Wst¾ep do bada´n operacyjnych

Wst¾ep do bada´n operacyjnych

Matematyka, studia I stopnia wyklad

1 Wst ¾ ep

G÷ównym przedmiotem Bada´n Operacyjnych s ¾a zadania optymalizacyjne, zarówno sko´ncze- nie jak i niesko´nczenie wymiarowe. Programowanie liniowe to dzia÷ Bada´n Operacyjnych dotycz ¾acy zada´n sko´nczenie wymiarowych, opisanych przy pomocy funkcji liniowych.

Zadania tego typu pojawiaj ¾a si ¾e przy modelowaniu m.in. procesów planowania produkcji, transportu oraz magazynowania surowców i wytworzonych dóbr.

2 Sformu÷owanie zadania

Ogólnym zadaniem programowania liniowego nazywamy zadanie postaci:

J(u) = c1u¹+ ::: + cnuⁿ ! min : (1)

u^k 0; k 2 I (2)

8>

>>

>>

>>

>>

>>

><

>>

>>

>>

>>

>>

>>

:

a1;1u¹ + ::: + a1;nuⁿ b¹ :::

am;1u¹+ ::: + am;nuⁿ  b^m am+1;1u¹+ ::: + am+1;nuⁿ= b^m+1

:::

as;1u¹+ ::: + as;nuⁿ= b^s

; (3)

gdzie u = (u¹; :::; uⁿ) 2 Rⁿ, natomiast cj, ai;j, bⁱ, i = 1; :::; s; j = 1; :::; n; s ¾a danymi liczbami rzeczywistymi, przy czym nie wszystkie liczby c_j i nie wszystkie liczby a_ij s ¾a równe zero, I  f1; :::; ng jest ustalonym zbiorem indeksów; mo·zliwe s ¾a tutaj przypadki:

I = ;, I = f1; :::; ng, m = s, m = 0.

Symbolem hx; yi oznacza´c b ¾edziemy iloczyn skalarny wektorów x = (x¹; :::; xⁿ), y = (y¹; :::; yⁿ), t.zn. hx; yi =Pn

i=1xiyi, natomiast zapis x  y,

gdzie x = (x¹; :::; xⁿ), y = (y¹; :::; yⁿ), b ¾edzie oznacza÷, ·ze xⁱ  yⁱ; i = 1; :::; n.

Powy·zsze zadanie mo·zemy zapisa´c nast¾epuj ¾aco:

8<

:

J(u) = hc; ui ! min :

u 2 U = fu = (u¹; :::; uⁿ) 2 Rⁿ; uⁱ  0 dla i 2 I, Au  b, Au = bg (4) gdzie

c = (c1; :::; cn);

A = 2 66 64

a1;1 ::: a1;n

... ... am;1 ::: am;n

3 77 75; A =

2 66 64

am+1;1 ::: am+1;n

... ... as;1 ::: as;n

3 77 75;

b = 2 66 64

b¹ ... b^m

3 77 75; b =

2 66 64

b^m+1 ... b^s

3 77 75:

Ka·zdy punkt u 2 U nazywamy punktem dopuszczalnym zadania (4). Punkt u^ 2 U nazywamy rozwi ¾azaniem zadania (4), gdy

J(u^)  J(u) dla dowolnego u 2 U .

Kanonicznym zadaniem programowania liniowego nazywamy zadanie postaci 8<

:

J(u) = hc; ui ! min :

u 2 U = fu = (u¹; :::; uⁿ) 2 Rⁿ; u  0 , Au = bg ; (5) gdzie A 2 R^mn, b 2 R^m.

Podstawowym zadaniem programowania liniowego nazywamy zadanie postaci 8<

:

J(u) = hc; ui ! min :

u 2 U = fu = (u¹; :::; uⁿ) 2 Rⁿ; u  0 , Au  bg

; (6)

gdzie A i b s ¾a takie, jak wy·zej.

2.1 Równowa·zno´s´c zada´ n

Zajmiemy si ¾e teraz zagadnieniem „równowa·zno´sci” zada´n ró·znego typu. Dok÷adniej, poka·zemy, ·ze rozwi ¾azywanie zadania podstawowego i zadania ogólnego mo·zna zast ¾api´c rozwi ¾azywaniem zadania kanonicznego.

Istotnie, niech dane b ¾edzie zadanie podstawowe (6) i rozwa·zmy w przestrzeni R^n+m zadanie postaci

8<

:

hd; zi ! min :

z 2 Z = fz = (u; v) 2 R^n+m; z  0 , Cz = bg ; (7) gdzie d = (c; 0) 2 R^n+m,

C = [A j Imm] = 2 66 64

a1;1 ::: a1;n

... ...

am;1 ::: am;n

1 ::: 0 ... ...

0 ::: 1 3 77 75

(I_mm jest macierz ¾a jednostkow ¾a wymiaru m  m).×atwo zauwa·zy´c, ·ze je´sli u^ 2 U jest rozwi ¾azaniem zadania (6), to z^ = (u^; v^), gdzie

v = b Au; jest rozwi ¾azaniem zadania (7), t.zn. z^ 2 Z oraz

hd; zi  hd; zi

dla dowolnego z 2 Z.

Je´sli natomiast z = (u; v) 2 Z jest rozwi ¾azaniem zadania (7), to u jest rozwi ¾azaniem zadania (6), t.zn. u^ 2 U oraz

hc; ui  hc; ui dla dowolnego u 2 U .

Podobnie, rozwi ¾azywanie zadania ogólnego (4) mo·zna zast ¾api´c rozwi ¾azywaniem zadania kanonicznego. Rzeczywi´scie, rozwa·zmy w przestrzeni R^p (p = m + I + J + J, gdzie J = f1; :::; ngI) zadanie postaci

8>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>:

he; zi =X

i2I

ciuⁱ+X

i2J

ciwⁱ+X

i2J

ciwⁱ ! min : z 2 Z = fz = (v; uⁱ; i 2 I; wⁱ; i 2 J; wⁱ; i 2 J) 2 R^p; z  0;

v +X

i2I

Aiuⁱ+X

i2J

Aiwⁱ +X

i2J

Aiwⁱ = b;

X

i2I

Aiuⁱ+X

i2J

Aiwⁱ+X

i2J

Aiwⁱ = bg

= fz 2 R^p; z  0;

2

4 [Imm j Ai; i 2 I j Ai; i 2 J j Ai; i 2 J]

0 j Ai; i 2 I j Ai; i 2 J j Ai; i 2 J 3 5 z =

2 4 b

b 3 5g

; (8)

gdzie e = (0; ci; i 2 I; ci; i 2 J; ci; i 2 J) 2 R^p, v 2 R^m, Ai - i-ta kolumna macierzy A, Ai - i-ta kolumna macierzy A.

Je´sli u 2 U jest rozwi ¾azaniem zadania ogólnego (4), to

z^ = (v^; uⁱ; i 2 I; wⁱ; i 2 J; wⁱ; i 2 J);

gdzie

v = b Au; wⁱ = maxf0; uⁱg; i 2 J;

wⁱ = maxf0; uⁱg; i 2 J;

jest rozwi ¾azaniem zadania (8) (zauwa·zmy, ·ze uⁱ = wⁱ wⁱ dla i 2 J).

Je´sli natomiast

z = (v; uⁱ; i 2 I; wⁱ; i 2 J; wⁱ; i 2 J);

jest rozwi ¾azaniem zadania (8), to

u^ = (uⁱ; i 2 I; wⁱ wⁱ; i 2 J)

jest rozwi ¾azaniem zadania (4) (z dok÷adno´sci ¾a do kolejno´sci wspó÷rz ¾ednych).

2.2 Interpretacja geometryczna zada´ n programowania liniowego

Rozwa·zmy zadanie podstawowe (6) w przypadku, gdy n = 2, czyli 8>

>>

<

>>

>:

J(u) = c1u¹+ c2u² ! min :

u 2 U = fu = (u¹; u²) 2 R²; u¹  0; u²  0;

ai;1u¹+ ai;2u²  bⁱ; i = 1; :::; mg

: (9)

Wprowad´zmy oznaczenia

U0;1 = f(u¹; u²) 2 R²; u¹  0g;

U0;2 = f(u¹; u²) 2 R²; u²  0g;

Ui = f(u¹; u²) 2 R²; ai;1u¹ + ai;2u²  bⁱg; i = 1; :::; m:

Oczywi´scie

U = U0;1\ U0;2\ U1\ ::: \ Um: Mo·zliwe s ¾a nast ¾epuj ¾ace przypadki:

1⁰ zbiór U jest pusty

2⁰ zbiór U jest niepustym wielobokiem wypuk÷ym i ograniczonym

3⁰ zbiór U jest niepustym wielobokiem wypuk÷ym i nieograniczonym

Ustalmy liczb ¾e  2 R. Równanie

c1u¹+ c2u² = 

opisuje poziomic ¾e funkcjona÷u J odpowiadaj ¾ac ¾a warto´sci , czyli zbiór f(u¹; u²) 2 R²; J(u) = g:

Jest to prosta o wektorze prostopad÷ym c = (c1; c2). Przy wzro´scie warto´sci sta÷ej  prosta ta zmienia swoje po÷o·zenie, przesuwaj ¾ac si ¾e w sposób równoleg÷y w kierunku wektora c, przy czym dla dowolnego punktu p÷aszczyzny istnieje  2 R takie, ·ze punkt ten le·zy na prostej wyznaczonej przez .

W przypadku 2⁰ zawsze istnieje „punkt pierwszego kontaktu” (by´c mo·ze nie jedyny) przesuwaj ¾acej si ¾e prostej, w kierunku c, z wielobokiem U . Odpowiednia warto´s´c sta÷ej  wynosi wówczas

minu2UJ(u) =: J

W przypadku 3⁰ ów „punkt pierwszego kontaktu” istnieje (by´c mo·ze nie jedyny) lub nie.

Je´sli nie istnieje, oznacza to, ·ze zadanie nie ma rozwi ¾azania; w takim przypadku

u2UinfJ(u) = 1:

Z powy·zszej analizy wynika, ·ze zadanie (9) mo·ze nie mie´c rozwi ¾aza´n, mo·ze mie´c jedno rozwi ¾azanie lub mo·ze mie´c niesko´nczenie wiele rozwi ¾aza´n. Ponadto, w przypadku, gdy zbiór rozwi ¾aza´n jest niepusty, w zbiorze tym istnieje co najmniej jeden punkt, który jest wierzcho÷kiem wieloboku U .

Podobn ¾a dyskusj ¾e mo·zna przeprowadzi´c w przypadku n = 3, zast¾epuj ¾ac wielobok wielo´s- cianem, a prost ¾a - p÷aszczyzn ¾a.

2.3 Punkty wierzcho÷kowe

Punkt v 2 V  Rⁿ nazywamy punktem wierzcho÷kowym (punktem ekstremalnym) zbioru wypuk÷ego i domkni ¾etego V , je´sli przedstawienie

v = v1+ (1 )v2; (10)

gdzie  2 (0; 1), v1; v2 2 V , mo·zliwe jest tylko wtedy, gdy v¹ = v2. Innymi s÷owy, punkt v 2 V jest punktem wierzcho÷kowym zbioru V , gdy nie jest on punktem wewn ¾etrznym od- cinka o ró·znych ko´ncach nale·z ¾acych do V . Poj ¾ecie punktu wierzcho÷kowego jest poj ¾eciem fundamentalnym w teorii programowania liniowego.

W dalszej cz ¾e´sci wyk÷adu poka·zemy, ·ze je´sli zadanie kanoniczne (przy dowolnym n 2 N) posiada rozwi ¾azanie, to w´sród rozwi ¾aza´n jest co najmniej jeden punkt wierzcho÷kowy zbioru

U = fu 2 Rⁿ; u  0; Au = bg: (11)

Teraz podamy charakteryzacj ¾e punktów wierzcholkowych zbioru postaci (11).

Twierdzenie 1 Niech dany b ¾edzie zbiór U postaci (11) i punkt v 2 Rⁿ, przy czym A 2 R^mnf0g, r := rankA. Punkt v jest punktem wierzcho÷kowym zbioru U wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ¾a wska´zniki 1  j1 < ::: < j_r  n takie, ·ze

8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

v^j  0; j 2 fj1; :::; jrg v^j = 0; j =2 fj1; :::; jrg Aj1v^j1 + ::: + Ajrv^jr = b

kolumny Aj1; :::; Ajr s ¾a liniowo niezale·zne w R^m

(12)

Dowód powy·zszego twierdzeni mo·zna znale´z´c w monogra…i [V].

Uk÷ad wektorów A_j1,...,A_jr wyst ¾epuj ¾acych w warunkach (12) nazywamy baz ¾a punktu wierzcho÷kowego v, a odpowiednie wspó÷rz ¾edne v^j1,...,v^jr - wspó÷rz ¾ednymi bazowymi punktu wierzcho÷kowego v. Punkt wierzcho÷kowy, którego wszystkie wspó÷rz ¾edne bazowe s ¾a do- datnie nazywamy nieosobliwym. Punkt wierzcho÷kowy, którego co najmniej jedna wspó÷rz ¾edna bazowa jest równa zero nazywamy osobliwym. Zmienne u^j1,...,u^jr nazywamy zmiennymi bazowymi, a pozosta÷e - zmiennymi niebazowymi (przy ustalonej bazie Aj1,...,Ajr).

Z twierdzenia 1 wynika, ·ze baza nieosobliwego punktu wierzcho÷kowego zbioru (11) jest wyznaczona jednoznacznie. Osobliwy punkt wierzcho÷kowy mo·ze mie´c wiele baz.

2.4 Metoda sympleksowa

Metoda sympleksowa polega na „uporz ¾adkowanym” sprawdzaniu warto´sci funkcjona÷u kosztu w punktach wierzcho÷kowych zbioru ograniczaj ¾acego („uporz ¾adkowanie” oznacza tu, ·ze warto´sci funkcjona÷u kosztu w kolejnych punktach nie rosn ¾a).

Rozwa·zmy zadanie kanoniczne postaci 8<

:

J(u) = hc; ui ! min :

u 2 U = fu 2 Rⁿ; u  0 , Au = bg (13)

gdzie 0 6= A 2 R^mn, przy czym zak÷ada´c b ¾edziemy w tym rozdziale, ·ze U 6= ? (kwestia niepusto´sci zbioru U omówiona b ¾edzie w dalszej cz ¾e´sci wyk÷adu). Oczywi´scie rankA  minfm; ng (podobnie, jak wcze´sniej, rankA oznacza´c b ¾edziemy przez r). Równo´s´c

Au = b mo·zemy zapisa´c w postaci uk÷adu równa´n

Aⁱ; u

= b_i; i = 1; :::; m;

gdzie Aⁱ oznacza i-ty wiersz macierzy A. Nie zmniejszaj ¾ac ogólno´sci rozwa·za´n, mo·zemy za÷o·zy´c, ·ze r = m. Oczywi´scie r  n. Je·zeli r = n, to powy·zszy uk÷ad ma dok÷adnie jedno rozwi ¾azanie u, przy czym u  0 (gdyby która´s ze wspó÷rz ¾ednych punktu u by÷a ujemna,

to zbiór U by÷by pusty, co sprzeczne by÷oby z naszym za÷o·zeniem). W konsekwencji zbiór U jest jednoelementowy i tym samym u jest rozwi ¾azaniem zadania (13).

B ¾edziemy wi ¾ec zak÷ada´c w dalszym ci ¾agu, ·ze r = m oraz r < n. Równo´s´c Au = b

mo·zemy wi ¾ec zapisa´c w postaci 8>

>>

<

>>

>:

a1;1u¹+ ::: + a1;nuⁿ= b¹ :::

ar;1u¹+ ::: + ar;nuⁿ= b^r

(14)

gdzie r = rankA < n.

Podamy teraz opis metody sympleksowej. Przypu´s´cmy, ·ze dany jest punkt wierzcho÷kowy v zbioru

U = fu 2 Rⁿ; u  0 , Au = bg

i za÷ó·zmy, ·ze kolumny A1,...,Ars ¾a baz ¾a tego puntu. Wprowad´zmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia

u = 2 66 64

u¹ ... u^r

3 77 75; v =

2 66 64

v¹ ... v^r

3 77 75; c =

2 66 64

c1

... c1

3 77 75;

B = 2 66 64

a1;1 ::: a1;r

... ... ar;1 ::: ar;r

3 77

75= [A1 j ::: j Ar] :

Wówczas uk÷ad (14) mo·zemy zapisa´c w postaci

Bu + A_r+1u^r+1+ ::: + A_nuⁿ= b: (15) Z liniowej niezale·zno´sci kolumn A¹,...,Arwynika, ·ze istnieje macierz odwrotna B ¹. Wspó÷rz ¾edne niebazowe punktu v s ¾a zerowe, a wi ¾ec z (15) otrzymujemy

Bv = b;

sk ¾ad

v = B ¹b:

Mno·z ¾ac równo´s´c (15) lewostronnie przez B ¹, otrzymujemy u +

Xn k=r+1

B ¹Aku^k = B ¹b = v: (16)

Oznaczmy

_s;k = (B ¹Ak)^s dla k = r + 1; :::; n; s = 1; :::; r

gdzie (B ¹Ak)^soznacza s-t ¾a wspó÷rz ¾edn ¾a wektora-kolumny B ¹Ak. Równo´s´c (16) mo·zemy teraz zapisa´c w postaci nast ¾epuj ¾acego uk÷adu równa´n

8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

u¹ + 1;r+1u^r+1+ ::: + 1;nuⁿ = v¹ u² + 2;r+1u^r+1+ ::: + 2;nuⁿ = v²

:::

u^r+ _r;r+1u^r+1+ ::: + _r;nuⁿ = v^r

: (17)

Okre´slmy tak·ze

_s;k = (B ¹Ak)^s

dla k = 1; :::r; s = 1; :::; r (oczywi´scie _s:k = s;kdla k = 1; :::; r; s = 1; :::; r, gdzie s;k = 1 gdy s = k oraz s;k = 0 gdy s 6= k).

Pokazali´smy wi ¾ec, ·ze maj ¾ac ustalony punkt wierzcho÷kowy v zbioru U i wiedz ¾ac, ·ze wspó÷rz ¾edne z indeksami 1,...,r s ¾a jego wspó÷rz ¾ednymi bazowymi, mo·zna zapisa´c ograniczenia (14) w równowa·znej postaci (15) lub (16) lub (17).

Warto´s´c funkcjona÷u kosztu J w punkcie u spe÷niaj ¾acym ograniczenia typu równo´sci (14), mo·zna zapisa´c w nast¾epuj ¾acej postaci

J(u) = hc; ui = Xn

i=1

c_iuⁱ = hc; ui + Xn i=r+1

c_iuⁱ

=

* c; v

Xn i=r+1

B ¹Aiuⁱ +

+ Xn i=r+1

ciuⁱ

= hc; vi

Xn i=r+1

(

c; B ¹Ai

 ci)uⁱ:

Poniewa·z

hc; vi = hc; vi = J(v);

wi ¾ec

J(u) = J(v)

Xn i=r+1

iuⁱ; (18)

gdzie

i =

c; B ¹Ai

 ci; i = r + 1; :::; n:

Okre´slmy tak·ze

i =

c; B ¹Ai

 ci (19)

dla i = 1; :::; r. Oczywi´scie

i =

c; B ¹Ai

 ci = hc; eii ci = ci ci = 0

dla i = 1; :::; r (tutaj ei jest i-t ¾a kolumn ¾a macierzy jednostkowej o wymiarach r  r).

Dokonajmy cz ¾e´sciowego podsumowania. Pokazali´smy, ·ze zadanie (13) mo·zemy zapisa´c w nast ¾epuj ¾acej postaci

8>

<

>:

J(u) = J(v) Pⁿ

i=r+1

iuⁱ ! min :

U = fu = (u¹; :::; uⁿ) 2 Rⁿ; u  0 , u spe÷nia (17)g

(20)

Wyst ¾epuj ¾ace w powy·zszym opisie wielko´sci _s;k, vⁱ,
i zapiszemy w postaci tzw. tablicy sympleksowej, odpowiadaj ¾acej punktowi wierzcho÷kowemu v

Tablica sympleksowa I (dla punktu v)

u¹ ::: uⁱ ::: u^s ::: u^r u^r+1 ::: u^k ::: u^j ::: uⁿ u¹ 1 ::: 0 ::: 0 ::: 0 1;r+1 ::: 1;k ::: 1;j ::: 1;n v¹

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

uⁱ 0 ::: 1 ::: 0 ::: 0 _i;r+1 ::: _i;k ::: _i;j ::: _i;n vⁱ

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

u^s 0 ::: 0 ::: 1 ::: 0 _s;r+1 ::: _s;k ::: _s;j ::: _s;n v^s

... ... ... ... ... ... ... ... ...

u^r 0 ::: 0 ::: 0 ::: 1 _r;r+1 ::: _r;k ::: _r;j ::: _r;n v^r 0 ::: 0 ::: 0 ::: 0
r+1 :::
k :::
j :::
n J(v) Analizuj ¾ac tablic ¾e sympleksow ¾a I, mo·zemy wyró·zni´c trzy przypadki:

1⁰ spe÷nione s ¾a nierówno´sci

i =

c; B ¹Ai

 ci  0 (21)

dla i = r + 1; :::; n; t.zn. w ostatnim wierszu tablicy sympleksowej wszystkie liczby
_i s ¾a niedodatnie. W tym przypadku punkt v, dla którego skonstruowana zosta÷a tablica sympleksowa, jest rozwi ¾azaniem zadania. Istotnie, bowiem dla dowolnego u 2 U mamy

J(u) = J(v)

Xn i=r+1

iuⁱ  J(v)

(bo
i  0, uⁱ  0).

2⁰ istnieje wska´znik k 2 fr + 1; :::; ng taki, ·ze 8<

:

k > 0

_i;k  0 dla i = 1; :::; r (czyli B ¹Ak  0) (22) Oznacza to, ·ze w k-tej kolumnie tablicy sympleksowej ostatni element (
k) jest dodatni, a pozosta÷e - niedodatnie. W tym przypadku inf

u2UJ(u) = 1 (dowód tego faktu pomijamy).

Oznacza to, ·ze zadanie nie ma rozwi ¾azania:

3⁰ nie zachodz ¾a przypadki 1⁰ i 2⁰; w konsekwencji istniej ¾a wska´zniki k 2 fr + 1; :::; ng, i 2 f1; :::; rg takie, ·ze

k > 0; _i;k > 0: (23)

Oznacza to, ·ze w k-tej kolumnie tablicy sympleksowej ostatni element (
k) jest dodatni i co najmniej jedna z liczb _i;k jest dodatnia.

Za÷ó·zmy, ·ze zachodzi przypadek 3⁰ i okre´slmy zbiór

I_v;k = fi 2 f1; :::; rg; _i;k > 0g:

Niech s 2 Iv;k b ¾edzie takim wska´znikiem, ·ze v^s

_s;k = min

i2Iv;k

vⁱ

_i;k (24)

Wspó÷czynnik _s;k, gdzie wska´zniki k; s s ¾a okre´slone przez (23) i (24), nazywany jest elementem rozwi ¾azuj ¾acym tablicy sympleksowej I.

Mo·zna pokaza´c, ·ze uk÷ad kolumn

A1; :::; As 1; As+1; :::; Ar; Ak (25) jest baz ¾a pewnego punktu wierzcho÷kowego w, przy czym

J(w)  J(v):

Uwaga 1. Z faktu, ·ze macierz A ma r wierszy wynika, wobec twierdzenia charak- teryzuj ¾acego punkty wierzcho÷kowe, i·z baza (25) wyznacza punkt wierzcho÷kowy w sposób jednoznaczny. Mo·zna wi ¾ec znale´z´c wspó÷rz¾edne punktu w, korzystaj ¾ac z tego twierdzenia.

Przejd´zmy teraz do przypadku ogólnego. ×atwo zauwa·zy´c, ·ze je´sli wspó÷rz¾ednymi bazowymi punktu v s ¾a

v^j1; :::; v^jr;

gdzie 1  j1 < ::: < j_r  n, to wzory wyra·zaj ¾ace zmienne bazowe i funkcjona÷ kosztu przy pomocy zmiennych niebazowych, przyjmuj ¾a posta´c (poni·zej symbolem Iv oznaczamy

zbiór fj1; :::; jrg) 8

>>

>>

><

>>

>>

>:

u^j1 = v^j1 P

k =2Iv

_j1;ku^k :::

u^jr = v^jr P

k =2Iv

_jr;ku^k

(26)

J(u) = J(v) X

k =2Iv

ku^k; (27)

gdzie

_ji;k = (B ¹Ak)ⁱ ; i = 1; :::; r; k =2 Iv (28)

_k =

c; B ¹A_k

c_k; k =2 I_v; (29)

z B = [Aj1 j ::: j A_jr], c = (cj1; :::; cjr). Podobnie, jak wcze´sniej v^ji = (B ¹b)ⁱ; i = 1; :::; r:

Uwaga 2. Wspó÷rz ¾edne, o których mowa w Uwadze 1 mo·zna wyznaczy´c przy pomocy powy·zszego wzoru.

Okre´slmy tak·ze

_ji;k = (B ¹Ak)ⁱ = ji;k; i = 1; :::; r; k 2 Iv;

k =

c; B ¹Ak

 ck = 0; k 2 Iv:

W tym przypadku tablica sympleksowa dla punktu v jest nast ¾epuj ¾aca:

Tablica sympleksowa II (dla punktu v)

u¹ ::: u^j1 ::: u^ji ::: u^k ::: u^js ::: u^j ::: u^jr ::: uⁿ

u^j1 _j1;1 ::: 1 ::: 0 ::: _j1;k ::: 0 ::: _j1;j ::: 0 ::: _j1;n v^j1

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

u^ji _ji;1 ::: 0 ::: 1 ::: _ji;k ::: 0 ::: _ji;j ::: 0 ::: _ji;n v^ji

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

u^js _js;1 ::: 0 ::: 0 ::: _js;k ::: 1 ::: _js;j ::: 0 ::: _js;n v^js

... ... ... ... ... ... ...

u^jr _jr;1 ::: 0 ::: 0 ::: _jr;k ::: 0 ::: _jr;j ::: 1 ::: _jr;n v^jr

1 ::: 0 ::: 0 :::
k ::: 0 :::
j ::: 0 :::
n J(v) Tak, jak wcze´sniej, nale·zy rozwa·zy´c trzy przypadki:

1⁰ spe÷niony jest warunek

k  0; k =2 Iv (30)

2⁰ istnieje k =2 I_v takie, ·ze

k > 0; _ji;k  0; i = 1; :::; r (31) 3⁰ nie zachodzi przypadek 1⁰ i 2⁰; w konsekwencji istniej ¾a k =2 Iv oraz ji 2 Iv takie, ·ze

k > 0; _ji;k > 0. (32)

Podobnie, jak wcze´sniej, mo·zna sprawdzi´c, ·ze w pierwszym przypadku punkt v jest rozwi ¾azaniem zadania (13), w drugim - inf

u2Uhc; ui = 1, czyli zadanie (13) nie ma rozwi ¾azania.

W trzecim przypadku mo·zna wybra´c indeksy k oraz js 2 I_v;k na podstawie warunku (31) oraz warunku

v^js

_js;k = min

ji2Iv;k

v^ji

_ji;k, (33)

gdzie Iv;k = fji 2 I_v; _ji;k > 0g,które s ¾a analogiczne do warunków (23), (24). Nast ¾epnie, nale·zy wykona´c przej´scie do nowego punktu wierzcho÷kowego w. Baz ¾a punktu w b ¾edzie uk÷ad kolumn (z dok÷adno´sci ¾a do ich kolejno´sci)

A_j1; :::; A_js 1; A_js+1; :::; A_jr; A_k,

przy czym

J(w)  J(v):

Wspó÷rz ¾edne punktu w mo·zna wyznaczy´c na podstawie twierdzenia charakteryzuj ¾acego punkty wierzcho÷kowe lub w sposób opisany w Uwadze 2.

Uwaga 3. Mo·zna pokaza´c, ·ze 8>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

><

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

:

w^j1 = v^j1 _j1;k ^vjs .. js;k

.

w^ji = v^ji _ji;k ^vjs ... js;k

w^{js 1} = v^{js 1} _{js 1;k} ^vjs

js;k

w^js = v^js _js;k ^vjs

js;k = 0 w^js+1 = v^js+1 _js+1;k ^vjs

.. js;k

.

w^jr = v^jr _jr;k ^vjs

js;k

w^k = ^vjs

js;k

w^l = 0; l =2 I_v; l 6= k;

Tablica sympleksowa dla punktu w przyjmuje posta´c

Tablica sympleksowa III (dla punktu w)

u¹ ::: u^j1 ::: u^ji ::: u^k ::: u^js ::: u^j ::: u^jr ::: uⁿ

u^{j1 0}_j1;1 ::: 1 ::: 0 ::: 0 ::: ⁰_j1;js ::: ⁰_j1;j ::: 0 ::: ⁰_j1;n w^j1

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

u^{ji 0}_ji;1 ::: 0 ::: 1 ::: 0 ::: ⁰_ji;js ::: ⁰_ji;j ::: 0 ::: ⁰_ji;n w^ji

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

u^{k 0}_k;1 ::: 0 ::: 0 ::: 1 ::: _k;j⁰ _s ::: ⁰_k;j ::: 0 ::: ⁰_k;n w^k

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

u^{js 1 0}_{js 1;1} ::: 0 ::: 0 ::: 0 ::: ⁰_{js 1;js} ::: ⁰_{js 1;j} ::: 0 ::: ⁰_{js 1;n} w^{js 1} u^{js+1 0}_js+1;1 ::: 0 ::: 0 ::: 0 ::: ⁰_js+1;js ::: ⁰_js+1;j 0 ⁰_js+1;n w^js+1

... ... ... ... ... ... ...

u^{jr 0}_jr;1 ::: 0 ::: 0 ::: 0 ::: ⁰_jr;js ::: ⁰_jr;j ::: 1 ::: ⁰_jr;n w^jr

⁰1 ::: 0 ::: 0 ::: 0 :::
_j⁰_s :::
⁰_j ::: 0 :::
⁰_n J(w) gdzie wspó÷czynniki ⁰_i;j,
⁰_j s ¾a okre´slone przy pomocy wzorów analogicznych do (28),

(29) z macierz ¾a B postaci

[Aj1 j ::: j Ak j ::: j Ajs 1 j Ajs+1 j ::: j Ajr]

(podobnie, jak wcze´sniej, zak÷adamy tu, ·ze wiersze i kolumny w tablicy sympleksowej oraz kolumny macierzy B s ¾a ustawione w kolejno´sci rosn ¾acych indeksów).

Uwaga 4. Mo·zna pokaza´c, ·ze 8<

:

⁰_ji;j = _ji;j ^ji;k

js;k _js;j ; i = 1; :::; r; i 6= s; j = 1; :::n;

⁰_k;j = ^js;j

js;k; j = 1; :::n;

oraz

⁰_j =
j
k

_js;j

_js;k dla j = 1; :::; n:

Opisany wi ¾ec zosta÷ jeden krok metody sympleksowej w dowolnym przypadku (co do bazy punktu wierzcho÷kowego), czyli przej´scie od jednego punktu wierzcho÷kowego (v) zbioru U do drugiego punktu wierzcho÷kowego (w) tego zbioru (w przypadku 3⁰) w taki sposób,

·ze

J(w)  J(v).

2.5 Regu÷a antycykliczna

Podczas realizacji metody sympleksowej mo·ze si ¾e zdarzy´c, ·ze 0 = min

ji2Iv;k

v^ji

_ji;k = v^js _js;k.

Ze wzorów podanych w Uwadze 3 wynika, ·ze w takim przypadku w = v

i w konsekwencji

J(w) = J(v),

a przej´scie od punktu v do punktu w oznacza jedynie przej´scie od bazy A_j1; :::; A_jr

do bazy

A_j1; :::; A_k; :::; A_js 1; A_js+1; :::; A_jr.

Mo·zna poda´c przyk÷ad zadania pokazuj ¾acy, ·ze metoda sympleksowa mo·ze si ¾e „zap ¾etli´c”, tzn. w kolejnych iteracjach punkt wierzcho÷kowy nie b ¾edzie si ¾e zmienia÷, a jego bazy b ¾ed ¾a zmienia÷y si ¾e w sposób okresowy (cykliczny).

Mo·zna jednak okre´sli´c (na ró·zne sposoby) regu÷ ¾e wyboru elementu rozwi ¾azuj ¾acego w taki sposób, by unikn ¾a´c owego zap ¾etlenia. Ka·zda taka regu÷a nazywana jest regu÷ ¾a antycyk- liczn ¾a. Podamy teraz opis jednej z takich regu÷.

Do tablicy sympleksowej punktu v (dla uproszczenia przyjmijmy, ·ze kolumny A¹,...,Ar

tworz ¾a baz ¾e punktu v) dopisujemy rr - wymiarow ¾a macierz jednostkow ¾a [di;j]. Dopisane wyrazy przekszta÷camy w ka·zdej iteracji zgodnie ze wzorami podanymi w Uwadze 4, przy czym nie tworzymy wspó÷czynników „
”. Element rozwi ¾azuj ¾acy _s;k wybieramy w nast ¾epuj ¾acy sposób.

Niech
k> 0 i Iv;k = fi 2 f1; :::; rg; _i;k > 0g 6= ?. Okre´slmy zbiór Iv;k;1 = fs 2 Iv;k; min

i2Iv;k

vⁱ

_i;k = v^s _s;kg:

Je´sli zbiór Iv;k;1 zawiera wi ¾ecej ni·z jeden element, to tworzymy zbiór Iv;k;2= fs 2 Iv;k;1; min

i2Iv;k;1

d_i;1

_i;k = d_{s;1 s;k}g.

Je´sli mamy ju·z okre´slony zbiór Iv;k;m (m  2) i zawiera on wi ¾ecej ni·z jeden element, to tworzymy zbiór

Iv;k;m+1 = fs 2 Iv;k;m; min

i2Iv;k;m

di;m

_i;k = ds;m

_s;kg.

Dowodzi si ¾e, ·ze istnieje l 2 f1; :::; r + 1g takie, ·ze zbiór Iv;k;l sk÷ada si ¾e z jednego elementu s, przy czym wszystkie zbiory Iv;k;i, i = 1; :::; l 1, zawieraj ¾a wi ¾ecej ni·z jeden element.

Jako indeks s, s÷u·z ¾acy do okre´slenia elementu rozwi ¾azuj ¾acego, przyjmujemy ów jedyny element zbioru I_v;k;l.

Mo·zna pokaza´c, ·ze stosowanie w ka·zdym kroku metody sympleksowej takiego sposobu wyboru indeksu s, wyznaczaj ¾acego element rozwi ¾azuj ¾acy, pozwala unikn ¾a´c zap ¾etlenia i w sko´nczonej ilo´sci kroków znale´z´c rozwi ¾azanie zadania, b ¾ad´z stwierdzi´c, ·ze rozwi ¾azanie nie istnieje (¹).

2.6 Wybór pocz ¾ atkowego punktu wierzcho÷kowego

Niech dane b ¾edzie zadanie kanoniczne

J(u) = hc; ui ! min : (34)

u 2 U = fu = (u¹; :::; uⁿ) 2 Rⁿ; u  0 , Au = bg, (35) gdzie ; 6= A 2 R^mn. Opisuj ¾ac metod ¾e sympleksow ¾a, zak÷adali´smy mi ¾edzy innymi, ·ze zbiór U jest niepusty i znany jest pewien punkt wierzcho÷kowy tego zbioru. Poka·zemy teraz jak stwierdzi´c, czy U 6= ? i znale´z´c ów punkt wierzcho÷kowy.

Bez zmniejszania ogólno´sci rozwa·za´n mo·zemy za÷o·zy´c, ·ze bⁱ  0 dla i = 1; :::; m (mno·z ¾ac w razie potrzeby odpowiednie równania przez 1).

1Zatem nie mo·ze si ¾e tak·ze zdarzy´c, ·ze w nieuporz ¾adkowany sposób b ¾edziemy „przerabia´c” bazy jednego punktu wierzcho÷kowego, a tak·ze, i·z w niesko´nczony sposób (cykliczny lub nie) b ¾edziemy przerabia´c punkty wierzcho÷kowe (przej´scie do kolejnego punktu wierzcho÷kowego w 6= v oznacza, ·ze vjs > 0 i w konsekwencji J(w) < J(v)).

Rozwa·zmy zadanie pomocnicze postaci

J1(z) = uⁿ⁺¹+ ::: + u^n+m ! min : (36)

z 2 Z = fz = 2 4 u

w 3

5 2 R^n+m; z  0; Cz = bg; (37)

gdzie C = [A j Imm], w = (uⁿ⁺¹; :::; u^n+m). Uk÷ad Cz = b zapiszmy w postaci 8

>>

><

>>

>:

a1;1u¹+ ::: + a1;nuⁿ+ uⁿ⁺¹ = b¹ :::

am;1u¹+ ::: + am;nuⁿ+ u^n+m= b^m :

×atwo wida´c, ·ze zbiór Z jest niepusty, bowiem z0 := (0; b) 2 Z.

×atwo te·z wida´c, ·ze z⁰ jest punktem wierzcho÷kowym zbioru Z z baz ¾a z÷o·zon ¾a z ostat- nich m kolumn macierzy C, czyli wektorów jednostkowych e1,...,e_m 2 R^m (rankC = m).

Mo·zna wi ¾ec do zadania (36)-(37) zastosowa´c metod¾e sympleksow ¾a z pocz ¾atkowym punk- tem wierzcho÷kowym z0.

Poniewa·z

J1(z)  0; z 2 Z;

wi ¾ec niemo·zliwy jest przypadek

z2ZinfJ1(z) = 1:

Zatem, stosuj ¾ac metod ¾e sympleksow ¾a do zadania (36)-(37), w sko´nczonej ilo´sci kroków otrzymamy punkt wierzcho÷kowy z^ = (u^; w^) 2 Z b ¾ed ¾acy rozwi ¾azaniem zadania (36)- (37).

Mo·zliwe s ¾a tutaj dwa przypadki.

1⁰ J1(z^) > 0. Wówczas zbiór U (dany przez (35)) jest zbiorem pustym. Istotnie, w przeciwnym bowiem razie (czyli gdyby istnia÷ punkt u 2 U ) punkt z = (u; 0) nale·za÷by do zbioru Z oraz spe÷niona by÷aby równo´s´c

J1(z) = 0;

co sprzeczne jest z nierówno´sci ¾a J1(z^) > 0 i optymalno´sci ¾a punktu z^.

2⁰ J1(z^) = 0. Wówczas punkt z^ jest postaci (u^; 0). Jako punkt uzyskany przy pomocy metody sympleksowej z^ jest punktem wierzcho÷kowym zbioru Z. St ¾ad wynika,

·ze u^ jest punktem wierzcho÷kowym zbioru U . Istotnie, poniewa·z z^  0, wi ¾ec u^  0, natomiast z równo´sci

Cz^ = b wynika, ·ze

Au^ = b.

A wi ¾ec

u 2 U . Przypu´s´cmy teraz, ·ze

u^ = u + (1 )eu;

gdzie  2 (0; 1), u; eu 2 U . Punkty z = (u; 0), ez = (eu; 0) nale·z ¾a oczywi´scie do zbioru Z, przy czym

z^ = z + (1 )ez.

Poniewa·z z^ jest punktem wierzcho÷kowym zbioru Z, wi ¾ec to oznacza, ·ze z = ez,

sk ¾ad

u = eu.

A zatem u^ jest punktem wierzcho÷kowym zbioru U .

Pokazali´smy wi ¾ec, ·ze maj ¾ac wyj´sciowe zadanie (34)-(35) i rozwa·zaj ¾ac zadanie pomoc- nicze (36)-(37), potra…my stwierdzi´c (stosuj ¾ac metod ¾e sympleksow ¾a do zadania (36)-(37)), czy U 6= ? i, je´sli tak, wyznaczy´c pocz ¾atkowy punkt wierzcho÷kowy zbioru U .

Uwaga 3. Maj ¾ac punkt wierzcho÷kowy u zbioru U mo·zna wyznaczy´c rz ¾ad macierzy A i wskaza´c wspó÷rz ¾edne bazowe punktu v^ w nast ¾epuj ¾acy sposób. Dodatnie wspó÷rz ¾edne punktu v s ¾a oczywi´scie jego wspó÷rz ¾ednymi bazowymi. Uzupe÷niaj ¾ac uk÷ad kolumn odpowiadaj ¾acych tym·ze dodatnim wspó÷rz¾ednym kolumnami wybranymi spo´sród pozosta÷ych kolumn tak, by otrzymany uk÷ad stanowi÷ baz ¾e pow÷oki liniowej wszystkich kolumn, otrzy- mamy baz ¾e punktu v^ (zna´c te·z b ¾edziemy rankA i wspó÷rz¾edne bazowe punktu v^). Ta metoda w praktyce jest stosowana w przypadku ma÷ych warto´sci m i n.

Z rozwa·za´n dotycz ¾acych zadania pomocniczego (36)-(37) wynika

Twierdzenie 2 Je´sli zbiór U dany przez (35) jest niepusty, to ma co najmniej jeden punkt wierzcho÷kowy.

Korzystaj ¾ac z opisu metody sympleksowej, udowodnimy teraz dwa podstawowe fakty teorii programowania liniowego.

Twierdzenie 3 Na to, aby kanoniczne zadanie postaci (34)-(35) mia÷o rozwi ¾azanie, t.zn.

aby istnia÷ punkt u 2 U taki, ·ze

hc; ui = inf

u2Uhc; ui potrzeba i wystarcza, aby

1) zbiór U by÷ niepusty

2) funkcjona÷ J(u) = hc; ui by÷ ograniczony z do÷u na zbiorze U . Dowód. Konieczno´s´c. Konieczno´s´c warunków 1) i 2) jest oczywista.

Dostateczno´s´c. Z warunku 1) i twierdzenia 2 wynika, ·ze istnieje punkt wierzcho÷kowy zbioru U . Mo·zna wi ¾ec, startuj ¾ac z tego punktu, rozwi ¾azywa´c zadanie metod ¾a symplek- sow ¾a. Z warunku 2) wynika, ·ze w ·zadnej iteracji nie zajdzie przypadek 2⁰ (z opisu metody

sympleksowej). Oznacza to, ·ze po sko´nczonej ilo´sci kroków metoda sympleksowa zako´nczy si ¾e znalezieniem rozwi ¾azania u zadania (34)-(35).

Twierdzenie 4 Je´sli zadanie (34)-(35) ma rozwi ¾azanie, to w´sród rozwi ¾aza´n co najmniej jeden punkt jest punktem wierzcho÷kowym.

Dowód. Z twierdzenia 3 wynika, ·ze U 6= ? i funkcjona÷ J jest ograniczony z do÷u na U . Z twierdzenia 2 wynika, ·ze zbiór U ma co najmniej jeden punkt wierzcho÷kowy.

„Startuj ¾ac” z tego punktu, w sko´nczonej ilo´sci kroków matody sympleksowej, otrzymamy rozwi ¾azanie u^, które jest punktem wierzcho÷kowym zbioru U (w ·zadnej iteracji nie zajdzie przypadek 2⁰, gdy·z

u2UinfJ(u) > 1).

Dowód twierdzenia jest zako´nczony.