AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2011/12 MATEMATYKA - ETAP II
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW 1. Wyka˙z, ˙ze liczba a =
q
9 − 4√ 5 −
q
9 + 4√
5 jest ca lkowita.
2. Wyznacz dziedzineι funkcji danej wzorem f(x) =√
x4+ x3 − 8x2− 12x.
3. Oblicz miareι kaιta mieιdzy wektorami ~a i ~b wiedzaιc, ˙ze wektory
~
u= 3~a + 2~b i ~v = −~a + 4~b saι prostopad le oraz |~a| = |~b| = 1.
4. Dwa r´o˙zne automaty wykonujaι razem danaι praceι w ciaιgu 6 godzin.
Gdyby pierwszy automat pracowa l sam przez 2 godziny, a nasteιpnie drugi pracowa l sam przez 6 godzin, to wykona lyby po loweι ca lej pracy.
W jakim czasie ka˙zdy automat mo˙ze samodzielnie wykona´c ca laιpraceι?
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Ze zbioru S = {1, 2, . . . , 2012} losujemy trzy liczby i ustawiamy je w ciaιg rosnaιcy (a, b, c). Oblicz prawdopodobie´nstwo zdarze´n
A: iloczyn abc jest liczbaι parzystaι,
Bk: b = k, gdzie k jest ustalonaι liczbaι ze zbioru S.
Dla jakich k prawdopodobie´nstwo zdarzenia Bk jest najwieιksze?
6. Dane saι dwa punkty A = (7, 5), B = (1, −1) oraz punkt P = (3, 3) przecieιcia wysoko´sci tr´ojkaιta ABC. Oblicz pole tr´ojkaιta ABC i napisz r´ownanie okreιgu opisanego na nim.
7. Sto˙zek i walec majaι r´owne tworzaιce, r´owne objeιto´sci i r´owne pola powierzchni bocznej. Oblicz
a) sinus kaιta nachylenia tworzaιcej sto˙zka do jego podstawy,
b) stosunek pola przekroju osiowego walca do pola przekroju osiowego sto˙zka.
