⊥′ z

π

Moment siły względem osi

n

Moment siły względem osi jest równy jest równy 0, gdy:

– Rzut na płaszczyznę prostopadłą do osi z jest równy 0 (siła równoległa do osi);

– Długość ramienia jest równa 0 (linia działania siły przecina oś).

n

Moment siły względem osi równy jest rzutowi na oś momentu siły względem dowolnego punktu leżącego na osi.

12

r

_⊥

′

π P ′

Moment siły względem osi układu współrzędnych

13

P

Px

Pz

Py

x

z

y

Px

Py

x

y

z x y

M = − ⋅ + ⋅ P y P x

Moment siły względem osi układu współrzędnych

14

P

Px

Pz

Py

x

z

x

y

y z x

M = − ⋅ + ⋅ P x P z

Px

Pz

z

Moment siły względem osi układu współrzędnych

P

Px

Pz

Py

x

z

y Pz

Py

x

y

x y z

M = − ⋅ + ⋅ P z P y

z

Dowolny przestrzenny układ sił

n

Dowolny przestrzenny układ sił można zastąpić siłą wypadkową przyłożoną do dowolnego bieguna redukcji 0 i parą sił o momencie równym sumie momentów od sił składowych względem tego bieguna redukcji.

1 n

i i=

= ∑

W P

0 0

1 n

i i=

= ∑

M M

- wektor główny

- moment główny

(3)

Dowolny przestrzenny układ sił

17 1

n

x ix

i

W P

=

∑

1 n

y iy

i

W P

=

∑

1 n

z iz

i

W P

=

∑

cos W^x α=W cos W^y

β=W cos W^z

γ=W

2 2 2

x y z

W = W + W + W

( ) ( )

( )

0 0 0

1 1

n n

x ix iz i iy i

i i

M M P y y P z z

= =

=

∑

=

∑

⋅ − − ⋅ −

( ) ( )

( )

0 0 0

1 1

n n

y iy ix i iz i

i i

M M P z z P x x

= =

=

∑

=

∑

⋅ − − ⋅ −

( ) ( )

( )

0 0 0

1 1

n n

z iz iy i ix i

i i

M M P x x P y y

= =

=

∑

=

∑

⋅ − − ⋅ −

Redukcja do początku układu współrzędnych

18 1

n

x ix

i

W P

=

∑

1 n

y iy

i

W P

=

∑

1 n

z iz

i

W P

=

∑

cos W^x α=W cos W^y

β=W cos W^z

γ=W

2 2 2

x y z

W = W + W + W

( )

0

1 1

n n

x ix iz i iy i

i i

M M P y P z

= =

=

∑

=

∑

⋅ − ⋅

( )

0

1 1

n n

y iy ix i iz i

i i

M M P z P x

= =

=

∑

=

∑

⋅ − ⋅

( )

0

1 1

n n

z iz iy i ix i

i i

M M P x P y

= =

=

∑

=

∑

⋅ − ⋅

Warunki równowagi dowolnego przestrzennego układu sił

19 1

n i i=

= ∑ =

W P 0

₀ ₀

1 n

i i=

= ∑ =

M M 0

=

W 0 M

₀

= 0

1

0

n

ix i

P X

=

= =

∑ ∑

1

0

n iy i

P Y

=

= =

∑ ∑

1

0

n iz i

P Z

=

= =

∑ ∑

1

0

n

ix x

i

M M

=

= =

∑ ∑

1

0

n

iy y

i

M M

=

= =

∑ ∑

1

0

n

iz z

i

M M

=

= =

∑ ∑

Układy prętowe

n

Kratownice przestrzenne

n

Ruszty

– O węzłach przegubowych – O węzłach sztywnych

n

Ramy przestrzenne

– Na siatce prostopadłościanu – Z prętami ukośnymi

n

Pręty zakrzywione w przestrzeni

n

Układy prętów różnego typu

20

Podpory

n

Sztywne

zamocowanie – 6 reakcji (3 siły, 3 momenty)

n

Podpora przegubowa nieprzesuwna – 3 reakcje (3 siły)

21

Rx R^y Rz

Mx

My

Mz

Rx R^y Rz

Rx R_y Rz

Rx R^y Rz

Podpory

n

Podpora przegubowa przesuwna wzdłuż prostej – 2 reakcje (2 siły)

n

Podpora przegubowa przesuwna po płaszczyźnie– 1 reakcja (1 siła)

22

Rx

Rz

Rx

Rz

Ry

Rz

Ry

Rz

Ry Ry

Rz

Przeguby

n

Przegub Cardana (możliwe zginanie, brak możliwości skręcania –

wzajemnego obrotu prętów względem osi)

n

Przegub walcowy (możliwe tylko zginanie w jednym kierunku)

n

Przegub kulisty (całkowita swoboda wzajemnego obrotu )

23

Siły wewnętrzne

n

Wypadkowa siła i wypadkowy moment wzajemnego oddziaływania

n

Wypadkowa siła:

– Siła normalna (osiowa)

– Dwie składowe siły tnącej (poprzecznej)

n

Wypadkowy moment:

– Moment skręcający

– Dwie składowe momentu zginającego

24

(4)

Siły wewnętrzne

25

W

M

W = W

x

+ W

y

+ W

z

M

x y z

= + +

M M M M

N

y x

z Ty

Tz

Mx

Mz

My

Ty

Tz

Mx M_z

My

x

= W N

y

=

y

W T

z

=

z

W T

x

=

s

M M

zg xz

y

=

y

=

y

M M M

zg xy

z

=

z

=

z

M M M

Przykład – ruszt o

węzłach przegubowych

26

2m 2m 2m

2m

2m 20kNm

10kN 5 kNm

A

B

C

D E

G

F

Przykład 1 – ruszt o węzłach przegubowych

27

2m 2m 2m

2m

20kNm 10kN

5 kNm

A B

C

D

E G

F

RD R_E

Belka B-D-G

28

2m

2m 5 kNm

B

D

G

RD

RB

2 5 4 14 0

B D 2

M R m kN m m

= ⋅ − m⋅ ⋅ =

∑

5 4 0

B D

Y R R kN m

= + − m⋅ =

∑

D 20 R = kN

B 0 R = kN

10kN 10kNm 10kN

- +

M_α T_α

-

Belka C-E-F

29

2 10 4 0

C E

M =R ⋅ m− kN⋅ m=

∑

10 0

E C

Y=R +R − kN=

∑

^R^C^{= −}¹⁰^kN

2m

2m 10kN

C

E

F RE

RC

10kN 10kN 20kNm

-

+

M_α T_α

-

E 20 R = kN

Belka C-E-F

30

2m 2m 2m

A

D 20

R = kN R_E=20kN 20kNm

D E A 0

Y=R +R −R =

∑

RA

2 4 20 0

A A D E

M =M +R ⋅ m+R ⋅ m+ kNm=

∑

MA

A 140 M = − kNm

A 40 R = kN

M_α -

- -

20kNm 20kNm

60kNm 140kNm

T_α

+ +

40kN 20kN

Sprawdzenie reakcji

10 5 4 40 0 10 10 20 0

A B C kN

Z=R +R +R − kN− m⋅ m= kN+ kN− kN− kN− kN=

∑

20 6 4 5 4 4 2 10 2

140 20 40 6 0 4 5 4 4 10 2 10 2 0

x A A B kN C

M M kNm R m R m m m m R m kN m

kNm kNm kN m kN m kNm m m kN m kN m

= − − − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ =

= − − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

∑

2m 2m 2m

2m

10kN 2m 5 kNm

A

B

C

D E

G

F

B 0 R = kN

A 40 R = kN

A 140

M = − kNm

C 10 R = − kN

x y

z

20kNm

2 5 4 2 4 40 2 5 4 2 10 4 0

y A kN C kN

M R m m m R m kN m m m kN m

m m

= ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =

∑

Przykład 2 – rama

przestrzenna wspornikowa

5 kNm

x

y z

4m 15kNm

10kN

MAy RAy

RAz

MAz

2m 3m

RAx

MAx

15 5 3 4 0

x Ax kN

M =M − kNm+ m⋅m⋅m=

∑

5 3 13 10 2 0

y Ay kN 2

M =M − m⋅m⋅ m+ kN⋅m=

∑

10 0

X=RAx+ kN=

∑

Ay 0 Y=R =

∑

5 3 0

Az kN

Z=R − m⋅m=

∑

Ax 10 R = − kN

Ay 0 R =

Az 15 R = kN

Ax 15 M = − kNm

Ay 2, 5

M = kNm

Az 0 M =

z A z 0 M =M =

∑

(5)

Przykład 2 – rama

przestrzenna wspornikowa

33

5 kNm

x

y z

4m 15kNm

10kN

2, 5kNm 0 15kN

0 2m

3m

10kN 45kNm

15 5 3 4 0

x Ax kN

M =M − kNm+ m⋅m⋅m=

∑

5 3 13 10 2 0

y Ay kN 2

M =M − m⋅m⋅ m+ kN⋅m=

∑

10 0

X=RAx+ kN=

∑

Ay 0 Y=R =

∑

5 3 0

Az kN

Z=R − m⋅m=

∑

Ax 10 R = − kN

Ay 0 R =

Az 15 R = kN

Ax 45 M = − kNm

Ay 2, 5

M = kNm

Az 0 M =

z A z 0 M =M =

∑

Siły normalne

34

N_α -

15kN 15kN 5 kNm

x

y z

4m 15kNm

10kN

2, 5kNm 0 15kN

0 2m

3m

10kN 45kNm

Siły tnące

35

T_α 15kN

15kN

10kN

15kN 10kN +

- -

5 kNm

x

y z

4m 15kNm

10kN

2, 5kNm 0 15kN

0 2m

3m

10kN 45kNm

Siły tnące

36

T_α 15kN

15kN

10kN

15kN 10kN +

- -

5 kNm

x

y z

4m 15kNm

10kN

2, 5kNm 0 15kN

0 2m

3m

10kN 45kNm

Siły tnące

37

T_α 15kN

15kN

10kN

15kN 10kN +

- -

5 kNm

x

y z

4m 15kNm

10kN

2, 5kNm 0 15kN

0 2m

3m

10kN 45kNm

Siły normalne i tnące

38

N_α -

T_α 15kN

15kN

10kN 15kN

15kN 10kN +

- -

Momenty skręcające

39

+ mα

22, 5kNm 5 kNm

x

y z

4m 15kNm

10kN

2, 5kNm 0 15kN

0 2m

3m

10kN 45kNm

Momenty zginające

40

M_α 22, 5kNm

15kNm

45kNm

45kNm 22, 5kNm

2, 5kNm 5 kNm

x

y z

4m 15kNm

10kN

2, 5kNm 0 15kN

0 2m

3m

10kN 45kNm

(6)

Momenty zginające

41

M_α 22, 5kNm

15kNm

45kNm

45kNm 22, 5kNm

2, 5kNm 5 kNm

x

y z

4m 15kNm

10kN

2, 5kNm 0 15kN

0 2m

3m

10kN 45kNm

Momenty zginające

42

M_α 22, 5kNm

15kNm

45kNm

45kNm 22, 5kNm

2, 5kNm 5 kNm

x

y z

4m 15kNm

10kN

2, 5kNm 0 15kN

0 2m

3m

10kN 45kNm

Momenty zginające

43

M_α 22, 5kNm

15kNm

45kNm

45kNm 22, 5kNm

2, 5kNm 5 kNm

x

y z

4m 15kNm

10kN

2, 5kNm 0 15kN

0 2m

3m

10kN 45kNm

Momenty

skręcające i zginające

44

+

mα

M_α 22, 5kNm

15kNm

45kNm

45kNm 22, 5kNm

2, 5kNm 22, 5kNm

Przykład 3 – rama przestrzenna

45 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

REy

RCz

5m 3m

RAx

RBy

RCx R_Dx

5 20 0

x By

M = −R ⋅m− kNm=

∑

5 3 13 5 5 0

y kN 2 Cx Dx

M = m⋅m⋅ m+R ⋅m+R ⋅m=

∑

10 0

Ax Cx Dx

X=R +R +R + kN=

∑

By Ey 0 Y=R +R =

∑

5 3 0

Cz kN

Z R m

= − m⋅ =

∑

3 5 10 5 0

z By Dx

M =R ⋅m−R ⋅m− kN⋅m=

∑

Cz 15 R = kN

By 4 R = −kN 12, 4

RDx= − kN

Cx 7, 9 R = kN

Ey 4 R = kN

Ax 5, 5 R = − kN

Siły normalne

46 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

+

N_α 4kN 5, 5kN

-

Siły normalne

5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

+

N_α 4kN 5, 5kN

-

Siły tnące

5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

- 15kN + - 4kN

T_α

-

10kN 4kN + 2, 4kN

-

5, 5kN

(7)

Siły tnące

49 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

- 15kN + - 4kN

T_α

-

10kN 4kN + 2, 4kN

-

5, 5kN

Siły tnące

50 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

- 15kN + - 4kN

T_α

-

10kN 4kN + 2, 4kN

-

5, 5kN

Siły tnące

51 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

- 15kN + - 4kN

T_α

-

10kN 4kN + 2, 4kN

-

5, 5kN

Siły tnące

52 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

- 15kN + - 4kN

T_α

-

10kN 4kN + 2, 4kN

-

5, 5kN

Siły tnące

53 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

- 15kN + - 4kN

T_α

-

10kN 4kN + 2, 4kN

-

5, 5kN

Siły normalne i tnące

54

+

N_α 4kN 5, 5kN

-

- 15kN + - 4kN

T_α

-

10kN 4kN + 2, 4kN

-

5, 5kN

Momenty skręcające

55 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

-

mα

50kNm

20kNm -

Momenty skręcające

56 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

-

mα

50kNm

20kNm -

(8)

Momenty zginające

57 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

M_α

20kNm 20kNm 50kNm

50kNm

12kNm 20kNm

27, 5

27, 5 12kNm

Momenty zginające

58 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

M_α

20kNm 20kNm 50kNm

50kNm

12kNm 20kNm

27, 5

27, 5 12kNm

Momenty zginające

59 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

M_α

20kNm 20kNm 50kNm

50kNm

12kNm 20kNm

27, 5

27, 5 12kNm

Momenty zginające

60 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

M_α

20kNm 20kNm 50kNm

50kNm

12kNm 20kNm

27, 5

27, 5 12kNm

Momenty zginające

61 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

M_α

20kNm 20kNm 50kNm

50kNm

12kNm 20kNm

27, 5

27, 5 12kNm

Momenty zginające

62 5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

M_α

20kNm 20kNm 50kNm

50kNm

12kNm 20kNm

27, 5

27, 5 12kNm

Momenty zginające

5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

M_α

20kNm 20kNm 50kNm

50kNm

12kNm 20kNm

27, 5

27, 5 12kNm

Momenty zginające

5 kNm

x y z

5m

20kNm

10kN

4kN 15kN

5m 3m

5, 5kN 4kN

7, 9kN 12, 4kN

M_α

20kNm 20kNm 50kNm

50kNm

12kNm 20kNm

27, 5

27, 5 12kNm

(9)

Momenty

skręcające i zginające

65

-

mα

50kNm

20kNm -

M_α

20kNm 20kNm 50kNm

50kNm

12kNm 20kNm

27, 5

27, 5 12kNm