 układ inercjalny

Ogólna teoria względności wyjaśnia dlaczego na Ziemi czas płynie inaczej na wysokości, na której znajduje się satelity systemu GPS (około 20 000 km).

Odbiorniki nawigacji satelitarnej znajdujące się w samochodach nie mogłyby poprawnie określać swojej pozycji na Ziemi, nie biorąc pod uwagę tych rozbieżności.

Szczególna teoria względności wyjaśnia, dlaczego na Ziemi czas płynie inaczej niż dla szybko poruszającego się satelity systemu GPS ( Global Positioning System).

Rakieta zbliża się do Ziemi z prędkością v i wysyła sygnały świetlne (ogólnie w postaci fali EM).

Z jaką prędkością sygnały te docierają do Ziemi?

Szczególna teoria względności

1. Jeżeli światło porusza się tak jak dźwięk w ośrodku (hipotetyczny „eter”), a Ziemia spoczywa względem eteru to prędkość ta wynosi c.

2. Jeżeli światło składa się z cząstek takich jak je sobie wyobrażamy z życia codziennego to sygnały te docierają do Ziemi z prędkością c+v.

1. Dwóch pływaków A i B skacze jednocześnie do rzeki, w której woda płynie z prędkością v. Prędkość c (c > v) każdego pływaka względem wody jest taka sama. Pływak A przepływa z prądem odległość L i zawraca do punktu startu. Pływak B płynie prostopadle do brzegów rzeki (pomimo znoszącego go prądu) i oddala się na odległość L, po czym zawraca do punktu startu. a) Który z nich wróci pierwszy? b) Gdyby okazało się, że czasy ruchu obu pływaków są takie same, to jak skomentował(a)byś otrzymany wynik?

Zadanie

Rozwiązanie

Pływak A przepływając z prądem odległość L porusza się względem brzegu z prędkością c + v a z powrotem c – v. Łączny czas płynięcia to: 2 2

2

A

L L cL

t  c v  c v  c v

  

Pływak B płynąc prostopadle do brzegów rzeki kieruje swoją prędkość lekko pod prąd, a wartość prędkości jest taka sama i wynosi . Stąd: .

Stosunek czasów wynosi:

2 2

2

B

t L

c v

 

𝑐²− 𝑣²

2 2 2 2

2 2

2 ( )

1 2

B A

t L c v c v

t Lc c v c

 

  



W 1887 r Michelson i Morley zastosowali interferometr Michelsona w celu przeprowadzenia

„doświadczenia Michelsona-Morleya” które wykazało, że prędkość światła nie zależy od ruchu źródła i obserwatora.

Wynik tego doświadczenia stanowi podstawę szczególnej teorii względności.

Inercjalne układy odniesienia

Inercjalny układ odniesienia jest takim układem odniesienia, w którym ciało spoczywające pozostaje w spoczynku, a ciało będące w ruchu porusza się ze stałą prędkością po linii prostej, jeżeli nie działają na nie siły zewnętrzne, albo siły zewnętrzne się równoważą

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

 układ inercjalny

układy nieinercjalne

Transformacje Galileusza

x = x' +v t

x' = x -v t

x x

v =v' +v

v =v' -v

Milcząco założyliśmy, że oczywistym jest, że czas biegnie jednakowo w obydwu układach Są to przekształcenia współrzędnych przestrzennych z jednego inercjalnego układu odniesienia do innego, poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem pierwszego.

Niech v_x’ = c wtedy v_x> c – sprzeczność z doświadczeniem!

a

= ' a

_F

= ' _F

Postulaty Einsteina

1. Zjawiska fizyczne przebiegają tak samo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia (zasada względności

Galileusza).

2. Prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Konsekwencją 2. postulatu jest, że:

 Zdarzenia jednoczesne w jednym układzie nie muszą być jednoczesne w drugim.

 Długość l’ mierzona w układzie K’ jest inna niż długość l mierzona w układzie K.

 Czas t’ między dwoma zdarzeniami mierzony w układzie K’

jest inny niż czas t mierzony w układzie K.

Jednoczesność zdarzeń.

Załóżmy, że w układzie K’ dwa zdarzenia– dotarcie wysłanych wiązek światła (z prędkością c) do ścian wagonu, zdarzenia zachodzą jednocześnie.

' K K

v

Czy zdarzenia te zachodzą jednocześnie również w układzie K?

Nie, gdyż w układzie K wagon porusza się (z prędkością v).

Dylatacja czasu

Naukowiec z NASA na Ziemi widzi, że światło porusza się wzdłuż dłuższej drogi 2s co dajedłuższy czas Δt.

Astronauta mierzy czas Δτ dla światła pokonującego odległość 2D w kajucie

.

Dylatacja czasu

Po przekształceniu:

 .

  

  t = - v

1 c

2

Δτ

Ostatecznie

Mion (nietrwała cząstka podobna do elektronu, ok. 200 razy od niego cięższa) utworzony w górnych warstwach atmosfery przebywa do chwili rozpadu odległość 4,6 km z prędkością o wartości v = 0,99c.

Mion utworzony w laboratorium, gdzie jego prędkość << c „żyje”

średnio 2,2∙10^-6s.

Zadanie

b) Jaka jest grubość atmosfery przebyta przez mion, zmierzona w jego własnym układzie odniesienia?

a) Jak długi jest czas życia mionu, mierzony w jego własnym układzie odniesienia, a jaki czas życia mierzony przez nas?

Mion (nietrwała cząstka podobna do elektronu, ok. 200 razy od niego cięższa) utworzony w górnych warstwach atmosfery przebywa do chwili rozpadu odległość 4,6 km z prędkością o wartości v = 0,99c. Mion utworzony w laboratorium, gdzie jego prędkość << c „żyje” średnio 2,2∙10^-6s.

Dane: Szukane:

L₀ = 4,7 km, a) t ?, t  ?

v = 0,99 c, b) L = ?

2, 2 10 6 . t   ^ s

3 0 5

8

4.63 10

lub = s= 1,56 10 s.

0,99 3 10 t L

v

 

  

 

8 6

0,99 (3 10 m/s) (2, 2 10 s) 653, 4 m 0, 65 km.

L  v t     ^  

3 10 m/s.8

c 

t= 2,2∙10^-6s,

a) Jak długi jest czas życia mionu, mierzony w jego własnym układzie odniesienia, a jaki czas życia mierzony przez nas?

b) Jaka jest grubość atmosfery przebyta przez mion, zmierzona w jego własnym układzie odniesienia?

6 6

5

2 2

2, 2 10 s 2, 2 10 s

1,56 10 s, 0,141

1 (0.99) 1

t

v c

t ^{ } _

  

     

  

  

 

Długość własna L₀ jest odległością między dwoma punktami zmierzoną przez obserwatora, który jest w spoczynku względem obu punktów.

Obserwator naziemny widzi mion poruszający się z prędkością 0,95 c przebywający odległość 2,0 km. Ta sama droga ma długość 0,63 km jeżeli jest widziana z układu odniesienia mionu. Ziemia, powietrze i chmury poruszają się w stosunku do mionu i mają mniejsze długości wzdłuż kierunku podróży.

Skrócenie długości

W przykładzie z mionem aby powiązać odległości zmierzone przez dwóch różnych obserwatorów, zwróćmy uwagę, że prędkość dla obserwatora na Ziemi wynosi:

Prędkość dla poruszającego się obserwatora (hipotetycznego obserwatora związanego z mionem) dana jest przez:

L0

v  t



v L



t



Porównując prawe strony mamy

0 , L L

t

 

2

0 0 1 v .

L L L

t c

t

  

      

a stąd:

b) Astronauta obserwuje skrócenie długości, ponieważ Ziemia i Alpha Centauri przemieszczają się względem jej statku. Astronauta może pokonać krótszą odległość w krótszym czasie – w jego czasie własnym.

a) Obserwator naziemny mierzy odległość między Ziemią a Alpha Centauri - długość własną.

Zadanie

1. Załóżmy, że załogowy statek kosmiczny leci z Ziemi do galaktyki Andromedy, która znajduje się w odległości 2. mln lat świetlnych (w domyśle w układzie odniesienia związanym z Ziemią).

a) Z jaką prędkością (w domyśle względem Ziemi) powinien się poruszać statek kosmiczny aby jego załoga w ciągu 40. lat dotarła na miejsce (zaniedbajmy czasy hamowania i rozpędzania statku).

b) Ile czasu upłynie na Ziemi, gdy dla pasażerów statku kosmicznego podróżującego do galaktyki Andromedy upłynie 40 lat?

Dane:

Szukane:

a) v = ?; b) t = ?.

6 8 15

0 0

2 mln lat swietlnych = (2 10 365 24 3600s) 3 10 m/s = 9,5 10 m.

40 lat L

t

       



2

0 1 v

L L

c

      Rozwiązanie

a) Z jednej strony

- odległość do galaktyki Andromedy widziana przez załogę statku

Z drugiej strony

Po podstawieniu otrzymujemy równanie, z którego możemy wyznaczyć

v

0. L vt

0 0 40 lat swietlnych.

L  vt ct 

2

5 0

1 2 10

L v

L c

  

     

2

2 10 5 1 v 1 v 1 v 2 1 v

c c c c

       

              

(1 2 10 10) 0,9999999998

v    ^ c  c

0 2 5

40 2 mln lat.

2 10 1

t t

v c

   

  

    b) Ze wzoru na dylatację czasu

Ja jednak zrobię to prościej. Zauważmy, że prędkość

v

Stąd:

Paradoks bliźniąt (bliźniaczek)

Paradoks bliźniąt polega na dwóch sprzecznych wnioskach dotyczących tego, która z dwóch bliźniaczek powinna być starsza po podróży kosmicznej z prędkością bliską prędkości światła.

Transformacje Galileusza

x = x'+v t

x' = x -v t

x x

v =v' +v

v =v -v

Milcząco założyliśmy, że oczywistym jest, że czas biegnie jednakowo w obydwu układach Jest to przekształcenia współrzędnych przestrzennych i czasu z jednego układu odniesienia do innego, poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem pierwszego.

Niech v_x’ = c wtedy v_x= c + v₀ > c – sprzeczność z doświadczeniem!

 

 

 

0

x' +v t'

x = v

- c

0

1

2

 

 

 

0

x -v t x' = - v

c

0

1

2

 

 

 

0

t'+ v x' t = c

- v c

02

1

2

 

 

 

t - v x t' = c

- v c

02

1

2

Transformacje Lorentza

Transformacje Galileusza należy zastąpić takimi, z których będzie wynikała stała prędkość światła w różnych układach.

Transformacji podlega zarówno położenie ciała jak czas, w którym jest ono zmierzone

Transformacje położenia:

Transformacje czasu:

Skąd wiemy, że te transformacje są prawdziwe? Sprawdźmy to.

Z powyższych wynikają transformacje prędkości:

 

  



        

x,

x ,

x

x' +v t' x' +v t' v +v

v = x = = =

v v v v

t t' + x' t' + x' +

c c c

0 0 0

0 0 0

2 2

1

v' +v v = + v v'

c

0 02

1

c +v c +v

v = = = c

v c c +v

+ c c

0 0

0 0

1

Jeżeli prędkość jest wzdłuż osi OX:

Niech w układzie K’ porusza się wiązka światła z prędkością c. W układzie K:

Również prędkość wynosi c!

Dwa pojazdy kosmiczne oddalają się do siebie z prędkościami względem Ziemi równymi

Ile wynosi prędkość jednego pojazdu kosmicznego względem drugiego?

Zadanie

1 2

0.9 . v  v  c

Przyjmijmy, że z lewą rakietą związany jest układ spoczywający K, Ziemia jest układem K’ poruszającym się z prędkością v w prawo, a w tym układzie porusza się, również z prędkością v w prawo, druga rakieta. Wtedy wzór na dodawanie prędkości przyjmuje postać:

Rozwiązanie

0 1 2

0 1 2

2 2 2

' 0,9 0,9 1,8

0,994475 .

' 1 1 0,9 0,9 1,81

1

v v v v c c c

v c

v v v v c c

c c

c

  

        

Konsekwencje transformacji Lorentza

Skrócenie długości:

Długość czyli różnica położenia początku i końca rakiety w układzie poruszającym się

Długość w układzie spoczywającym

Pomiaru położenia początku i końca rakiety w układzie spoczywającym dokonujemy w tym samym czasie t₂- t₁=0

Długość L₀ ciała, mierzona w układzie, w którym

ciało spoczywa jest najdłuższa

 

 

 

0 0

L= L - v 1 c

2

L

 

 

 

2 0

x - x - v (

= x - t t

- v c x =

, ,

0 2 1 1

1 0

2

- ) 1

2

L= x - x_{2 1}

  

 

 

t - t +v x - x t =t - t = c

- v c

' ' 0 ' '

2 1 2 1

2 1

0 2( 1

)

2

Dla obserwatora w rakiecie (układ K’) tyknięcie zegara trwa

t’= t₂’ -t₁’

Zegar się nie porusza, czyli x₂’- x₂’=0

 

 

 

 

t = t'

- v c 1

2

Dylatacja czasu

obserwator w rakiecie

obserwatorspoczywający

Ile trwa tyknięcie zegara t dla obserwator spoczywającego

(w układzie K)?

Czas t’ życia cząstki w układzie, w którym cząstka spoczywa, tzw.

czas własny jest najkrótszy.

Interwał czasoprzestrzenny

Zarówno przedział czasowy między zdarzeniami t₁₂ = t₂ - t₁ jak i przestrzenna odległość między nimi l₁₂ są różne w różnych inercjalnych układach odniesienia. Niezmiennicza jest natomiast wielkość nazywanainterwałem czasoprzestrzennym (interwałem).

S

= S’

2 2 2

12

(

) (

)

S c t L

    

Czasoprzestrzeń

Współrzędne przestrzenne (x, y, z) i współrzędne czasowe t wszystkich możliwych zdarzeń rozpatrywanych w określonym inercjalnym układzie odniesienia tworzą czterowymiarową przestrzeń zdarzeń (czasoprzestrzeń, przestrzeń Minkowskiego) o współrzędnych (x,y,z,ct).

Typ interwału czasoprzestrzennego:

- interwał typu czasowego S² > 0, - interwał typu przestrzennego S²< 0.

Czy można znaleźć taki układ odniesienia, w którym Chrzest Polski i bitwa pod Grunwaldem zaszłyby: a) w tym samym miejscu? b) w tym samym czasie?

Wskazówka. Posłuż się pojęciem interwału czasoprzestrzennego.

Zadanie

Rozwiązanie

Kwadrat interwału czasoprzestrzennego jest równy:

2 2 2 2

12 12 12

S c t l

    

 

^{ }

  



2 8 3 37 11 2

12

3 10 444 365 24 3600 500 10 1, 76 10 2,5 10 m 0.

 S            

Chrzest Polski odbył się w Gnieźnie w 966 roku, a i bitwa pod Grunwaldem miała miejsce 15 lipca 1410 roku na polach pod Grunwaldem. Odstęp czasowy między tymi zdarzeniami wynosi więc 444 lata a odległość przestrzenna to około 500 km.

Jest to interwał typu czasowego, czyli można znaleźć układ odniesienia, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym samym miejscu, natomiast nie w tym samym czasie.