Studie fluïdisatiemodel: Reststerkte klei

(1)

I

i

I

FUGRO B.V.

A2 92.01

I

.i

(2)

I

1 I

I

1

IGRO FUGRO B.V.

Centrale Adviesafdeling Geotechniek - Geohydrologie

Rapport betreffende

STUDIE FLUiDISATIEMODEL RESTSTERKTE KLEI

Opdrachtgever : Directoraat-Generaal Rijkswaterstaat Dienst Weg- en Waterbouwkunde

Postbus 5044 2600 GA Delft Rapportdatum : 2 april 1992

I

Opdrachtnummer: M0071

I

f

I

1 I

I

1 I

(3)

I

1 I

I

i

I

i

I

i

I

l

i

I

i

INHOUDSOPGAVE

LIJST VAN SYMBOLEN 0 SAMENVATTING 1.0 INLEIDING

1 .1 Opdrachtformulering 1.2 Probleemstelling

1.3 Fasering van de studie 1.4 Opzet van de rapportage

2.0 UITWERKING VAN HET ANALYTISCH MODEL 2.1 Wiskundige formulering

2.1.1 Vereenvoudigde uitwerking 2.1.2 Bewegend front benadering 2.2 Bespreking van het model

3.0 PARAMETRISCHE STUDIE

3.1 Invloedsparameters in het model 3.2 Gevoeligheidsberekeningen

3.2.1 Vereenvoudigd model, verloop van de waterspanningen 3.2.2 Vereenvoudigd model, fluïdisatiediepten

3.2.3 Bewegend front benadering

3.3 Invloed van belastingsnelheid op de stijfheidsparameter A 4.0 BESPREKING VAN DE RESULTATEN

4.1 Relatie van het model met andere schade modellen 4.2 Verschil in gedrag van klei onder quasi statische

golfbelasting en onder golfklappen 4.3 Schatting afstroomsnelheid

5.0 AANBEVELINGEN VOOR VERVOLGONDERZOEK LITERATUUROPGAVE

APPENDIX A: "Surface Wave Loading of a Clay Slab" APPENDIX B: Listings van computerprogramma's APPENDIX C: Figuren 1 t/m 12

APPENDIX D: Treksterkte criterium bij een Mohr-Coulomb bezwijkgrens APPENDIX E: Stroomschema vervolgonderzoek

Blz. 2 2 2 3 4 5 5 6 8 12 14 14 16 16 19 21 23 28 28 29 30 36

(4)

I

1

1 I

I

1 I

I

1 I

Opdrachtnummer: MO 0 71

LIJST VAN SYMBOLEN

A = stijfheid van het korrelskelet [N/m2]

A,,, = maximale waarde van het waterdrukverschil als funktie van z, verminderd met de treksterkte van de klei en het effectieve

gewicht van de bovenliggende laag [N/m2]

c' = effectieve cohesie

E =totaalspanning (= opgelegde waterspanning) aan het kleioppervlak [N/m2]

e = volumerek [-]

Eo = belastingamplitude [N/m2]

G = glijdingsmodulus [N/m2]

g =versnelling van de zwaartekracht [m/s2]

ic = kritische gradiënt [N/m3]

k = fysische doorlatendheid [m3s/kg]

K = kompressiemodulus [N/m2]

kDarcy = Doorlatendheid volgens Darcy [m/s]

n =porositeit [-]

p =wateroverspanning t.o.v. hydrostatische spanning [N/m2]

q = specifiek debiet [m/s]

tc = tijdstip, waarop fluïdisatie optreedt [s]

zx = minimale fluïdisatiediepte [m]

z2 = maximale fluïdisatiediepte [m]

z3 = diepte waar het drukverschil minus het effectief gewicht van de grond

het grootst is. [m]

P - samendrukbaarheid poriënwater [m2/N]

6 = fluïdisatiediepte [m] A<p = stijghoogteverschil over d e toplaag [m] <p' = hoek van inwendige wrijving [ ° ] fj, = hulpvariabele

v - hulpvariabele

pp =volumieke massa van de vaste delen [kg/m3]

p„ =volumieke massa van water [kg/m3]

a = totaalspanning [N/m2]

a' = korrelspanning [N/m2]

atrek = treksterkte van de klei onder de opgelegde spanningscondities [N/m2]

(5)

I

1

1 I

I

1 I

I

1 I

I

i

f

i

t

I

i

IESRO n» Opdrachtnummer: M0071 0 SAMENVATTING

In dit rapport zijn de resultaten van een studie naar het gedrag van een

homogene kleilaag onder invloed van golfbelastingen en golfklappen samengevat. Deze studie vond plaats in het kader van langlopend onderzoek naar de rest sterkte van een kleilaag onder gezette steen bij waterkeringen.

Het rapport bevat allereerst een analytische uitwerking van de gangbare Biot theorie over het gedrag van een poreus medium onder golfbelasting. De eventueel aanwezige structuur in de klei is hierbij vertaald in gehomogeniseerde

materiaalparameters. Uit de theorie is een "fluïdisatie-criterium" afgeleid: over een zekere diepte kan het verschil in opgelegde waterdruk aan het

oppervlak en de waterdruk op enige diepte zodanig zijn, dat het effectieve gewicht van de tussenliggende grond plus de aanwezige treksterkte wordt overschreden. Naast deze Biot uitwerking bevat het rapport ook een nieuwe, volledig analytische oplossing om uitgaande van genoemd fluïdisatie criterium het verloop van het fluïdisatie front als funktie van de tijd te berekenen. Een parametrische studie op basis van de genoemde analytische benadering leverde onder meer als conclusie op, dat met name het luchtgehalte van het grondwater en de stijfheid van het korrelskelet van doorslaggevend belang zijn voor het optreden van sterke drukgradiënten en dus voor fluïdisatie.

In de literatuur zijn aanwijzingen gevonden, dat de stijfheid van het korrelskelet groter is onder een golfklap dan onder normale golfbelasting. Kwantitatieve gegevens voor klei zijn echter niet beschikbaar. Een nadere beschrijving van de relatie tussen belastingsnelheid en stijfheid van het korrelskelet is in dit rapport opgenomen.

Enkele verschillen in gedrag van de klei onder quasi-statische belasting en onder golfklappen zijn in dit rapport aangegeven. Naast een mogelijk verschil in stijfheid van het korrelskelet is ook sprake van grotere drukgradiënten onder golfklappen. Daarnaast kan de belastingamplitude bij golfklappen een orde hoger zijn dan bij quasi-statische golfbelasting. Bij golfklappen treden zeer lokale belastingen op, waardoor schuifspanningen in de kleilaag ontstaan. Fluïdisatie leidt tot een aanzet tot opdrukken van een dunne toplaag. Daarmee is nog niet gezegd, dat het omhoog gedrukte materiaal ook wegspoelt. Hiervoor is ten eerste nodig, dat de toplaag voldoende ver opgedrukt wordt om de

samenhang in de toplaag te verbreken. Daarnaast moet het losgeslagen materiaal bijvoorbeeld door langsstroming langs het talud worden afgevoerd.

Rekening dient gehouden te worden met de tijd die nodig is voor de toestroming van water. Wanneer de toplaag door de overdruk omhoog wordt gedrukt, zal er water vanuit de kleilaag toe moeten stromen om de groeiende holte onder de opgedrukte laag op te vullen. Indien het water niet snel genoeg kan toestromen, dan zal het drukverschil onmiddellijk sterk afnemen.

Gebleken is, dat laatstgenoemd effect aanzienlijk is. Derhalve dient bij nader onderzoek prioriteit gegeven te worden aan een beschouwing van de faalmechanis-men in de gefluïdiseerde toestand. Het effect van herhaalde belastingwisse-lingen en de daaruit volgende degradatie van de klei (vermoeiingseffeet) is daarbij één van de aandachtspunten. Andere aandachtspunten zijn het effect van onverzadigde zones in de klei en de voortplanting van drukken in een deels gescheurde klei.

(6)

1 f

1 I

ff

I

1 I

I

1 ff

I

t

I

ff

GRD Opdrachtnummer: MO 0 71 1.0 INLEIDING 1.1 Opdrachtformulering

Op 1 augustus 1991 ontving Fugro B.v. te Leidschendam opdracht van de Dienst Weg- en Waterbouwkunde van het Directoraat Generaal Rijkswaterstaat om een studie uit te voeren naar de reststerkte van een kleilaag onder gezette steen bij waterkeringen.

Deze studie diende een wiskundige uitwerking van de relevante mechanismen t' bevatten, alsmede een parametrische studie om de invloed van diverse parameter-te evalueren.

1.2 Probleemstelling

Wanneer de steenzetting niet meer aanwezig is en de kleilaag dus direct aan de belasting door het buitenwater blootstaat, dan kunnen de volgende mechanismen tot bezwijken van de klei leiden (zie fig 1.1):

- Slijterosie door het stromende water langs het oppervlak of door spleten en kanalen.

-Macro stabiliteitsverlies. Dit kan zijn het bezwijken van de onderliggende zandlaag, het afschuiven over de zandlaag van de kleidekking of het opdrukken van de gehele kleilaag.

- Brokerosie, bijvoorbeeld door het ontstaan van een afschuifvlak in de klei als gevolg van een golfklap of het lokaal door de stroming wegdrukken van onregelmatig gevormde delen van het kleioppervlak.

BEZWIJKEN DIJKLICHAAM SLIJT EROSIE OPPERVLAKTE EROSIE * EROSIE :» SFLETEN EN KANALEN \ AANTASTING STERKTE KLEILAAG BROK EROSIE AFSCHUIVEN 1 WEGDRUKKEN VAN BLOKKEN OPDRUKKEN 1 TRANSPORT VAN MATERIAAL MACRO- STABILITEITS-VERLIES BEZWIJKEN ONDERLIGGENDE ZANDLAAG AFSCHUIVEN VOLLEDIGE KLEILAAG OPDRUKKEN VAN KLEILAAG 1 _l_ 1 L F L U I

f

D I S 1 1 INTERACTIE OPPERVLAKTEWATER 1 1 A T I E - GRONDWATER - GROND

(7)

I

1 I

I

f

I

1 I

I

1

1 ff

I

1 I

Tot nu toe is het gebruikelijk om deze mechanismen afzonderlijk te beschrijven en te beoordelen. In sommige gevallen is echter een gecombineerde aanpak

vereist, omdat de mechanismen elkaar beïnvloeden. Zo geven inleidende bereke-ningen aan dat ten gevolge van een golfbelasting fluïdisatie op kan treden, waardoor de andere mechanismen die de reststerkte bedreigen ongunstig worden beïnvloed.

Derhalve is voorgesteld om door Fugro B.V. en Kingston Polytechnic Faculty of Science een onderzoek te laten uitvoeren naar de sterkte van een kleilaag onder gecombineerde golf- en stroomaanval. Dit onderzoek is niet alleen bruikbaar voor de bepaling van de reststerkte van klei onder gezette steen bij water-keringen, maar biedt tevens aanknopingspunten voor een betere beschrijving van het transportmechanisme voor cohesieve grond onder een combinatie van golf- en stroomaanval. Dit kan bijvoorbeeld van belang zijn voor de beoordeling van de sterkte van onverdedigde oevers.

De probleemstelling beperkt zich in het hier gerapporteerde deel van de studie tot:

-volledig verzadigde klei;

- een klei met een dusdanig scheurenpatroon, dat het mogelijk is de analyses met equivalente homogene materiaalparameters uit te voeren.

De effecten van fluïdisatie op de verschillende bezwijkmechanismen zullen in de studie slechts globaal worden aangeduid.

1.3 Fasering van de studie

Voor de studie is een gefaseerde aanpak gekozen. Deze fasering is zodanig, dat na fase 1 een afgerond (tussen)produkt kan worden gepresenteerd, op grond waarvan kan worden beoordeeld of de resultaten voldoende perspectief bieden om tot de uitvoering van de volgende fase(n) over te gaan.

De gekozen fasering is als volgt:

1. Modelontwikkeling voor de combinatie fluïdisatie en slijt-erosie, voor een homogene kleilaag van ca. 0,80 m dikte op zand (2 lagen model).

a. uitwerken van een wiskundig model met betrekking tot het tijdsafhankelijk fluïdisatiefront in de klei onder invloed van golfbelastingen (incl. golfklappen)

b. globale inschatting van de hoeveelheid transport op een helling van een tijdelijk gefluïdiseerde laag onder invloed van een parallelle stroming; c. uitvoeren van een parameterstudie m.b.t. het fluïdisatiefront bij gegeven

oppervlaktebelasting met als doel de praktische relevantie van de verschillende modelparameters te bepalen;

d. opstellen van de specificaties voor een proefopstelling voor de validatie van het wiskundig fluïdisatiemodel.

2. Validatie van het erosie-fluïdisatiemodel ("elementproeven"). a. bouwen proefopstelling;

b. uitvoeren kwalitatieve experimenten ter toetsing van de mechanismen: treedt fluïdisatie op en zo ja heeft dit een meetbaar effect op de erosie. Mogelijk bijstellen van de proefopstelling t.b.v. c ;

c. uitvoeren kwantitatieve experimenten ter toetsing van het wiskundig fluïdisatie-model;

d. toetsing van de bij c. gevonden resultaten van de experimenten aan de theorie en aan de resultaten van het Deltagoot-onderzoek.

(8)

I

1 I

I

1 I

I

n i_ I G R D Opdrachtnununer: M0071

3. Uitbreiding wiskundig model met materiaalstroming en schadeberekening. a. uitbreiding model voor materiaalstroming in de gefluïdiseerde toestand

bij gegeven drukrandvoorwaarden aan het oppervlak; b. uitvoering parametrische studie met het stromingsmodel;

c. toetsing van de bij 1c en 3b gevonden resultaten van het wiskundig model aan de literatuur en aan de (tussen)resultaten van de fase 2 experimenten en het Deltagoot- onderzoek;

d. bepaling van de gehomogeniseerde variabelen voor een heterogeen

materiaal. O.a. invloed van imperfecties (scheuren/spleten, naar aantal en naar oriëntatie);

e. bepaling van de micro-verdeling van belasting, verplaatsing en wa-terspanning bij een gegeven externe belasting;

f. opstellen van een geïntegreerd model, waarmee de schadegroei onder in-vloed van een gecombineerde golf- en stroombelasting kan worden berekend als functie van de tijd (d.w.z. van het aantal belastingherhalingen). Hiertoe zullen de veranderingen van het materiaal als gevolg van een gegeven externe belasting worden beschreven.

4. Validatie van het geïntegreerd model en ontwikkeling van classificatie-proeven voor grond en in-situ bepalingstechnieken voor schadeparameters, met name de dichtheid en richting van spleten.

1.4 Opzet van de rapportage

Dit rapport bevat de resultaten van fase 1 van de voorgestelde studie.

In hoofdstuk 2 wordt de uitwerking van het wiskundig model gegeven en wordt het model toegelicht. In hoofdstuk 3 zijn de resultaten van de parametrische studie naar de invloed van enkele belangrijke procesparameters samengevat. Hoofdstuk 4 bespreekt de resultaten van het ontwikkelde model waarna in hoofdstuk 5

(9)

I

1

1 I

I

i

2.0 UITWERKING VAN HET ANALYTISCH MODEL 2.1 Wiskundige formulering

De mathematische uitwerking van het fluïdisatiemodel is uitgevoerd door dr. M.A. Koenders van Kingston Polytechnic. In appendix A is de rapportage van dr. Koenders, "Surface Wave Loading of a Clay Slab" (versie september 1991)

integraal opgenomen.

Bij de uitwerking worden twee sporen gevolgd:

- een eenvoudig spoor, waarbij uitgaande van de Biot vergelijking een

uitdrukking voor de wateroverspanning in de kleilaag als funktie van diepte en tijd wordt gevonden. Deze wateroverspanning wordt vervolgens vergeleken met een kritische gradiënt in de kleilaag. Als randvoorwaarde is een opge-legde waterspanning aan het grondoppervlak gehanteerd. Wanneer de drukgra-diënt in het poriënwater groter is dan genoemde kritische gradrukgra-diënt (inclusief de treksterkte van de klei) dan kan fluïdisatie optreden.

- een verfijning van bovengenoemde methode, waarbij uitgaande van dezelfde basisvergelijkingen een fluïdisatiefront wordt aangenomen. De aanname van een fluïdisatiefront leidt tot een tijdsafhankelijke randvoorwaarde ("bewegend front"). Dit probleem is volledig analytisch uitgewerkt en vervolgens met een numerieke methode geverifieerd. Het voordeel van de analytische oplossing is, dat de resultaten gemakkelijker interpreteerbaar zijn.

Het eenvoudige model met de statische randvoorwaarden houdt noodgedwongen een discrepantie in: enerzijds worden formules afgeleid voor een "matrix opbouw", dus voor een grondlaag met samenhang, anderzijds blijkt uiteindelijk tot op zekere diepte fluïdisatie op te treden, zodat de formules strikt genomen niet geldig zijn. Het bewegend front model bevat deze beperking niet: Het eenvoudige model kan dan ook worden gezien als een methode om aan te tonen dat fluïdisatie als funktie van enkele parameters inderdaad mogelijk is.

(10)

I

1 I

I

1 I

Opdrachtnummer: M0071 2.1.1 Vereenvoudigde uitwerking

Aangenomen wordt, dat alle deformaties van de grond het gevolg zijn van herschikking van het korrelskelet en dat de korrels zelf onsamendrukbaar zijn. Bij volledig verzadigde grond leidt dan een volumeverkleining tot samendrukking van het poriënwater en tot uitstroming van poriënwater. Voor een homogeen materiaal (oneindig dikke kleilaag) leidt dit tot de bekende Biot vergelijking:

**•'«!§!?

<21)

Hierin is:

k = fysische doorlatendheid [m3s/kg]

p = wateroverspanning t.o.v. hydrostatische spanning [N/m2]

n = porositeit [-]

P = samendrukbaarheid poriënwater [m2/N]

t = tijd [s] e = volumerek [-]

De fysische doorlatendheid k hangt met de doorlatendheid kDarcy volgens

Darcy samen als kpwg =» kDarcy (pwg is het volumiek gewicht van water) .

Verder geldt:

Ao=Ao'+p <2-2>

Hierin is:

ACT = de toename in totaalspanning [N/m2]

ACT'= de toename in korrelspanning [N/m2]

Bovenstaand is de tekenconventie aangehouden zoals in de grondmechanica gebruikelijk is. Dit betekent, dat druk als positief en trek als negatief wordt gerekend. Dit wijkt af van de tekenconventie in appendix A, het eindresultaat is echter hetzelfde.

Vervolgens worden de volgende aannamen gedaan (zie figuur 2 . 1 ) :

Klei

V Z

Figuur 2. 1 geometrie en tekenafspraken

- de kleilaag ligt horizontaal naar beneden;

- de z-as loopt loopt vertikaal vanaf het kleioppervlak;

- de analyse is één-dimensionaal, alle afgeleiden naar x en y zijn 0; - ter plaatse van het kleioppervlak geldt een vertikale totaalspanning

(11)

I

i

t

I

i

t

i

Opdrachtnummer: M0071 Ao=£(t) (2-3)

Er wordt voorlopig een lineair verband tussen spanning en vervorming van het korrelskelet aangehouden:

Hierin is:

A = stijfheidsterm [N/m2]

e = volumerek [-]

Uit vergelijkingen (2.1) t/m (2.4) en de bovengenoemde aannamen volgt:

d z2 K a ' d t A d t De randvoorwaarden zijn: (2.5) |2=o voor z-« (2-6) dz en

p( t) =E( t) =-E0cos (wt) voor z=0 ( 2 . 7 )

Er wordt dus een harmonische golfbelasting aangehouden.

De oplossing van differentiaalvergelijking (2.5) onder de gestelde randvoorwaarden is:

p(z, t) =- j ^ — * [AnBe"|lz(cosa) tcosuz+sinw tsinuz) +coso>fc] (2.8)

Anp+1 waarin:

1 7 (2.9)

Aan de hand van vergelijking (2.8) kan berekend worden wat het drukverschil is tussen een punt op enige diepte (z=z0) en een punt aan het kleioppervlak

(z=0).

"Fluïdisatie"-criterium

Bovenstaand is het drukverloop in een poreus medium onder een golfbelasting uitgewerkt (2.8). In het model wordt er nu van uitgegaan, dat door dit drukverloop lokaal bezwijken van de klei kan optreden. Dit is het geval, wanneer ergens negatieve korrelspanningen optreden die in absolute zin groter zijn dan de treksterkte van de klei.

Fluïdisatie kan derhalve op een diepte z0 optreden indien het

waterdruk-verschil groter is dan het effectieve gewicht van de grond boven z=z0 plus

de treksterkte:

(12)

I

1 I

I

GRO Opdrachtnummer: MO 0 71 Hierin i s : CTtrek = d e t r e k s t e r k t e [N/m2]

pp = volumieke massa vaste delen [kg/m3]

pw = volumieke massa water [kg/m3]

De treksterkte hangt af van de cohesie en van de hoek van inwendige wrijving van de klei. In Appendix D is aangegeven, dat deze treksterkte groter kan zijn dan de effectieve cohesie: voor een hoek van inwendige wrijving van 20° is de treksterkte 1,4 a 1,9 maal de effectieve cohesie. In figuur 2.2 is formule 2.10 aans -^welijk gemaakt.

p (z.M

-geen f (uïdisatïe fluïdisatïe geen fluïdisatïe effectieve cohesie C'

Figuur 2.2 Mogelijke fluïdisatie als functie van de diepte

In appendix B is de vergelijking (2.10) in een eenvoudig computerprogramma uitgewerkt. Dit programma geeft als uitvoer:

- de minimale diepte zl waar fluïdisatie optreedt (zie fig. 2 . 2 ) ; - de maximale fluidisatiediepte z2 (zie fig. 2.2);

de maximale waarde "Am" van het drukverschil als functie van z, verminderd met de treksterkte otiek en het effectief gewicht van de bovenliggende grond ofwel: Am - atrek - (1-n) (/>p-pw)gz met

Am = max {p(z,t)-p(0,t)};

- de diepte z3 waarbij het drukverschil minus het effectief gewicht

van de grond het grootst is.

In hoofdstuk 3 zullen voorbeelden van de bovenbeschreven benadering worden uitgewerkt.

Bovenstaande vereenvoudigde benadering bevat de tegenstrijdigheid, dat enerzijds de formules worden afgeleid voor een grondlaag, waarin de samenhang intact is, terwijl anderzijds blijkt dat tot op zekere diepte deze samenhang door fluïdisatie verloren gaat.

Een betere en- voor zover bekend - nog niet eerder gevolgde benadering is

(13)

1 I

I

1 I

I

1 f

I

1 I

t

I

1

1 I

die waarbij op het moment dat eventuele fluïdisatie optreedt een tijdsaf-hankelijk fluïdisatiefront wordt aangenomen. Stel, dat op tijdstip t = tc

fluïdisatie optreedt tot een diepte 5, dan wordt vanaf dit moment het fluïdisatiefront z = 5(t) als tijdsafhankelijke randvoorwaarde gehanteerd. Het probleem is uitgewerkt voor een niet-cohesief materiaal (c'= 0) waarbij fluïdisatie vanaf het oppervlak optreedt.

De oplossing verloopt als volgt:

Allereerst wordt een algemene oplossing van het stelsel (2.5) opgesteld. De randvoorwaarde (2.6) blijft dezelfde, echter de "belasting" E(t) (randvoor-waarde (2.7)) is nu een willeurige funktie. Dit leidt tot een algemene oplossing voor de waterdruk en de drukgradiënt, zolang geen fluïdisatie optreedt.

Op tijdstip t=tc is de drukgradiënt zodanig, dat fluïdisatie optreedt:

Het f luïdisatiefront begint nu te bewegen en de situatie is als in figuur 2.3 aangegeven:

E(t) (wat-erspanning)

gefluïdiseerd gebied: ." .• . . ; •'. • ' . '• \ " . ' . p m = E m

- L _ _ _ : — : — — —- • S I M

niet- gefluïdiseerd gebied

Figuur 2.3 Bewegend front benadering . ,

p (z.t) De basisvergelijking (2.5) blijft dezelfde:

De randvoorwaarden ter plaatse van het fluïdisatiefront 6(t) (5(t) > 0) zijn nu:

j>P\ = ( i - n ) ( o - o )CT ( 2 . 1 2 ) g l » ( t > i x u' Krp Hv' »

en

p(8(t),t)=£(t) (2.13)

Laatstgenoemde randvoorwaarde geeft aan, dat is aangenomen, dat in het gefluïdiseerde gebied (z < 6(t)) de wateroverspanning p(z,t) gelijk is aan de opgelegde belasting E(t).

Verder geldt nog de randvoorwaarde:

-|£=0 voor z-~ (2.14)

(14)

I

1 I

Opdrachtnummer: M0071 GRO

De begincondities zijn de druk en drukgradiënt zoals berekend op tijdstip t = tc.

De oplossing van differentiaalvergelijking (2.5) onder de randvoorwaarden (2.12) t/m (2.14) vergt gecompliceerde wiskundige bewerkingen, die in appendix A zijn opgenomen.

Uiteindelijk volgt een uitdrukking voor de positie van het fluidisatiefront als funktie van de tijd, welke hier voor de volledigheid is opgenomen:

Eit) E(t)-E(tc) X2 (t-Cc) * (t-tc+-c) •]dx (2.15) Hierin i s : T = hulpvariabele en: ic=(l-n) C(t)=- EU)

Wanneer E(t) opgebouwd gedacht wordt uit tijdsintervallen waarbinnen het verloop lineair is, wordt de integraal in uitdrukking (2.15) eenvoudig oplosbaar. In de figuren 2.4 en 2.5 is een gelineariseerde benadering van een quasi-statische golfbelasting gegeven.

P (N/m2)

h t ( s )

Figuur 2.4 Benadering "harmonische" golfbelasting

(15)

I

1 I

I

1 I

I

Opdrachtnummer: M0071 GRO

P

; N/m

2

)

Figuur 2.5 Benadering golfklap

In figuur 2.6 is nog een voorbeeld van het gemeten verloop van een golfklap gegeven. Deze figuur is ontleend aan lit. [9J.

PRESSURE"

min

TIME-DEPENDENT PRESSURE DISTR1BUTON AT PLUNGING POINT DUE TO WAVE IMPACT

Pm i n> MINIMUM PRESSURE iO P, =-QUASI-STATIC " PRESSURE P2 *~ IMPACT" PRESSURE t , = RISING TIME OF P , 12 * " IMPACT " DURATION T «WAVE PERIOD t, TIME t, t = 0

Figuur 2.6 Gemeten golfklap (ontleend aan lit. [9])

De golfbelasting pext(t) u^ t de figuren 2.4 en 2.5 kan in algemene vorm als

volgt worden geschreven:

Pext(t) = at voor 0 < t < t:;

ati +b(t-t!) voor t1 < t < t2; (2.16)

ati + b(t2 -ti) + c(t-t2) voor t > t2.

waarin

a, b en c te kiezen parameters

Bij een golfbelasting volgens (2.16) kan het tijdsverloop van het fluïdisa-tiefront worden berekend met een eenvoudig computerprogramma, dat is opgenomen in appendix B. In het programma dienen de diverse variabelen en de bovenvermelde parameters a,b en c te worden ingevoerd.

(16)

I

_ I B R D Opdrachtnummer: M0071

2.2 Bespreking van het model

Het in 2.1 beschreven model is een voor de hand liggende uitwerking van de bekende Biot basisvergelijkingen. De analytische oplossing van de differen-tiaalvergelijking onder de gestelde randvoorwaarden is echter dermate complex, dat deze voor zover bekend nog niet eerder is opgesteld.

Het principe van de methode is aan de hand van grond-, korrel- en

waterspanningsfiguren geïllustreerd in Appendix C: figuren C1 en C2. Bij een (vrijwel) statische waterstand verlopen de grondwaterspanningen U

hydrostatisch. Wanneer nu de waterstand geleidelijk verandert van een hoogte h0

naar een maximale hoogte h^^ of een minimale hoogte h„,in blijven de

waterspanningen hydrostatisch. De effectieve spanningen o' blijven tijdens deze geleidelijke waterstandsveranderingen konstant. In figuur C1 is dit proces schemat i sch weergegeven.

Bij een snelle verandering van de waterstand zoals bij een golfaanval -zullen, wanneer het poriënwater als onsamendrukbaar kan worden opgevat, de opgelegde veranderingen in totaalspanning o zich onmiddellijk vertalen in een verandering van de grondwaterspanning, zodat figuur C1 van toepassing blijft. Is het poriënwater echter samendrukbaar, hetgeen bij een relatief hoog

luchtgehalte het geval kan zijn, dan treedt de situatie van figuur C2 op. Aan het oppervlak van de kleilaag dient de grondwaterspanning per definitie gelijk te zijn aan de opgelegde waterdruk. Op enige diepte zal echter door de

relatieve stijfheid van het korrelskelet de verandering van de totaalspanning o worden opgenomen door een verandering in korrelspanning a' . Bij een snelle verlaging van de waterstand kan daarbij de situatie van negatieve korrelspan-ningen ontstaan, zoals in de onderste figuur van C2.

In hoofdstuk 3 zal het bovenstaande en dan met name het verloop van de grondwaterspanning als funktie van diepte en tijd worden gekwantificeerd. Zowel het eenvoudige model als het bewegend front model bevatten enkele beper-kingen of vereenvoudigingen van de werkelijkheid, waarvan de belangrijkste hieronder zijn samengevat:

- De kleilaag ligt volledig horizontaal, er zijn derhalve geen initiële

schuifspanningen in het grondmassief aanwezig. Voor de beschrijving van het fluïdisatie mechanisme wordt dit niet direkt relevant geacht.

- Er is sprake van een oneindig uitgestrekte belasting. Gelet op de beperkte dieptewerking van de wateroverspanningen (orde promillen van de golfhoogte)

in verhouding tot de "breedte" van het belaste oppervlak (orde tientallen procenten van de golfhoogte) mag deze aanname realistisch worden geacht. - Bovenstaande twee aannamen impliceren, dat er feitelijk van een

één-dimensionale benadering sprake is.

- Er is uitgegaan van een oneindig dikke kleilaag. In het geval van een homogene klei blijken de belangrijkste verschijnselen zich dicht onder het oppervlak af te spelen, zodat een kleilaag van 0,8 meter bijvoorbeeld ook als oneindig dik gezien kan worden.

- Er is uitsluitend sprake van een oneindig dikke homogene kleilaag. In werkelijkheid zal met name boven de gemiddelde grondwaterlijn de klei

heterogeen van samenstelling zijn en zullen zich tal van breukvlakken in de klei bevinden ("gestructureerde" klei). Op macro-schaal kan deze

gestructureerde klei wel weer als een homogeen medium worden opgevat, met een relatief grote doorlatendheid en een geringe samenhang (cohesie). Wanneer de afstanden tussen scheuren en breukvlakken in de klei aanmerkelijk kleiner zijn dan de dikte van de kleilaag is de aanname van een oneindig dikke

(17)

I

kleilaag nog gerechtvaardigd. Bij een 0,8 meter dikke kleilaag betekent dit afstanden in de orde van centimeters. Bij afstanden tussen scheuren en

breuken in de orde van decimeters kan echter niet meer van een oneindig dikke kleilaag worden gesproken en is ook de benadering door een homogeen materiaal niet meer mogelijk.

- Er is uitgegaan van volledig verzadigde klei, m.a.w. de grondwaterstand staat bij het aangrijpen van de belasting minimaal gelijk aan de bovenkant van de kleilaag. Dit is een realistische aanname bij de maatgevende

belastingomstan-'igheden.

- ^«aartekracht- en traagheidstermen zijn verwaarloosd, de analyse is dus quasi-statisch. Nader onderzoek heeft uitgewezen, dat de relevante diepten voor de inwerking van golven in het model dermate gering is, dat deze zwaartekracht-en traagheidstermen in het model inderdaad geen rol van betekenis spelen.

- In het model gedraagt de grond zich lineair elastisch, een konstante

stijfheidsterm A geeft het verband tussen spanningsverandering en volumerek. Deze stijfheidsterm is in werkelijkheid onder meer afhankelijk van de

belastingfrequentie w, van het rekniveau en van de gemiddelde effectieve spanning, die met de diepte toeneemt.

Samenvattend zijn dus de belangrijkste beperkingen:

1 Er is geen rekening gehouden met de heterogene structuur van de klei.

Voorlopig is dit ondervangen door van quasi homogene klei-eigenschappen uit te gaan. Het in rekening brengen van heterogene klei kan in een later stadium ingebracht worden.

2 De geometrie van het kleitalud en van de belasting (meer-dimensionale beschouwing) is nog niet ingebracht. Dit kan als een verfijning van het huidige model worden gezien.

3 De stijfheidsterm A is als constante ingevoerd. In paragraaf 3.3 is nader onderzoek naar de stijfheidsterm uitgevoerd.

(18)

I

E R O

3.0 PARAMETRISCHE STUDIE

3.1 Invloedsparameters in het model

De belangrijkste parameters in het in hoofdstuk 2 uitgewerkte model zijn: n = porositeit [-] /? = s a m e n d r u k b a a r h e i d p o r i ë n w a t e r [m2/N] Eo = b e l a s t i n g a m p l i t u d e [N/m2] u = b e l a s t i n g f r e q u e n t i e [rad/s] k = f y s i s c h e d o o r l a t e n d h e i d [m3s/kg] CTtrek = t r e k s t e r k t e v a n d e k l e i [N/m2] A = s t i j f h e i d s p a r a m e t e r [N/m2]

porositeit

Voor klei kan als redelijke waarde van de porositeit n = 0,50 worden aangehouden.

In het algemeen zal de porositeit niet lager zijn dan 0,30 en niet hoger dan 0,70.

samendrukbaarheid poriënwater

De samendrukbaarheid van het poriënwater hangt af van het luchtgehalte. Het volgende verband tussen luchtgehalte en samendrukbaarheid fi kan worden aangehouden: luchtgehalte 0% 0,1 % 1 % 10 % samendrukbaarheid B 5 x 10"1 0 1 x 10~8 1 x 10^7 1 x 10~6

Daarnaast is de samendrukbaarheid ook afhankelijk van de verzadigingsgraad S van de klei; voorlopig wordt de klei echter als volledig verzadigd aangenomen. Belastinqamplitude

De golfaanval op een talud heeft een langzame component, die als sinusvormig en quasi-statisch kan worden opgevat een snelle component, de golfklap, zie figuur 3.1 en figuur 2.4 t/m 2.6.

brekende golf stijghoogte talud

Figuur 3.1 Brekende golf op een talud (ontleend aan l i t . [1])

(19)

I

In lit. [1] worden deze golfkomponenten beschreven. Daarin wordt aangegeven, dat de drukken tengevolge van golfklappen slechts weinig groter zijn dan de drukken door de quasi-statische golfdruk. In andere publicaties worden drukken ten gevolge van golfklappen genoemd, die een factor 3 a 10 hoger zijn dan de drukken door quasi-statische golfbelastingen.

Een maximale waarde voor Eo van 40 kN/m2 is aangehouden. Als quasi-statische

golfamplitude is dit bijzonder hoog. Het moet echter niet uitgesloten worden geacht, dat lokaal zeer kortdurende golfklappen met een nog hogere amplitude kunnen optreden.

Belastingfreguentie

De belastingduur van bovengenoemde golfbelasting is variabel. In de

berekeningen is voor de quasi-statische golfbelasting een sinusvormig verloop aangehouden met een periode van ongeveer 10 s. De belastingfrequentie w is derhalve 0,63 [rad/s].

De golfklappen zijn kortdurend, de periode bedraagt ca. 100 ms. In het

vereenvoudigde model is deze belasting in eerste instantie als een sinusvormig verschijnsel geschematiseerd met frequentie van 63 [rad/s]. Daarnaast zijn ook berekeningen uitgevoerd met de "bewegend front" benadering en een reëler

pulsvormig verloop, zie figuur 2.5. Fysische doorlatendheid

De fysische doorlatendheid k volgt uit de doorlatendheid kDarcy volgens Darcy:

[m3s/kg]

met pw = volumiek gewicht water ~ 1000 [kg/m3]

g = versnelling van de zwaartekracht = 10 [m/s2]

De doorlatendheid van klei hangt sterk samen met de structuur en het

siltgehalte. Voor gestructureerde klei lijkt een gemiddelde doorlatendheid kDarcy van 2*10"5 [m/s] reëel, voor homogene en onbeschadigde klei kan de

doorlatendheid globaal variëren tussen 1*10"7 en 1*10~10 [m/s].

Stijfheidsparameter A

Deze stijfheidsparameter is afhankelijk van:

- De optredende rekken. Hoe groter de rek, des te lager de stijfheid.

- De aanwezige effectieve spanning in de grond. Deze neemt toe met de diepte z, zodat ook A met z toeneemt.

- Aantal belastingcycli. Met name in klei kan de stijfheid sterk afnemen als funktie van het aantal belastingwisselingen.

- Belastingfrequentie. In het algemeen wordt aangenomen, dat de belasting-frequentie tussen 0,1 en 300 Hz slechts een marginale invloed heeft op de stijfheid, zie bijvoorbeeld lit. [2 t/m 4 ] . In lit [3] worden proeven gepresenteerd waarin de invloed van belastingfrequentie op de

glijdingsmodulus is onderzocht. De relevantie voor de modelvorming in dit rapport van deze en soortgelijke proeven is discutabel, omdat de stijfheids-parameter A slechts zijdelings met de glijdingsmodulus samenhangt en omdat de proeven zijn uitgevoerd bij relatief hoge alzijdige spanningen in de

beproefde monsters.

- Kruipeffecten, hier niet relevant, gezien de beperkte tijdschaal.

- Soort klei: opbouw, samenstelling, poriëngehalte, verzadigingsgraad. Voor de modelvorming zijn deze absolute verschillen minder relevant.

(20)

I

BHD Opdrachtnummer: M0071

- Snelheid van belasten. Met name bij geringe effectieve spanningen kan de stijfheid sterk van de belastingsnelheid afhankelijk zijn. In paragraaf 3.3 wordt hierop teruggekomen.

In de berekeningen is aangenomen, dat de stijfheidsparameter A globaal kan variëren tussen 5*10+5 en 5*10+7 [N/m2].

Treksterkte

Zoals in appendix D is uitgewerkt, bestaat er een relatie tussen de treksterkte van de klei en de sterkte parameters c' en <p' onder de aanname van een Mohr-Coulomb bezwijkgrens.

Bij de bepaling van de trekster..c<^ dient onderscheid gemaakt te worden tussen een geheel "onbeschadigde" klei onder de gemiddelde grondwaterlijn en een gestructureerde klei. Op micro-niveau kan de "cohesie" zeer groot zijn, orde 106 [N/m2], terwijl deze op macro niveau bijvoorbeeld 5 a 10*103 [N/m2] is.

Het is evident, dat de "cohesie" of treksterkte op micro-niveau niet door golfbelastingen wordt verbroken.

Bij grondmechanische beschouwingen worden deze zeer hoge kontaktkrachten op micro-niveau overigens buiten beschouwing gelaten.

3.2 Gevoeligheidsberekeningen

3.2.1 Vereenvoudigd model, verloop van de waterspanningen

Voor een nader parameteronderzoek zijn berekeningen gemaakt met de formules (2.8) en (2.9). Allereerst zijn de wateroverspanningen berekend als funktie van diepte en tijd, waarbij de diverse invloedsparameters zijn gevarieerd. De

waterdruk aan het kleioppervlak verloopt harmonisch.

In figuur 3.2 is een voorbeeld gegeven van het verloop van de wateroverspanning p(z,t) als funktie van diepte en tijd bij de volgende invoerparameters:

A = 5*107 [N/m2] kDarcy = 3,0*10~8 [m/s] n = 0,5 [-]

/3 = 1*10"7 [m2/N] w = 10 [rad/s] Eo = 4,0*10* [N/m2]

WJ.5 T

-40

depte z (m)

Figuur 3.2 Wateroverspanning als funktie van de diepte

0 J

(21)

I

Opdrachtnummer: M0071 GRD

In figuur 3.2 zijn ook z1 ; Am en z3 bij een treksterkte van 10 kN/m2 aangegeven

(zie ook figuur 2.2). De gradiënten in de wateroverspanning ontstaan doordat de waterspanning op enige diepte de veranderde waterspanning aan het oppervlak niet volgt. Figuur 3.2 is vergelijkbaar met figuur 2.2, alleen zijn nu meerdere tijdstippen in één figuur verzameld en is niet het drukverschil {p(z,t)~

p(0,t)}, maar alleen p(z,t) uitgezet.

In deze paragraaf wordt de invloed van de diverse parameters op het verloop van de waterspanningen onderzocht. In de volgende paragraaf 3.2.2 wordt meer in detail gekeken naar de fluïdisatiediepte 6 en naar de drukamplitude Am. Invloed van samendrukbaarheid van het grondwater (B en n)

In alle vergelijkingen die het model beschrijven komt de combinatie n0 voor. De onzekerheid ten aanzien van de samendrukbaarheid van het grondwater f} is veel groter dan de onzekerheid in de porositeit n, zodat voor het parameteronderzoek alleen p is gevarieerd en wel tussen 5*10"6 [m2/N] (zeer samendrukbaar

grondwater) en 5*10'9 [m2/N] (weinig lucht). In figuur 3.3 en 3.4 zijn de

resultaten weergegeven. Deze resultaten zijn in overeenstemming met de figuren C1 en C2 in appendix C. Boven de grafieken zijn de ingevoerde parameters

aangegeven. Geconcludeerd mag worden, dat een lage n0 waarde (vrijwel geen lucht in het grondwater) ertoe leidt, dat geen gradiënten in de waterspanning ontstaan. Bij een hoger luchtgehalte ontstaan wel sterkte gradiënten.

A = 5*107 [N/m2] kDarcy = 3,0*1(r8 [m/s] n = 0,5 [-] B = 5*10'6 [m2/N] w = 10 [rad/s] Eo = 4,0*10* [N/m2] MIJ T 0.0002 0X005 0X02 0.009 0X2 depte z (m) 0X5 0.5

Figuur 3.3 wateroverspanning als funktie van de diepte bij een hoge waarde van B

(22)

I

1 I

I

GRO Opdrachtnummer: MO 0 71 A

/3

5 * 1 07 [ N / m2] kD a r c y = 3 , 0 * 1 0 '8 [ m / s ] n = 0 , 5 [ - ] 5 * 1 0 '9 [ m2/ N ] w = 10 [ r a d / s ] Eo = 4 , 0 * 1 0 * [ N / m2] 40- W> J T 30-

20-1

I

\ 10-=<JT •10 2 0 •10 8 0 --40 aO.2T 0.0002 0.0005 0X02 0.005 0.02 depte z (m) 0X3 0.2

Figuur 3.4 wateroverspanning als funktie van de diepte bij een lage waarde van

P

Invloed van de belastingamplitude Eo

De belastingamplitude Eo is de randvoorwaarde aan het kleioppervlak. De

amplitude van de wateroverspanningen voor een diepte d = 0 is dus lineair afhankelijk van Eo. In figuur C3 is dit geïllustreerd. Eo werd gevarieerd van

1*1 0A tot 1*1 O5 [N/m2].

Invloed van de doorlatendheid kP3rc„

De doorlatendheid kDarcy hangt af van de eigenschappen van de klei en van het al

dan niet "gestructureerd" zijn van de klei. In de bijlagen C4 en C5 is de invloed van kdarcy aangegeven. Voor een gestructureerde klei is een waarde

aangehouden van 2*10"5 [m/s], bij een homogene klei werd kDarcy gevarieerd tussen

1*10"7 en 1*10"10 [m/s]. Er geldt hoe lager de waarde van kDarcy, des te ondieper

de invloed van de wateroverspanning en derhalve des te hoger de gradiënten. De verdere gevoeligheidsberekeningen gaan uit van twee kDarcy waarden: een lage

(kDarcy = 3*10"8 [m/s]) en een hoge waarde (kDarcy = 2*10"5 [m/s])

Invloed van de stijfheid van het korrelskelet A

Het verloop van de wateroverspanningen als funktie van de diepte wordt deels bepaald door de verhouding van de stijfheid van het korrelskelet enerzijds en de samendrukbaarheid van het grondwater anderzijds. Verhoging van de samendruk-baarheid fi heeft dus een zelfde effect als verhoging van de stijfheid A. In de bijlagen C6 en C7 zijn de resultaten van berekeningen met verschillende waarden van A gepresenteerd:

A = 1*107 respectievelijk 1*108 [N/m2];

Daarbij zijn voor kDarcy waarden van 3*10"8 (bijlage C6) en 2*10"5 [m/s]

(bijlage C7) aangehouden.

(23)

I

Invloed van de belastinqfrequentie w

Evenals de belastingamplitude Eo bepaalt de belastingfrequentie w de

randvoorwaarde aan het kleioppervlak. In de bijlagen C8 en C9 zijn de resultaten van berekeningen met verschillende waarden van o> gegeven: w = .63 [rad/s] respectievelijk 63;

Daarbij zijn voor kDarcy waarden van 3*10'8 (bijlage C8) en 2*10'5 [m/s]

(bijlage C9) aangehouden.

Het blijkt, dat w geen invloed heeft op de wateroverspanning aan het kleiopper-vlak, maar wel op de dieptewerking van de opgelegde waterspanning aan het

oppervlak. Bij een hoge w is doordringing in de diepte var. de wat3roverspanning geringer, waardoor uiteindelijk de gradiënt in waterspanning groter is.

Tenslotte zijn nog enkele berekeningen gemaakt uitgaande van de hypothese, dat er een lineaire relatie bestaat tussen de belastingfrequentie u en de stijfheid van het korrelskelet A.

De volgende berekeningen zijn gemaakt:

bij kDarcy = 3*10"8 [m/s]: w = 0,63 [rad/s] en A = 1*107 [N/m2]

w = 63 [rad/s] en A = 1*108 [N/m2] (bijlage C10)

bij kDarcy = 2*10"5 [m/s]: w = 0,63 [rad/s] en A = 1*107 [N/m2]

w = 63 [rad/s] en A = 1*108 [N/m2] (bijlage C11)

Het is duidelijk dat een hoge belastingfrequentie in combinatie met een hoge stijfheid A leidt tot hoge drukgradiënten en düs tot een hoge waarschijnlijk-heid van fluïdisatie.

3.2.2 Vereenvoudigd_model1_fluïdisatiediepten

Teneinde inzicht te krijgen in de relatieve invloed van de diverse in 3.1

genoemde parameters op de fluïdisatiediepten en op het maximale drukverschil Am zijn berekeningen met het computerprogramma in appendix B uitgevoerd. Dit

programma levert de volgende berekeningsresultaten (zie figuur 2 . 2 ) : - d e minimale diepte z1 waar fluïdisatie optreedt;

- de maximale fluïdisatiediepte z2;

- d e maximale waarde "Am" van het drukverschil als functie van z, verminderd met de treksterkte crtrek en het effectief gewicht van de bovenliggende grond ofwel: Am - atrek - (1-n) (pp-pw)gz met

Am = max [p(z,t)-p(0,t)};

- de diepte z3 waarbij het drukverschil minus het effectief gewicht van de

grond het grootst is.

Allereerst is een berekening gemaakt met de volgende set parameters: A = 1*108 [N/m2] k = 1,5*10'13 [m3s/kg] n = 0,5 ,8 = 1*10"8 [m2/N] w = 10 [rad/s] Eo = 4,4*10* [N/m2] atrek = 5000 [N/m2] De resultaten waren: z1 = 4,2*10"* [m] z2 = 1,17 [m] z3 = 3,25*10"3 [m] A,,, = 10658 [N/m2]

Vervolgens is telkens één van de parameters vervangen door een hogere of lagere waarde, terwijl de overige parameters constant werden gehouden. De resultaten zijn samengevat in de onderstaande tabel 3.1:

(24)

I

BHO Opdrachtnummer: M0071

Tabel 3.1 Vereenvoudigd model: berekeningsresultaten treksterkte = 5000 N/n£

afwijkende parameter

a l l e parameters als bovenvermeld A = 1*107 A = 2*108 n = 0,3 n = 0,7 B = 0,5*10'9 B = l,5*10'6 Eo = 2,2*10* Eo = 6,6*10'' u = 0,63 u = 63 k = l*10"1A k = 1*10~n z1 [m] 4,2*10"'' z2 [m] 1,17 Z3 M 3,25*10"3 A [N/m2] 10658 g e e n f l u ï d i s a t i e 3,5*10"'' 7,6*10"'' 4.0*10"'' 2,06 0,44 2,65 4,00*10 3 3,50*10"3 3,10*10"3 18494 5818 14360 g e e n f l u ï d i s a t i e 2,0*10"5 9,9*10"'' 2,8*10"* 1,69*10"3 1,69*10"'* 1,10*10"'' 3,50*10"3 4,66 0,283 2,06 1,17 1,17 1,17 1,17 4,60*10"4 3,25*10"3 3,26*10"3 1,30*10"2 1,30*10"3 8,40*10"'' 2,54*10"2 41413 2815 18500 10578 10674 10677 10468

Tabel 3.1 geeft inzicht in de relatieve invloed van de diverse parameters: zo blijken met name de stijfheidsparameter A en de samendrukbaarheid fi bepalend te kunnen zijn voor het al dan niet optreden van fluïdisatie.

Invloed van de treksterkte

Het bovenstaande parameteronderzoek is nogmaals uitgevoerd met de zelfde sets parameters, alleen is nu de treksterkte tweemaal zo hoog aangehouden:

atrek = 10000 N/m2, zie tabel 3.2.

Tabel 3.2 Vereenvoudigd model: berekeningsresultaten treksterkte = 10000 N/në

alle parameters als bovenvermeld A = l*107 A = 2*108 n = 0,3 n = 0,7 8 = 0,5*10'9 B = l,5*10"6 Eo = 2.2*10'' Eo = 6,6*10'' Z l [<"] 9,9*10"'' z2 [m] 0,467 z3 [m] 3,25*10"3 Aj, [N/m2] 5652 g e e n f l u ï d i s a t i e 6,9*10"'' 2,1*1O"3 8,O^O"4 1,20 1,5*10"2 0,81 4,00*10"3 3,50*10'3 3,05*10"3 13487 824 9344 g e e n f l u ï d i s a t i e 4,0*10"5 3,34 4,60*10"'' 36430 g e e n f l u ï d i s a t i e 5,7*10"'' 1,20 3,26*10"3 13494 20

(25)

I

Opdrachtnummer: MO071 GRO

alle parameters als bovenvermeld

u = 0,63 o = 0,63 k = 1*10'14 k = 1*10'U - VERVOLG zi [m] 9,9*10'* 3,94*10"3 3,94*10'A 2,55*10~A 8,10*10"3 TABEL 3.2 -z2 [m] 0,467 0,467 0,467 0,467 0,467 z3 [tn] 3,25*10~3 1,30*10'2 1,30*10"3 8,40*10'* 2,54*10~2 Aa, [N/m2] 5652 5555 5671 5676 5424

Door het verhogen van d e treksterkte neemt, zoals te verwachten w a s , d e diepte

zx toe en d e diepte z2 af. De waarde van A,,, neemt af met een bedrag v a n ongeveer

5000 N/m2 (gelijk aan d e toename van de treksterkte)

In bijlage B is een computerprogramma gegeven voor d e uitwerking van d e

bewegend front benadering. Voorlopig is alleen een uitwerking gemaakt voor een niet-cohesief materiaal.

Gezien d e resultaten v a n de gevoeligheidsanalyses in d e voorgaande paragraaf is

een /3 waarde van 1*10"7 [m2/N] aangehouden, zodat fluïdisatie kan optreden. De

waarden van Eo en n zijn niet gevarieerd: Eo = 4*10* [N/m2] en n = 0,5 [-]

In d e figuren 3.5 en 3.6 is d e positie van het bewegend front 5 als funktie van de tijd gegeven. Daarbij is in figuur 3.5 een quasi statische golfbelasting doorgerekend (zie fig. 2.3) en in figuur 3.6 een golfklap (zie fig 2 . 4 ) . Bij d e

golfklap is een stijfheid A van 5*108 [N/m2] aangehouden, b i j d e

quasi-statische belasting een stijfheid A van 5*106 [ N / m2] . In d e beide figuren zijn

zowel d e resultaten voor kDarey =2*10"5 als voor kDarcy = 3*10"8 [m/s] aangegeven.

H|d (s)

hoge k hoge bèta lage k hoge bèta

Figuur 3.5 Bewegend front als funktie van de tijd, (quasi-statische

golfbelasting)

(26)

I

BRO Opdrachtnununer: MO071 1.1 1.0 0.9 wO.7 ! » • • > 8 5 0.3-0.1 0.0 0.060 0.070 0.080 Hld(s) 0.090 0.100

hoge k hoge bèta lage k hoge bèta

Figuur 3.6 Bewegend front als funktie van de tijd, (golfklap belasting)

In de figuren 3.7 en 3.8 zijn dezelfde berekeningen nogmaals uitgevoerd, ditmaal echter met een lagere p waarde van 1*10"9 [m2/N]

i.i 1.0 0.9 0.8 O 0.7 "O 0.6 0 J -0.4 O J oa 0.1 0.0 —i—m—T'^

r

—i—i—i— 3.0 4.0 3.0 «ld (•) 6.0 7.0 8.0

lage k lage bèta

Figuur 3. 7 Bewegend front als funktie van de tijd, (quasi-statische golfbelasting). Bij hoge k geen fluxdisatie

(27)

-22-I

I

GRO Opdrachtnummer: M0071 0.220 0.200 0.180 0.160 .140 % 0.120 13 o.ioo *g-0X80 ~° 0.060 0X40 0X20 0X00 rTT «-/ 0X60 0X70 0X80 0X90 0.100

hoge k lage bèta

lage k lage bèta

Figuur 3.8 Bewegend front als funktie van de tijd, (golfklap belasting)

In de figuren 3.5 t/m 3.8 is alleen de ontwikkeling van het bewegend front getekend zolang de fluïdisatiediepte nog toeneemt. De berekening is gestopt op het moment dat 6 weer begint af te nemen.

Uit de figuren 3.5 t/m 3.8 blijkt allereerst, dat deze eerste rekenresultaten onrealistisch grote fluïdisatiediepten opleveren. Dit wordt onder meer

veroorzaakt door de erg hoge waarde van de belastingamplitude Eo, die bij

benadering lineair in de berekende diepte doorwerkt. Bovendien is het bewegend front afgeleid voor een niet-cohesief materiaal, terwijl de parameters zijn ingevoerd zoals deze voor klei zouden kunnen gelden. Voor het parameteronder-zoek wordt in eerste instantie niet de absolute waarde van de berekende fluïdi-satiediepte, maar de afhankelijkheid van de parameters van belang geacht.

In het algemeen neemt de f luïdisatiediepte S toe met de samendrukbaarheid fï en af met de doorlatendheid k. Bij een lage doorlatendheid is de invloed van fl groot en bij een hoge doorlatendheid is de invloed van £ klein. Omgekeerd is bij een lage f} de invloed van k groot en bij een grote waarde van £ de invloed van k klein. Deze observaties stemmen overeen met de bovenvermelde conclusies uit de vereenvoudigde benadering.

3.3 Invloed van de belastinqsnelheid op de stijfheidsparameter A Belang van de stijfheidsparameter A

Zoals in § 3.2 bleek is de stijfheid van het korrelskelet A een belangrijke modelparameter. Uitgaande van een lineair-elastisch materiaal geldt:

= K

s«

(N/m2

met K = kompressiemodulus G = glijdingsmodulus

(28)

I

Opdrachtnummer: MO 0 71 GRO

De grootte van A is erg onzeker, terwijl de invloed van A op de optredende drukgradiënten groot is. Bij vergelijking van gedrag van klei onder quasi-statische golfbelasting enerzijds en onder golfklappen anderzijds is het

essentieel eventuele verschillen in stijfheid als funktie van de belasting mee te nemen (rheologisch model). Daaraan dient nog te worden toegevoegd, dat deze verschillen bij een lage of zelfs negatieve waarde van de effectieve spanning dienen te worden vastgesteld.

Literatuuronderzoek

Uit de literatuur zijn diverse rheologische modellen bekenJl waarin het gedrag van grond afhankelijk is van de reksnelheid ê, zie bijlage C12. In fig. 3.9 is het bekende Keivin model weergegeven, waarbij de reksnelheids-afhankelijke component door een demper wordt gerepresenteerd.

Figuur 3.9 Kei vin model Keivin or Voight

Deze modellen zijn in het algemeen alleen gebruikt om het verschijnsel kruip (spanningsrelaxatie) te beschrijven. De tijdschaal die gebruikt wordt is dan ook minuten of uren in plaats van seconden of fracties van een seconde, waarvan bij golfbelasting sprake is.

Vanuit de gronddynamica is wel onderzoek gedaan naar het gedrag bij

korterdurende ofwel hoogfrequentere belastingen, zie lit. [2], [3] en [4]. Hierbij werd ondermeer gebruik gemaakt van holle, cylindervormige grondmon-sters, die aan een wisselende schuifspanning werden onderworpen. Uit genoemde onderzoeken (lit. [2], [3] en [4]) werd geconcludeerd, dat de belastingfre-quentie (die sterk samenhangt met de reksnelheid) slechts een marginale invloed heeft op de glijdingsmodulus G. De relevantie van dit onderzoek voor het

grondgedrag is echter beperkt, omdat:

- alleen de glijdingsmodulus onderzocht is, terwijl ook de kompressiemodulus K een belangrijke bijdrage aan de stijfheid levert;

- de proeven zijn uitgevoerd bij een relatief hoog niveau van de gemiddelde effectieve spanning, terwijl onder golfbelasting de effectieve spanning zeer gering of zelfs negatief kan worden.

Onderzoek naar het gedrag van grond bij verschillende reksnelheden onder de gewenste condities, namelijk een zeer geringe effectieve spanning en meting van de kompressiemodulus gescheiden van waterspanningseffecten, is niet voorhanden.

In lit. [6] wordt vanuit het vakgebied van de fysische chemie melding gemaakt van een dichte suspensie met een z.g. Bingham rheologisch gedrag, zie fig. 3.10.

(29)

I

Opdrachtnununer: MO 0 71 GRO Binqham

Figuur 3.10 Bingham-rheologisch model.

De vloeispanning hangt hierbij, zoals door metingen is vastgesteld, sterk af van de reksnelheid: hoe hoger de reksnelheid des te hoger de vloeispanning. Laatstgenoemd onderzoek kan een indicatie geven van een

reksnelheids-afhankelijke stijfheid, echter directe metingen van de stijfheid - en dus niet van de vloeigrens - zijn niet uitgevoerd: het materiaal wordt tot aan de

vloeigrens geacht oneindig stijf te zijn. Toepassing van een dergelijk materiaalmodel voor klei betekent, dat de gehanteerde lineair-elastische theorie dient te worden verlaten.

Op micro-niveau bestaat klei uit aantallen volledig verschillend georiënteerde deeltjes, waarbij de kontaktkrachten tussen de deeltjes zeer sterk variëren. Gezien deze structuur is het realistisch te veronderstellen, dat iedere spanningsverandering, hoe gering ook, wel ergens op micro-niveau leidt tot overschrijding van de maximale kontaktkrachten en dus tot blijvende

(plastische) deformaties.

Uitgaande van deze veronderstelling en het feit dat plastische deformaties toe-nemen met de tijdsduur van de belasting, is het aannemelijk dat wanneer de klei tot een volledig elastisch materiaal wordt geschematiseerd, onder een langzame belasting een lagere stijfheid dan onder een snelle belasting dient te worden aangehouden. Mitchell en McConnell (lit. [5]) hebben stootbelastingen van wis-selende tijdsduur uitgeoefend op kleimonsters en de verhouding tussen zuiver elastische en plastische (lees: tijdsafhankelijke) vervorming bepaald.

De belastingtijd werd gevarieerd tussen 0,06 en 1,5 seconde (zie fig. 3.11), hetgeen redelijk past binnen de variatie in belastingtijd bij golfbelastingen.

0.46 ste •fa § - • I

1

o Dsform

f \

V

f

1

Time ^ »

-Figuur 3. 11 Belasting en deformatie bij proeven op klei (lit. [5])

(30)

I

Opdrachtnummer: MO O 71 GRO

Een belangrijk resultaat van de studie van Mitchell en McConnel is weergegeven in fig. 3.12, waar het percentage zuiver elastische vervorming in de totale vervorming is uitgezet tegen de tijdsduur van de belasting. Daarbij kan worden opgemerkt, dat het voor de resultaten nauwelijks verschil maakte of één enkel monster achtereenvolgens aan belastingen van toenemende tijdsduur werd

onderworpen, dan wel of voor iedere belastingproef een nieuw monster werd gebruikt. De voorbelasting speelt in de proefresultaten dus geen rol.

100

0.01 0.10 1.00 Lücid Durutiun • 0.01 sec

10.0

figuur 3. 12 Verhouding elastische-totale rek als funktie van de belastingtijd. Uit de proeven van Mitchell en McConnell blijkt dus de stijfheid onder een

snelle belasting hoger te zijn dan onder de langzame belasting tengevolge van twee effecten:

1 Bij een kortdurende belasting is het aandeel van de elastische rek in de totale rek relatief hoog (fig. 3.12).

2 De vervorming neemt door kruip als funktie van de belastingtijd toe, ook bij belastingtijden kleiner dan 1 sec. wordt een substantiële toename van de rek met de belastingtijd geregistreerd, zie fig. 3.13.

(31)

I

Opdrachtnummer: M0071 GRO

Open pomrs — Sample sub/ected to single lood applicotion Sol/d pomts - Sample sub/ecred to successive lood opplicotions

of mcreosing durotion t'numbers beside po/nts indicote lood oppltcation numberl

Deviator stress = J. 39 kg /cm '

X? 9O kg/cm'

O 02 O4 O6 08 10 1.2 1.4 16 1.8 20 22 24 26 28 3,0

Cumulative Lood Durotion - seconds

Figuur 3.13 Plastische rek als funktie van de belastingtijd (lit. [5]).

Het is goed voor te stellen, dat bovengenoemde effecten zich in nog sterkere mate zullen voordoen wanneer de effectieve spanning in de klei zeer gering of zelfs negatief is. De kontaktkrachten tussen de kleidelen zijn dan geringer waardoor een sterker plastisch gedrag voor de hand ligt.

Samenvatting

De stijfheidsparameter A is van doorslaggevend belang voor de analyse van quasi-statische golfbelastingen en golfklappen.

In de literatuur zijn aanwijzingen gevonden, dat deze stijfheidsparameter van de reksnelheid, dus van het type belasting, afhangt. Kwantitatieve gegevens voor klei zijn echter niet beschikbaar.

Behalve de reksnelheid kan ook het aantal belastingwisselingen van invloed zijn. Bekend is, dat de sterkte (of cohesie) van klei afneemt als funktie van het aantal belastingwisselingen (vermoeiingseffect). Door een dergelijk effect kan ook de gemiddelde stijfheid afnemen.

(32)

I

1 I

I

i

I

Opdrachtnummer: M0071 GRD

4.0 BESPREKING VAN DE RESULTATEN

4.1 Relatie van het model met andere schademodellen

Het in dit rapport beschreven fluïdisatiemodel gaat uit van direkte

golfbelasting op een kleilaag. Deze situatie wordt geacht op te treden wanneer een steenzetting bovenop een kleilaag door de golfbelasting lokaal is

weggeslagen. Het uiteindelijke doel van het model is te beschrijven hoelang de kleilaag vervolgens nog weerstand biedt aan de golfbelasting. Wanneer eenmaal een bres in de kleilaag is ontstaan mag aangenomen worden dat het onderliggende zandlichaam zeer snel erodeert en inundatie optreedt.

Wanneer de steenzetting niet meer aanwezig is en de kleilaag dus direct aan de belasting door het buitenwater blootstaat, dan kunnen de volgende mechanismen tot bezwijken van de klei leiden (zie fig 4.1):

- Slijterosie door het stromende water. Dit kan zijn oppervlakte erosie of erosie door spleten en kanalen die zich in de loop van de tijd in de kleilaag gevormd hebben.

- Macro stabiliteitsverlies. Dit kan zijn het bezwijken van de onderliggende zandlaag, het afschuiven over de zandlaag van de kleidekking of het opdrukken van de kleilaag door sterke wateroverspanning aan de onderzijde.

- Brokerosie van de kleilaag zoals het ontstaan van een afschuifvlak in de klei als gevolg van een golfklap, het lokaal door de stroming wegdrukken van

onregelmatig gevormde delen van het kleioppervlak en het opdrukken van kleidelen veroorzaakt door sterke drukgradiënten in de kleilaag.

BEZWIJKEN DIJKL.ICHAAM AANTASTING STERKTE KLEILAAG SLIJT EROSIE TRANSPORT VAN MATERIAAL BROK EROSIE OPPERVLAKTE EROSIE EROSIE IN SPLETEN EK KANALEN MACRO- STABILITEITS-VERLIES WEGDRUKKEN VAN BLOKKEN BEZWIJKEN ONDERLIGGENDE ZANDLAAG AFSCHUIVEN VOLLEDIGE KLEILAAG OPDRUKKEN VAN KLEILAAG _l_ L F L U I T i D. I S A 1 1 INTERACTIE OPPERVLAKTEWATER -J T I E GRONDWATER - GROND

Figuur 4.1 Bezwijkmechanismen van de kleilaag

(33)

I

1 I

I

I B R D Opdrachtnummer: MO 0 71

I

i

I

i

1 t

i

Bovenstaande bezwijkmechanismen zouden ook kunnen worden ingedeeld naar het type belasting, dat bezwijken inleidt:

- bezwijken door zwaartekracht: macro-instabiliteit - bezwijken door schuifkrachten: erosie

- bezwijken door ruimtelijke belastingverschillen, zoals het wegdrukken van onregelmatigheden in het oppervlak en afschuivingen door zeer lokale golfklappen

- bezwijken door gradiënten in grondwaterdruk.

In werkelijkheid werken meerdere be~^stingen tegelijkertijd, zodat ook de opgesomde mechanismen deels gelijktijaxg kunnen optreden en elkaar zullen beïnvloeden c.q. versterken. In werkelijkheid is er dus geen sprake van een onderverdeling van mechanismen, die één voor één getoetst kunnen worden, zoals in figuur 4.1 aangegeven, maar van een gelijktijdige of opeenvolgende aantas-ting van de reststerkte van de kleilaag. Zo kan bijvoorbeeld gedeeltelijke fluïdisatie (lees: optreden van sterke waterdrukgradiënten in de klei) leiden tot verdergaande scheurvorming in de klei waardoor de sterkte afneemt, en vervolgens erosie, stromingsdrukken en golfklappen meer grip krijgen. In lit. [8] is een meer gedetailleerde beschrijving van de bovengenoemde

mechanismen gegeven en is ook een aanzet gemaakt voor de kwantificering ervan. Samenvattend kan gesteld worden, dat "fluïdisatie" van invloed is op de

mechanismen, die de reststerkte van een kleilaag onder golfbelasting

beïnvloeden. Het optreden van drukgradiënten leidt tot een grotere kans van optreden van diverse mechanismen. Nu hangt het van de dieptewerking van de fluïdisatie af welke mechanismen zich onder invloed hiervan voor kunnen doen. Wanneer de waterspanningsgradiënten zich slechts tot een zeer beperkte diepte voordoen zal slijterosie bijvoorbeeld voor de hand liggen. Komen echter tot op grotere diepte nog sterke wateroverspanningen voor, dan zullen mechanismen als afschuivingen boven in de klei onder invloed van lokale golfklappen een grotere kans van voorkomen krijgen.

De resultaten van de modelvorming en de gevoeligheidsberekeningen in dit rapport geven aan, dat wegspoelen van kleidelen door gradiënten in de grondwaterspanning goed mogelijk is en dat dit proces zich vooral voordoet wanneer enige lucht in het grondwater aanwezig is. In de zone boven de gemiddelde grondwaterlijn is bij hoogwater relatief veel lucht in het grondwater aanwezig.

De "bewegend front" benadering in dit rapport vergroot het inzicht in de

ontwikkeling van fluïdisatie-effecten als funktie van de tijd. Deze benadering is echter voorlopig alleen uitgevoerd voor een niet-cohesief materiaal.

4.2 Verschil in gedrag van klei onder quasi-statische belasting en onder golfklappen

De berekeningen in dit rapport hebben enkele verschillen in gedrag van de klei onder de beide bovengenoemde belastingtypen aan het licht gebracht.

Deze verschillen zijn:

1 Wanneer een golfklap wordt gezien als een belasting met een veel grotere belastingfrequentie, dan volgt dat onder golfklappen de waterspannings-gradiënten veel groter zijn, omdat de invloed van de golfklap zich over een veel ondieper gebied laat voelen. In bijlage C8 is dit geïllustreerd: de bovenste figuur toont de wateroverspanningen tegen de diepte bij een lage