WPŁYW RYS PROSTOPADŁYCH NA UGIĘCIA BELEK ŻELBETOWYCH WEDŁUG METODY SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

WPŁYW RYS PROSTOPADŁYCH

NA UGIĘCIA BELEK ŻELBETOWYCH WEDŁUG METODY SZTYWNYCH

ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Michał Musiał

1Zakład Konstrukcji Betonowych, Politechnika Wrocławska michal.musial@pwr.edu.pl

Streszczenie

W artykule zrelacjonowano badania nad ugięciami belek żelbetowych z rysami. Zaprezentowano sposoby uwzględniania efektów zarysowania w obliczeniach inżynierskich. Analizy numeryczne przeprowadzono własnymi programami opartymi na metodzie sztywnych elementów skończonych. Algorytm obliczeniowy wzbogacono wg au- torskiego pomysłu tak, aby uwzględniał rysy prostopadłe do osi elementu w sposób dyskretny. Głównym celem pracy była analiza ilościowego wpływu zarysowania na ugięcia belek. Obliczenia przeprowadzono dla belek silnie oraz słabo zbrojonych (o stopniach zbrojenia odpowiednio: 0,65 oraz 1,38 %). Dodatkowo opisano badania ekspe- rymentalne, które posłużyły weryfikacji obliczeń numerycznych.

Słowa kluczowe: belka, metoda sztywnych elementów skończonych, rysa, żelbet

THE INFLUENCE OF PERPENDICULAR CRACKS

ON DEFLECTIONS OF REINFORCED CONCRETE BEAMS ACCORDING TO RIGID FINITE ELEMENT METHOD

Summary

In the paper the studies on deflections of reinforced concrete beams with cracks were reported. Methods of con- sidering crack’s effects in engineering calculations were given. Numerical analysis was conducted with own pro- grams based on rigid finite element method. A calculation algorithm was supplemented with discrete crack model according to the author’s idea. The main purpose of the studies was the analysis of a quantitative cracking influ- ence on beams deflections. The calculations were performed for beams with low and high reinforcement ratio (re- spectively: 0,65 and 1,38 %). The experimental studies which verified numerical calculations were described addi- tionally.

Keywords: beam, rigid finite element method, crack, reinforced concrete

1. WSTĘP

Obliczanie konstrukcji żelbetowych znacznie różni się od obliczania konstrukcji jednorodnych. Powodem tego jest m.in. zjawisko zarysowania betonu. Należy nadmie- nić, że w literaturze anglojęzycznej używany jest termin

„crack”, który w klasycznej mechanice tłumaczony jest jako „pęknięcie”. W mechanice konstrukcji betonowych zwyczajowo używane jest określenie „rysa”. Rysy są właściwe zdecydowanej większości konstrukcji żelbeto- wych. Powstają w wyniku przekroczenia w betonie

rozciągających naprężeń granicznych. Wartość ta odpo- wiada umownemu parametrowi elementu zginanego:

momentowi rysującemu. Typowa szerokość rys w rze- czywistych konstrukcjach wynosi do 0,3 mm. Są one zatem widoczne dopiero z niewielkiej odległości. Wystę- powanie rys w elementach zginanych i rozciąganych o wspomnianych rozwartościach jest stanem, który nie budzi niepokoju. Pęknięcie natomiast kojarzone jest w żelbecie ze znacznie większą rozwartością (powyżej

1,0 mm) i wiąże się ze stanem awaryjnym konstrukcji wymagającym interwencji. W niniejszym artykule rozpa- trzone są stany dopuszczone z punktu widzenia użytko- wania konstrukcji, czyli z rysami o niewielkich rozwarto- ściach (rzędu dziesiątych części mm).

Zarysowanie, które znacząco wpływa na uogólnione przemieszczenia oraz rozkład sił wewnętrznych w kon- strukcjach hiperstatycznych, można uwzględniać w prętowych modelach numerycznych na wiele sposo- bów. Następstwem zarysowania jest degradacja sztywno- ści i przeważnie w ten sposób uwzględniane jest to w obliczeniach. Jako najprostszy można przytoczyć model stałej sztywności zastępczej (rys. 1a) stosowany w normach (m.in. [1]). Według podanych zależności obliczana jest stała sztywność ekwiwalentna elementu pozwalająca określić ugięcia z wykorzystaniem elemen- tarnych rozwiązań dla konstrukcji jednorodnych. Innym sposobem uwzględniania zarysowania jest przyjęcie sztywności stałej odcinkami (rys. 1b). Na odcinkach elementu bez rys zakładana jest sztywność brutto całego przekroju. W strefach z rysami sztywności są redukowa- ne. Obszar redukcji może dotyczyć bezpośredniego otoczenia rysy [2] bądź całego odcinka z rysami [3].

Odmiennym podejściem jest założenie kontynualnej zmiany sztywności [4]. Przyjmowana jest zmiana sztyw- ności elementu wg nieliniowej funkcji ciągłej (rys. 1c).

Modyfikacją tego podejścia jest falowy rozkład sztywno- ści elementu [5], w którym w otoczeniu rys sztywność jest dodatkowo redukowana (rys. 1d).

Rys. 1a. Sztywność stała

Rys. 1b. Sztywność stała odcinkami

Rys. 1c. Sztywność kontynualna

Rys. 1d. Sztywność falowa

Oryginalnym pomysłem na uwzględnienie zarysowa- nia jest wprowadzenie efektów związanych z zarysowa- niem w sposób dyskretny z wykorzystaniem rachunku dystrybucyjnego [6]. Dodatkowe deformacje dodawane są do obciążenia zewnętrznego w równaniu różniczkowym jednorodnej belki zginanej zgodnie z (1).

∑ , ^, , (1)

gdzie: – 4. pochodna ugięcia względem położenia , – obciążenie zewnętrzne, – sztywność giętna elementu bez rys, – rozpiętość belki, _!" – liczba rys,

– kąt rozwarcia #-tej rysy, , – 2. pochodna delty Diraca, _!", – położenie i-tej rysy.

Syntetyczne zestawienie przeprowadzone powyżej ma na celu zaznajomić czytelnika ze specyfiką obliczania żelbetowych konstrukcji belkowych. Szersze opisy przed- stawionych metod zawarte są w literaturze. W dalszej części artykułu ograniczono się do analiz prowadzonych z wykorzystaniem własnej propozycji obliczania defor- macji konstrukcji żelbetowych. Jest ona oparta na metodzie sztywnych elementów skończonych (MSES) oraz dyskretnym modelu rysy.

2. MSES W OBLICZANIU ZARYSOWANYCH BELEK ŻELBETOWYCH

2.1 OGÓLNY OPIS METODY

Metoda sztywnych elementów skończonych autor- stwa J. Kruszewskiego z zespołem [7] ma swój początek w przemyśle okrętowym. Została zaadaptowana do obliczeń budowlanych konstrukcji inżynierskich przez J. Langera [8]. W metodzie tej modelem konstrukcji prętowej są sztywne tarcze masowe połączone więziami sprężystymi. Każdej z tarcz odpowiadają trzy współ- rzędne uogólnione (dwie translacyjne i jedna rotacyjna).

Cechy sprężyste ustroju reprezentowane są przez więzi łączące tarcze. Podobnie jak w przypadku współrzęd- nych uogólnionych są dwie więzi translacyjne i jedna rotacyjna. Zadanie ogranicza się w przypadku belki obciążonej zewnętrznymi siłami poprzecznymi. Nie są wtedy uwzględniane współrzędne uogólnione i więzi sprężyste związane z odkształcalnością osiową. Przykła- dowy model obliczeniowy belki jednorodnej, bez warun- ków brzegowych pokazano na rys. 2. Pręt podzielono na cztery elementy skończone o długościach _$. Przez oznaczono współrzędne uogólnione, odpowiadające poszczególnym masom skupionym. Masy są połączone

więziami sprężystymi o sztywności rotacyjnej %& oraz translacyjnej %∆.

Rys. 2. Schemat i model numeryczny pręta jednorodnego [9]

Sztywności poszczególnych więzi można obliczyć z porównania energii potencjalnych elementu sztywnego i elementu sprężystego. Modele elementów pokazano na rys. 3 [8].

Rys. 3. Modele elementarne do wyprowadzenia zależności na sztywności więzi [8]

Przez _& oraz _∆ oznaczono wzajemne dyslokacje sąsiednich elementów. W zależności od nich podano wzory na ugięcie elementu ( z wykorzystaniem funkcji kształtu. Tok postępowania przy wyprowadzaniu zależ- ności na sztywności więzi pokazano za [8] równaniami (2) i (3).

)& *%& &*

*+_- (′′ ^*. ⇒ %& * 0 , (2)

)∆ *%∆ ∆*

*+_- (′′ ^*. ⇒ %∆ . (3) Sztywności poszczególnych więzi należy zgrupować w macierz diagonalną 1%2. Macierz ta dla pręta jak na rys. 2 ma postać:

1%2 .#345%_&, %∆, %&, %∆, %&, %∆, %&, %∆, 6. (4) Energia potencjalna odkształcenia ustroju wyraża się wzorem:

) *7⁸1%27, (5)

gdzie: 7 – wektor dyslokacji względnych.

Wektor współrzędnych uogólnionych 9 można transformować na wektor 7 wg zależności:

7 :;9, (6)

gdzie: :; – macierz transformacji.

Wykorzystując zależności (5) oraz (6), można zapi- sać wzór na energię potencjalną całego ustroju w posta- ci:

) *9⁸:8;1%2:_;9 _*9⁸<9. (7) Globalna macierz sztywności ustroju < ma zatem postać:

< :⁸_;1k2:;. (8) Budowę macierzy transformacji :; można zalgo- rytmizować. Wiedząc, że transformacja współrzędnych uogólnionych na dyslokacje względne dla pojedynczego elementu wyraża się wzorem:

>^&_∆? :;@A ^*_B

C

D EF1 0 1 0

F_*⁰ F1 _*⁰ 1I A ^*B C

D, (9)

łatwo jest zbudować macierz transformacji :; o strukturze pasmowej, dla całego ustroju belkowego.

Przykładowo dla schematu jak na rys. 2 jest ona posta- ci:

(10)

W celu realizacji numerycznych można zapisać wy- rażenie ogólne na niezerowe wartości #-tego wiersza, J-tej kolumny macierzy transformacji :; o wymiarach 2 $ L ( $ – liczba elementów skończonych, – liczba współrzędnych uogólnionych):

MN, O

PQ R

QS 1 gdy J # dla # 1,2, … ,2 $

F1 gdy J # 2 dla # 1,2, … ,2 $ 0

* gdy J # F 1 dla # 2,4, … ,2 $

F_*⁰ gdy J # 1 dla # 2,4, … ,2 $

. (11)

W prezentowanym podejściu warunki brzegowe wprowadzane są przez usunięcie odpowiednich kolumn z macierzy transformacji :; oraz wierszy z wektora współrzędnych uogólnionych 9. Numer wiersza i kolum- ny odpowiada numerowi współrzędnej uogólnionej, w miejscu której wprowadza się więź (rotacyjną lub translacyjną). Proces dekompozycji macierzy dla pręta jak na rys. 2 przedstawiono schematycznie poniżej (12).

Zadano podparcie przegubowe na obu końcach.

(12)

2.2 UWZGLĘDNIENIE RYS I PODZIAŁ NA ELEMENTY SKOŃCZONE

Własna propozycja modelu obliczeniowego [9] zakła- da wprowadzenie efektów związanych z zarysowaniem w sposób dyskretny. W miejscu pojawienia się rysy należy dodatkowo zredukować sztywność więzi rotacyj- nej. Innymi słowy: podatność w tym miejscu będzie wynikała z odkształcalności giętnej elementu oraz faktu wystąpienia rysy. Zginany pręt żelbetowy z rysami oraz jego model obliczeniowy pokazano na rys. 3. Wprowa- dzono następujące oznaczenia: _$, _$^O,…, $\ – długości elementów #,J,…,]; %_∆,%_∆^O,…,%_∆^\ – sztywności więzi trans- lacyjnych elementów #,J,…,], obliczone na podstawie sprowadzonej sztywności giętnej elementu niezarysowa- nego (w I fazie pracy) – ; %_&^O,%&\ – sztywności więzi rotacyjnych elementów J, ], obliczone na podstawie sprowadzonej sztywności giętnej elementu niezarysowa- nego (w I fazie pracy) – ; %&!" ,%&!" N,%&!" – sztyw- ności więzi rotacyjnych elementów #,%, z uwzględnieniem rysy.

Rys. 3. Schemat i model numeryczny pręta z rysami [9]

Odstępy między rysami są różne. Skutkuje to tym, że elementy skończone są różnej długości. W praktyce, propagacji rys w konstrukcjach żelbetowych towarzyszy pewna regularność i pojawiają się one w podobnych rozstawach. W dalszych rozważaniach przyjęto uśred- niony rozstaw rysy dla całej belki. Pozwala to znacznie uprościć obliczenia, gdyż elementy skończone mają stałą długość _$.

Parametrem pozostającym do określenia jest sztyw- ność rotacyjna elementu z rysą. Jeżeli przyjąć, że podat- ność rotacyjna elementu z rysą jest sumą podatności, jaka wynika z odkształcalności giętnej oraz z faktu wystąpienia rysy, to można napisać:

.&!" .& .!", (13) gdzie: .&!" – podatność rotacyjna #-tego elementu z rysą, .& – podatność rotacyjna #-tego elementu w fazie I (bez rysy), .!" – podatność rotacyjna, wynikająca z rysy w #-tym elemencie.

Odwrotnością sztywności jest podatność, a zatem:

.& ^%&_ , (14)

gdzie: %& – sztywność więzi rotacyjnej w #-tym elemen- cie, obliczona wg zależności (2), dla sprowadzonej sztywności giętnej w fazie I – .

Dla znanej podatności, wynikającej z faktu wystą- pienia rysy, można zapisać zależność na sztywność więzi rotacyjnej elementu, pracującego w fazie II (z rysą):

%&!"

^N_`_^abcd . (15) Obliczona na podstawie zależności (15) sztywność ro- tacyjna może być elementem macierzy diagonalnej 1%2, zawierającym wpływ wystąpienia rysy.

Podatność obrotową rysy określono na podstawie elementarnych zależności geometrycznych oraz z wy- trzymałości materiałów. Rozpatrzono schemat jak na rys. 4.

Rys. 4. Schemat do obliczenia podatności obrotowej rysy (. – wysokość użyteczna przekroju, e_"\ – średni roz- staw rys, (_N – rozwartość rysy, – wysokość strefy ściskanej po zarysowaniu, f – kąt rozwarcia rysy) [9]

Siły działające w przekroju przez rysę (A-A), dla trójkątnego rozkładu naprężeń w betonie, pokazano na rys. 5.

Rys. 5. Siły w przekroju przez rysę (M_g – pole przekroju zbrojenia, h – szerokość belki, średni rozstaw rys, i_! – siła w betonie, i_g – siła w stali rozwartość rysy,

j – moment zginający, k_! – naprężenia w betonie, k_g – naprężenia w stali) [9]

Na podstawie równania równowagi momentów względem punktu P (rys. 5) można napisać zależność na naprężenia w stali:

kg l

mnbd ^opp. (16) Wzór na średnią rozwartość rys ma postać:

(N qg\F q!\ e"\r qg\e"\ s_nt

n e"\, (17) gdzie: qg\ – średnie odkształcenie stali między rysami, q!\ – średnie odkształcenie betonu między mi, kg\ – średnie naprężenie w zbrojeniu między rysami,

g – moduł Younga stali.

Średnie naprężenia w stali między rysami z napręże- niami w przekroju przez rysę wiąże współczynnik uv – według zależności (18).

uv 1,3 F e^l_l, (18)

gdzie: e – współczynnik, wynoszący odpowiednio: 1,1 – przy obciążeniu krótkotrwałym, 0,8 – przy obciążeniu długotrwałym, j!" – moment rysujący.

Zależność na średnie naprężenie w stali ma zatem postać:

kg\ uvkg. (19) Na podstawie rys. 4 można zapisać wyrażenie na kąt rozwarcia rysy:

f _d^xy_pp. (20)

Zgodnie z wzorami (16) – (20) zapisano poniżej za- leżność na podatność obrotową, wynikającą z rysy:

.!" z_{g_t

nmnb d ^opp d pp. (21) Łatwo zauważyć, że rozstaw rys oraz długości ele- mentów skończonych będą od siebie zależne. Teza ta nie ma oczywiście uzasadnienia w fizyce zjawiska. Podejście takie wydaje się jednak słuszne, co uzasadniono poniżej.

Przykładowy obraz rys (z badań laboratoryjnych) w belce o wymiarach 3300x150x250 mm wraz z długo- ściami elementów skończonych pokazano na rys. 6.

Belka o rozpiętości obliczeniowej 3000 mm obciążana była siłą skupioną w środku a rozkład rys zarejestrowa- no tuż przed zniszczeniem elementu.

Rys. 6. Obraz rys w belce zginanej oraz długości elementów skończonych (wymiary w mm)

Z inżynierskiego punktu widzenia dopuszczalne jest przyjęcie uśrednionego rozstawu rys, który w tym przy- padku wyniesie 76,5 mm. W modelu obliczeniowym należałoby założyć, że długość elementu skończonego w obszarze występowania rys odpowiada uśrednionemu ich rozstawowi. Poza obszarem zarysowania przyjęto rozstaw powstały przez podział odcinka resztkowego tak, aby elementy skończone miały zbliżone do siebie długo- ści. Ogólna różnica między nimi nie przekracza 5 %.

Ostatecznie długość elementu skończonego odpowiada w przybliżeniu 1/40 rozpiętości efektywnej elementu.

Podział na elementy skończone o długościach równych uśrednionemu rozstawowi rys nie zmniejsza zatem dokładności rozwiązania numerycznego. W przypadku większego rozstawu rys podział można przeprowadzić analogicznie, przy czym nie należy wtedy redukować wszystkich sztywności więzi rotacyjnych.

Zagadnienie sformułowane zgodnie z zasadami poda- nymi w rozdziale 2. niniejszego artykułu prowadzi do znanego równania ruchu postaci:

<9 |, (22)

gdzie: | – wektor obciążenia zewnętrznego.

Rozwiązanie równania (22) pozwala określić uogól- nione przemieszczenia tarcz masowych modelu nume- rycznego. Na podstawie przemieszczeń obliczane są natomiast siły przekrojowe.

3. ANALIZA UGIĘĆ BELEK ŻELBETOWYCH

3.1 BADANIA LABORATORYJNE

Przedstawiona w artykule metoda została zweryfi- kowana doświadczalnie. W ramach eksperymentów przebadano 4 serie belek, po trzy elementy w każdej z nich. Belki miały wymiary 3300x150x250 mm. Zreali- zowano schemat statyczny belki swobodnie podpartej obciążonej siłą skupioną w środku rozpiętości oblicze- niowej wynoszącej 3000 mm. Obciążenie wymuszano siłownikiem hydraulicznym z pomiarem siły, ugięcia zarejestrowano czujnikami indukcyjnymi o dokładności 0,001 mm. Fotografię stanowiska badawczego zamiesz- czono na rys. 7. Na rys. 8 pokazano belkę ze zinwentary- zowanymi rysami.

Rys. 7. Stanowisko badawcze

Rys. 8. Belka ze zinwentaryzowanymi rysami Przekroje belek, zbadane właściwości materiałów, momenty rysujące oraz nośności zestawiono w tab. 1. Są to wartości uśrednione w ramach poszczególnych serii badawczych. Charakterystyki wytrzymałościowe i od- kształcalnościowe materiałów badano zgodnie z obowią- zującymi procedurami dla materiałów budowlanych.

W grupie elementów można wyodrębnić belki słabo (serie B-I, B-II, B-III) oraz silnie zbrojone (B-IV).

Zastosowanie innych układów zbrojenia poprzecznego i podłużnego przy takim samym stopniu zbrojenia dla belek słabo zbrojonych miało na celu zróżnicowanie morfologii rys.

Tab. 1. Zestawienie elementów badawczych

Seria B-I B-II B-III B-IV

Przekrój poprzeczny

}!\ [MPa] 51,7 51,2 45,6 41,1

}!~\,g) [MPa] 3,58 3,21 3,03 2,79

!\ [GPa] 30,3 29,6 28,5 30,0

}•\ [MPa] 563 563 548 555

g\ [GPa] 202 202 200 202

j€ [kNm] 26,96 27,00 26,62 53,29

j!" [kNm] 7,35 6,18 5,87 5,60

Objaśnienia:

• – stopień zbrojenia,

}!\ – średnia wytrzymałość betonu na ściskanie,

}!~\,g) – średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie przy rozłupywaniu,

!\ – średni moduł Younga betonu,

}•\ – średnia granica plastyczności stali zbrojeniowej (zbrojenie podłużne),

g\ – średni moduł Younga stali zbrojeniowej (zbrojenie podłużne), j€ – średnia nośność belki na zginanie,

j!" – średni moment rysujący.

3.2 WYNIKI BADAŃ

LABORATORYJNYCH ORAZ ANALIZ NUMERYCZNYCH

Zaproponowane podejście obliczeniowe umożliwia rozdzielenie części ugięcia obliczonego jak dla belki jednorodnej (ozn. 3‚) oraz części ugięcia pochodzącej od zarysowania (ozn. 3!"). Wyniki analiz numerycznych, przeprowadzonych własnymi programami zaimplemen- towanymi w środowisku Mathematica^® [10], zestawiono na rys. 9-12. Dodatkowo zmieszczono wyniki pomiarów laboratoryjnych (ozn. 3$). Wykresy pokazano w funkcji tzw. stopnia zaawansowania obciążenia, czyli stosunku

maksymalnego momentu zginającego do momentu niszczącego. W tab. 2-5 zestawiono ugięcia obliczone, pomierzone oraz względną różnicę między wartościami.

W związku z tym, że prezentowane podejście bazuje na dyskretnym modelu rysy, wyniki obliczeń dotyczą tylko wybranych poziomów obciążenia. Są to te poziomy obciążenia, w których inwentaryzowano rysy w bada- niach laboratoryjnych. Pierwsze słupki poszczególnych wykresów odpowiadają w przybliżeniu momentowi rysującemu. W badaniach laboratoryjnych była to chwila, w której pojawiały się pierwsze rysy. Nie anali- zowano natomiast stanu belek bez rys, co nie było bezpośrednim przedmiotem artykułu.

Rys. 9. Zestawienie wyników dla serii B-I

Rys. 10. Zestawienie wyników dla serii B-II

Rys. 11. Zestawienie wyników dla serii B-III

Rys. 12. Zestawienie wyników dla serii B-IV Tab. 2. Zestawienie wyników serii B-I

B-I-1 B-I-2 B-I-3

j/j€

[-] ∆

[%] j/j€

[-] ∆

[%] j/j€

[-] ∆

[%]

0,29 7,08 0,28 74,57 0,28 124,04 0,43 32,78 0,40 11,68 0,43 17,55 0,57 9,29 0,53 8,55 0,57 24,33 0,71 6,52 0,66 14,14 0,71 26,97 0,86 10,73 0,80 22,71 0,86 24,72

Tab. 3. Zestawienie wyników serii B-II

B-II-1 B-II-2 B-II-3

j/j€

[-] ∆

[%] j/j€

[-] ∆

[%] j/j€

[-] ∆

[%]

0,26 52,08 0,19 34,10 0,23 41,39 0,43 3,87 0,40 22,69 0,42 5,90 0,57 14,09 0,54 17,94 0,56 21,92 0,72 19,15 0,67 23,83 0,69 27,01 0,86 15,99 0,81 27,19 0,83 28,99

Tab. 4. Zestawienie wyników serii B-III

B-III-1 B-III-2 B-III-3

j/j€

[-] ∆

[%] j/j€

[-] ∆

[%] j/j€

[-] ∆

[%]

0,28 30,00 0,26 2,48 0,23 81,53 0,43 9,30 0,40 2,05 0,42 17,46 0,58 24,95 0,54 27,96 0,57 28,10 0,72 30,85 0,68 27,88 0,71 26,13 0,87 29,05 0,81 29,72 0,85 27,68 Tab. 5. Zestawienie wyników serii B-IV

B-IV-1 B-IV-2 B-IV-3

j/j€

[-]

∆ [%]

j/j€

[-]

∆ [%]

j/j€

[-]

∆ [%]

0,14 36,31 0,14 45,58 0,14 7,83 0,21 26,48 0,21 0,38 0,21 11,62 0,28 20,64 0,29 25,67 0,28 33,16 0,42 30,40 0,43 21,75 0,42 33,08 0,63 35,14 0,65 35,26 0,65 34,54 0,84 31,73 0,85 23,93 0,85 32,98

4. OMÓWIENIE WYNIKÓW I WNIOSKI

Przeprowadzone analizy prowadzą do następujących wniosków:

- ugięcie pochodzące od odkształcalności giętnej (obli- czone jak dla elementu jednorodnego) przyrasta

prawie liniowo w całej dziedzinie obciążenia,

- wraz ze wzrostem stopnia zaawansowania obciążenia wzrasta udział w ugięciu efektów zarysowania, aż do 75 % (elementy silniej zbrojone) lub 80 % (elementy słabiej zbrojone) w końcowej fazie pracy elementu, - w opracowanym modelu numerycznym następuje

przeszacowanie ugięć, jest ono tym większe im więk- szy jest stopień zaawansowania obciążenia.

Przeszacowanie ugięć ma swoje źródło w założonym mechanizmie. Zakłada on, że każda rysa rozwiera się aż do osi obojętnej. Jest to pewne uproszczenie, ponieważ rysy powstające w końcowej fazie pracy elementu (bliżej podpór) są poddane działaniu znacznie mniejszego momentu zginającego i rozwierają się mniej (wykazują mniejszą podatność obrotową). W obliczeniach uwzględ- niono natomiast każdą zaobserwowaną makroskopowo rysę. Zjawisko to opisano szerzej w [9]. Należy zaznaczyć jednak, że metodę opracowano z myślą o wykorzystaniu w inżynierii budowlanej, gdzie uzyskaną dokładność można uznać za wystarczającą. Błąd względny w propo- nowanej metodzie wynosi około 25 % (tab. 2-5).

Wykresy (rys. 9-12) obrazują wpływ zarysowania na ugięcia elementów żelbetowych określony metodą sztyw- nych elementów skończonych. Przeprowadzone analizy wykazały przydatność proponowanego podejścia oblicze- niowego nie tylko w przypadkach inżynierskich, ale także w analizach o charakterze poznawczym.

Literatura

1. PN-EN 1992-1-1. Projektowanie konstrukcji z betonu. Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. Warsza- wa: Polski Komitet Normalizacyjny, 2008.

2. Muraszow V. J., Sigalov E. E., Bajkov V. V.: Żelazobetonnye konstrukcji. Moskwa: Strojizdat, 1962.

3. Ryżynski A., Wołowicki W.: Propozycja obliczania ugięć belki żelbetowej z uwzględnieniem niegładkości jej odkształconej. „Archiwum Inżynierii Lądowej” 1968, z. 2, s. 329-347.

4. Kuczyński W.: Konstrukcje betonowe: kontynualna teoria zginania żelbetu. Warszawa: Wyd. Nauk. PWN, 1971.

5. Kamiński M., Szechiński M., Ubysz A.: Teoretyczne i praktyczne podstawy obliczania ugięć elementów żelbeto- wych. Wrocław: Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, 1998.

6. Borcz A.: Teoria konstrukcji żelbetowych. Wybrane zagadnienia. Część I. Wrocław: Redakcja Wydawnictw Politechniki Wrocławskiej, 1973.

7. Kruszewski J., Gawroński W., Wittbrodt E., Najbar F., Grabowski S.: Metoda sztywnych elementów skończo- nych. Warszawa: Arkady, 1975.

8. Langer J.: Dynamika budowli. Wrocław: Wyd. Pol. Wrocł., 1980.

9. Musiał M.: Analiza statyczna belek żelbetowych metodą sztywnych elementów skończonych. „Modelowanie Inżynierskie” 2012, t. 12, nr 43, s. 211-218.

10. Wolfram S.: The Mathematica Book. Champaign: Wolfram Media and Cambridge University Press, 1999.