ctgα = cosαsinα 2 tgα = α≠π + kπ,k − całkowite sinαcosα sin α + cos α = 1

6. TRYGONOMERTIA Temat: Podstawowe tożsamości trygonometryczne. (2 godz)

Zanim omówimy nowy temat, wróćmy do zad 6.53 które zadane było na ostatnią pracę domową.

Spójrzcie, jakie znaki mają konkretne funkcje trygonometryczne kąta α jeśli na ramieniu końcowym tego kąta znalazły się punkty A, B, C, D ?

ZAPAMIĘTAJ:

„W pierwszej ćwiartce są wszystkie dodatnie w drugiej tylko sinus,

w trzeciej tangens, cotangens, a w czwartej cosinus”

A teraz nowy temat…

Tożsamość trygonometryczna to równość, w której występują funkcje trygonometryczne. Równość ta jest prawdziwa dla każdego dopuszczalnego kąta (nieważne jaką nazwę ma ten kąt: α,…)

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta:

sin²α+ c os²α=1 jedynka trygonometryczna

tgα= sinα

cosα

dla

α ≠ π

2 + kπ , k −całkowite

Na podstawie drugiej tożsamości i poznanej własności funkcji cotangens wywnioskować, że

ctgα= cosα

sinα

tgα ∙ ctgα =1 Zad. 6.62

b) αϵ(0⁰, 90⁰) czyli mowa jest o I ćwiartce układu współrzędnych.

cosα= 15 17

Aby policzyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α korzystamy ze wzorów z pomarańczowej ramki.

Skorzystamy najpierw z „jedynki trygonometrycznej”

sin²α+ c os²α=1 wstawiamy za

cosα= 15 17

sin

²

α+ ( ¹⁵ 17 )

²

⁼¹

sin

²

α+ 225 289 =1 sin

²

α=1− 225 289 sin

²

α= 289

289 − 225 289 sin

²

α= 64

289

/√

sin α= √ ^{289 64}

sin α= 8

17 lub sinα= −8 17

W I ćwiartce funkcja sinus jest „+” zatem wybieramy odpowiedź

sinα = 8 17

^. Korzystamy teraz z kolejnego wzoru z pomarańczowej ramki:

tgα= sinα

cosα

podkładamy

cosα= 15

17

^oraz

sin α= 8 17

tgα=

8 17 15 17 tgα= 8

17 ∙ 17 15 tgα= 8

15 ctgα= 15

8

cotangens to odwrotność tangensa

Zad. 6.63

b) αϵ (90⁰, 180⁰), czyli mowa jest o II ćwiartce układu współrzędnych.

cosα= −1 4

Korzystamy z „jedynki trygonometrycznej”

sin

²

α+c os

²

α=1

wstawiamy za

cosα= −1 4 sin

²

α+ ( ⁻¹ 4 )

²

⁼¹

sin

²

α+ 1 16 =1 sin

²

α=1− 1

16 sin

²

α= 16 16 − 1

16 sin

²

α= 15

16

^/√

sinα = √ ¹⁵

4 lubsinα = − √ ¹⁵

4

W II ćwiartce funkcja sinus jest „+” więc wybieramy odpowiedź

sinα = √ ¹⁵

4

^. Korzystamy teraz z kolejnego wzoru z pomarańczowej ramki:

tgα= sinα

cosα

podkładamy

sinα = √ ¹⁵

4

^oraz

cosα= −1

4

tgα=

√ ¹⁵

4

−1 4 tgα= √ ¹⁵

4 ∙( −4 1 ) tgα=− √ ¹⁵

ctgα= −1

√ ¹⁵

ctgα= −1

√ ^{15 ∙}

√ ¹⁵

√ ¹⁵

ctgα= − √ 15 15

c) αϵ (90⁰, 180⁰), czyli mowa jest o II ćwiartce układu współrzędnych.

Ponieważ mamy, że

tgα= −1

3

, to skorzystamy z drugiego wzoru w pomarańczowej ramce

tgα= sinα

cosα

podstawimy

tgα= −1 3

−1

3 = sinα

cosα

mnożymy „na skos”, znak minus dodajemy albo do 1 albo do 3.Dodajmy go do 1

−1

3 = sinα cosα

−1 cosα=3 sinα /: (-1) cosα=−3 sinα

Teraz korzystamy z „jedynki trygonometrycznej”

sin²α+ c os²α=1 podkładamy

cosα=−3 sinα sin

²

α+(−3 sinα )

²

=1

sin²α+9 sin²α=1

10 sin

²

α=1

/: 10

sin

²

α= 1

10

^/√

sinα = 1

√ ^{10 lubsinα =}

−1

√ ¹⁰

W II ćwiartce funkcja sinus jest „+” więc wybieramy odpowiedź

sinα = 1

√ 10

, ale usuńmy niewymierność z mianownika:

sinα = 1

√ ^{10 ∙}

√ ¹⁰

√ ¹⁰

sinα = √ ¹⁰

10

Wracamy teraz do wyprowadzonej na początku zależności cosα=−3 sinα

cosα=−3 ∙ √ ¹⁰

10 cosα= −3 √ ¹⁰

10

I jeszcze jedna funkcja:

ctgα=−3

odwrotność tangensa

Praca domowa:

zad. 6.62 a,c,d zad. 6.63 a zad.6.66