AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie
OLIMPIADA ”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2012/13 MATEMATYKA - ETAP III
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. Udowodnij, ˙ze zbi´or S = {6n + 3 : n ∈ IN}, gdzie IN jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, zawiera niesko´nczenie wiele kwadrat´ow liczb ca lkowitych.
2. Rozwiaι˙z r´ownanie 4 cos22x = 3.
3. Sfera S1 jest wpisana w sze´scian, sfera S2 jest styczna do wszystkich kraweιdzi tego sze´scianu, a sfera S3 jest opisana na tym sze´scianie.
Sprawd´z, czy pola tych sfer tworzaι ciaιg geometryczny lub arytmety- czny.
4. Rozwiaι˙z nier´owno´s´c√
x2− 16x + 64 + x ≤ 7 +√
x2+ 6x + 9.
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Wyka˙z, ˙ze niezale˙znie od warto´sci parametru m r´ownanie x3− (m + 1)x2+ (m + 3)x − 3 = 0
ma pierwiastek ca lkowity. Dla jakich m wszystkie pierwiastki rzeczy- wiste tego r´ownania saι ca lkowite?
6. Rzucamy n razy sze´sciennaιko´sciaιdo gry. Oblicz prawdopodobie´nstwa zdarze´n:
A: ani razu nie wypad la sz´ostka,
B: parzysta liczba oczek wypad la wieιcej razy ni˙z nieparzysta, C: suma wyrzuconych oczek jest r´owna 6n − 2.
7. Rozwiaι˙z nier´owno´s´c
3 − log0,5x− log20,5x− log30,5x− . . . ≥ 4 log0,5x.
