Co to s¡ elementy oskulacyjne ? Dla zagadnienia ¨ r = −µ r3 r + P , wyprowad¹ równanie ˙a = 2 a2 µ P · v

Mechanika nieba 2003/4.

Pytania egzaminacyjne I.

1. Przedstaw metod¦ uzmienniania staªych dla zagadnienia

˙r = v,

˙v = F₀(r, v) + F₁(r, v).

Wyprowad¹ równania ruchu w postaci C = A˙ ⁻¹

à 0 F₁

! .

2. Co to s¡ elementy oskulacyjne ? Dla zagadnienia

¨ r = −µ

r³ r + P , wyprowad¹ równanie

˙a = 2 a² µ P · v.

3. Podaj wzory na skªadowe siªy zaburzaj¡cej P w dwóch klasycznych bazach zwi¡zanych z wektorami poªo»enia i pr¦dko±ci.

4. Wyprowad¹ ogólne równania dla zmian wektorów momentu p¦du ( ˙G) i Laplace'a ( ˙e) przy dowolnej sile zaburzaj¡cej P .

5. Wymie« ograniczenia w stosowaniu równa« Gaussa (38), wyja±nij po- chodzenie osobliwo±ci i krótko opisz jak im zaradzi¢.

6. Wypisz równania Gaussa (34) i (68) gdy P jest siª¡ tarcia styczn¡ do orbity i P = −γ²v. Jakie wnioski na temat ruchu w tym zagadnieniu mo»na wysnu¢ bez rozwi¡zywania równa« ?

7. Manewr zmiany nachylenia w ±wietle równa« Gaussa.

8. Zestaw i porównaj podstawowe poj¦cia i ograniczenia formalizmów Newtona, Lagrange'a i Hamiltona.

9. Zbadaj ruch w potencjale radialnym z funkcj¡ Lagrange'a

L = ¹₂^³˙r²+ (r cos ϕ)²˙λ²+ r²ϕ˙^2´− V (r), (1) wypisuj¡c równania ruchu i wyprowadzaj¡c z nich gªówne wnioski ja- ko±ciowe.

1

10. Co to jest transformacja Legendre'a ? Wykonaj j¡ dla zagadnienia wahadªa z lagran»janem

L = ϕ˙²

2 + ω₀² cos ϕ.

11. Macierze symplektyczne  denicja, wªa±ciwo±ci i ich rola w formali- zmie kanonicznym.

12. Nawiasy Poissona  denicja, wªa±ciwo±ci i zastosowania.

13. Co to jest transformacja kanoniczna ? Wymie« wa»niejsze typy trans- formacji kanonicznych oraz zwi¡zane z nimi kryteria kanoniczno±ci.

14. Podaj denicje zmiennych Hilla-Whittakera i Delaunaya. Jak wygl¡da ruch keplerowski w tych zmiennych ? Co to znaczy, »e zmienne Delau- naya s¡ zmiennymi dziaªanie-k¡t w zagadnieniu dwóch ciaª ?

15. Transformacja do ukªadu jednostajnie obracaj¡cego si¦ jako transfor- macja punktowa.

16. Czym ró»ni si¦ klasyczna funkcja tworz¡ca transformacji kanonicznej od funkcji tworz¡cej typu Liego ? Porównaj opis transformacji to»sa- mo±ciowej przy u»yciu obu rodzajów funkcji.

17. Wyprowad¹ dwa dowolnie wybrane spo±ród równa« planetarnych La- grange'a dla zaburzaj¡cego potencjaªu V1(a, e, I, M, ω, Ω).

18. Sformuªuj zagadnienie N ciaª i wymie« jego caªki ruchu. Czy zacho- dzi sprzeczno±¢ mi¦dzy ich liczb¡ a faktem caªkowalno±ci zagadnienia dwóch ciaª ?

19. Wyprowad¹ caªk¦ pól w zagadnieniu N ciaª korzystaj¡c z hamiltonianu

H = XN i=1

R²_i 2 m_i −1

2 XN i=1

XN j=1,j6=i

k²m_im_j

|r_j− r_i|. (2) Co to jest pªaszczyzna niezmiennicza (Laplace'a) i do czego jest wyko- rzystywana ?

20. Zdeniuj kanoniczne zmienne wzgl¦dne Poincarégo.

2

21. Wyja±nij symbole wyst¦puj¡ce w podanym ni»ej twierdzeniu o wiriale I = 4 T + 2 V¨ _N = 4 E − 2 V_N.

Jak ma si¦ ten wzór do problemu stabilno±ci strukturalnej ukªadu N ciaª ? Podaj u±redniony wariant tego twierdzenia.

Dodatek: Równania Gaussa

˙a = 2 a²

µ P · v = 2 n√

1 − e²

·

R e sin f + T p r

¸

= 2 v

n²aS, (3)

˙e = 1 µ a e

h

(r· v) r + (a p − r²) vⁱ· P

=

√1 − e²

n a [R sin f + T (cos f + cos E)]

= 1

v

· S 2 p

r cos E + N^p1 − e² sin E

¸

, (4)

dI

dt = r cos (f + ω)

µ p (r × v)· P =r cos (f + ω)

õ p B, (5)

M = n −˙ 2

√µ ar· P −^p1 − e²( ˙ω + c ˙Ω)

= n − 1

e√

µ a [ R (2 r e − p cos f ) + T p sin f ]

= n −

√1 − e² e v

· S sin f

µ 1 +2 r

p e²

¶

+ N (e − cos f )

¸

, (6)

˙ω = − r µ p e

·√ µ p

r (cos E + e) r − (p + r) sin f v

¸

· P − c ˙Ω

= 1

e rp

µ

·

−R cos f + T µ

1 + r p

¶ sin f

¸

− c ˙Ω

= 1

e v [2 S sin f − N (e + cos E)] − c ˙Ω, (7)

˙Ω = r sin (f + ω)

s µ p (r × v)· P = r sin (f + ω) s√

µ p B, (8)

gdzie s = sin I, c = cos I, p = a (1 − e²), n =^pµ a⁻³.

3