Atom wodoru

-13.6eV

n = 2, 3, . . . Seria Lymana

Seria Paschena n = 4, 5, . . .

od 91 nm to 122 nm

Seria Bracketta n = 5, 6, . . .

n₂ = 1, 2, 3; n₁ = (n₂ + 1), (n₂ + 2), . . . Ogólnie:

Atom wodoru

We współrzędnych sferycznych:

Atom wodoru

metoda rozdzielania zmiennych (ze względu na symetrię problemu):

Część zależną od r oraz część zależną od kątów przyrównujemy do stałej.

l = 0, 1, 2, 3,…..

-l, -l+1, -l+2….< m <….l-2, l-1, l Zakładając

dostajemy jako rozwiązanie części kątowej tzw. harmoniki sferyczne .

orbital Harmonika sferyczna

s

p₀ p₁ p_-1

d₀ d₁ d_-1

d₂ d_-2

ϕ π

θ 2

) 1 , (

Y₀⁰ =

) , (

Y

_m^l

θ ϕ

π θ ϕ

θ cos

4 ) 3 , (

Y₀¹ = ⋅

θ ϕ

ϕ π

θ = ⋅sin ⋅e⁻ⁱ 8

) 3 , ( Y_-¹₁

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= 2

cos 1 2 3 4 ) 5 , (

Y₀^{2 2}θ

ϕ π θ

θ ϕ

π θ ϕ

θ = sin ⋅cos ⋅eⁱ 2

15 2 - 1 ) , ( Y₁²

θ ϕ

ϕ π

θ = ⋅sin ⋅eⁱ 8

- 3 ) , ( Y₁¹

θ ϕ

π θ ϕ

θ = sin ⋅cos ⋅e⁻ⁱ 2

15 2 ) 1 , ( Y_-²₁

θ ϕ

π θ ϕ

θ ² e²ⁱ

2

2 sin cos

2 15 4 ) 1 , (

Y = ⋅ ⋅

θ ϕ

π θ ϕ

θ ² e ²ⁱ

2 2

- sin cos

2 15 4 ) 1 , (

Y = ⋅ ⋅ ⁻

0

P

0

P

₁⁰

1

P

1^{± 0}

P

2

1

P

2^±

P

^2±2

Aby rozwiązać część radialną wracamy do równania:

Mnożąc przez dostajemy:

Dla stanów związanych o E<0 wprowadzamy nową zmienną ρ:

r = , zaś dr =

Teraz mnożąc przez dostajemy:

Wprowadzając stałą mamy:

Dla dużych ρ równanie to przybiera formę:

z rozwiązaniami postaci

Rozwiązań szukamy mnożąc przez funkcję, która przedstawia zachowanie bliżej r = 0:

Na funkcję H dostajemy w efekcie równanie:

Teraz z kolei zastępujemy funkcję H: i dostajemy równanie na funkcję G:

Jest to równanie różniczkowe Laguerre’a. Aby rozwiązania były zbieżne musi zachodzić:

n = n_r + l +1,

gdzie n – główna liczba kwantowa, zaś n_r jest dowolną liczbą całkowitą.

Z równania na funkcję R dostajemy:

Ponieważ zarówno n, jak i l muszą być liczbami całkowitymi nieujemnymi, więc:

l = 0, 1, 2, 3, …..n-1

Rozwiązaniem na część przestrzenną są wielomiany Laguerre’a

Zapisując R w postaci

S

_1,0

= 2 S

_2,0

= S

_2,1

= S

_3,0

= S

_3,1

= S

_3,2

=

S

_4,0

= S

_4,1

= S

_4,2

= S

_4,3

=

gdzie

Radialne funkcje falowe dla atomu wodoru:

) 2 /

exp( 1 ) 2 /

1 1 2 ( 1

0

0 r a

a

r −

−

) / exp(

2 −r a₀

) 2 /

exp( 1 6 /

2 1

0

0 r a

a

r −

) 3 /

exp( 1 ) 6 /

1 1 ( 6 /

27 8

0 0

0 r a r a

a

r − −

) 3 /

exp( 1 ) ) / 27( / 2

3 1 2 3 ( 3

2

0 2

0

0 r a r a

a

r + −

−

) 3 /

exp( 1 )

/ 30 ( 81

4

0 2

0 r a

a

r −

Stan R

_nl

(r)·

1s 2s 2p 3s 3p 3d

gdzie oznacza promień Bohra, ₂

2

0 e

a

⁼ μ ^h

3

a

0

Α

ο

= 529 0 ,

a

0

oznaczenie

degeneracja stanu

1 0 0 1s 1

2 0

1

0 -1, 0, 1

2s 2p

1 3

3 0

1 2

0 -1, 0, 1 -2, -1, 0, 1, 2

3s 3p 3d

1 3 5

− 1

l ≤n m ≤ l

n

n

= 1

l = 0

n = 2

l = 0, 1 n = 3

l = 0, 1, 2

r r r

Funkcje R

_nl

(r) – ilość przecięć z osią r wynosi n-l-1

Z kombinacji liniowych zespolonych funkcji własnych można zbudować funkcje rzeczywiste.

Poniżej jest to wykonane dla funkcji p_-1, p₀ i p₁ – z nich zbudowane są funkcje p_x, p_y i p_z.

2p 3d

1s 2s

Emisja (lub absorpcja) promieniowania elektromagnetycznego następuje przy przejściu z jednego stanu atomu do drugiego i energia tego promieniowania przyjmuje wartości dyskretne. Dla atomu wodoru rozumiemy empiryczne wzory opisujące emitowane energie promieniowania elektromagnetycznego.

W atomie wodoru stany o tym samym l a różnym m mają tę samą energię ze względu na zachowanie momentu pędu.

W atomie wodoru również i stany o tym samym n, a różnym l mają tę samą energię – wynika to z charakteru energii potencjalnej, która zależy jak 1/r. Poprawki znoszą tę degenerację.

W atomach wieloelektronowych tej degeneracji nie ma ze względu na postać funkcji energii potencjalnej..

l = 0, 1, 2, 3, …..n-1

-l, -l+1, -l+2….< m <….l-2, l-1, l

E

₁

= -13,6 eV

Operator momentu pędu p

r L r r r

×

=

) (

) (

)

(

_{z y y x z z y x}

x z

y x

z y

x

z y x

yp xp

i xp

zp i

zp yp

i p

p p

z y

x

i i

i L

L L

− +

− +

−

=

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡ r r r

r r

r

Operatory dla składowych momentu pędu:

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

− ∂

→

−

= z y

y z i p

z p

y

L ˆ

_x

ˆ ˆ

_z

ˆ ˆ

_y

h

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

− ∂

→

−

= x z

z x i p

x p

z

L ˆ

_y

ˆ ˆ

_x

ˆ ˆ

_z

h

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

− ∂

→

−

= y x

x y i p

y p

x

L ˆ

_z

ˆ ˆ

_y

ˆ ˆ

_x

h

Operator ma szczególnie prostą postać we współrzędnych sferycznych: Lˆ

z

ϕ

∂

− ∂

= h i L ˆ

_z

Będzie więc działał tylko na część funkcji falowej zależną od φ, Φ(φ).

Równanie własne dla tego operatora:

) ( ) ( ) ) (

) ( ( ) ( )

, , ( )

, ,

ˆ ( θ ϕ

ϕ θ ϕ

ϕ θ ϕ ψ

ϕ θ

ψ = Θ Φ

∂ Φ Θ ∂

−

∂ =

− ∂

= i r i R r L R r

r

L

_z

h h

_z

Jeśli jako wartości własne przyjmiemy , to na funkcję Φ(φ) dostajemy: L

_z

= m h

) ( )

( ϕ ϕ

ϕ ^{Φ = Φ}

∂

− i h ∂ m h Rozwiązaniem jest funkcja

ϕ =

Ae^imϕ

Φ ) (

Ponieważ Φ(φ) powinna być periodyczna o okresie 2π, więc dostajemy warunek na m: musi to być liczba całkowita. Widać, że funkcje własne Hamiltonianu dla atomu wodoru są równocześnie funkcjami własnymi operatora

Lˆ

z

A zatem jest skwantowany!

Podobnie skwantowany jest kwadrat całkowitego momentu pędu i z jego wartości własnych otrzymujemy:

Lˆ

z

n = 1,2,3 …..

l = 0, 1, 2, 3, …..n-1

-l, -l+1, -l+2….< m <….l-2, l-1, l

) h 1 ( +

= l l L

m h L

_z

=

Przypomnijmy:

Liczby kwantowe atomu wodoru:

n

– główna liczba kwantowa

l – orbitalna liczba kwantowa

m

– magnetyczna liczba kwantowa

Doświadczenie Einsteina-de Haasa (1915r.)

dotyczy istnienia sprzężenia orbitalnego momentu elektronów w atomie i momentu magnetycznego

Z orbitalnym momentem pędu związany jest

dipolowy orbitalny moment magnetyczny:

wartości są skwantowane μ ^r

_orb

składowe są również skwantowane μ

orb,z

B z

orb m

μ

μ

_, = −

gdzie jest magnetonem Bohra.

^{J T}

m e m

eh

e e

B 9.274 10 /

2 4

−24

⋅

=

=

= h

μ π

m L e

orb e

r r

− 2 μ =

e B

orb l l l l

m

e μ

μ ( 1) ( 1)

2 + = +

= h

m

_e

oznacza masę elektronu