Kolokwium nr 1 z Analizy MatemaĘcznej 4, gr A

(1)

Kolokwium nr 1 z Analizy MatemaĘcznej 4, gr A

Imię

i

nazwisko

dn

...,...

Zadanie 1.

Wyznaczgć przestrzeń stgcznq oraz nonn&lnq ^d,o

H : _{(r,a, z)

ęIR3 ^:12

*

^3z2

:

6

-

^Zaz}

w punkci,e

P :

(1,

-1,

^1).^Czy

H

jest hiperpońerzchni,q regulamq? Jeślź tak, ołcreśli,ć

jej

_wgmiar.afuęśli,ć wymi,ar przestrzenź stycznej oraz przestrzeni normalnej.

Zadanie 2.

Wgznaczgć elcstrema funkcji,

z{r,u)

uuźkłanej równaniem x2

* _2r +

^4u2

*

4z2

:3.

Zadanie 3.

Obliczgć całkę

I I lr?*' -u'- ^r') ^d,(r,y,z)

gdzi,e

T

^jestzb,iorem ograniczonym poui,erzchnźami,

12

+y2 : _72,

12

+a2 : 4_ z2, zż_

a.

Zadanie 4.

Zapisać

I I ,-ln(ry) ^d(r,u),

jńo

całhę i,terowanq (rozważyć dwa przypadki, kiedy obszar m,łkowani,a

jest

obsza- renx

nannalnym

wzgl$,em

osi ox

^bqd,ź

oy). obliczyć tę

całkę w jel,ngm

z

tych przypad,ków.

D

^jestzbiorem ograniczongm krzgwymi y

- 1Pl,u :2,r :9,

Zadanie 5. Ohłicąć

objętość bryły ogmniczonej

pouierzchniami

z:fr2+a2,, z:0, ł2+a2:4, x2+92:g.

(2)

/łnar

H =\ G4il")eaa: x?bł'-6-U^3

lrP - _INtąJn

^,

_i$,qla)= xlrĄaŻ-6+ązl:6 3,V, a,,łanarłvwtr wpgńe,,

ąF'[r,u!1r) r*L},xl ^Ęrj _r

⁰

a1+0 _,w"^f*

Pl[x,$,ń=l- _,o fo ^i" lŃ ^&

Y=uJ=7,, =o t de _vu/Ńł,

(x,j,O *O Ł ^ll- ^. _,.( _wp _c'ru)

ńn^1.9^ * F'(x r!lł) --Ą"tW

jB WVry ^L:W*'qo_

ąd" ^T1.1,a)ft ^/ywur@ ^l,|

o- ^U(n,n,Ą [ _Na. ^ąq,ltprr ^L.

?'(l,-4

^.^{)

= _[ Ł' -u

^,,

G) Ę _Ą^,łNloI,

N(łl-ł,r)H ⁼

^[.ivr

1,?)I ⁼ ^|(,n,9,0e jd _t, ^^pł"iad/ąt"p'

0* ^*=-Ę= ^ż

\2+ Ąą1 =b - dał r:r _\Lnbą? ) _e

l, e

t* _ź,!= ^l-

(ł)^ -

EYrGJo=l

l+ 1ełł eb,ysUĘ w

^lTb

_l

(3)

du^U"

l,

f ^LxĄ=o

<=) { ^9y-o

t

^x?

^Łx*!q?tł ^,1->n

<=> [*=Ą .:, l t-o

[\ao ,|1ło

rńĄ F(r",5,r), ^r.-I,rQf ł|ą'3

_,

b ^dtĄ _#Ńłd* _: ^v1o ń ńXą',4,a19fi,*,h ^o

_$^ąlc 'ry_.r^y^* ^ń ^ĄdMni _1ał;co lt=a(y&l>. lrunl,rug ,ńe Ęę 1*ęv1.

łr--A ^fx=t łq=o v _l1,o

|z= Ą _Yz=-|

Hułuł d/ilĄ W ^1ą= ⁽ ^0,0, ^r) i ^?r-- ⁽

^|t

^,O l- r) , ^ą, p.€H. _{ł)

Ęi} yv"-Mań'ołłr^pe |r,'I'rdĄ uaą*łłunllx ł,Jąć ł.-.k,j) _Wti,ys

ryr,#or: ( b" ^rj.(?,) ,?IP),O _t' rlrc vł>" fl{rŁ) _=o )

^.,

=,l* _{!n EŁ} ⁼ -_'I&=_ _8a Ł-Ł _Ya ^JntuĄ ^ilD?Ą

ftwut,, _z|Ń)

₌

-+, _Fr,ą _o ^.] _{t,-_-!ąao}

.lt=-ł=-ł=-Ł

z|,,=-if;Ł ^Jł:H ^L, ,]Li'ąlĄ=Ł70

-4{r ,tki ^(r,u6)=( tto) .|Ąo, _h=a(r,!) 'ruo= t= ⁰

}o, f, w, *9T N'.ĄJu/rił^IłyĄ _,rduy,rł. Ł ^.

,],* tPJ= t ['ł o] ^A,= ^nlą, 0 w ^dJĄ ^(r,9)= ⁽ ^1,o)

'\(0J='| _{|r Ą,|} Ą.=,qf-łęo W^=::;,1)Tęp

''|r,d Qr)-_c L I rvu,vłvĄtŁu t|{óuefu? -1+

(4)

Jrp,ób

^r

UĄrrrruńĄ,łe

x& - ^!,.*t \ł ^tV ^aL. ^z,

8-ł)o* uqLĄł= ^Ę _|,

ef ,t

Gł} _T

,lfu

0 ^łuoui.i.,u ^

1'tr' ^ł ll

,1'* za . _l

|*,,^gY ^dp W ^(1,o,o)

Wtduń tńe ^ur

7o,l/rrlie 6łio) PAr ręEfrh

nv,nlń,nUrrrl ą, ^a(r 1)ńru,rrt

⁴

(oPr,* _frdł§ł' ^'ołlx ) L tńńw,lw,,

(5)

!p.d"a,

W,\JA, _,rrrq' _. _

,

* v puł,unr^łłvnin

łłothą

lrlu(W _^rn$" ^T

^ł

^ltĄt-Lrł l zvO

Słgd.',

S§ _F^,.ł'-)

T

x't,f ^r

sFńą ^'-Ę _{o llę/.hn} ^(0t0lo) r

^,'1

_=Ę _ń

ę0

ilatł/,Ą ^ddĄ{ ,wdńę

ł ^WW, "n,u1,d( Ąa *FT\d,ą ,|"o.y^r,,

I ^x= dą,v)p

ł 1-- ^rsnxól p ^t(cnł,F) ⁼ ^{;,^(,}

v ⁼ *'u/'

f:,.ol;il

pą,, _,w Fuąd! ^&,.)

! ,}duur,ńĄie qdn*"{ Ptłtrulau

oĄka id kł', ^?ow/do ^uc ^vrn,ra,h oŃTn6$

r'r(r1'= Ń.

^l

F^=ł,

PęW,{\) ^="({, {)

_ ^{xŁ=2!,Ą?łO}

*xh _ł=kl

@ _P,=Ę,

ł-tW tr

,r _S _S5o- _#, _Ńwlf

ł,(aeer,

O0t

-\nnlJ ^ffl ^, ^{-'^r\ł} ⁼

-qxT.J-ń)

6\

d(xrtlra)

₌

: _\

q.

_rĘ

o

-?,m.

dw f'.ł^

o

a- s-

I * [. ^/,d(,-

n

"Ę(*)=

+

(6)

oy,

C x--

t łt,

Iz=

c,o= r?łt11, ^źr> z= r|-frĘT' _, _{_c?O}

x'+9?łf =\ -Ęl z=,fifr;l _,z77o l.ą.(tr.ĘrTj:

rę-(ó,ń|:(, Ń)

l

.-FĘ I"r,ądŁo

Yet{z rł ₌ ^,*& _t 1,4

.

Hoi,rra og ,rprrłĆ _L, _wt4fuuć WW /ulą)(A,tłŁ,,

rt^ooI nru.uł

{

xz, f ^- ^Ę-xnz

t (*rn,ł)= Ę

^l

Ft tt{l=Ąl

tf[.r,I)

ⁿⁿ

{f

łęCo,ffi)

^^'^rĄ

r,^tł/t!t\l uaą,vt^^rlk; yłg ^ule".

x

=|ił _S:

F,-^.^) ^d,Ął

^ń |{ńI

ź _rn

§'" -Nbą-LlnoolY _dw= ol}rllt7 -Lrr(r.+Xł?

ł _6**| nt)fi.:

'n!T-" ęł-\r*\tln _brr)dn=

= lti IY$r ę:-ą,łil."-)d,. -rrfŁ rql'+ffrrrYąkuey

=fl,iT \,Ł.,,tonrTF ,.'r,ra(-ąO _& ₌ \Ł;^łorgL ^l

-- AT t, ^uO ⁺ ^;,tl ^"§O ^Ł( ^+{6) dt _{}.i=_i6}

=.{

(

l\

l

r

(

§'ł SĘ,c

§II f "'-,1'..1d(r,,1,,)

⁼

t

(7)

= Unrfffxł'nX,

€ ł,,on utĄdŁ= frlh+ ^źff r

=T{f _ńu _iT( _-Ę,Ę*trx + ł,Ąą ^- _? _, _bfu ^_ _Ę.8)=

= frrh,t ^ZT ttr*- ^vf, _" ź ^nĄ ⁼

=- ?tr (brr* -Ęe ^t ^gcł ^- ₊ - ⁿ⁾⁼

= żr ( ^Lufu ^r _P{k ^-l ź ,Ą*Lrtr(łgr^lł):

€ \o}sa-b| ^=Tn(rł-r) ⁼ -\fr Nrrą

Y^l"ry ryr,Iw, ^ailav*oy

^-.

§§ ^(*'.4' ^-,) ^.;Cxtl,r) ⁼

,.@

,rr*,l?,k -x.-u{'

ytlq?=1'

1S§ ^[ ^- (xrtfllr4Ę,T - łCE-,1,)mT- ⁺ [r/{tlt){xry-ł(oqXą

K((op>,.ł

ę\ \ ^Lyt, ^-J-, ^-.i ^(- ^u- Ł[,uł) ł rĘ (t

^c

^r,*,{,)) ^-J ^ut ^(r,,j) pĄr\ą ^}aq

K[Coo),r) , -

,błcqweuĘ

=

§" f ^r*.' ^(\- ^ź-r") ^ł ⁿ ^\. ^n-) ⁿ ;"'{P ^Ę'- ^v' ^i8i?|,}, ^l

?r',o*63rĄt=

D7,

l-a-'

7'F.-'' :, _--'

(8)

§fi"d ł

Obnhsllr,rlil^,gl,ą,lanlg,

Ą- t,M y=9

^0u

- -^

- uJ-Ł

L< _1![^,

Ę: u<9 Tr _Y

^1,

_\< _X<

ł,< nd<

9 b

=;'F _wuńwĄdy: ^Jf l Ia(rPdG,)=

"T'ff _xhG,tr) _*Ąą

J§, w!.,tr)ą[r,gJ=

- Ź ^,3:+

§ *Ą-t xt:

Jxl

C v- blł

(

5 ^u'= ł

n!-1,ą Ł- &

y,f* a+. _t

E ł,(l:' ^ttl=1 ^u=+ _l ^'

Ą^] dr ⁼

l'F* [: §] ^,']o,-=

= ,o l

,t a*)a, ⁼

= ł' ^[ ^,n ^[,r(*fi)- ^Ąx ^ł164 ^-

^r1-1c+

$'a ^,'ŁWy ^{, l,r} ^lxt, -

^8"x

blr ! _\',r* t, J

^{d-u =}

= Sr'l(^r''u-^ł ^Iu, F _łr(Iu,*-Ą - ,n,Ą ^dy -

=

Ęu (a''-u)r, _r _dr

S}, (ui'r) ^{,rr ^,dv ^ _@ł) _r _rc-BD ^ Lo(f -1r) _-co

(9)

|lłrtt ry{6l

ul= Zlrx'Ł-2y l ⁼

v =

^?/l,

^L, x?o ,-I

-+Ąlł = Sro ?a\''ł{, ⁾ bx ^oLx

+ ?r( ^L5 -br), łto(tl

?, r ^5x- ^x,,ń ^*r/9,66 ⁼

WIilI" ^f

źl _x

<-ł Q- luv

ul

= ę,,l-,ł)h^l; f ^(ło

xi -,a)Uu

6/o

. _(,u+gf -tl)Uq- (r,, I

Nft^

= Q-nĄav ^- (?,f ^-q)hu

Yb,g_

: Twq- Ęlra-# ^+-E ⁼ Ęuz-Ęh1, _,P ^#r_

= () _ryhq- ₃ ^r, _luX _-

+6 6

+6

-łe) ⁼

* 9o+

610

T ^wr-

Tuu*

ilu*

hI"-

u/=y L

v ^{=!*^} I '=

bGa-lf _lĄlf tr,lł7ą-

l' ^x ^wGl\d,Ją: _hr#: _r

Ir^"ńs| ^!xdxl=f}*

T: cb

-)

_o

L

?J'

2

(10)

łnĄ5

Qowlvw,łńe,,

7- ^x? ^+1h

z _=Q

X' t

^,1L^=.Ę

X'*

^.,|t

^--1

d,G,)

⁼

Mva,ł,aWłłłl,a, , l _@@łało-

- ^wo}łL rryW

ł _urąla

t

( *=J,)

1

(^ _=>)

V ⁼ 5§l ^d(*,1,,) ⁼

O! ^d, ^tr ^xrrr1'

(,rnt

V

[5

-'1

a ol

Lo ^J

§ fi _: _xt,ł _11}

{<

}=ł&,ąęp,

(+"ł}=

= %ll

65

(11)

Kolokwium nr 1 z Analizy Mat ematycznej 4, gr B

Imię

i

naawisko

dn

...

Zadanie 1.

Wyznaczyć róumanie płaszczyzny stycznej d,o

H

w punkci,e

P : (2,0,2),

jeśIi,

H :

p _[lR

x

^(0,+oo)] oroz

ę(r,t) -

^((r

^*

¹⁾^cos

^Zt,r sint,r2 + t).

Czy

H

^jesthźpelpowi,erzchn,iq regulamq? JeśIź tak, określi,ć

jej

wgmi,ar. Określi,ć wy- mźar przestrzeni, styeznej oraz przestrzeni, narmalnej.

Zadenie 2.

Wgznaczyć ekstrema funkcji,

ztr,y)

uw,i,kłanej

ńwnaniem

4r2 + _a2

-

^2a

^*

^4z2

:3.

Zadanie 3.

Obli,czyć całkę

gilzi,e

D

^jestzbi,orem ogmniczongm powi,erzchni,q fr2 + _a2

:

z

-

^22.

Zadanie 4. Zapisać

t t ,um("u)d(r,u),

jako

całkę iterowanq (rozwaźyć ilwa przypadki,, ki,ed,g obszar całkowania

jest

obsza- rerft norrnalngm względ,em

osi otx

bqdź

oy ). obliczyć tę

m,łkę w

jednym z

tych przypad,ków-

D

jest zbźorem ograniczonym krzywgm,i y

: _|lĄ,u :Z,tr :9.

zadanie 5.

obli,czyć pole pouierzchl,ni, bryły ogra,niczonej polaierzchniami

z:12*y2, z:0, y.2+g12:4, x2+a2:g.

I I Lłł"' ⁺

^{3a' +}

^k'd,(r,y,

^z),

(12)

JAńl

ył -I _LtrCO,rĄ]

⁼

{ ^: ^l?-,z ^---l ^lflb

:t(ł-,ł) ^,, _lfe _P, _Łe _b,**)} " ^y[ł,ł)-- ^(cYr,t ^,3

or-

'?t@rłŃaĄr^o" p Ą* YYhlilĄnd,,ątn yrvwą?

¹

l(r,y,r)erF: ^l--atĄl !---b: ^r". la+Ą, a,be4!

0ro Pv,,!/łhI,oAi \ry ^uj W.WĄ', ^fr.=lxl ^g-druxod

t,ufY'' ir* ^ó*dąF

arĄrrp{Ą ,,nra!n d t) \

.|h'1Irulr l' _Fa{łlut 'WĄ'' ^{x-{(x^} Wq^yłtr-o*a? ^ot lu"='xJ-h l _^t- ^{dn,d^ł}

tt0yłn^łtr _l

diJrTyH =9ł lbo Ą Y,(l,[)=& ( aurło^* ntę^.",r*lrą) dlm ^Nph =l lbo Ąłłtd,ćnMpp= _dlnlub**b.

* il:ł.rff.-((n-'t)'Ł ⁽ ^1ry'1' 1 ^q) ^,Mł,oĄi,ą _punlłu _l)

(13)

{nl,X

{u,uł$q,ĄĄ,ńe Ę _ir|

ą^l

xloćoyłve

H ^-- {(x,ultir-|Qb,, E 1,&,ultt\Ń

"

ą óftfrrl.+ł W WrlŃ* ^łłwo*u

^t+

0 Łu,^[rrl'r'u;ol./§Ą,W r"CIY

ń,,,Ń _='* ^,'J, ^ił,.'ł9 _, ,'ł7

ąlwr , Louteułvvl4 ł

^,

ęlłlł

,

1

=|i,, i.o _i ^{- _+-c ^G_ fo|',,r,,)-J ^18r ^=o

trii-,ąl ,, _{/_&_} _{_:.,"} \rr(r,lrr) -o e|\-*t

Ł ą,tlltt) ao _:

ą;_ ( F(,.{ ]) -o Llrrqr-\*h

|Ą:, L'ł""ł -Wł|i:i, V=o Lą=

?r=L[lt ,ł) ,, ^?*-(o,tt _t-ł).

W \Ą Pwfułw.iln

^(.

Pwieł.lnń

^

ryą ^riq yncll,aoł,w ,,rąsł&aux T'r _, n!

&ułlre Wwąsłllu* Ą; fu :*łrą'ę ądń _@ą.,, )

.,l,._= -S _=-3 =-l ilxLę:u,^*

''try= T* -s2-ż SĘd dJfi"'|, ru

''Ąr--+-T= łT=-t, _|,t ^o] ^{Ą^t=-lŁo}

.,|l ł _--ał',

łrr^lrĄg, *. z(vr,fi ^rfi.e nn!łxtąłnw _|oł^ft},w

ńwrw" _!.

Nińm^"gat d{* ^? *:

[ Ą _C l AFcl7g ^{AŃw, u)} yanluie CO,r) ( ł,,,rrt-.ffirt

[O ^,,ł ] ^Ar ^ł'tlrzO {-p ^z_a ^a[ptg) ^{ru,^.W} ^{,^ldtnłuą}

tńd,,ĄŁ ńunł_ _- L. *?

0U.rW:ł*Ą

"&v, d- UxZlL-\Ą7-b

hI C'

^CIrLb)

. ^ęlłra\w-tw

f ^(v,t1

_r

a) .0

F(x ltlr r) <l (, 'Ltr,,l,ó _!l, _z+c _+C I ⁷ ^a3 ⁼

|tłłr,rnw "v, l§Ło,hr.tk t ^.9

^.

tłwłuwĆ _ń.- ń&,5) ,'

,1- 1a

c!Ą w,ę&

(14)

lJ

Iboró b

' l***rł,-r^tr ^ńwąmńv,

tąxlą,1? *\+tłł ₌ ₃

Ęxa t tg-,)'*hł=\ _|,,v rt ⁺ _{_fu-,)'} _q tlą ^.=!

'tr? f _W ^tz? ^{= !-}

łP oń,ryn^ie ehtyłvołdłtr ^7L 1 o E,*Ur" _CCIl n, a

SĘe ^łl,a. _W*y

Y|ttLęłłilrq r!łtyltv,: Ą

'x (o-re)

ry ĄĄ,a}d,lń^drw ó,łl-ął _l

d,{ĄL [x,9): G,,\ ^afr)ą

w W WvlfuulĄĄt %*ą

C*=

ffierrl,x 1vńu, Ld,wł!,,rąt +^dtłył_ -L

,dL ^(r,$)-(Ot _4),,

(15)

I^grd,U

q )Wr**Mi% x"rtrf- ,Ą ytt\4i2-z<Q

x?*1| łLr_I), ^__ ^yą

śt€^{L ; ^!wh& C0 ,b , |r) t' ^il- = ł/

_,

!YU,ł ę), n'*f

P€(0,t), ^kCę,Lrł)

r t1,1ly,wł,ł,UaĄ

,V ^{*t,rr^nM.e}

,{Ltq' tł'* L-o

+ \* ⁿ ^rl ^;rf ^Ąu ⁼ ^yp ^Ą'h,u! ^p ^,r ^Ą3, :frlb,}'f;:;:^L ⁼ Ę s, +,& --Ę ^,nŁ,

l i r' v lo,-

=W _ł0

tŃt{-r.,ł-,*,1 Wrwął"-rr fullsl,wl,(_,,

( Y-- ,,,@dw fi

r' _Ą ^1-- *ć"l",L,p

t ^z ^{-- rwnpl}

mwćprrr*VJU"

t

(16)

Xhjdn D ooxałuatulł,

V^Ą^tlJ^1Ąt,i

1"Wll ^y'Ą,y-9

f,nd

^t,

h:

l ^X,3

l

1'ln

7 Trriltovw,w,, 9r _f,r [§ r hG1),t(r,1) = §lS ₁

ą !Ll' ^hG,) Ą^,/#Ti;;= ^i[, ^zĘ, ^Gil;ł

8

l

<1t3

ł

*,

Ł< _{tr! fi}

lł ! x( ⁹

x-9+ ł-9u t - O1_ _J

x-,!7ąŁ- 1''} z ^L

l

l 'ł,"o|d.

^xq⁼

Ł

t ^Td,= ^# ^{i-uo] ^Ąą

Ł

^?rau.

{*,n,

^u=

_ut,ł

^trr{.

=r[ łwŁIł r;r"7ąe

t

u|.I

Ll

=t

= f ^P, r"rrx) ^,1o ^tu."' ,(qv-u')fĄ:

f ê â1 ^fu, ^{+ 9x} û,t ^- hy,Iox-,vnńą

= I; ^{p{n o} ^9)*T r]Ą -

ięvĄy,)M,l ą=(ńrtgaq-frni,l\l,r*

*$ oL$, 1l ^WxĄ= ^th qr,wr"Ą- ! ^qrluwg-q) ^t _\.5\-Łl,ą _ł

jtVu -bu)hrr Ąt ^\tqblq-q) ^r+,( ^gł- ^ł6) ⁼ ^{lr=^} u'=%vl.,u I

prł- ?tł )I-w l: ^.,,re ^,ł- ^ł1l)Ą ^- Ę (ł,g-ł) ,rŹn"'=='

u'T1* '?v'\

łI

' ę ⁹ ^- ^ą, Sl)tob-(\.q-9u.ł6)wn *(ą,{^- iu,j,)li ⁺ \6tuł- Ęr Ę ⁼

(17)

I

i

(18)

łĄd,5

d,= }'*la

z*a

yŁ11? _=Ę

Y

?t 1z=q

n^raUapl:C&-

|drdr^,*

{anłna,n^>

Ą}nlĄL

^ ^ł=

^L

Ą^ualŁL & t=b

?rurłw,tr,^IaL q ^Wttt

sl,nĄałę _fu:

Ą ^{rńńuip^;ą} _,

ł śxllł<E

Y rrydńe lrt

lW W ^Ło ^T-ą_ ^ĘI: 5l

ł) ,lł{ńw,r/,^^ł botłłry, uĄ)eA, _x

kr ^Fu{o:

'

P4ńgw,il",uLr

1T Vfu h

Ł) _Pwal^rww 'Patadniq dr@ ,Lań rńdc,,.jwft, ^9ś ^xz ^\rLL

r'{ Ń danluąlMy{v, @ ^/xL lnźyłapullil,,vd,^t;

Js ^[{,(x,x)l ^d(r,,1) €, _§J \milb.T( ^d|.*p$)

aft

t(r,,,j)= |l

Y|(x,r)= [

[ł-

(x) WŃryd,w

btu,,ywaw

^:

*-b ^t ,aly&vJućę g

6T,q = TqJL

bor,ną' urłhe

^, *-- Ą ^t utilpdLgl(rę ^q

,, qT,, ĘcrcT,

rI _l ^xzn,ł']

i l

I

^lt(,,g)il

u)

l ^r -q_a>J ^q)

tl,*u

ęQt))

&ę@JT)

t1i|

ą

S 5" \fTWą Ą, &łdJ =

|O

_3"

1 l'ri I6.1p" ^d,r:

0-

'h1,1(xt{ 9.

(19)

Kolokwium nr 1 z Analizy MatemaĘcznej 4, gr A