D = nτ. n p = µ, 2 3 n = µpτ. r 2 p 2 2 τ + ,η ξ = − 2 p µ µp r (0)= = A . ′ q 0 Ã ! p =2 q 0 = B , r (0)= 2 p ¶ µ 2 p 2 r = − τ 2 10 µ µ , 0) T + A τ + B . B e =(1 ¶ 2 p 2 2 r = − e τ + A d τ = − e τ + A τ + B , 2 µp µ Zµ ¶ A 2 2 r = − e d τ = − e τ + A

4.4.1 Poªo»enie i odlegªo±¢

Pozostaªnamteraztrze ityporbit,którypowstajegdy

h = 0

^{, zyliorbitypara-}

boli zne. Równaniaru hu poddanetransforma jiSundmana(4.3)uprasz zaj¡

siwtedy doposta i

r ^′′ = − µ

α ² e ,

^(4.74)

któr¡ªatwomo»na aªkowa¢ przez kwadratury(tzn. sprowadzi¢ doobli zania

aªek ozna zony h). Przyjmijmy

α = p

^{. Wyrzekamy si przez to mo»liwo± i}

opisu ru hu po orbita h zdegenerowany h z

p = 0

^{, które} rozpatrzymy dalej osobno. Przeprowad¹myterazpodwójne aªkowanie. Otrzymamynajpierw

r ^′ = − µ p ²

Z

e dτ = − µ

p ² e τ + A,

zwektoremstaªy hdowolny h

A

,anastpnie

r = Z µ

− µ

p ² e τ + A

¶

dτ = − µ

2 p ² e τ ² + A τ + B,

zwektorem staªy h dowolny h

B

. Zauwa»my, »e w ru hu paraboli znym

e = (1, 0) ^T

^,wi

r = − µ 2 p ² τ ²

µ 1 0

¶

+ A τ + B.

^(4.75)

Staªedowolnewyzna zamytrady yjnie,przyjmuj¡ warunkipo z¡tkowe(4.5)i

(4.6),to zna zy

r (0) = µ p

2 0

¶

= B,

gdzieskorzystali±myzfaktu,»edlaparaboli

p = 2 q

^,oraz

r ^′ (0) =

à 0 q _µ

p

!

= A.

Mamywi

ξ = − µ

2 p ² τ ² + p 2 , η =

r µ p τ.

Wprowad¹mydlaporz¡dkupoj iaru hu±redniego

n

^{poprzezzwi¡zek}

n ² p ³ = µ,

^(4.76)

orazanomalimimo±rodow¡

D = n τ.

^(4.77)

Rysunek4.2: Rodzinaorbitparaboli zny hzró»nymiwarto± iami

q

^.

Odmienny ni»

E

^{symbol manam} przypomina¢oniemo»no± i zastosowania

D

doorbitprostoliniowy h. Wspóªrzdnenaorbi iemo»emyzapisa¢jako

ξ = q ¡1 − D ² ¢ ,

η = 2 q D.

^(4.78)

Odlegªo±¢midzy iaªami

r = pξ ² + η ²

^{danabdzie wzorem}

r = q ¡1 + D ² ¢ .

^(4.79)

Równania(4.78)deniuj¡parabol

ξ = − 1

4 q η ² + q,

^(4.80)

zosi¡ symetrii

ξ

^{i gaªziami}skierowanymi w lewo. Odwra aj¡ rozumowanie mo»nastwierdzi¢,»eorbit¡zagadnieniadwó h iaªniemo»eby¢ka»daparabola

atylkotaka,którajestsymetry znawzgldemosi

ξ

^{imawyró»nik}

∆ = 1

^{. Tylko}

wtedyogniskowypadniew±rodkuukªaduwspóªrzdny h.

Zauwa»myinteresuj¡ ¡rze z: zwi¡zek midzy

D

ⁱ

f

^{maprost¡posta¢}

D = tg f

2 .

^(4.81)

Konsekwen j¡tejzale»no± ijestwniosek,»e

D→±∞ lim f = π.

Wtymsensiemo»natraktowa¢paraboljakohiperbolozerowymk¡ iemidzy

asymptotami.

4.4.2 Równanie Barkera

OdpowiednikiemrównaniaKeplerabdziewru huparaboli znymzwi¡zekotrzy-

manyprzez aªkowanie

˙τ = r/p

^,awi

1 Z D 1

¡1 + D ² ¢ dD = Z t 1

n dt,

D ³ 6 + D

2 = n (t − t ^p ).

^(4.82)

Jest to równanie Barkera bd¡ e paraboli znym odpowiednikiem równania

Keplera. W odró»nieniu od równaniaKeplera, (4.82) jestrównaniem algebra-

i znymtrze iegostopniaiposiada± isªerozwi¡zanie. Otrzymujemyjestosuj¡

trygonometry zn¡posta¢wzorówCardano. Abyznale¹¢

D

^{(awi i}

f

^{)obli zmy}

kolejnopomo ni zek¡ty

β

ⁱ

γ

ctg 2β = 3 n (t − t p ),

^(4.83)

(tg γ) ³ = tg β,

^(4.84)

po zym

D = 2 ctg 2γ.

^(4.85)

4.4.3 Prdko±¢ w ru hu paraboli znym

Ró»ni zkuj¡ wzory (4.78) wzgldem anomalii mimo±rodowej

D

^{a nastpnie}

uwzgldniaj¡

D = n p/r ˙

^{(por. (4.1)i(4.77)),}otrzymujemyskªadoweprdko± i

˙ξ = − n p ²

r D = −4 n q D 1 + D ² ,

˙η = n p ²

r = 4 n q 1

1 + D ² .

^(4.86)

Ciekaw¡wªasno± i¡ru huparaboli znegojest

v r = − ˙ξ, v t = ˙η,

^(4.87)

o ªatwo mo»na sprawdzi¢ albo poprzez bezpo±rednie ró»ni zkowanie wzoru

(4.79),albopodstawiaj¡

e = 1

^{dorówna«(3.39)i(3.40).}

Prdko±¢ aªkowita

v =

q ˙ξ ² + ˙η ²

^wynosi

v = 2 n p

1 + D ² = r 2 µ

r .

^(4.88)

Druga z±¢tegowzoru znanajestjakodeni ja tzw. drugiej prdko± iko-

smi znej ,znanejtak»ejakoprdko±¢u ie zkilubprdko±¢paraboli zna. Jest

tominimalnaprdko±¢jak¡nale»ynada¢ iaªuwodlegªo± i

r

^{oddrugiej masy,}

abymogªoonooddali¢siwniesko« zono±¢. Inneorbityotwarte(orbityhiper-

boli zne) maj¡ wiksz¡warto±¢ staªej energii

h > 0

^{awi posiadaj¡ wiksz¡}

ni»(4.88)prdko±¢wtejsamejodlegªo± i

r

^ni»paraboli znaorbitaz

h = 0

^.

Hodograforbityparaboli znejmaprzej± iow¡midzyru hemelipty znyma

hiperboli znymposta¢okrgubezpunktu

˙ξ = ˙η = 0

wymagaj¡ ego

D = ±∞

^.

W przypadku prostoliniowej orbity paraboli znej nie mo»emy przyj¡¢

α = p

^,

gdy»transforma jaSundmanabyªabywtedy osobliwa. Poniewa»dla

p = q = 0

niedysponujemy»adnymparametremorbityparaboli znejoniezerowejdªugo-

± i, musimy wprowadzi¢ zynnik skali

α

^{jako zysto umown¡ wielko±¢ o wy-}

miarzedªugo± iidowolniewybranejwarto± i. Wyj± iowerównaniaru humaj¡

wi posta¢ (4.74)i rozwi¡zanie(4.75), natomiastzmianieulegn¡ warunkipo-

z¡tkowe:

r (0) = µ 0

0

¶

, r ^′ (0) = µ 0

0

¶

,

^(4.89)

Jesttokonsekwen jawzorów(4.5)i(4.6)tendrugiwposta i

r ^′ (0) =

µ 0

α ⁻¹ √ µ p

¶ ,

zparametrem

p = 0

^{. Wtejsytua jistaªedowolne}

A = B = 0

^imamy

r ^′′ = − µ

α ² µ 1

0

¶

⇒ r = − µ τ ² 2 α ²

µ 1 0

¶ ,

Odlegªo±¢

r

^{jestwi kwadratow¡funk j¡ zasuSundmana}

r = µ τ ²

2 α ² .

^(4.90)

Caªkuj¡

˙τ = α/r

^{otrzymamyzale»no±¢}

τ

^od

t dτ

dt = 2 α ³ µ τ ² ⇒

Z τ 1

0

τ ² dτ = 2 α ³ µ

Z t 1

t p

dt ⇒ τ ₁ ³ 3 = 2 α ³

µ (t 1 − t ^p ) ,

zyli

τ ³ = 6 α ³

µ (t − t ^p ) .

^(4.91)

Podstawiaj¡ (4.91)do(4.90)otrzymamy

ξ = −r = − h

9

2 µ (t − t p ) ² i ¹ ₃ , η = 0.

(4.92)

Ró»ni zkuj¡

(4.92)

^wzgldem

t

otrzymujemydlaprdko± i

˙ξ = −v ^r = −sgn(t − t ^p ) h

4 µ 3 |t−t p |

i ¹ 3

,

˙η = 0.

(4.93)

Uwaga! W powy»szy hrównania hu»yli±myfunk ji

sgn x =



 −1

^dla

x < 0,

0

^dla

x = 0,

zamiastnapisa¢wprost

h 1 t−t p

i ¹ ₃

. Spowodowanetobyªoograni zeniemdziedziny

funk ji potgowy h o wykªadniku wymiernym do nieujemny h li zb rze zywi-

sty h. Wdziedzinieli zbrze zywisty h

√ 3

−1

^nieistnieje!

W ten sposób zako« zyli±myanaliz wszystki h mo»liwy h typówru hu w

pªasz zy¹nieorbitywzgldnegozagadnieniadwó h iaª.