ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI Lista II Wydział IŚ/ kierunek: IŚ Elementy rachunku wektorowego i różniczkowego
R O Z W I Ą Z A N I A Z A D A Ń
1. (a) Odległość między punktami (x1, y1) = (2, −4) i (x2, y2) = (−3, 3) top(x2− x1)2+ (y2− y1)2=p(−5)2+ 72=
√74 ≈ 8,6. Współrzędne biegunowe: r1 =px21+ y12 = 2√
5 ≈ 4,5, tg θ1 = y1/x1 = −2, skąd θ1≈ 297◦ (punkt leży w IV ćwiartce układu współrzędnych); r2=px22+ y22= 3√
2 ≈ 4,2, tg θ2= y2/x2= −1, skąd θ2= 135◦ (punkt leży w II ćwiartce). (b) Współrzędne kartezjańskie: x = r cos θ = −2,75, y = r sin θ = 5,5 · (−0,5) = −2,75√
3 ≈ −4,8.
(c) Punkt (−x, y) ma współrzędne biegunowe (r, π − θ), punkt (−2x, −2y) — współrzędne (2r, θ + π), punkt (3x, −3y)
— współrzędne (3r, 2π − θ); kąty należy w razie potrzeby sprowadzić do przedziału [0, 2π).
2. Jeśli miasto A umieścimy w początku układu współrzędnych i oś x skierujemy na wschód, to miasto C ma współrzędne x = 200 + 300 cos 30◦ = 200 + 150√
3 ≈ 460, y = 0 + 300 sin 30◦ = 150, a odległość z A do C wynosi p
x2+ y2 = 100p
13 + 6√
3 ≈ 484 (w kilometrach). Kierunek A–C wyznacza kąt α = arc tg(y/x) ≈ 18◦ od kierunku wschód–
zachód.
3. Wektor przesunięcia ma długość 2R = 40 m i leży na średnicy półokręgu. Przebyta droga to długość łuku, s = πR ≈ 63 m. Po obejściu okręgu spacerowicz wraca do punktu początkowego, wektor przesunięcia jest wektorem zerowym.
4. Umieśćmy początek układu współrzędnych w punkcie startu i skierujmy oś y na północ. Współrzędne (w metrach) punktu końcowego i zarazem współrzędne wektora przesunięcia to: x = 0 + 40 sin 45◦− 50 = 20√
2 − 50 ≈ −21,7, y = 30 + 40 cos 45◦+ 0 = 30 + 20√
2 ≈ 58,3. Długość wektora przesunięcia |∆~r| =p
x2+ y2= 10p
50 − 8√
2 ≈ 62,2.
Kierunek wektora określa kąt α = arc tg(x/y) ≈ 20◦ na zachód od kierunku północnego.
5. Równanie prostej przechodzącej przez te punkty to (y−y1)(x2−x1) = (x−x1)(y2−y1). Dla wskazanych współrzędnych punktu A mamy y − y1= (y2− y1)f , x − x1= (x2− x1)f i widać, że punkt taki należy do prostej. Leży on pomiędzy punktami (x1, y1) i (x2, y2), gdy 0 < f < 1.
-x 0
6 y
r r
r
(x1, y1) A
(x2, y2)
Zadanie 5
-x 0
6 y
~6 A
~ B
@
@
@ R C~
45◦ 45◦ Zadanie 6
60◦ 75◦
7 F~2= 120 N
C C COC F~1= 80 N
Zadanie 7
-x 0
6 y
x1 x2
y1 y2
~ r1
~r2
d~ *
Zadanie 8
6. Współrzędne wektorów: ~A = (0, 20), ~B = (40 cos 45◦, 40 sin 45◦) = (20√ 2, 20√
2), ~C = (30 cos 45◦, −30 sin 45◦) = (15√
2, −15√
2). Wektor wypadkowy ~W = ~A + ~B + ~C = (35√
2, 20 + 5√
2) ≈ (49,5; 27,1). Jego długość | ~A + ~B + ~C| = q
(35√
2)2, (20 + 5√
2)2= 20p(29+2√
2) ≈ 56,4. Kąt θ, który tworzy wektor ~W z dodatnią półosią x spełnia warunek tg θ = Wy/Wx≈ 0,55, skąd θ ≈ 29◦ (kąt leży w pierwszej ćwiartce, gdyż Wx> 0 i Wy).
7. Składowa poprzeczna siły wypadkowej (wzdłuż linii przerywanej) to Fx = 120 cos 60◦− 80 cos 75◦ ≈ 39,3 (zwrot w prawo), składowa podłużna (do przodu) to Fy = 120 sin 60◦+ 80 sin 75◦ ≈ 181,2. Wartość siły wypadkowej F = q
Fx2+ Fy2≈ 185,4 (wyniki w niutonach).
8. Jak widać na rysunku, ~r1+ ~d = ~r2; podobnie x1+ dx= x2, y1+ dy = y2.
9. Wiemy, że ~i·~i = ~j ·~j = ~k ·~k = 1, ~i·~j = ~j ·~k = ~k ·~i = 0. Otrzymujemy stąd ~A· ~B = (Ax~i+Ay~j +Az~k)·(Bx~i+By~j +Bz~k) = AxBx+ AyBy+ AzBz.
10. (a) ~A · ~B = 5. (b) Mamy cos6 ( ~A, ~B) = ~A · ~B/(AB) = 1/√
10, gdzie A = | ~A| = 5, B = | ~B| =√
10. Stąd6 ( ~A, ~B) ≈ 72◦. 11. Ponieważ ~A = r1(cos θ1~i + sin θ1~j) oraz ~B = r2(cos θ1~i + sin θ2~j), mamy ~A · ~B = r1r2(cos θ1cos θ2+ sin θ1sin θ2) =
r1r2cos(θ1− θ2), tj. iloczyn długości wektorów i kosinusa kąta pomiędzy nimi.
12. Kąty wyznaczymy z iloczynów skalarnych: (a) cos6 ( ~A, ~B) = ~A · ~B/(AB); długości wektorów: A = | ~A| = √ 13, B = | ~B| = 4√
2, zatem cos6 ( ~A, ~B) = (3 · 4 + 2 · 4)/(4√
26) = 5/√
26 i 6 ( ~A, ~B) ≈ 13◦. (b) cos6 ( ~A, ~B) = 7/14 = 1/2, skąd6 ( ~A, ~B) = 60◦.
13. Wiemy, że ~i × ~i = ~j × ~j = ~k × ~k = ~0, ~i × ~j = ~k, ~j × ~k = ~i, ~k × ~i = ~j, oraz że ~p × ~q = −~q × ~p. Otrzymujemy stąd A × ~~ B = (Ax~i + Ay~j + Az~k) × (Bx~i + By~j + Bz~k) = (AxBy− ByAx)~k + (AyBz− BzAy)~i + (AzBx− BxAz)~j, co odpowiada rozwinięciu pokazanego wyznacznika.
14. Iloczyny wektorowe: (a) ~A × ~B = (0, 0, −4), (b) ~A × ~B = (7, −7, −7). Kąty między wektorami — patrz zadanie 12.
15. Mamy | ~A × ~B| = | ~A|| ~B| sin α oraz ~A · ~B = | ~A|| ~B| cos α, gdzie α — kąt między wektorami. Warunek sin α = cos α spełnia kąt α = 45◦.
16. Wektor będący wynikiem iloczynu wektorowego musi być prostopadły do obu wektorów stanowiących czynniki. Iloczyn skalarny (2~i − 3~j + 4~k) · (4~i + 3~j − ~k) = −5 6= 0, zatem wektory te nie są prostopadłe. Wektor ~A spełniający warunek zadania nie istnieje.
17. (a) (d/dt)(x0+ v0t +12at2) = 0 + v0+12a · 2t = v0+ at;
(b) (d2/dt2)(x0+ v0t +12at2) = (d/dt)(v0+ at) = 0 + a = a;
(c) (d/dt)A sin(2πt/T ) = A cos(2πt/T ) · (2π/T ) = (2πA/T ) cos(2πt/T );
(d) (d2/dt2)A sin(2πt/T ) = (d/dt)[(2πA/T ) cos(2πt/T )] = −(2πA/T ) sin(2πt/T )·(2π/T ) = −(4π2A/T2) sin(2πt/T );
(e) (d/dx)√
x2+ a2= (d/dx)(x2+ a2)1/2=12(x2+ a2)−1/2· 2x = x/√
x2+ a2; (f) (d2/dx2)√
x2+ a2= (d/dx)x/√
x2+ a2 = 1 ·√
x2+ a2− x ·12(x2+ a2)−1/2· 2x /(x2+a2) = a2/(x2+a2)3/2.
Wrocław, 16 X 2007 W. Salejda, M.H. Tyc & K. Tarnowski
