XII Mechanika belek i płyt warstwowych

Współczesna mechanika konstrukcji w projektowaniu inżynierskim

Modern structural mechanics

with applications to civil engineering Andrzej Garstecki, Wojciech Gilewski, Zbigniew Pozorski, eds.

XII

Mechanika belek i płyt warstwowych

str. 301-324

XII

Mechanics of sandwich beams and plates

pp. 301-324

Zbigniew Pozorski

Politechnika Poznańska

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instytut Konstrukcji Budowlanych

Słowa kluczowe: konstrukcje warstwowe, budownictwo lądowe,

teoria belek warstwowych

Keywords: sandwich structures, civil engineering,

sandwich panel theory

301

XII MECHANIKA BELEK I PŁYT WARSTWOWYCH

Zbigniew POZORSKI

Wstęp

Materiały warstwowe należą do szerokiej grupy materiałów kompozytowych. Materiał kompozytowy jest to materiał utworzony z dwóch lub więcej komponentów (połączonych ze sobą w skali makroskopowej) i mający nowe (lepsze) właściwości w porównaniu z komponentami. Materiały kompozytowe zazwyczaj odzwierciedlają najlepsze cechy komponentów: wytrzymałość, sztywność, odporność na korozję, niewielki ciężar, izolacyjność termiczną. Można wyróżnić cztery główne grupy materiałów kompozytowych:

kompozyty z włóknami (włókna w osnowie), laminaty (połączone warstwy różnych materiałów), cząsteczkowe (cząsteczki w osnowie) i grupa kombinowanych materiałów kompozytowych. Powszechnie znanymi laminatami są bimetale stosowane jako wyłączniki prądowe oraz szkło bezpieczne. Beton można potraktować jako materiał kompozytowy cząsteczkowy, w którym niemetaliczne cząstki kruszywa połączone są mieszaniną wody i cementu. Beton zbrojony jest natomiast materiałem kombinowanym, w którym kompozyt cząsteczkowy jest wzmacniany włóknami (zbrojenie). Silniki rakietowe, skrzydła samolotowe, rakiety tenisowe i kije golfowe są wykonywane z materiałów warstwowych (laminatów), w których poszczególne warstwy (laminy) są wzmacniane włóknami. Ten typ materiału jest wykorzystywany również do wykonania całych konstrukcji mostowych, czego przykładem jest samonośny most o długości 44 metrów wykonany w Madrycie nad rzeką Mazanares.

Z powodu dużej różnorodności materiałów kompozytowych, do opisu zachowania się konstrukcji wykonanych z tych materiałów stosowane są różne teorie. W przypadku laminatów złożonych cienkich lamin powszechnie stosowana jest klasyczna teoria laminatów [7]. Specyficznego podejścia wymaga mechanika betonu [6]. W budownictwie, szczególnie mostowym, powszechnie wykorzystywane są materiały warstwowe, zespolone, stalowo- betonowe [9]. Przedmiotem niniejszej pracy są materiały i konstrukcje warstwowe złożone ze stosunkowo cienkich, ale sztywnych i wytrzymałych okładzin oraz z lekkiego i podatnego rdzenia [4, 20]. Nieodłączną zaletą tego typu konstrukcji jest wysoka wytrzymałość i sztywność uzyskana przy niewielkim ciężarze. Z tego powodu, materiały tego typu są od wielu lat z powodzeniem stosowane w wielu zaawansowanych technologicznie branżach przemysłu. Jednym z pierwszych, spektakularnych przykładów zastosowania konstrukcji warstwowej jest samolot myśliwsko-bombowy Mosquito używany w II wojnie światowej przez Royal Air Force. Innym przykładem jest statek kosmiczny Apollo, który wylądował na

302

księżycu 20 lipca 1969. Zarówno zewnętrzna, jak i wewnętrzna powłoka kapsuły tego statku, były wykonane jako konstrukcje warstwowe. Struktury warstwowe są obecne w naszym codziennym życiu. Jeździmy na nartach, które mają układ warstwowy z podatnym rdzeniem (poliuretan, balsa), używamy drzwi złożonych z zewnętrznych okładzin i papierowego rdzenia o strukturze plastra miodu, budujemy hale przemysłowe, w których cała obudowa (ściany, dachy) jest wykonana z paneli warstwowych.

W pracy przedstawiona zostanie specyfika belek i płyt warstwowych stosowanych w budownictwie lądowym. Te elementy warstwowe charakteryzują się dużą podatnością rdzenia na deformacje postaciowe, co odróżnia je od typowych konstrukcji monolitycznych.

Omówiona zostanie powszechnie stosowana, klasyczna teoria belek i płyt warstwowych (Ordinary Sandwich Panel Theory). Zastosowanie teorii wraz z odpowiednią interpretacją zostanie przedstawione na prostych przykładach belek warstwowych. Przedyskutowane zostaną też kwestie związane z modelowaniem układów warstwowych za pomocą metody elementów skończonych. Na końcu pracy omówiona zostanie problematyka badań eksperymentalnych.

Słowa kluczowe: konstrukcje warstwowe, budownictwo lądowe, teoria belek warstwowych.

1. Specyfika konstrukcji warstwowych

Podstawową zaletą konstrukcji warstwowej z lekkim rdzeniem jest wysoka wytrzymałość i sztywność przy niewielkim ciężarze. Aby wyjaśnić efekt wprowadzenia rdzenia, rozpatrzmy jednorodny element belkowy o przekroju prostokątnym, o grubości t oraz jednostkowej szerokości (rys. 1.1). Przyjmijmy, że taki element ma jednostkowy ciężar, jednostkową wytrzymałość i sztywność na zginanie. Element ten jest wykonany z materiału o wysokim module sprężystości podłużnej (np. stali). Jeśli ten materiał podzielimy na dwie równe części (każda o grubości t/2) i wprowadzimy do środka lekki rdzeń zapewniający odległość pomiędzy okładzinami równą 2t, to wytrzymałość elementu na zginanie wzrośnie około 6-krotnie, a sztywność 12-krotnie. Moduł Younga materiału rdzenia jest zazwyczaj wielokrotnie mniejszy niż materiału okładzin (np. 50000 razy!), zatem sztywność na zginanie elementu warstwowego zależy wyłącznie od okładzin (ich sztywności i położenia). Efekt zwiększenia odległości pomiędzy okładzinami do 4t przedstawiono na rys. 1.1.

Rysunek 1.1. Porównanie parametrów elementu jednorodnego i warstwowego

Jak widać z przedstawionego porównania, wprowadzenie rdzenia daje ogromny wzrost sztywności belki. Projektując strukturę warstwową można zadbać o to, aby poszczególne warstwy spełniały różne wymagania, jednak istotą jest wprowadzenie rdzenia, który

303

powoduje oddalenie od siebie okładzin prowadząc do podniesienia wytrzymałości i sztywności całego elementu. Ponieważ rdzeń jest lekki, efekt ten jest uzyskiwany bez istotnej zmiany ciężaru.

Okładziny wykonywane są zazwyczaj z materiału, który zapewni dużą sztywność i wytrzymałość na ściskanie i rozciąganie. Okładziny powinny być odporne na uderzenia i czynniki środowiskowe (oddziaływania chemiczne, termiczne, promieniowanie UV), powinny też zapewniać dobrą jakość wykończenia powierzchni. Z tego powodu najczęściej stosowane są okładziny stalowe z powłokami metalicznymi, stal nierdzewna, aluminium lub miedź. Coraz częściej stosuje się również okładziny kompozytowe z włóknami szklanymi np.

GFRP (Glass-Fiber Reinforced Plastic). Rdzeń powinien mieć niską gęstość oraz odpowiednią sztywność na ścinanie i sztywność w kierunku prostopadłym do okładzin.

Wprowadzenie odpowiedniego rdzenia pozwala również na uzyskanie doskonałej izolacyjności termicznej. W zależności od przeznaczenia struktury, stosuje się rdzenie sfałdowane (corrugated), o strukturze plastra miodu (honeycomb), komórkowe oraz drewno balsy. Najczęściej spotykane rdzenie komórkowe to pianki poliuretanowe (PUR) i poliizocyjanurowe (PIR), polistyren ekspandowany powszechnie zwany styropianem (EPS) i ekstrudowany (XPS) oraz pianki aluminiowe stosowane m.in. w przemyśle zbrojeniowym.

Do rdzeni komórkowych wlicza się, być może niesłusznie, również struktury z wełny mineralnej. Systematycznie prowadzone są badania nad nowymi, lepszymi rdzeniami, również złożonymi z kilku warstw o różnych cechach.

Wprowadzenie rdzenia ma bezsprzeczne zalety, jednak skutkuje również efektami niekorzystnymi. Materiały stosowane na rdzenie charakteryzują niskim modułem sprężystości poprzecznej, a zatem praktycznie zawsze konieczne jest uwzględnienie wpływu deformacji postaciowych rdzenia. W klasycznych teoriach (belka Bernoulliego i płyty Kirchhoffa) stosowanych do analizy typowych konstrukcji traktowanych jako jednorodne, efekt odkształceń postaciowych jest pomijany. W przypadku konstrukcji warstwowych, wpływ ścinania na przemieszczenia bywa porównywalny do wpływu zginania. W takiej sytuacji intuicja inżynierska często zawodzi. Inną cechą większości materiałów rdzenia jest to, że pod wpływem długotrwałych obciążeń zachodzi zjawisko pełzania. W budownictwie efekt pełzania jest rozumiany jako wzrost odkształceń (a więc i przemieszczeń) elementu konstrukcyjnego poddanego stałym obciążeniom w długim okresie czasu. Jest to konsekwencja wiskotycznego płynięcia materiału. W przypadku płyt warstwowych, efekt ten sprowadza się do zmiany (redukcji) modułu sztywności poprzecznej materiału rdzenia.

Zjawisko to jest istotne w przypadku elementów poddanych długotrwałym obciążeniom (ciężarem własnym, śniegiem). Dotyczy to więc głównie elementów stanowiących konstrukcję stropu lub dachu. W przypadku konstrukcji warstwowych konieczne jest również uwzględnienie oddziaływań termicznych. W analizie konstrukcji jednorodnych obciążenia termiczne są zazwyczaj pomijane, ponieważ cała konstrukcja jest osłonięta i znajduje się w ustabilizowanych warunkach termicznych. Konstrukcje warstwowe (obudowy hal, powłoki statków kosmicznych i inne) mają rdzenie o doskonałej izolacyjności termicznej, a temperatury działające na wewnętrzną i zewnętrzną okładzinę mogą być skrajnie różne.

W układach statycznie niewyznaczalnych, obciążenia termiczne wywołują naprężenia w poszczególnych warstwach struktury. Wielkość tych naprężeń jest porównywalna, a czasami zdecydowanie większa, niż efekty wszystkich pozostałych oddziaływań mechanicznych.

Złożoność budowy struktury warstwowej, wzajemne interakcje pomiędzy warstwami, deformacje postaciowe rdzenia oraz różnorodność oddziaływań zewnętrznych powodują, że w przypadku konstrukcji warstwowych występuje wiele mechanizmów zniszczenia, które zostały schematycznie przedstawione na rys. 1.2. Podczas zginania płyty warstwowej, jedna z okładzin jest rozciągana, a druga ściskana. Gdy cienka okładzina jest rozciągana, może

304

dojść do jej uplastycznienia (rys. 1.2a). Znacznie częściej dochodzi do pomarszczenia okładziny ściskanej (rys. 1.2b). Jest to forma lokalnej utraty stateczności. Globalna forma utraty stateczności występuje dość rzadko, jedynie przy ściskaniu elementów o dużej smukłości (rys. 1.2c). W miejscu występowania ekstremalnych naprężeń stycznych, może dojść do zniszczenia poprzez ścięcie rdzenia (rys. 1.2d). Wgniecenie elementu następuje w miejscu lokalnego oddziaływania skierowanego prostopadle do okładziny (rys. 1.2e).

Sytuacja ta często zachodzi w miejscu występowania podpory.

a) b) c) d) e)

Rysunek 1.2. Formy zniszczenia konstrukcji warstwowej: a) uplastycznienie okładziny, b) pomarszczenie okładziny, c) globalna utrata stateczności, b) ścięcie rdzenia, e) wgniecenie

Pojawienie się któregoś z wyżej przedstawionych mechanizmów jest uzależnione od rodzaju i wielkości oddziaływania, sposobu podparcia konstrukcji, parametrów geometrycznych konstrukcji i przekroju oraz parametrów materiałowych. Relacja pomiędzy parametrami konstrukcji oraz wystąpieniem odpowiedniego mechanizmu zniszczenia może być przedstawiona za pomocą tzw. map zniszczeń. Koncepcja ta została wykorzystana m.in.

w pracach [15, 18].

2. Klasyczna teoria belek warstwowych

W ostatnich dekadach powstało wiele teorii opisujących zachowanie się konstrukcji warstwowych. Modele obliczeniowe belek i płyt warstwowych można podzielić na dwie podstawowe grupy: modele sprowadzone do jednej równoważnej warstwy (ESL – Equivalent Single Layer) oraz modele warstw dyskretnych (DL – Discrete-Layer). W przypadku modeli ESL konstrukcja jest reprezentowana przez jedną równoważną warstwę o odpowiednich parametrach, a pola przemieszczeń, odkształceń i naprężeń są aproksymowane globalnie.

Liczba niewiadomych nie zależy od liczby warstw w przekroju. Klasycznym przykładem jest teoria ścinania pierwszego rzędu (FSDT – First-Order Shear Deformation Theory) albo teoria ścinania trzeciego rzędu (TSDT – Third-Order Shear Deformation Theory). W przypadku modeli DL wprowadzane są odcinkowe aproksymacje dla każdej warstwy. W efekcie, postać deformacji przekroju wykazuje nagłe zmiany nachylenia w miejscach przejścia z jednej warstwy do drugiej. Jest to tzw. efekt zig-zag. W modelach DL liczba niewiadomych zależy

305

od liczby warstw w układzie. Przegląd teorii stosowanych do analizy konstrukcji warstwowych został przedstawiony w pracach [8, 10].

W większości inżynierskich zastosowań, do analizy układów warstwowych z podatnym rdzeniem stosuje się modele uproszczone. Poniżej przedstawiono podstawy klasycznej teorii belek warstwowych (OSAPT Ordinary Sandwich Panel Theory), którą można zaliczyć do klasy DL. Teoria ta jest stosowana między innymi do analizy samonośnych płyt warstwowych stosowanych w budownictwie.

Rozpatruje się belkę warstwową złożoną z trzech warstw. Dwie sztywne, równoległe do siebie okładziny mogą być cienkie lub grube. Rdzeń jest gruby i podatny. Zakłada się, że odkształcenia i przemieszczenia są małe (liniowe związki geometryczne). Materiał okładzin i rdzenia jest izotropowy, jednorodny i liniowo sprężysty (obowiązuje prawo Hooke’a).

Zakłada się, że profil deformacji przekroju jest odcinkowo liniowy (rys. 2.1). Ponieważ sztywność rdzenia na zginanie jest pomijana, całkowitą sztywność belki na zginanie B można wyrazić jako:

B=B_S+B_F1+B_F2, (2.1)

gdzie BF1 i BF2 oznaczają sztywności okładziny dolnej i górnej względem ich własnego środka ciężkości, a BS oznacza sztywność wynikającą z odległości okładzin od środka ciężkości belki:

²

2 2 1 1

2 2 1 2 1

2 2 2 2 1 1

1 e

A E A E

A E A e E

A E e A E

B ⋅

+

= ⋅ +

=

F F F F

F F F F F

F F

F

S . (2.2)

Poszczególne symbole oznaczają: EF1, EF2 – moduły Younga materiału okładziny górnej i dolnej, A_F1, A_F2 – pole powierzchni okładziny górnej i dolnej, e₁, e₂ – odległość okładzin od środka ciężkości belki (e1 + e2 = e).

Rysunek 2.1. Geometria i kinematyka belki warstwowej

Uwzględniając postać deformacji elementu warstwowego, po odpowiednich przekształceniach [14] uzyskujemy moment zginający jako sumę trzech składowych:

(

)

B M M M

M = S+ F1+ F2 = S γ′− ′′ − F1 ′′− F2 ′′^{, (2.3)}

306

gdzie w′′ oznacza drugą pochodną przemieszczenia pionowego (ze względu na zmienną położenia x), a γ^′ jest pierwszą pochodną kąta deformacji (por. rys. 2.1). W podobny sposób, całkowita siła tnąca występująca w przekroju może być wyrażona poprzez trzy składowe odpowiadające rdzeniowi i dwóm okładzinom:

w B w B A G V V V

V = S+ F1+ F2 = C Cγ − F1 ′′′− F2 ′′′^{, (2.4)} gdzie G jest modułem odkształcenia postaciowego materiału rdzenia, a _C A efektywnym _C polem powierzchni rdzenia. Jeśli nie występuje siła normalna (lub jest pomijalna), to równania różniczkowe równowagi obciążonej poprzecznie belki z grubymi lub profilowanymi okładzinami mają formę:











=

′′+

− +

+ ′

−

′′= + +

−

C C S

C C

F F

C C S S

C C

F F

A G

V B

B A

G B B

A G

V B w M B w B A G

B

B _IV

γ γ

2 1

2 1

, (2.5)

W przypadku belek z cienkimi okładzinami (BF₁ =0, BF₂ =0), równanie (2.5) sprowadza się do postaci:











=

+ ′

−

′′=

C C

C C S

A G

V

A G

V B

w M

γ

, (2.6)

Całkowite przemieszczenie w może być rozdzielone efekt zginania wM i ścinania wV:

V

M w

w

w= + , (2.7)

gdzie:

BS

w_M′′ =−M , (2.8)

C CA G

w_V′′ =− q . (2.9)

Uwzględniając odpowiednie warunki brzegowe podparcia znajdujemy pola przemieszczeń w oraz γ. Przykłady rozwiązań podstawowych układów statycznych są przedstawione w książkach [4, 14, 20].

Naprężenia normalne w okładzinie dolnej i górnej wyznacza się z klasycznych relacji:

1 1

1 1 1

1 1

1 z

I M eA

M

F F F MF S

F MS F

F =σ +σ =− +

σ ^{, (2.10)}

2 2

2 2

2 2 2

2 z

I M eA

M

F

F F F

MF S MS F

F =σ +σ = +

σ ^{. (2.11)}

Symbole I_F1 i I_F2 oznaczają moment bezwładności odpowiedniej okładziny względem jej osi ciężkości, natomiast z1 i z2 są współrzędnymi dla określonego punktu okładziny względem jej osi ciężkości (rys. 2.2). Naprężenia styczne w rdzeniu wyznacza się z relacji:

307

C S

C A

= V

τ ^{, (2.12)}

Naprężenia styczne w okładzinach mogą być wyznaczone jak dla belki o przekroju okładziny.

Rozkład naprężeń w przekroju belki warstwowej został przedstawiony na rys. 2.2.

Rysunek 2.2. Rozkład naprężeń w przekroju belki warstwowej z grubymi okładzinami

3. Obciążenia termiczne

W ogólnym przypadku, rozpatrywanie wpływu obciążeń termicznych na stan mechaniczny konstrukcji, nawet przy ustalonym przepływie ciepła w poprzek płyty warstwowej (po kierunku z), jest zagadnieniem dość trudnym. Przy izotropowych parametrach każdej z warstw, równanie różniczkowe przewodnictwa cieplnego ma postać:

( )



∂

∂

∂

∂

z z T

z λ ^{, (3.1)}

gdzie T oznacza funkcję temperatury, a λ jest współczynnikiem przewodzenia ciepła. Dla warunków brzegowych:

1

2, 2

2 D T

z T D T

z

T =



 



 =−

=



 



 = , (3.2)

rozwiązanie równania różniczkowego (3.1) ma formę:

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

T , , = ₂ , ₂ + ₁ , ₁ ^{, (3.3)}

gdzie:

( ) ( )

( )

∫ ( )

∫

∫

∫

−

−

− =

= _/2

2 /

2 /

2 1 /

2 /

2 /

2 , _D

D D

z D

D z

D

z z z z f

z z z z f

λ λ λ

λ

d d

d d

. (3.4)

W przypadku wielu konstrukcji warstwowych rdzeń jest dobrym izolatorem termicznym o bardzo niskim współczynniku rozszerzalności termicznej. Jednocześnie okładziny metaliczne mają doskonały współczynnik przewodzenia ciepła i nawet w przypadku grubych

308

okładzin można w przybliżeniu przyjąć, że temperatura w całej okładzinie jest identyczna.

Aby wyjaśnić efekt oddziaływania temperatury, przyjmijmy dla uproszczenia, że obie okładziny wykonane są z materiału o identycznym współczynniku rozszerzalności termicznej α [1/°C]. Okładzina górna i dolna (oznaczone odpowiednio jako 1 i 2) znajdują się początkowo w temperaturze T₀ i mają długość początkową L₀ (rys. 3.1a). Na skutek oddziaływań zewnętrznych temperatura okładzin się zmienia i wynosi odpowiednio T1 i T2, a okładziny się wydłużają lub skracają (rys. 3.1b). Zmiana temperatury może być rozłożona na dwa efekty: równomiernego ogrzania (rys. 3.1c) oraz nierównomiernego ogrzania (rys. 3.1d). Jeśli przyjmiemy, że konstrukcja ma swobodę przemieszczeń poziomych, to równomierne ogrzanie nie wywoła sił wewnętrznych, a jedynie przemieszczenia poziome.

Nierównomierne ogrzanie powoduje wygięcie elementu, a jego krzywizna wynosi:

( )

e T T₂− ₁

=α

θ ^{. (3.5)}

Jeśli weźmiemy pod uwagę różne współczynniki rozszerzalności liniowej okładzin, to krzywizna powinna być wyrażona jako:

( ) ( )

e

T T T

T_{2 0 1 1 0}

2 − − −

=α α

θ ^{. (3.6)}

Rysunek 3.1. Efekt oddziaływań termicznych na płytę warstwową: a) stan początkowy, b) stan końcowy, c) efekt równomiernego ogrzania, d) efekt nierównomiernego ogrzania W układach statycznie wyznaczalnych krzywizna wywołuje wyłącznie odpowiednie przemieszczenia pionowe w, jednak w przypadku ograniczenia swobodny deformacji,

309

w konstrukcji powstają siły tnące i momenty zginające. Na rys. 3.2 przedstawiono mechanizm tego zjawiska dla schematu układu dwuprzęsłowego. Na skutek nierównomiernego ogrzania okładzin (T₂ > T₁) wywoływana jest krzywizna θ. W układzie bez podpory środkowej element wygiąłby się tak, jak przedstawia to linia przerywana. Ponieważ podpory ograniczają swobodę takiej deformacji, w układzie powstają odpowiednie reakcje na podporach i siły wewnętrzne. Na rys. 3.2 przedstawiono rozkład momentów zginających: rozciągana jest okładzina górna, a ściskana jest okładzina dolna.

a)

b)

Rysunek 3.2. Mechanizm powstania sił wewnętrznych w układzie dwuprzęsłowym obciążonym nierównomiernym ogrzaniem temperaturą: reakcje podporowe, b) rozkład momentu zginającego

Niedocenianie efektów oddziaływań termicznych w przypadku układów warstwowych jest podstawowym błędem prowadzącym do zniszczenia konstrukcji. Co ciekawe, czym bardziej sztywny jest układ konstrukcyjny (mniejsza rozpiętość, grubszy element, grubsze okładziny), tym wyższe wartości sił wewnętrznych przy tej samej różnicy temperatur.

Wpływ krzywizny θ na siły wewnętrzne jest określony następującymi zależnościami:

( )





=

′′−

′−

= γ

θ γ

C C

S S

A G V

w B

M

S

. (3.7)

Jeśli występuje wyłącznie oddziaływanie termiczne (nie ma obciążeń poprzecznych), to dla grubych okładzin równania różniczkowe równowagi mają postać:









 + ′

−

= +

+ ′′

−

−

′′= + +

−

θ γ

γ

θ

C C

F F S

C C

F F

S C

C F F

A G

B B B

B A

G B B

B w w B A G

B

B IV

2 1 2

1 2 1

. (3.8)

Dla belek z cienkimi okładzinami równania sprowadzają się do:





=

−

′′= γ 0

θ

w . (3.9)

310

4. Płyty warstwowe

Model belkowy jest ze względu na swoją prostotę najczęściej stosowany, również do analizy płyt warstwowych w układach zbliżonych do zginania cylindrycznego. Niemniej, w przypadku obciążenia lub podparcia płyty, będącego funkcją dwóch zmiennych położenia, konieczne jest zastosowanie modeli co najmniej płytowych. W tym punkcie przedstawione zostaną podstawowe równania dla płyty, przy założeniu izotropowego materiału okładzin i rdzenia.

Wycinek płyty z siłami wewnętrznymi został przedstawiony na rys. 4.1. Poszczególne siły przypadające na odpowiednią jednostkę szerokości są zdefiniowane następująco:















=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

. ,

, ,

,

, ,

,

z yz y z

xz x

z xy yx xy z

y y z

x x

z xy yx

xy z

y y z

x x

z q

z q

z z m

m z z m

z z m

z n

n z n

z n

d d

d d

d

d d

d

τ τ

τ σ

σ

τ σ

σ

(4.1)

Rysunek 4.1. Wycinek płyty z siłami wewnętrznymi

W przypadku płyt izotropowych z cienkimi okładzinami, pomijając zagadnienie zachowania się płyty jako tarczy, uzyskujemy układ równań różniczkowych:















−

=

− ′

=

−

=

• C C

C C

C C S

A G

p A G

p A G

p B

w p

yz xz

γ ∆

∆∆

γ ∆

∆∆

∆∆ ∆

, (4.2)

gdzie ∆ oznacza operator Laplace’a:

311

2 2 2 2

y

x ∂

+ ∂

∂

= ∂

∆ ^{, (4.3)}

oraz:

y p p x

p p

∂

= ∂

∂

= ∂

′ , ^• . (4.4)

Wielkości geometryczne są określone na jednostkę szerokości:

2 2

2 2 1 1

2 2 1 1

1−ν + ⋅

= ⋅ e

t E t E

t E t B E

F F F F

F F F F

S , (4.5)

e

AC = . (4.6)

Poszczególne symbole oznaczają: ν – współczynnik Poissona dla materiału obu okładzin, tF1, t_F2 – grubość okładziny górnej i dolnej, e – odległość pomiędzy środkami ciężkości okładzin.

Podobnie jak w przypadku belek, przemieszczenie w można rozdzielić na efekt zginania wM i efekt ścinania wV. W przypadku braku sił osiowych nx=0, ny=0 i tarczowych nxy=0, otrzymujemy:











−

=

=

C C S

A G w p

B w p

V M

∆

∆∆

. (4.7)

Wybrane zagadnienia opisane równaniami różniczkowymi (4.7) mogą być rozwiązane w sposób przybliżony poprzez rozwinięcie w podwójne (ewentualnie pojedyncze) szeregi Fouriera. Siły wewnętrzne uzyskujemy ze związków:

( ) ( )

( )







′ =

=

− ′

−

=

+ ′′

−

=

′′ +

−

=

•

•

•

•

•

•

V y

V x

M xy

M M

y M M

x

w A G q w

A G q

w B m

w w

B m w w

B m

C C C

C S

S S

ν

ν ν

1 (4.8)

Podobnie jak w przypadku belek warstwowych, momenty zginające m_x, m_y wywołują naprężenia normalne w okładzinach, a siły poprzeczne qx, qy wywołują odpowiednie naprężenia styczne w rdzeniu. Przyjmuje się też, że momenty skręcające mxy (oraz ewentualne siły tarczowe n_xy) skutkują naprężeniami stycznymi działającymi w płaszczyźnie okładzin.

W przypadku płyt z grubymi okładzinami, przy założeniu wszystkich warstw izotropowych uzyskujemy równanie odpowiadające (4.2):















−

= + +

−

− ′

= + +

−

−

= + +

−

• C C S

C C

F F

C C S

C C

F F

C C S S

C C

F F

A G

p B

B A

G B B

A G

p B

B A

G B B

A G

p B

w p B w B A

G B B

yz yz

xz xz

γ ∆

∆∆

γ

∆∆∆

γ ∆

∆∆

γ

∆∆∆

∆∆ ∆

∆∆∆

2 1

2 1

2 1

. (4.9)

Należy wyraźnie zauważyć, że ze względu na złożoność równań (4.2), a w szczególności (4.9), oraz różnorodność warunków brzegowych, analiza płyt warstwowych jest zazwyczaj prowadzona metodami numerycznymi.

312

5. Przykłady rozwiązania podstawowych układów warstwowych

Rozpatrzmy układy, które ze względu na sposób obciążenia i podparcia są modelowane jako belka warstwowa. Poniżej przedstawione zostaną rozwiązania uzyskane w ramach klasycznej teorii belek warstwowych.

W celu liczbowego porównania uzyskanych wartości, w przykładach przyjęto element warstwowych o całkowitej grubości D=80 mm, jednostkowej szerokości b=1,0 m oraz grubości okładziny górnej i dolnej odpowiednio tF1=0,46 mm i tF2=0,46 mm. Odległość pomiędzy środkami ciężkości okładzin wynosi e=79,54 mm. Przyjęto, że obie okładziny są wykonane ze stali (E_F1=E_F2=210 GPa, α^{=12·10-6 [1/}°C].), a rdzeń jest wykonany z pianki poliuretanowej (GC=3.81 MPa). Dla efektywnego pola powierzchni rdzenia AC=be=0,079540 m² oraz pola powierzchni przekroju okładzin stalowych A_F1=A_F2=0,00046 m², uzyskujemy sztywność belki na zginanie B_S=305.6 kNm² oraz sztywność belki na ścinanie S=GCAC=303,0 kN.

Przykład 1. Belka jednoprzęsłowa wolnopodparta z cienkimi okładzinami Przypadek 1. Równomierne obciążenie poprzeczne q

W przypadku równomiernie obciążonej belki o rozpiętości L, funkcja momentu zginającego i siły poprzecznej mają postać:

( )

qx2

qL x x

M = − , (5.1)

( )

V = −

2 , (5.2)

gdzie x jest zmienną położenia na długości belki. Efekty zginania i ścinania (2.7) mogą być rozdzielone. Przemieszczenie odpowiadające efektowi zginania jest określone za pomocą równania różniczkowego (2.8):

( ) (

)

2 Lx x

B q B x M

w_M′′ =− = − +

S S

. (5.3)

Dwukrotnie całkując równanie (5.3) uzyskamy rozwiązanie z dwoma stałymi całkowania.

Wykorzystując warunki brzegowe w_M(0)=0, w_M(L)=0, otrzymamy:







 − +

= ^{3 3 4}

24 1 12

24 L x x

L x B w_M q

S

. (5.4)

Przemieszczenie odpowiadające efektowi ścinania można wyznaczyć z równania różniczkowego (2.9):

( ) ( )

C C C

C G A

q A

G x x q

w_V′′ =− =− . (5.5)

Całkując dwukrotnie równanie (5.5) uzyskamy rozwiązanie z dwoma stałymi całkowania. Do dyspozycji mamy dwa warunki brzegowe w_V(0)=0, w_V(L)=0, które prowadzą do rozwiązania:

( )







 −

= 2 2

x2

Lx A G x q w_V

C C

. (5.6)

313 Ostateczne rozwiązanie jest sumą (5.4) i (5.6).

Przypadek 2. Obciążenie siłą skupioną F w środku rozpiętości przęsła

W przypadku obciążenia belki siłą skupioną F, funkcje sił wewnętrznych mają różną postać dla odpowiednich przedziałów belki. Postępując analogicznie jak w przypadku obciążenia równomiernie rozłożonego, wykorzystując odpowiednie warunki brzegowe, uzyskujemy odpowiednie funkcje przemieszczeń. Dla przedziału 0≤x<L/2 funkcje mają postać:







 −

= ^{2 3}

12 1 16L x x B

w_M F

S

, (5.7)

( )

x A G x F

w_V = ⋅

C C

, (5.8)

a dla przedziału L/2≤x≤L:











 



 



 − +

−

=

3 3

2

2 6 1 12

1 16

x L x

L x B w_M F

S

, (5.9)

( )







 



 



 −

−

⋅

= 2 2

x L x A G x F w_V

C C

. (5.10)

Przypadek 3. Działanie stałej różnicy temperatur między okładzinami

Jeśli okładzina górna i dolna belki warstwowej mają temperaturę odpowiednio T₁ i T₂, to belka doznaje stałej krzywizny θ określonej równaniem (3.5). Ponieważ przyjmuje się, że belka ma swobodę przemieszczeń wzdłuż osi belki, to krzywizna nie wywołuje sił wewnętrznych, lecz jedynie przemieszczenia. Funkcję linii ugięcia można wyznaczyć ze wzoru (3.9):

( )

′′ x

w . (5.11)

Całkując dwukrotnie równanie (5.11) i wykorzystując warunki brzegowe w(0)=0, w(L)=0, uzyskamy ostateczne rozwiązanie:

( ) (

)

2 Lx x x

w =θ −

. (5.12)

Porównanie efektów działania obciążenia poprzecznego i różnicy temperatur

Przyjmijmy przykładową belkę o rozpiętości L=3,0 m na którą działa równomierne obciążenie q=0,9 kN/m. Ekstremalne przemieszczenia belki (w połowie rozpiętości belki) wywołane efektami zginania i ścinania wynoszą odpowiednio:

m

S

003106 ,

6 0 , 305

0 , 3 9 , 0 384

5 384

5 ⁴ = ⋅ ⁴ =

= B

w_M qL , (5.13)

m

C C

003342 ,

0 0 , 303

0 , 3 9 , 0 8 1 8

1 ^{2 2}

⋅ =

=

= G A

w_V qL . (5.14)

314

Rozpatrzmy też przypadek, gdy okładzina górna ma temperaturę -20°C, a okładzina dolna ma temperaturę +20°C. Różnica temperatur wywołuje krzywiznę o wartości

( )

( )

[ ]

07954 , 0

20 20

10

12⋅ ⁶ ⋅ − − =

= ⁻

θ ^{. (5.15)}

Ekstremalne przemieszczenie wywołane krzywizną θ ma wartość m 006789 ,

8 0 0 , 3 0060347 ,

0 8

2

2 = ⋅ =

= L

w θ

θ . (5.16)

Powyższy przykład odpowiada typowej płycie warstwowej poddanej typowym oddziaływaniom zewnętrznym. Porównując odpowiednie wielkości możemy zauważyć, że przemieszczenia wynikające z efektu ścinania są porównywalne z przemieszczeniami od efektu zginania, a różnica temperatur między okładzinami wywołuje przemieszczenia w_θ, które są tego samego rzędu co całkowite przemieszczenia wywołane obciążeniem poprzecznym (wM+wV). Należy dodać, że przyjęta różnica temperatur odpowiada typowym oddziaływaniom, które mają miejsce zimą.

Obciążenie poprzeczne q wywołuje naprężenia normalne w okładzinach (2.10, 2.11) oraz naprężenia styczne w rdzeniu (2.12). Ekstremalny moment zginający w środku rozpiętości belki wynosi M=qL²/8=1,0125 kNm, a ekstremalna siła poprzeczna przy podporze ma wartość V=qL/2=1,35 kN. Ekstremalne naprężenia wynoszą zatem:

MPa kPa

F

F 27672,7 27,67

00046 , 0 07954 , 0

0125 , 1

1

1 =− ≈−

− ⋅

=

−

= eA

σ M ^{, (5.17)}

MPa

F

F 27,67

2

2 = ≈

eA

σ M ^{, (5.18)}

kPa

C S

C 16,97

07954 , 0

35 ,

1 =

=

= A

τ V ^{. (5.19)}

Rozpatrzmy jeszcze przypadek obciążenia siłą skupioną o wartości równoważnej połowie obciążenia równomiernie rozłożonego F=qL/2=0,9·3,0/2=1,35 kN. Ze wzorów (5.9, 5.10) wyznaczamy przemieszczenia w środku rozpiętości:

m

S

002485 ,

6 0 , 305 48

0 , 3 35 , 1 48

3

3 =

⋅

= ⋅

= B

w_M FL , (5.20)

m

C C

003342 ,

0 0 , 303 4

0 , 3 35 , 1

4 =

⋅

= ⋅

= G A

w_V FL . (5.21)

Co ciekawe, przemieszczenie wynikające z efektu ścinania wynosi tyle samo, co w przypadku obciążenia równomiernie rozłożonego. Dodajmy jeszcze, że ekstremalne naprężenia normalne σF2=27,67 MPa mają wartość identyczną jak w przypadku obciążenia równomiernie rozłożonego, a ekstremalne naprężenia styczne są o połowę mniejsze(τC=8,48 kPa).

Procedury projektowe

Samonośne płyty i belki warstwowe z dwustronną okładziną metalową, przeznaczone do stosowania jako dachy i pokrycia dachowe, ściany zewnętrzne i obudowy ścian oraz ściany i sufity wewnętrzne objęte są normą [11]. Ogólne zasady projektowania płyt warstwowych nie

315

odbiegają od zasad projektowania innych elementów konstrukcji budowlanych. Istota polega na obliczeniu projektowych efektów oddziaływania (z uwzględnieniem kombinacji obciążeń oraz współczynników obciążenia i współczynników kombinacji) i porównaniu ich z wartościami projektowymi odpowiadającymi odporności lub właściwemu kryterium użytkowania, biorąc pod uwagę właściwe współczynniki bezpieczeństwa. Cechą charakterystyczną projektowania płyt warstwowych jest duża liczba kombinacji obciążeń oraz różnorodność mechanizmów zniszczenia. W przedstawionym powyżej przykładzie należałoby rozpatrzyć następujące mechanizmy zniszczenia: uplastycznienie okładzin, pomarszczenie (lokalną utratę stateczności) okładziny ściskanej, ścięcie rdzenia oraz zgniecenie rdzenia na podporach. Najbardziej skomplikowane przypadki dotyczą projektowania wieloprzęsłowych płyt dachowych z okładzinami głęboko-profilowanymi. W takim przypadku rozpatruje się co najmniej kilkadziesiąt kombinacji obciążeń oraz sprawdza się ponad 20 warunków granicznych nośności i użytkowania.

Przykład 2. Belka dwuprzęsłowa z cienkimi okładzinami

Układ dwuprzęsłowy jest układem statycznie niewyznaczalnym. Załóżmy dla uproszczenia, że oba przęsła mają identyczną rozpiętość L. Rozwiązanie tego układu można znaleźć wykorzystując trzy podstawowe rozwiązania przedstawione powyżej. Wartość środkowej reakcji podporowej uzyskuje się wiedząc, że przemieszczenie belki w miejscu podpory wynosi zero.

Przypadek 1. Równomierne obciążenie poprzeczne q

Ekstremalne wielkości statyczne są wyrażone w następujący sposób:

a) siła poprzeczna i reakcja na podporze skrajnej

( )

 





− +

=

= k

R qL V_{A A}

1 4 1 1

2 , (5.22)

b) siła poprzeczna na podporze środkowej

( )





 + +

= k

V_B qL

1 4 1 1

2 , (5.23)

c) reakcja na podporze pośredniej

( )





 + +

=qL k

R_B

1 4

1 1 , (5.24)

d) moment zginający na podporze pośredniej

k M_B qL

− +

= 1

1 8

2

, (5.25)

gdzie

C C

S

A G L k ₂3B

= . Zauważmy, że we wzorze (5.25) klasyczne wyrażenie qL²/8 jest dzielone przez (1+k), co oznacza, że moment nad podporą środkową nie musi być większy (co do bezwzględnej wartości) niż ekstremalny moment zginający w przęśle. Jest to sytuacja odmienna niż w przypadku układów o nieskończonej sztywności poprzecznej G_CA_C.

316

Przypadek 2. Działanie stałej różnicy temperatur między okładzinami

Gdy belka dwuprzęsłowa jest obciążona krzywizną θ, to ekstremalne siły wewnętrzne mają wartość:

a) siła poprzeczna i reakcja na podporze skrajnej

k L R B

V_{A A}

− +

=

= 1

1 2 3 Sθ

, (5.26)

b) siła poprzeczna na podporze środkowej

k L V_B B

= +

1 1 2

3 Sθ , (5.27)

c) reakcja na podporze pośredniej

k L R_B B

= +

1

3 Sθ 1 , (5.28)

d) moment zginający na podporze pośredniej

k M_B B

− +

= 1

1 2 3 Sθ

. (5.29)

Rozkład momentów zginających wywołanych krzywizną został przedstawiony na rys. 3.2.

Zauważmy, że ekstremalny moment zginający w niewielkim stopniu zależy od rozpiętości przęsła L (zależy tylko poprzez zależność od k). Jednocześnie siły tnące i reakcje podporowe są tym mniejsze, im większa jest rozpiętość przęsła.

Porównanie efektów działania obciążenia poprzecznego i różnicy temperatur

Podobnie jak w przypadku belki jednoprzęsłowej, porównajmy efekty działania obciążenia poprzecznego i różnicy temperatur między okładzinami. Przy takich samych parametrach co poprzednio parametr k wynosi:

336 , 0 0 , 303 0 , 3

6 , 305 3 3

2

2 =

⋅

= ⋅

=

C C

S

A G L

k B . (5.30)

Obciążenie q=0,9 kN/m skutkuje ekstremalnym momentem i siłą poprzeczną na podporze pośredniej:

Nm k 758 , 336 0 , 0 1

1 8

0 , 3 9 , 0 1

1 8

2

2 =−

⋅ +

− ⋅ + =

−

= k

M_B qL , (5.31)

(

)

(

)

4 1 1

2 =



 



 + +

= ⋅



 



 + +

= k

V_B qL . (5.32)

Krzywizna θ=0,0060347 [1/m] wywołuje odpowiednie siły wewnętrzne:

Nm

S k

071 , 336 2 , 0 1

1 2

0060347 ,

0 6 , 305 3 1

1 2

3 =−

⋅ +

⋅

− ⋅ + =

−

= k

M_B Bθ

, (5.33)

N

S k

690 , 336 0 , 0 1

1 0

, 3 2

0060347 ,

0 6 , 305 3 1

1 2

3 =

⋅ +

⋅

⋅

= ⋅

= +

k L V_B Bθ

. (5.34)

317

W układzie jednoprzęsłowym temperatura wywoływała tylko przemieszczenia. W rozpatrywanym przypadku belki dwuprzęsłowej, ekstremalny moment zginający nad podporą pośrednią wywołany różnicą temperatur okładzin jest około 3-krotnie większy niż moment od obciążenia poprzecznego q. Należy dodać, że znaczenie obciążeń termicznych jest tym większe, im krótsza jest belka.

Rozwiązania większości podstawowych schematów statycznych belek warstwowych można znaleźć w pracach [4, 14, 20]. Dotyczy to zarówno płyt z cienkimi okładzinami, jak i płyt z okładzinami głęboko profilowanymi.

6. Zastosowanie MES do analizy układów warstwowych

Prawidłowe modelowanie układów warstwowych powinno uwzględniać szereg specyficznych aspektów, które są często pomijane w analizach innych konstrukcji. Warto tutaj wymienić kwestie deformacji rdzenia, anizotropii, efektów lokalnych oraz warunków brzegowych.

Deformacje postaciowe rdzenia powinny być uwzględniane praktycznie w każdym przypadku, w zagadnieniach statyki i dynamiki, w układach liniowych i nieliniowych, w belkach i powłokach. Typowe elementy skończone nie uwzględniają efektu deformacji postaciowych rdzenia, gdyż nie jest to konieczne w przypadku np. konstrukcji stalowych.

Ponieważ parametry rdzenia są zazwyczaj dużo niższe niż okładzin, pominięcie deformacji postaciowej rdzenia prowadzi do rażących błędów. Wystarczy w tym miejscu porównać wpływ efektów zginania i ścinania na przemieszczenia, które zostały obliczone w rozdziale 5.

W wielu przypadkach konieczne jest uwzględnienie anizotropii materiałów, z których jest zbudowany układ warstwowy. Zachodzi to na przykład w przypadku okładzin wykonanych z materiałów kompozytowych (laminatów). Zawsze też należy rozważyć kwestię anizotropii materiału rdzenia. Rdzenie w postaci plastra miodu mają inne moduły sprężystości poprzecznej dla różnych kierunków. Również pianka poliuretanowa okazuje się materiałem anizotropowym (i fizycznie nieliniowym). Bardzo ciekawym przypadkiem są rdzenie złożone z elementów wykonanych z wełny mineralnej (tzw. lameli). Właściwości wełny mineralnej zależą od kierunku ułożenia włókien wełny. Dodatkowo, pomiędzy lamelami występują nieciągłości, a więc należy rozpatrzyć kwestie kontaktu między lamelami.

Efekty lokalne odgrywają decydującą rolę w analizie nośności układów warstwowych.

Ponieważ rdzeń charakteryzuje się znaczną podatnością, w miejscu lokalnych oddziaływań powstają znaczne deformacje rdzenia. Ma to szczególne znaczenie przy podporach (obciążenia prostopadłe do okładzin zgniatają rdzeń) oraz w miejscu znacznych naprężeń normalnych (ściskających) w okładzinie. Okładzina ściskana w swojej płaszczyźnie jest podatna na wyboczenie, a rdzeń stanowi warstwę, która ogranicza możliwość tego wyboczenia. Lokalna utrata stateczności okładziny jest podstawowym mechanizmem zniszczenia układu warstwowego. Aby uwzględnić efekty lokalne, do analizy należy zastosować albo elementy skończone wyższego rzędu (zgodne z teoriami wyższego rzędu), albo modele przestrzenne pozwalające na odpowiednie deformacje.

Warunki brzegowe powinny w możliwie dobry sposób odpowiadać rzeczywistości.

Szczególną uwagę należy zwrócić na prawidłowe określenie warunków brzegowych w modelach 3D. Klasa warunków brzegowych powinna odpowiadać klasie modelu, który jest stosowany. Zatem odpada definiowanie warunków na krawędziach konstrukcji, ponieważ prowadzi to do nierealistycznych koncentracji naprężeń i deformacji. Należy raczej przyjąć odpowiednie powierzchnie podparcia. Oczywiście, należy też rozpatrzyć warstwę, dla której odpowiednie warunki zostaną określone (okładzina górna, dolna, czy rdzeń). Z jeszcze większą rozwagą należy przyjmować warunki brzegowe w przypadku oddziaływań

318

termicznych. Jeśli błędnie pozwolimy na zbyt dużą swobodę przemieszczeń podporowych, to deformacja konstrukcji będzie skutkowała brakiem oddziaływania pomiędzy konstrukcją i jej podporą. Gdy jednak zastosujemy zbyt silnie ograniczenia przemieszczeń, to przy podporach powstaną nierealistyczne naprężenia wynikające z tych ograniczeń.

Obecnie wiele z komercyjnych programów komputerowych przeznaczonych do zaawansowanej analizy konstrukcji posiada odpowiednie narzędzia pozwalające na rozwiązywanie układów warstwowych. Na uwagę zasługują głównie dwa typy modeli: model 2D wykorzystujący 2-wymiarowe, kompozytowe elementy powłokowe oraz model 3D, w których każda z trzech (lub więcej) warstw jest zbudowana z innych elementów skończonych.

Kompozytowe elementy powłokowe S4R (zdefiniowane w programie Abaqus) zostały wykorzystane w pracy [16] do analizy problemu asymetrycznych warunków podparcia i obciążenia. Model obliczeniowy elementu S4R jest zdefiniowany w ramach teorii ścinania pierwszego rzędu (FSDT), dlatego program wykonuje homogenizację parametrów przekroju warstwowego. Elementy skończone S4R charakteryzują się zredukowanym całkowaniem, co pozwala uniknąć efektów shear oraz membrane locking. Elementy te uzyskują zbieżność do rozwiązań teorii dla grubych powłok, jak również do rozwiązań klasycznej teorii dla cienkich powłok.

Modele 3D zostały wykorzystane m.in. w pracy [13] do analizy układów z okładzinami głęboko-profilowanymi oraz w pracy [12] do analizy zagadnienia lokalnej utraty stateczności przy zginaniu. Okładziny zostały zamodelowane z elementów powłokowych S4R, natomiast rdzeń został wykonany z liniowych elementów bryłowych C3D8R. Warto dodać, że uzyskanie efektów lokalnej utraty stateczności wymaga nieliniowej geometrycznie analizy problemu. Prawidłowe rozwiązania uzyskuje się stosując metodę Riksa. Pomiędzy warstwę okładziny i rdzenia można wstawić interfejs (zastosowano przestrzenne elementy kohezyjne COH3D8), w którym definiuje się kryterium inicjacji i propagacji uszkodzenia.

Aby przedstawić możliwości, znacznie, ale i trudności modelowania numerycznego, poniżej przedstawiono dwa rozwiązania płyty warstwowej obciążonej w środku rozpiętości.

Parametry geometryczne i materiałowe płyty odpowiadają wielkościom przyjętym w przykładach opisanych w rozdziale 5. Płyta ma grubość 0,08 m (w tym okładziny po 0,46 mm), rozpiętość 3,0 m i szerokość 1,0 m. Płyta warstwowa jest zamodelowana z kompozytowych elementów warstwowych S4R. Układ jest podparty na dwóch krótszych krawędziach. Podpory, które mają możliwość obrotu względem osi y, zamodelowano jako elementy o szerokości 60 mm. Zastosowano elementy skończone powłokowe S4R i właściwości materiałowe jak dla stali. Całkowita długość płyty wynosi 3060 mm (rozpiętość osiowa L=3000 mm). Na płytę działa obciążenie o wartości 1,35 kN, przy czym rozpatruje się dwie różne postacie obciążenia. W pierwszym przypadku (rys. 6.1a), na środkowe pasmo wymiarach 100x1000 mm działa ciśnienie o wartości p=0,0135 N/mm² (łącznie daje to obciążenie 1,35 kN). Ten przypadek dość dobrze odpowiada rozpatrywanej powyżej belce, na którą działa siła skupiona. W drugim przypadku, na zlokalizowane w środku rozpiętości pole o wymiarach 100x100 mm, poprzez płytkę stalową o tych samych wymiarach, działa siła skupiona 1,35 kN (rys. 6.1.b).

319

Rysunek 6.1. Geometria i warunki obciążenia płyty warstwowej: a) ciśnienie działające na powierzchnię, b) siła skupiona działająca poprzez płytkę 100x100 mm

W tabl. 6.1. porównano podstawowe rezultaty analizy numerycznej z wynikami analitycznymi uzyskanymi w przykładzie 1 (przypadek 2 – działanie siły skupionej). Dla płyty obciążonej ciśnieniem, wyniki dość dobrze zgadzają się z wartościami uzyskanymi analitycznie. Ekstremalne przemieszczenia różnią się o 3,5%, a ekstremalne naprężenia o około 2,4%. Wynika to między innymi z tego, że zupełnie inna jest klasa sposobu obciążenia i podparcia płyty niż belki. W tym miejscu warto dodać, że właśnie warunki brzegowe potrafią, czasami nawet dość zaskakująco, wpływać na rozwiązanie zadania. W modelu, pomiędzy płytą, a podporami zdefiniowano kontakt. Po kierunku stycznym przyjęto prawo Coulomba o współczynniku tarcia 0,2. Inną możliwością jest dość proste powiązanie podpór i płyty za pomocą więzów typu TIE (wszystkie stopnie swobody identyczne), ale jest to bardzo silny warunek, który czasami skutkuje lokalnymi zaburzeniami, a w efekcie błędnymi wartościami przemieszczeń i naprężeń.

Tablica 6.1. Porównanie wyników analitycznych z wynikami numerycznymi

Wielkość Rozwiązanie

analityczne

Model MES, pasmo obciążone

ciśnieniem

Model MES, siła przy krawędzi Przemieszczenie u [mm] 2,485+3,342=5,827 5,621 11,26 Ekstremalne naprężenie normalne

w okładzinie górnej i dolnej σ^{xx [MPa]} -27,67/+27,67 -27,32/+27,03 -30,02/+32,69 Ekstremalne naprężenie normalne

w okładzinach σ^{yy [MPa] ---} -0,999/+0,983 -5,99/+7,65 Ekstremalne naprężenie styczne

w rdzeniu τxz [kPa] 8,48 8,84 52,16

320

Dla przypadku siły skupionej przyłożonej przy krawędzi płyty uzyskano wyniki zdecydowanie różniące się od rozwiązania analitycznego. Ekstremalne przemieszczenia są większe około 2-krotnie, głównie dzięki założeniu możliwości odrywania się płyty od podpory. Ekstremalne naprężenia styczne są ponad 6-krotnie większe. Zupełnie inaczej wygląda też rozkład naprężeń w okładzinach. Pojawiają się naprężenia σyy o istotnej wartości (w porównaniu do σxx). Na rys. 6.2 widoczny jest rozkład naprężeń normalnych σyy (widoczne są wartości dla okładziny górnej). W strefie środkowej, po kierunku poprzecznym pojawia się rozciąganie, a przy podporach – ściskanie. W okładzinie dolnej jest odwrotnie. Rysunek przedstawia też deformację całej płyty oraz efekt odrywania się płyty od podpory.

Rysunek 6.2. Rozkład naprężeń normalnych σyy (widoczne są wartości dla okładziny górnej)

Przedstawiony przykład ilustruje możliwości dwuwymiarowego modelu MES do analizy układów warstwowych. Warunki obciążenia lub podparcia są funkcją dwóch zmiennych położenia, konieczne jest zastosowanie modeli płytowych (2D) lub bryłowych (3D), zazwyczaj przy wykorzystaniu MES. Modele te pozwalają na prawidłową analizę różnorodnych zagadnień. Niedostosowanie klasy modelu do analizowanego problemu skutkuje dużymi błędami, zarówno liczbowymi, jak i jakościowymi.

7. Testy laboratoryjne i badania eksperymentalne

Konwencjonalne testy mechaniczne odgrywają ogromną rolę zarówno w projektowaniu, jak i kontroli jakości elementów warstwowych. Wspomaganie projektowania poprzez testy wykonywane w rzeczywistej skali jest praktycznie konieczne ze względu na wiele możliwych mechanizmów zniszczenia tego typu konstrukcji. Parametry rdzenia (moduł sprężystości poprzecznej GC oraz wytrzymałość na ścinanie) zazwyczaj wyznacza się w próbie czteropunktowego zginania belki warstwowej (rys. 7.1).

321

a) b)

Rysunek 7.1. Test czteropunktowego zginania: a) model, b) realizacja

Próba 4-punktowego zginania polega na pomiarze całkowitego ugięcia w oraz działającej siły F. Na całkowite ugięcie krótkiej belki ma wpływ efekt zginania oraz ścinania:

V

M w

w

w= + . (7.1)

Wyznaczając teoretyczną wartość ugięcia wynikającą z efektu zginania w_M, można określić wielkość ugięcia od efektu ścinania rdzenia w_V =w−w_M. Moduł sprężystości poprzecznej wyznacza się wykorzystując teoretyczną relację pomiędzy w oraz G_{V C} (2.9). Doświadczenie to, choć dość proste w swych założeniach, jest stosowane bardzo często, również do testowania nowych produktów na całym świecie. Wiele niuansów dotyczących przeprowadzenia tego testu oraz interpretacji wyników zostało omówionych w pracy [2].

Analiza wpływu efektu zgniecenia rdzenia na wynik uzyskiwany w doświadczeniu została przedstawiona w [1]. Do podstawowych prób wytrzymałościowych wykonywanych na materiale rdzenia należy również ściskanie i rozciąganie próbek prostopadłościennych.

W efekcie uzyskuje się wytrzymałość na ściskanie, wytrzymałość na rozciąganie oraz moduł Younga dla materiału rdzenia.

Jednym z podstawowych mechanizmów zniszczenia płyty warstwowej jest lokalna utrata stateczności (pomarszczenie). Istnieje wiele metod analitycznych wyznaczenia naprężenia krytycznego przy ściskaniu okładziny, jednak ze względu na złożoność zagadnienia, stosuje się przede wszystkim testy laboratoryjne. W pracy [12] wykazano, że na wartość naprężenia krytycznego ma wpływ proces technologiczny, sposób mikroprofilowania okładzin, geometria profilowania krawędziowego okładziny, właściwości mechaniczne rdzenia (np.

moduł odkształcenia postaciowego) oraz sposób obciążenia płyty. W tabl. 7.1 przedstawiono porównanie wartości średnich naprężeń krytycznych uzyskanych dla następujących układów płyty jednoprzęsłowej:

a) okładziny płaskie (bez mikroprofilowania), bez profilowania krawędziowego, obciążenie równomiernie rozłożone na całej powierzchni płyty, okładzina znajdująca się na dole w trakcie produkcji jest ściskana podczas zginania,

b) okładziny płaskie (bez mikroprofilowania), bez profilowania krawędziowego, obciążenie równomiernie rozłożone na całej powierzchni płyty, okładzina znajdująca się na górze w trakcie produkcji jest ściskana podczas zginania,

c) jak przypadek a), z tym, że okładziny są mikroprofilowane,

d) jak przypadek a), z tym, że płaskie okładziny mają profilowanie krawędziowe,

e) jak przypadek b), z tym, że obciążenie jest przykładane tylko w środku rozpiętości poprzez rygiel stalowy,