Przykłady grup przemiennych 1 Grupa

Przykłady grup przemiennych

1 Grupa Z i jej podgrupy

Zadanie 1 Czy następujące zbiory są podgrupami grupy Z:

2Z, 2Z + 1, 10Z, 9Z + 22Z, Z \ {0}, N0?

Zadanie 2 Jakie inkluzje zachodzą między następującymi podgrupami grupy Z:

0, Z, 2Z, 3Z, 4Z, 5Z, 6Z, 7Z, 8Z, 9Z, 10Z, 12Z, 15Z, 18Z, 24Z?

Zadanie 3 Kiedy zachodzi inkluzja mZ ⊂ nZ?

Zadanie 4 Czemu jest równe:

a) 2Z + 3Z, b) 2Z + 3Z + 5Z, c) 12Z + 18Z, d) 9Z + 22Z, e) mZ + nZ,

f ) n₁Z + n2Z + . . . + nkZ?

Zadanie 5 Czemu jest równe:

a) 2Z ∩ 3Z, b) 12Z ∩ 18Z, c) 4Z ∩ 9Z ∩ 25Z, d) 15Z ∩ 21Z ∩ 35Z, e) mZ ∩ nZ,

f ) n₁Z ∩ n2Z ∩ . . . ∩ nkZ?

Zadanie 6 Opisz wszystkie podgrupy grupy Z.

2 Grupy reszt modulo n

Zadanie 7 Znajdź rzędy elementów ¯1, ¯2, ¯3, ¯4, ¯5 w grupie Z10. Zadanie 8 Znajdź rząd elementu ¯6 w grupie:

a) Z13, b) Z15, c) Z18, d) Z20. Zadanie 9 Znajdź rząd elementu ¯k w grupie Zn.

Zadanie 10 Wyznacz podgrupę generowaną przez elementy:

a) ¯4 i ¯6 w Z12, b) ¯2 i ¯5 w Z10, c) 12, 18 i 24 w Z27, d) 2002 i 2003 w Z5000.

Zadanie 11 Wyznacz wszystkie podgrupy grupy:

a) Z6, b) Z8, c) Z10, d) Z12, e) Z27, f ) Z30, g) Z31. Zadanie 12 Opisz wszystkie podgrupy grupy Zn.

1

3 Grupy cykliczne

Zadanie 13 Znajdź rzędy elementów e, g, g⁴, g⁵, g⁶ w grupie hgi₁₅. Zadanie 14 Znajdź rząd elementu g⁴ w grupie:

a) hgi₂₀₀₂, b) hgi₂₀₀₃, c) hgi₂₀₀₄. Zadanie 15 W grupie hgi₁₂ wyznacz:

a) wszystkie elementy spełniające warunek h³= e, b) wszystkie elementy spełniające warunek h⁵ = e, c) wszystkie elementy rzędu 4,

d) wszystkie elementy rzędu 5.

Zadanie 16 Dane są liczby naturalne n i k. W grupie hgin wyznacz:

a) wszystkie elementy spełniające warunek h^k= e, b) wszystkie elementy rzędu k.

Zadanie 17 Załóżmy, że g jest elementem skończonego rzędu n (w pewnej grupie). Udowodnij, że dla dowolnych liczb całkowitych k i l:

a) g^k= e ⇔ n | k, b) g^k= g^l⇔ n | k − l.

Zadanie 18 Znajdź rzędy następujących elementów grupy C^∗:

1, −1, i, −i, 1 − i

√ 2 , 1

2 +

√3

2 i, −1 2+

√3

2 i, 1 + i, 2, √

10 −22 7 i, 3

5 +4 5i.

Zadanie 19 Znajdź liczbę elementów grupy C^∗, których rząd wynosi:

a) 1, b) 2, c) 3, d) 4, e) 5, f ) 6.

Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi

3 Odpowiedź. Inkluzja mZ ⊂ nZ zachodzi dokładnie wtedy, gdy n | m.

Wskazówka. Zauważ, że mZ ⊂ nZ ⇔ m ∈ nZ.

4 Odpowiedź: a) Z, b) Z, c) 6Z, d) Z, e) dZ, gdzie d = NWD(m, n), f ) dZ, gdzie d = NWD(n₁, n₂, . . . , n_k).

e) Rozwiązanie. Niech d = NWD(m, n). Skoro d | m i d | n, to istnieją takie k, l ∈ Z, że m = kd i n = ld, czyli m ∈ dZ i n ∈ dZ. Zatem mZ = hmi ⊂ dZ i nZ = hni ⊂ dZ, skąd mZ + nZ ⊂ dZ.

Z drugiej strony, wiadomo, że d można przedstawić w postaci d = rm + sn dla pewnych r, s ∈ Z. To oznacza, że d ∈ mZ + nZ, więc dZ ⊂ mZ + nZ.

5 Odpowiedź: a) 6Z, b) 36Z, c) 900Z, d) 105Z, e) wZ, gdzie w = NWW(m, n), f ) wZ, gdzie w = NWW(n₁, n₂, . . . , n_k).

e) Wskazówka. Trzeba pokazać, że: 1) dla każdego k ∈ Z, jeśli k ∈ mZ i k ∈ nZ, to k ∈ wZ, 2) w ∈ mZ i w ∈ nZ.

2

6 Rozwiązanie. Łatwo sprawdzić, że nZ jest podgrupą grupy Z dla każdego n ∈ N0 i jeśli m, n ∈ N0, m 6= n, to nZ 6= nZ. Udowodnimy, że każda podgrupa jest postaci nZ dla pewnego n ∈ N0.

Rozważmy dowolną podrupę H grupy Z. Oczywiście 0 ∈ H. Jeśli H = {0}, to H = nZ dla n = 0. Załóżmy, że H 6= {0}. Zatem do H należy pewna liczba a 6= 0, więc należy również −a.

Oznacza to, że w H są liczby dodatnie (co najmniej jedna). Niech n będzie najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią, należącą do H. Skoro n ∈ H, to nZ ⊂ H. Wykażemy, że zachodzi również odwrotna inkluzja.

Niech m ∈ H. Podzielmy z resztą m przez n: m = kn + r, k, r ∈ Z, 0 6 r < n. Mamy r = m − kn, gdzie m, n ∈ H, więc r ∈ H. Gdyby zachodziła nierówność r > 0, to r byłoby liczbą dodatnią należącą do H, mniejszą od n, co jest niemożliwe. Zatem r = 0, czyli m = kn ∈ nZ.

To oznacza, że H ⊂ nZ, więc ostatecznie H = nZ.

9 Wskazówka. Zauważ, że m · ¯k = ¯0 w Zn dokładnie wtedy, gdy n | mk w Z.

10 a) Rozwiązanie. Oczywiście ¯4, ¯6 ∈ h¯2i, gdyż ¯4 = ¯2 + ¯2 i ¯6 = ¯2 + ¯2 + ¯2, więc h¯4, ¯6i ⊂ h¯2i.

d) Wskazówka. To jest łatwe, wystarczy coś zauważyć.

11 b) Odpowiedź. Grupa Z8 posiada cztery podgrupy: {¯0}, {¯0, ¯2}, {¯0, ¯2, ¯4, ¯6} i Z8.

Rozwiązanie. Znajdźmy najpierw podrupy generowane przez poszczególne elementy (wypisu- jąc kolejne wielokrotności):

h¯0i = {¯0}, h¯1i = {¯0, ¯1, ¯2, ¯3, ¯4, ¯5, ¯6, ¯7}, h¯2i = {¯0, ¯2, ¯4, ¯6}, h¯3i = {¯0, ¯3, ¯6, ¯1, ¯4, ¯7, ¯2, ¯5} = h¯1i, h¯4i = {¯0, ¯4}, h¯5i = {¯0, ¯5, ¯2, ¯7, ¯4, ¯1, ¯6, ¯3} = h¯1i, h¯6i = {¯0, ¯6, ¯4, ¯2} = h¯2i, h¯7i = {¯0, ¯7, ¯6, ¯5, ¯4, ¯3, ¯2, ¯1} = h¯1i.

Niech H będzie dowolną podgrupą grupy Z8. Jeśli do H należy co najmniej jeden z elementów 1, 3, 5, 7, to w H jest zawarta podgrupa generowana przez ten element, czyli H = Z8.

Załóżmy teraz, że 1, 3, 5, 76∈H, czyli H ⊂ {0, 2, 4, 6}. Jeśli 2 ∈ H lub 6 ∈ H, to h¯2i = h¯6i ⊂ H, czyli H = {0, 2, 4, 6}. Jeśli 2, 66∈H, to H ⊂ {0, 2, 4, 6}, czyli H = {0, 2} lub H = {0}.

12 Wskazówka. Niech H będzie dowolną podrupą grupy Zn, a k najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią, dla której ¯k ∈ H. Zauważ, że ¯m ∈ H ⇔ k | m. W szczególności, k | n.

14 a) Rozwiązanie. Kolejne potęgi elementu g⁴∈ hgi₂₀₀₂ to:

g⁴, (g⁴)² = g⁸, . . . , (g⁴)⁴⁹⁹ = g¹⁹⁹⁶, (g⁴)⁵⁰⁰ = g²⁰⁰⁰, (g⁴)⁵⁰¹ = g²⁰⁰⁴ = g², (g⁴)⁵⁰² = g²⁰⁰⁸ = g⁶, . . . , (g⁴)⁹⁹⁹= g³⁹⁹⁶ = g¹⁹⁹⁴, (g⁴)¹⁰⁰⁰= g⁴⁰⁰⁰ = g¹⁹⁹⁸, (g⁴)¹⁰⁰¹ = g⁴⁰⁰⁴ = e.

Najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią n, dla której (g⁴)ⁿ= e, jest 1001, więc |hg⁴i| = 1001.

15 Wskazówka. Ułóż tabelkę kolejnych potęg elementów grupy hgi12 i odczytaj wszystko z tej tabelki.

18 Wskazówka.

Pierwsze cztery liczby są łatwe, kolejne trzy trzeba przedstawić w postaci trygonometrycznej lub narysować na płaszczyźnie, a w następnych trzech zwracamy uwagę na moduł. Jedynie w przypadku liczby ³₅ +⁴₅i trzeba się trochę napracować.

19 Odpowiedź: a) 1, b) 1, c) 2, d) 2, e) 4, f ) 2.

Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia z algebry, III rok informatyki, wiosna 2003.

Przykłady grup przemiennych, wersja druga, 2 VI 2003.

3