×YK GEOMETRII ANALITYCZNEJ Przestrzeni Euklidesowych:
Z wyk÷adu geometrii analitycznej (sem II) wiemy:
Odwzorowanie liniowe o macierzy ortogonalnej jest izometri ¾a i odwrotnie:
izometria jest z÷o·zeniem izomor…zmu o macierzy otogonalnej z przesuni ¾eciem.
Formalniej: oznaczmy przez h ; i : Rn Rn! R standardowy iloczyn skalarny hv; wi = iviwi:
Niech f : Rn ! Rn b ¾edzie dowolnym odwzorowaniem liniowym. Trzy warunki s ¾a ró·znowa·zne (patrz Geometria Analityczna przestrzeni Euklidesowych) - jest to banalny fakt typu "´cwiczenia":
f jest izometri ¾a (czyli zachowuje odleg÷o´s´c de(v; w) = de(f (v) ; f (w))) f zachowuje iloczyn skalarny hv; wi = hf (v) ; f (w)i
jego macierz w bazie ei jest ortogonalna.
Inzaczej mówi ¾ac: uto·zasamiaj ¾ac macierz z odwzorowaniem liniowym o tej macierzy mamy
O (n; R) = ff : Rn! Rn; f jest izomor…zmem liniowym i 8v8w(hv; wi = hf (v) ; f (w)i) g (1)
Nawet wi ¾ecej (mniej trywialny fakt) - je·zeli odwzorowanie dowolne f : Rn! Rntakie, ·ze f (0) = 0 jest izometri ¾a to jest liniowe i dalej j/w; dowolna izometria g : Rn ! Rn jest postaci g (x) = g (0) + f (x) dla pewnej izometrii liniowej f (czyli f (x) := g (x) g (0) jest liniowa i jest izometri ¾a, czyli ma macierz ON.
Zobaczmy ortogonalno´s´c macierzy izometrii wzgl ¾edem standardowego iloczynu skalarnego hv; wi = iviwi: Dla wersorów eimamy ei; ej = ij: Zatem macierz odwzorowania dwuliniowego -iloczyn skalarny- to macierz jednostkowa 1n: Je·zeli zapisa´c wektory z Rnw postaci macierzy 1-kolumnowych to hv; wi = vT 1n w;
istotnie
hv; wi = iviwi= [v1; :::; vn] 2 64
1 0
. ..
0 1
3 75
2 64
w1
... wn
3
75 = vT 1n w:
Zde…niujemy macierz A izomor…zmu f : Rn ! Rn w taki sposób aby zachodz- i÷a równo´s´c f (v) = A v: Wybieramy sposób taki: niech f ei = jaijej; wtedy okre´slamy macierz A w postaci A = aij : [Druga metoda da macierz transponowan ¾a f (ei) = jajiej]. Sprawdzamy
f (v) = f 0
@ 2 4 v1
vn 3 5
1
A = f iviei = ivif ei = ivi jaijej = j iaijviej
= 2 64
iai1vi ...
iainvi 3 75 =
2 64
a11 an1 . ..
a1n ann 3 75
2 64
v1 ... vn
3
75 = A v:
1
Z dwuliniowo´sci h; i widzimy, ·ze warunek hv; wi = hf (v) ; f (w)i jest równowa·zny warunkom tylko dla bazy ei, ei; ej = f ei ; f ej : Istotnie, gdy dla bazy zachodzi to
hv; wi = iviei; jwjej = i:jviwj ei; ej = i:jviwj f ei ; f ej
= ivif ei ; jwjf ej = hf (v) ; f (w)i : Dla macierzy A = aij ; f ei = jaijej jest to równowa·zne
j
i = ei; ej = f ei ; f ej = kaikek; rajrer
= k;raikajr ek; er = k;raikajr kr = kaikajk
= k aT ki ajk= k AT A ji: Czyli
1=AT A
Rozpatrzmy tylko izometrie posiadaj ¾ace 0 jako punkt sta÷y. Sa to wszystkie izomor…zmy liniowe o macierzy ortogonalnej.
1. Obrotem elementarnym w Rn rozumiemy izometri ¾e f : Rn ! Rn która jest obrotem wzgl ¾edem pewnych dwu wspó÷rz ¾ednych i identyczno´sci ¾a wzgl ¾edem pozosta÷ych wspó÷rz ¾ednych.
2. Izometri ¾a elementarn ¾a w Rnnazywamy z÷o·zenie sko´nczonej ilo´sci obrotów elementarnych i przesuni ¾ecia.
3. Izometri ¾e f : Rn ! Rn nazywamy zwyk÷¾a (albo zachowuj ¾ac ¾a orientacj ¾e) je·zeli jej wyznacznik jest równy +1 i nazywamy zwierciadlan ¾a (albo zmieniajac ¾a orientacj ¾e) je·zeli jej wyznacznik jest równy 1:
4. Izometrie zwyk÷e tworz ¾a grup ¾e. Wszystkie macierze izometrii zwyk÷ych f : Rn! Rn tworz ¾a grup ¾e SO (n).
5. Ka·zda izometria zwyk÷a (czyli zachowuj ¾aca orientacj ¾e) jest izometri ¾a ele- mentarn ¾a, czyli jest z÷o·zeniem obrotów elementarnych z przesuni ¾eciem. Zatem wymiar SO (n; R) to ilo´s´c wyborów dwu zmiennych spo´sród n:
Ile jest wyborów dwu zmiennych spo´sród n ? Odpowied´z n2 = 2!(n 2)!n! =
n(n 1)
2 = dim SO (n; R) = dim O (n; R) : Dla n = 2 mamy wymiar 1; dla n = 3 mamy wymiar 3; dla n = 4 mamy wymiar 6:
2
