czno±ci. Grupa kwaternionów Q

ALGEBRA 1, Lista 7

Konwersatorium 23.11.2020, ‚wiczenia 24.11.2020 i 16.12.2020. Na Kolokwium 2 (1.12.2020 oraz 9.12.2020) obowi¡zuje materiaª z List 1  6.

0S. Sko«czone grupy abelowe jako produkty grup cyklicznych: rozpoznawanie ich izomor-

czno±ci. Grupa kwaternionów Q

i klasykacja grup rz¦du co najwy»ej 8. Centrum grupy.

1S. Grupa przeksztaªce« anicznych prostej to poni»szy zbiór funkcji R → R:

A = {x 7→ ax + b | a, b ∈ R, a 6= 0}.

(a) Udowodni¢, »e A jest grup¡ wzgl¦dem zªo»enia funkcji (podgrup¡ S

).

(b) Niech

H :=  a b 0 1



| a, b ∈ R, a 6= 0

 . Udowodni¢, »e H jest podgrup¡ GL

(R).

(c) Udowodni¢, »e A ∼ = H .

2S. Znale¹¢ nietrywialne podgrupy A, B < Z

takie, »e funkcja f : A × B → Z

, f (a, b) = a +

b jest izomorzmem.

3K. Wypisa¢ wszystkie grupy abelowe rz¦du 12 (z dokªadno±ci¡ do izomorzmu, bez powtórze«).

4K. Czy istnieje monomorzm grup f : G → H? Jesli tak, wskaza¢ przykªad i wyznaczy¢

obraz (wskazówka: taki monomorzm istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podgrupa S 6 H taka, »e S ∼ = G ).

(a) G = Z

, H = Z

, (b) G = Z

, H = Z, (c) G = Z

, H = Z

, (d) G = Z

, H = S

,

(e) G = (R, +), H = (Q, +), (f) G = S

, H = Z

× Z

, (g) G = D

, H = S

.

5. Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce grupy s¡ izomorczne:

(a) Z

× Z

i Z

× Z

; (b) Z

× Z

i Z

× Z

; (c) Z

× Z

× Z

× Z

i Z

.

6. Czy istniej¡ podgrupy wªa±ciwe K, H grupy kwaternionów Q

takie, »e Q

jest produk- tem wewn¦trznym K i H?

7. Wyznaczy¢ wszystkie elementy postaci x

w:

(a) grupie kwaternionów Q

, (b) grupie S

,

(c) grupie S

.

Czy tworz¡ one podgrup¦? Czy jest to podgrupa normalna?

8. Udowodni¢, »e ka»da podgrupa grupy kwaternionów Q

jest jej dzielnikiem normalnym.

9. Udowodni¢, »e

Q

/Z(Q

) ∼ = Z

× Z

.