Układ inercjalny

Dynamika

Fizyka I (Mechanika) Wykład V:

• Prawa ruchu w układzie nieinercjalnym

⇒ siły bezwładno´sci

• Prawa ruchu w układzie obracaj ˛acym si ˛e

⇒ siła od´srodkowa

⇒ siła Coriolissa

• Zasada zachowania p ˛edu

Układ inercjalny

Zasada bezwładno´sci

“Ka˙zde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego, je´sli siły przyło˙zone nie zmuszaj˙z ciała do zmiany tego stanu.” I.Newton

Układ odniesienia w którym spełniona jest zasada bezwładno´sci nazywamy układem inercjalnym

Zasada bezwładno´sci jest równowa˙zna z postulatem itnienia układu inercjalnego W układzie inercjalnym ruch ciała jest jednoznacznie zadany przez

działaj ˛ace na nie siły zewn ˛etrzne (równanie ruchu) + warunki pocz ˛atkowe m d²~r(t)

dt² = ~F (~r, ~v, t) + ~F_R

~r(t₀) = ~r₀ ~v(t₀) = ~v₀

Układy nieinercjalne

Opis ruchu

Wózek porusza si ˛e z przyspieszenien ~a wzgl ˛edem stołu

a

Z punktu widzenia obserwatora zwi ˛azanego ze stołem kulka pozostaje w spoczynku.

Wynika to z zasady bezwładno´sci - siły działaj ˛ace na kulk ˛e równowa˙z ˛a si ˛e

F = 0 ⇔ ~a = 0~

−a

Z punktu widzenia obserwatora zwi ˛azanego z wózkiem kulka porusza si ˛e z przyspieszeniem −~a

⇒ prawa Newtona nie s ˛a spełnione !?

Oba układy nie mog ˛a by´c inercjalne.

Prawa ruchu w układzie nieinercjalnym wymagaj ˛a modyfikacji

Układy nieinercjalne

Prawa ruchu

Przyjmijmy, ˙ze układ O’ porusza si ˛e wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Osie obu układów pozostaj ˛a cały czas równoległe (brak obrotów)

Niech ~r_◦(t) opisuje poło˙zenie układu O’ w O. Przyspieszenie: ~a_◦ = ^d2~r◦

dt²

Ruch punktu materialnego mierzony w układach O i O’:

~r = ~r ^′ + ~r_◦

Przyspieszenie punktu materialnego mierzone w układach O i O’:

~a = ~a ^′ + ~a_◦ Prawa ruchu w układzie inercjalnym O:

m~a = ~F (~r, ~v, t) + ~F_R

⇒ w układzie nieinercjalnym O’:

m~a ^′ = ~F (~r ^′, ~v ^′, t) + ~F_R − m~a_◦

⇒ w układzie nieinercjalnym musimy wprowadzi´c sił ˛e bezwładno´sci F~_b = −m~a_◦

Układy nieinercjalne

Prawa ruchu

Wahadło w układzie nieinercjalnym poruszaj ˛acym si ˛e z przyspieszeniem

~a wzgl ˛edem układu inercjalnego

−a

Θ R

mg F_b

o

Oprócz siły ci ˛e˙zko´sci m~g i reakcji R~ musimy uwzgl ˛edni´c pozorn ˛a sił ˛e bezwładno´sci F~_b = −m~a_◦

Opis ruchu mo˙zna upro´sci´c wprowadzaj ˛ac efektywne przyspieszenie ziemskie:

~g ^′ = ~g − ~a_◦

siły bezwładno´sci ≡ siły grawitacji

⇒ odchylenie poło˙zenia równowagi:

tan θ = a_◦ g Przyspieszenie drga ´n:

ω^{′ 2} = g^′

=

q

g² + a²

Układy nieinercjalne

Prawa ruchu

Je´sli a_◦ ≪ g ⇒ w układzie poruszaj ˛acym si ˛e z przyspieszeniem ~a_◦ ⊥ ~g obserwujemy pozorn ˛a zmian ˛e kierunku działania siły ci ˛e˙zko´sci:

Ciecz w naczyniu:

~a = 0 ~a 6= 0

Balon z helem:

~a = 0 ~a 6= 0

Układy nieinercjalne

Równia

α

−a

F_b

o

R mg

siły działaj ˛ace w układzie wózka

Wózek zsuwa si ˛e bez tarcia po równi pochyłej.

Zaniedbuj ˛ac ruch obrotowy kół przyspieszenie wózka:

a_◦ = g sin α

W układzie zwi ˛azanym z wózkiem działa- j ˛aca na wahadło siła bezwładno´sci jest równa co do warto´sci (lecz przeciwnie skierowana) równoległej składowej ci ˛e˙zaru.

Na wahadło działa pozorna siła ci ˛e˙zko´sci prostopadła do powierzchni równi.

g^′ = g_⊥ = g cos α < g

⇒ spowolnienie drga ´n

Układy nieinercjalne

Spadek swobodny

W układzie odniesienia poruszaj ˛acym si ˛e z przyspieszeniem ~a_◦||~g obserwujemy pozorn ˛a zmian ˛e warto´sci przyspieszenie grawitacyjnego:

~g ^′ = ~g − ~a_◦

W układzie zwi ˛azanym z ciałem spadaj ˛acym swobodnie ~a_◦ = ~g

~g ^′ = 0

⇒ stan niewa˙zko´sci

Ruch po okr ˛egu

Układ inercjalny

Do utrzymania ciała w ruchu po okr ˛egu konieczna jest siła do´srodkowa.

Regulator Watta

ω R

mg

F

Kulka w wiruj ˛acym naczyniu

ω R

mg

F

Siła do´srodkowa jest tu wypadkow ˛a siły reakcji i siły ci ˛e˙zko´sci: F =~ m~g + R~

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Niech układ O’ obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a ~ω wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Dla uproszenia przyjmijmy, ˙ze pocz ˛atki obu układów pokrywaj ˛a si ˛e.

Rozwa˙zmy ruch punktu materialnego spoczywaj ˛acego w układzie O’:

Z punktu widzenia obserwatora O ciało porusza si ˛e po okr ˛egu i musi na nie dziala´c siła do´srodkowa:

F = −m ω~ ² ~r_⊥

W układzie O’, aby opisa´c równowag ˛e sił ( ciało pozostaje w spoczynku) musimy wprowadzi´c sił ˛e bezwładno´sci:

F~_b = +m ω² ~r_⊥

⇒ siła od´srodkowa

Siły bezwładno´sci s ˛a siłami pozornymi, wynikaj ˛acymi z nieinercjalnego charakteru układu odniesienia

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Siła od´srodkowa

Regulator Watta

B

ω=0 F

R

mg

Kulka w wiruj ˛acym naczyniu

B

ω=0 R

mg F

Równowaga sił w układzie obracaj ˛acym si ˛e:

m~g + R~ + F~_b = m~a ^′ = 0

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Siła od´srodkowa

Ciecz w wiruj ˛acym naczyniu

Powierzchnia cieczy przyjmuje kształt paraboliczny

y

r α ω=0

R

F_B mg

Równowaga drobiny na powierzchni cieczy:

mg sin α − mω²r cos α = 0

(rzut na powierzchnie cieczy) dy

dr = tan α = ω² g r

⇒ y = ω²

2g · r²+y_◦

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Ruch obrotowy Ziemi

ω ≈ 2π

23^h 56^m 04^s ≈ 7.3 · 10⁻⁵ 1 s

Ciała nieruchome wzgl ˛edem powierzchni Ziemi.

Zmiana efektywnego przyspieszenia ziemskiego zwiazana z ruchem obrotowym Ziemi:

∆g = − ω²r_⊥ cos φ = − ω²r_Z cos² φ

≈ −0.033m

s² · cos² φ φ − ^{szeroko±¢ geo.}

Wyniki pomiarów:

biegun N g = 9.83216 ^m

s²

Warszawa g = 9.81230 ^m

s²

równik g = 9.78030 ^m

s²

Efekt wi ˛ekszy ze wzgl ˛edu na spłaszczenie Ziemi

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Układ O’ obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a ~ω wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Rozwa˙zmy teraz ruch punktu materialnego spoczywaj ˛acego w układzie O:

Z punktu widzenia obserwatora O’ ciało porusza si ˛e po okr ˛egu i musi na nie dziala´c siła do´srodkowa:

F = −m ω~ ² ~r_⊥

W układzie O’ działa tymczasem pozorna siła od´srodkowa F~_b = +m ω² ~r_⊥

⇒ musimy wprowadzi´c kolejn ˛a sił ˛e ?!

Aby “uratowa´c” równania ruchu potrzebujemy

F~_c = −2 m ω² ~r_⊥

⇒ czy to w ogóle ma sens ?...

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Punkt materialny poruszaj ˛acy si ˛e po okr ˛egu w układzie O, siła do´srodkowa F_d = m^V_r². W układzie obracaj ˛acym si ˛e O’ pr ˛edko´s´c punktu wynosi V ^′ = V − ω r

Układ O

v

F_d y

x

ω

Układ O’

v’

x’

y’

ω F_d F_b

Siła wypadkowa w O’:

F_d^′ = mV ^′2

r = m(V ^′ + ωr)²

r − 2mωV ^′ − mω²r = F_d − F_c − F_b

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Rozwa˙zmy teraz punkt materialny poruszaj ˛acy si ˛e radialnie w układzie O’.

W inercjalnym układzie O zbli˙zaj ˛acy si ˛e do centrum układu punkt materialny zaczyna

“wyprzedza´c” punkty układu O’, gdy˙z ich pr ˛edko´s´c w ruchu obrotowym maleje...

Układ O’

x’

y’

v’ F

ω

Układ O

v

y

x

ω

Pozorna siła Coriolisa pojawia si ˛e w układzie obracaj ˛acym si ˛e (nieinercjalnym), ˙zeby opisa´c odchylenie od toru prostoliniowego...

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Układ O’ obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a ~ω wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Z

Y r

X

Z ω

Y

X

V’

V V_rot

i_x

Dodawanie pr ˛edko´sci:

~v = ~v ^′ + ~v_rot = ~v ^′ + ~ω × ~r ^′ Przyspieszenie:

~a = d~v

dt = d~v ^′

dt + d~ω

dt × ~r ^′ + ~ω × d~r ^′ dt Pochodna dla wektora o z układu O’: (~r ^′ i ~v ^′)

d~o ^′

dt = d~o ^′

dt^′ + ω × ~~ o ^′

pochodna w O’ + obrót osi O’

⇒ ~a = ~a ^′ + d~ω

dt × ~r ^′ + ~ω × (~ω × ~r ^′) + 2 · ~ω × ~v ^′

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Równanie ruchu

W układzie inercjalnym O:

m~a = ~F (~r, ~v, t) + ~F_R

⇒ w układzie nieinercjalnym O’:

m~a ^′ = ~F (~r ^′, ~v ^′, t) + ~F_R − m ~ω × (~ω × ~r ^′) − 2 · m ~ω × ~v ^′

W układzie obracaj ˛acym si ˛e wprowadzamy dwie pozorne siły bezwładno´sci:

• sił ˛e od´srodkow ˛a F~_o = −m ~ω × (~ω × ~r ^′) = +m ω² ~r_⊥ ^′

• sił ˛e Coriolisa F~_c = −2 · m ~ω × ~v ^′

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Ruch obrotowy Ziemi

Spadek swobodny z du˙zej wysoko´sci

Siła Coriolisa odchyla tor ciała

w kierunku wschodnim (półkula północna)

Spadek swobodny z wysoko´sci 5.5 km, z pr ˛edko´sci ˛a v ≈ 55 m/s:

a_c = 2 ω v cos φ

≈ 0.008 m

s² · cos φ

Spadek z 5.5 km zajmie t = 100 s.

Ko ´ncowe odchylenie toru od pionu:

∆ = a_c t²

2 ≈ 40 m · cos φ

w Warszawie około 25 m

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Siła Coriolisa F^~_c = −2 · m ~ω × ~v ^′ Półkula północna

0000 1111

ω

000

V

F

W

Wiatry zakr ˛ecaj ˛a “w prawo”; wy˙z “kr ˛eci si ˛e”

zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Półkula południowa

0000

1111

ω

W

V F

Wiatry zakr ˛ecaj ˛a “w lewo”; wy˙z “kr ˛eci si ˛e”

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Wahadło Foucault’a 1851 r.

start z wychylenia maksymalnego

Dla obserwatora na Ziemi płaszczyzna ruchu wahadła obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a

ω₁ = ω · sin φ

w Warszawie (φ = 52^◦): ω₁ ≈ 12^◦/h

dla startu z poło˙zenia równowagi:

Zasada zachowania p ˛edu

Układ izolowany

Ka˙zde ciało mo˙ze w dowolny sposób

oddziaływa´c z innymi elementami układu.

F F

12 21

1

2

4

3

Brak oddziaływa ´n ze ´swiatem zewn ˛etrznym

III zasada dynamiki

Siły z którymi działaj ˛a na siebie ciała i i j: F~_ij = − ~F_ji

Suma sił działaj ˛acych ciało i:

F~_i^Σ = ^X

j

F~_ji

Suma sił działaj ˛acych na układ:

F~_tot = ^X

i

F~_i^Σ = ^X

i

X

j

F~_ji

= ^X

j

X

i

− ~F_ij = − ~F_tot

⇒ F~_tot = 0

Zasada zachowania p ˛edu

II zasada dynamiki d~p_i

dt = ~F_i^Σ

dp

2

4

3

dp

dp

dp

4

izolowany układ inercjalny

P˛ed układu

Prawo ruchu układu:

F~_tot = ^X

i

F~_i^Σ = ^X

i

d~p_i dt

= d dt

X

i

~ p_i

F~_tot = 0 ⇒ ^X

i

~

p_i = ^onst

Dla dowolnego układu izolowanego, suma p ˛edów wszystkich elementów układu pozostaje stała.

Zasada zachowania p ˛edu

Oddziaływanie dwóch ciał

M₁ M₂

M₁ < M₂

V1 V²

Układ “rozpada si ˛e” pod wpływem sił wewn ˛etrznych.

Je´sli na pocz ˛atku wszystkie obiekty spoczywaj ˛a

X

i

~

p_i = 0

to i po “rozpadzie” suma p ˛edów musi by´c równa 0.

Dwa ciała: (v_i ≪ c) m₁~v₁ + m₂~v₂ = 0

⇒ ~v₂ = −m₁

m₂ · ~v₁

⇒ v₂

v₁ = m₁ m₂

Zasada zachowania p ˛edu

Oddziaływanie dwóch ciał

V₁ V=0

M₂ M₁

V₂ M₂ M₁

Zderzenie całkowicie niespr ˛e˙zyste

(po zderzeniu ciała trwale zł ˛aczone)

P˛ed pocz ˛atkowy: ~p_i = m₁~v₁

P˛ed ko ´ncowy: ~p_f = (m₁+ m₂) ·~v₂

Zasada zachowania p ˛edu:

~

p_i = ~p_f

⇒ ~v₂ = m₁

m₁ + m₂ · ~v₁

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Siły centralne

Je´sli układ ciał (lub pojedy ´ncze ciało) działa jaka´s siła zewn ˛etrzna F~_tot 6= 0 to p ˛ed układu musi si ˛e zmienia´c: ^Pp~_i 6= const.

Siły które działaj ˛a na układ cz ˛esto s ˛a

siłami centralnymi - działaj ˛a w kierunku ustalonego ´zródła siły.

Je´sli poło˙zenie ´zródła przyjmiemy za ´srodek układu ⇒ F~_tot = F (r, . . .) ·~i_r Przykład:

• siła grawitacyjna F (r) = −G^m1m2

r²

• siła kulombowska F (r) = _4πǫ^Q1Q2

◦r²

• siła sp ˛e˙zysta F (r) = −k · r

Czy mo˙zna co´s “uratowa´c” z zasady zachowania p ˛edu ?...

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Moment p ˛edu

Zdefiniujmy dla punktu materialnego:

L = ~~ r × ~p ⇐ moment p ˛edu wzgl ˛edem O zale˙zy od wyboru pocz ˛atku układu

Dla v ≪ c

L = m ~~ r × ~v L = m r v sin θ

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Moment p ˛edu

Ruch po płaszczy´znie:

L = m ~~ r × (~v_r + ~v_θ) L = m r v_θ

⇒ L = m r² dθ

dt = m r² ω Przypadek szczególny:

ruch po okr ˛egu - r=const Moment bezwładno´sci

I = m r²

⇒ moment p ˛edu mo˙zemy przedstawi´c w ogólnej postaci

L = I ~~ ω

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Moment siły

M = ~~ r × ~F ⇐ moment siły wzgl ˛edem O

Równanie ruchu d~L

dt = d(~r × ~p) dt

= d~r

dt × ~p + ~r × d~p dt

= ~v × ~p + ~r × ~F

= 0 + M~

M = 0~ ⇒ L =~ ^onst

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Cz ˛astka swobodna

Moment p ˛edu wzgl ˛edem dowolnego punktu 0 pozostaje stały:

L = m v r sin θ = m v b = ^onst b - parametr zderzenia

odległo´s´c najmniejszego zbli˙zenia do O

Siła centralna

Moment siły: (wzgl ˛edem ´zródła) M = ~~ r × ~F

= ~r ×~i_r · F (r, . . .) = 0

L~ = const

Moment p ˛edu, liczony wzgl ˛edem ´zródła siły centralnej pozostaje stały.

Zasada zachowania momentu p ˛edu

Pr ˛edko´s´c polowa

Pole jakie wektor wodz ˛acy punktu zakre´sla w jednostce czasu: ^dS_dt

dS_OAB = 1

r rdθ = 1

|~r × ~dr| = 1

|~r × ~v| dt

II prawo Keplera

dS

dt = 1

2 |~r × ~v| = L

2 m = ^onst

W ruchu pod działaniem sił centralnych pr ˛edko´s´c polowa jest stała.

Ruch ciał o zmiennej masie

Rozwa˙zmy ruch ciała o zmiennej masie. W ogólnym przypadku: m = m(~r, ~v, t)

m

w v+dv

−dm Od ciała o masie m−dm poruszaj ˛acego si ˛e

z pr ˛edko´sci ˛a ~v odł ˛acza si ˛e element

−dm > 0 poruszaj ˛acy si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a w~

(dm < 0 bo masa ciała maleje)

Z zasady zachowania p ˛edu:

(m − dm) ~v = m (~v + d~v) − dm ~w

⇒ d~p = m d~v = (m − dm) ~v − m ~v + dm ~w

= dm (w − ~v~ ) ≡ dm~v_odrz

Siła odrzutu (siła ci ˛agu rakiety):

F~_odrz = d~p

dt = dm

dt ~v_odrz dm

dt < 0

Ruch ciał o zmiennej masie

Równanie ruchu

Ruch ciała pod wpływem siły odrzutu:

d~p

dt = m d~v

dt = ~F_zewn + dm

dt ~v_odrz

Zaniedbuj ˛ac wpływ sił zewn ˛etrznych (np. pola grawitacyjnego):

m d~v

dt = dm

dt ~v_odrz m d~v

dm · dm

dt = dm

dt ~v_odrz m d~v

dm = ~v_odrz

Całkuj ˛ac stronami:

v_k Z

v_◦

d~v

~v_odrz =

m_k Z

m_◦

dm m

⇒ ~v_k = ~v_◦ + ~v_odrz · ln

m_k m_◦



wzór Ciołkowskiego

Ruch ciał o zmiennej masie

Rakieta jednostopniowa

Rakieta o masie m_R ma wynie´s´c satelit ˛e o masie m_S, zu˙zywaj ˛ac paliwo o masie m_P:

m m

m v

P R

S

odrz

Mo˙zliwa do uzyskania pr ˛edko´s´c ko ´ncowa:

v_k = v_odrz · ln m_S + m_R + m_P m_S + m_R

!

≈ v_odrz · ln(1 + f )

gdzie: f = m_P

m_R m_s ≪ m_R stosunek masy paliwa do masy rakiety

Aby uzyska´c II pr ˛edko´s´c kosmiczn ˛a v_k ≈ 11 km/s (np. lot na Ksi ˛e˙zyc) przy silniku rakietowym o v_◦ = 3 km/s

f = exp

v_k v_◦



− 1 ≈ 38

Teoretycznie mo˙zliwe,

praktycznie niewykonalne (?)...

i nieopłacalne !...

Ruch ciał o zmiennej masie

Rakieta dwustopniowa

Rakiet ˛e dzielimy na dwa człony o masach m^′_R i m^′′_R, m^′_R + m^′′_R = m_R w których znajduje si ˛e paliwo o masie m^′_P i m^′′_P: m^′_P + m^′′_P = m_P

’

’

"

"

m m m m

m

S P

R R

v_odrz

Pr ˛edko´s´c ko ´ncowa: P

v_k = v_odrz ·

"

ln m_S + m_R + m_P m_S + m_R + m^′′_P

!

+ ln m_S + m^′′_R + m^′′_P m_S + m^′′_R

!#

W przybli˙zeniu m_S ≪ m^′′_R ≪ m^′_R: v_k ≈ v_odrz · 2 ln(1 + f )

Aby uzyska´c II pr ˛edko´s´c kosmiczn ˛a v_k ≈ 11 km/s przy o v_◦ = 3 km/s:

f = exp

 v_k 2 v_◦



− 1 ≈ 5.3

Ruch ciał o zmiennej masie

Rakieta wielostopniowa

Rakieta składa si ˛e z wielu członów.

W ka˙zdym z nich stosunek masy paliwa do “obudowy” wynosi f

v_odrz

W granicy wielu bardzo małych członów:

m d~v = dm ~v_odrz · f f + 1 Co sprowadza si ˛e do:

v_k = v_odrz · f

f + 1 · ln 1 + m_R

m_S(1 + f )

!

Aby uzyska´c II pr ˛edko´s´c kosmiczn ˛a dla m_S ≈ 100 kg przy rakiecie o f = 10:

m_R = m_S 1 + f

"

· exp v_k (1 + f ) v_◦ f

!

− 1

#

m_R ≈ 500 kg m_P ≈ 5000 kg

Przy rakiecie jednoczłonowej, przy tych samych mS i mR potrzebaby 228’000 kg paliwa !!!

Dla rakiety dwuczłonowej:

m_R ≈ 1600 kg, m_P ≈ 16’000 kg

Projekt Fizyka wobec wyzwa ´n XXI w.

współfinansowany przez Uni ˛e Europejsk ˛a

ze ´srodków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki