ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ II

ATOM WODORU,

JONY WODOROPODOBNE;

PEŁNY OPIS CZĘŚĆ II

Z protonów i jeden elektron:







 













 

 



 



 











 







 



 













 

r E Ze sin

r

1

sin sin r

1 r r

r r 1 m

2

2 2

2 2

2

2 2

2

2

 ^{ } ^    ^{ }

 r, , R r Y ,

Podstawiając funkcję postaci:

otrzymamy:

 ¹^Y

Y sin

1 sin Y

sin 1

2 2

2   







 



 









 







  

 ¹^R

r R E Ze

mr 2 dr

r dR dr

d ²

2

2 2   





 

 



 



  



  _{R 0}

mr 2

h 1 r

E Ze m

2 dr

r dR dr

d r

1

2 2 2

2 2

2  



 



 





 



 



  



otrzymamy:

    _{R 0}

mr 2

h 1 r

E Ze m

rR 2 dr

d r 1

2 2 2

2 2

2  



 



 





  



r dr (

d r 1 dr

r d dr

d r

1

2 2 2

2 2  



 



 







Wykorzystując inną postać laplasjanu:

   ^{rR 0}

r E Ze

m rR 2

dr

d ²

2 2

2  





 

 

Rozpatrzymy najpierw przypadek ℓ = 0 (funkcja Y_ℓ,m stała, brak zależności od kątów,

symetria kulistosymetryczna),

co oznacza brak wyrazu z energią kinetyczną ruchu obrotowego:

Po podstawieniu:

promień Bohra Rydberg otrzymamy:











 ² ₂ a₀

r mZe    

 ₂^{2 4} E_R 2

e Z E m



 ^{R 2}  ^{R 0}

d d

2

2   



 





 





 

Przyjmiemy, że: oraz:

 ^{R 2}  ^{R 0}

d d

2

2   



 





 





 

 ^{   R} ^

f

 ^{  eg} ^

f

     



 









 

 _{ }

d e dg

g d e

df

Ponieważ:

oraz:

otrzymamy:

     

   

2 2 2

2 2

d g e d

d e dg

d e dg

g d e

f d



 



 





 







 



















    2 g  0

d 2 dg

d g

d ₂

2

2   



 





 







 

 

 



Możemy wykorzystać swobodę w wyborze α i przyjąć:

wówczas otrzymamy:

    ^{2 g}  ⁰

d 2 dg

d g d

2

2  

 



 

 









²

  ^









1 k

k k

a Szukamy rozwiązań w postaci g

szeregu:

Wyliczamy pierwszą i drugą pochodną:

podstawiając otrzymamy:

Przenumerowujemy pierwszą sumę (za k podstawiamy k+1):

  ^



 

 



1 k

1 kk k

d a

dg   ^  



 



 



1 k

2 k k

2

2 a k k 1

d g d

^{k 1} ^{2 a k 2 a 0}

k a

1 k

1 k k

1 k

1 k k

1 k

2

k  k        

 ^



 



 





 

^{k k  1 a  2ka  2a} ^{k 1  0}

^  ^

Skąd otrzymujemy rekurencyjny wzór na współczynniki a_k:

Szereg taki będzie równy 0 dla każdej wartości ρ tylko wtedy, gdy:

^{k 1}^{a 2} ^{k 1}^{a 0}

k  _k1    _k 

 

  ^k

1

k a

1 k

k

1 k

a 2





 



pozwalający wygenerować wszystkie współczynniki a_k (musimy tylko nadać wartość współczynnikowi

Dla dużych ρ (czyli dla dużych k):

Czy takie rozwiązanie jest fizycznie prawidłowe?

 

  ^{k k}

1

k a

k a 2

1 k

k

1 k

a 2 

 



 

 czyli:  

1 k 1

k a

! k a _  2

  ^   _





 



  k 1 ²

1 k

k

1 a e

! k a 2

i: g

 ^{  ee   e}

f ²

a funkcja f:

zmierza do nieskończoności dla dużych odległości

Sposobem na rozwiązanie problemu jest przyjęcie warunku, że:

 

n 1 ^{a 0.}

n

1 n

a_{n 1} 2 _n 





 



n .

 1



Równe zeru będą także następne wyrazy i dostaniemy wielomian o skończonym rzędzie n, rosnący wolniej

niż funkcja eksponencjalna.

Mamy wówczas:

Mamy wówczas:

2 2

n

 1









W konsekwencji:

 ^eV

n 6 1 , n 13

1 2

e Z E m

E _{2 2 2}

4 2 R

n   









 

tzn. dopuszczone są tylko dyskretne wartości energii, tak jak w teorii Bohra. Wartości te odpowiadają kolejnym wartościom liczby n, która, tak jak w teorii

Bohra, gra rolę głównej liczby kwantowej

Natomiast część radialna funkcji falowej wyrazi się:

gdzie:

     ^

 



 

 ^{n  n} _n

n f e g

R

  







 ⁿ

1 k

k k

n a

g ^{1 k 1 k}^{k 1} ^ak

n 1 2 k a

; 1

a 



 

 



 _

2 2 0

0 ; a mZe a

r  



oraz: 

Kilka pierwszych funkcji radialnych dla ℓ = 0:

 ^{  1 e}

R₁

  ²

2 e

1 2

R   ^



 



  





  ^{2 3}

3 e

27 2 3

1 2

R   ^



 



    





  ^{2 3 4}

4 e

192 1 8

1 4

1 3

R   ^



 



      





Wracamy do pełnego równania radialnego, dopuszczamy zatem ℓ różne od zera:

     ^{rR 0}

mr 2

h 1 r

E Ze m

rR 2 dr

d

2 2 2

2 2

2  



 



 





  













 ² ₂ a₀

r mZe    

 ₂^{2 4} E_R 2

e Z E m



Po wykonaniu podstawień, takich samych jak dla przypadku sferycznie symetrycznego:

Otrzymujemy, podobnie jak poprzednio równanie radialne (z dodatkowym wyrazem):

Ten dodatkowy wyraz da dodatkowy wyraz w rozwinięciu potęgowym funkcji g(ρ):

 ^{R 2}  ¹  ^{R 0}

d d

2 2

2   



 







 

 





 





    

 ^



 1

k

2 k k

a

 1



Z wyrazu tego wydzielamy pierwszy wyraz i przenumerowujemy całą sumę:

  _



 



   

 



 ^



  1 k

1 1 k

1 ak

1 a





   

 

 

 

a 0 1

a 2 ka

2 a

1 1

k k

1 1

k

1 k k

k 1

k

 

 

^       



 









Ponieważ ℓ jest różne od zera, a₁ musi być równe zeru.

Zerowanie innych wyrazów zajdzie wtedy gdy:

co stanowi zmodyfikowany związek rekurencyjny na współczynniki rozwinięcia funkcji g(ρ).

 

    ^k

1

k a

1 1

k k

1 k

a 2









 

  

Tak jak poprzednio, szereg musi się urywać, co zajdzie dla k = n, gdy:

n

 1



Ponieważ więc każdy kolejny wyraz będzie równy 0, włącznie z wyrazem k = ℓ.

0 a₁ 

Pierwszym wyrazem, który może być różny od zera, będzie wyraz a_ℓ+1, ze względu na postać wzoru

rekurencyjnego (obecność wyrazu ℓ(ℓ+1)).

Zatem, żeby nie okazało się, że wszystkie wyrazy są równe zeru, musi zachodzić: ℓ ^{ n}

bo a_n+1 i następne wyrazy także muszą być równe 0.

Dla danego n, k biegną od ℓ+1 do n. Dozwolone wartości ℓ biegną od 0 do n – 1.

Dla małych ρ w funkcji R, równej:

dominować będzie wyraz z

A więc funkcje radialne R, dla większych wartości ℓ, będą znacząco różnić się od zera dalej od jądra.

 



 

 g e

.



Przykłady funkcji radialnych R dla kilku wartości głównej (n) i pobocznej (ℓ) liczby kwantowej:

 

 

 

 

 

   _^ _^



 

 

 



 







 



 

 



 



 



 



















 



 



 



 



 



 







 



 



 



 



 







 



 

 



 



 



 





 



 



 

2 2

3 32

0 0

0 2

3 31 0

0 2

0 0

2 3 30 0

0 0

2 3 21 0

0 0

2 3 20 0

0 2

3 10 0

exp Zr Zr

2 2 r Z

R

a 3 exp Zr

a 6 1 Zr a

Zr 3

2 4 a

3 r Z

R

a 3 exp Zr

a Zr 27

2 a

3 Zr 1 2

a 2 3 r Z

R

a 2 exp Zr

a 3 2 Zr a

2 r Z

R

a 2 exp Zr

a 2 1 Zr a 2

2 r Z

R

a exp Zr

a 2 r Z

R

Radialna gęstość prawdopodobieństwa dla elektronów 3s, 3p i 3d w atomie H

Choć średnio elektron 3s jest dalej od jądra, prawdopodobieństwo

znalezienia go w obszarze bliskim jądra

jest większe niż dla elektronu 3p i 3d

Schemat poziomów energetycznych atomu wodoru;

diagram Grotriana

Dla jonów wodoropodobnych zmiana skali E ze względu na Z

Degeneracja ze względu na ℓ (degeneracja orbitalna)