Rachunek wektorowy. Iloczyn skalarny wektoro w

Rachunek wektorowy. Iloczyn skalarny wektoro w

1. Niech 𝑎⃗ i 𝑏⃗⃗ będą wektorami wodzącymi punktów 𝐴 i 𝐵, tzn. 𝑎⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ i 𝑏⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ przy ustalonym punkcie 𝑂.

Przedstaw w postaci kombinacji liniowej wektorów 𝑎⃗ i 𝑏⃗⃗ wektor wodzący:

a) środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐵; b) punktu 𝑃 dzielącego odcinek 𝐴𝐵 w stosunku 1:2.

(Uwaga: Kombinacją liniową wektorów 𝑢⃗⃗ i 𝑣⃗ o współczynnikach 𝛼 i 𝛽 nazywamy wektor 𝛼𝑢⃗⃗ + 𝛽𝑣⃗).

2. Jak za pomocą kombinacji liniowej wektorów 𝑎⃗ i 𝑏⃗⃗ przedstawić wektor wodzący dowolnego punktu:

a) odcinka 𝐴𝐵; b) prostej 𝐴𝐵?

3. W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 punkty 𝐸 i 𝐹 są środkami boków odpowiednio 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶. Wykaż, że 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =¹₂𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

4. Wykaż, że środki kolejnych boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.

5. W sześciokącie foremnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 niech 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗⃗, 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣⃗. Przedstaw przekątne 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ i 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗

w postaci kombinacji liniowych wektorów 𝑢⃗⃗ i 𝑣⃗.

6. Wykaż, że w dowolnym trójkącie 𝐴𝐵𝐶 środkowe przecinają się w jednym punkcie 𝐺, który dzieli każdą z nich w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka). Ponadto 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =¹

3(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗) dla dowolnego punktu 𝑂 na płaszczyźnie. (Punkt 𝐺 nazywamy środkiem (środkiem ciężkości) trójkąta 𝐴𝐵𝐶).

7. Czy z odcinków będących środkowymi dowolnego trójkąta można zbudować trójkąt?

8. Wykaż, że w dowolnym trójkącie 𝐴𝐵𝐶 wysokości przecinają się w jednym punkcie 𝐻 (zwanym ortocentrum trójkąta). Ponadto 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗, gdzie 𝑂 jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.

9. Wykaż, że w dowolnym trójkącie środek okręgu opisanego 𝑂, środek trójkąta 𝐺 i ortocentrum 𝐻 leżą na jednej prostej (zwanej prostą Eulera) oraz 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

10. Iloczynem skalarnym wektorów 𝑢⃗⃗ i 𝑣⃗ nazywamy liczbę 𝑢⃗⃗ ∘ 𝑣⃗ = |𝑢⃗⃗| ∙ |𝑣⃗| ∙ cos 𝜑, gdzie 𝜑 jest kątem między wektorami 𝑢⃗⃗ i 𝑣⃗. Wykaż, że dla dowolnych wektorów 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗, 𝑤⃗⃗⃗ i dowolnej liczby rzeczywistej 𝛼:

a) 𝑢⃗⃗ ∘ 𝑣⃗ = 𝑣⃗ ∘ 𝑢⃗⃗;

b) 𝑢⃗⃗ ∘ ( 𝑣⃗ + 𝑤⃗⃗⃗) = 𝑢⃗⃗ ∘ 𝑣⃗ + 𝑢⃗⃗ ∘ 𝑤⃗⃗⃗;

c) (α𝑢⃗⃗) ∘ 𝑣⃗ = 𝛼(𝑢⃗⃗ ∘ 𝑣⃗) = 𝑢⃗⃗ ∘ (α𝑣⃗);

d) 𝑢⃗⃗ ∘ 𝑢⃗⃗ ≥ 0; 𝑢⃗⃗ ∘ 𝑢⃗⃗ = 0 ↔ 𝑢⃗⃗ = 0⃗⃗ .

11. Niech |𝑢⃗⃗| oznacza długość wektora 𝑢⃗⃗. Sprawdź, że |𝑢⃗⃗| = √𝑢⃗⃗ ∘ 𝑢⃗⃗ . Przyjmując oznaczenie: 𝑢⃗⃗²= 𝑢⃗⃗ ∘ 𝑢⃗⃗

możemy napisać 𝑢⃗⃗²= |𝑢⃗⃗|². Wykaż, że prawdziwe są wzory skróconego mnożenia:

a) (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗)²= 𝑢⃗⃗²+ 2 ∙ 𝑢⃗⃗ ∘ 𝑣⃗ + 𝑣⃗²;

b) (𝑢⃗⃗ − 𝑣⃗)²= 𝑢⃗⃗²− 2 ∙ 𝑢⃗⃗ ∘ 𝑣⃗ + 𝑣⃗² (to inna postać twierdzenia cosinusów);

c) (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) ∘ (𝑢⃗⃗ − 𝑣⃗) = 𝑢⃗⃗²− 𝑣⃗².

12. Wykaż nierówność Schwarza: |𝑢⃗⃗ ∘ 𝑣⃗| ≤ |𝑢⃗⃗| ∙ |𝑣⃗| korzystając a) z definicji iloczynu skalarnego;

b) tylko z własności wymienionych w zadaniu 10.

13. Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości jego boków.

14. Niech 𝑢⃗⃗ i 𝑣⃗ będą wektorami niezerowymi. Wykaż, że:

a) wektory 𝑢⃗⃗ i 𝑣⃗ są prostopadłe ↔ 𝑢⃗⃗ ∘ 𝑣⃗ = 0 ;

b) wektory 𝑢⃗⃗ i 𝑣⃗ są równoległe ↔ 𝑢⃗⃗ = α𝑣⃗ dla pewnej liczby α ≠ 0.

15. W trójkącie o bokach 𝑎, 𝑏, 𝑐 środkowe mają długości 𝑥, 𝑦 i 𝑧. Wykaż, że 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²=3

4(𝑎²+ 𝑏²+ 𝑐²).

16. Udowodnij twierdzenie Pitagorasa: jeśli wektory 𝑢⃗⃗ i 𝑣⃗ są prostopadłe, to |𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗|²= |𝑢⃗⃗|²+ |𝑣⃗|². 17. Wykaż, że

a) wektory 𝑢⃗⃗ i 𝑣⃗ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy |𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗| = |𝑢⃗⃗ − 𝑣⃗|;

b) wektory 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ i 𝑢⃗⃗ − 𝑣⃗ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy |𝑢⃗⃗| = |𝑣⃗|.

Wyjaśnij sens geometryczny tych równoważności.

18. Wykaż, że jeśli |𝑢⃗⃗| = |𝑣⃗| = |¹

2(𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗)| , to 𝑢⃗⃗ = 𝑣⃗.

19. Wykaż, że jeśli |𝑢⃗⃗| = |𝑣⃗|, to dla dowolnych liczb 𝛼, 𝛽 |𝛼𝑢⃗⃗ + 𝛽𝑣⃗| = |𝛽𝑢⃗⃗ + 𝛼𝑣⃗|.

20. Udowodnij, że dla dowolnych wektorów 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ i 𝑤⃗⃗⃗ prawdziwa jest nierówność

|𝑢⃗⃗| ∙ |𝑣⃗ − 𝑤⃗⃗⃗| ≤ |𝑣⃗| ∙ |𝑤⃗⃗⃗ − 𝑢⃗⃗| + |𝑤⃗⃗⃗| ∙ |𝑢⃗⃗ − 𝑣⃗|.

21. Dany jest odcinek 𝐴𝐵. Wyznacz miejsce geometryczne punktów 𝑃 płaszczyzny spełniających warunek 𝐴𝑃 = 2𝐵𝑃.

22. W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 poprowadzono środkowe 𝐴𝐷 i 𝐵𝐸. Wykaż, że są one prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy 𝐴𝐶²+ 𝐵𝐶²= 5𝐴𝐵².

23. Na trójkącie równobocznym 𝐴𝐵𝐶 o boku długości 𝑎 opisano okrąg. Wykaż, że dla dowolnego punktu 𝑀 tego okręgu spełniona jest równość 𝑀𝐴²+ 𝑀𝐵²+ 𝑀𝐶²= 2𝑎².

24. W trójkącie o bokach 𝑎, 𝑏 i 𝑐 niech 𝑅 będzie promieniem okręgu opisanego, a 𝑑 odległością środka tego okręgu od środka ciężkości trójkąta. Wykaż, że 𝑑²= 𝑅²−¹

9(𝑎²+ 𝑏²+ 𝑐²). Jako wniosek mamy stąd, że 𝑎²+ 𝑏²+ 𝑐²≤ 9𝑅².

25. Niech 𝐺 środkiem ciężkości trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Wykaż, że dla dowolnego punktu 𝑃 na płaszczyźnie:

𝐴𝑃²+ 𝐵𝑃²+ 𝐶𝑃² = 𝐴𝐺²+ 𝐵𝐺²+ 𝐶𝐺²+ 3𝑃𝐺². Kiedy suma kwadratów po lewej stronie osiąga wartość najmniejszą?