WPŁYW WARUNKÓW BRZEGOWYCH I WŁASNOŚCI MATERIAŁOWYCH
NA STATECZNOŚĆ ZGINANYCH BELEK KOMPOZYTOWYCH
Adrian Gliszczyński
1a, Tomasz Kubiak
1b, Mariusz Urbaniak
1c1Katedra Wytrzymałości Materiałów i Konstrukcji, Politechnika Łódzka
a159141@edu.p.lodz.pl, btomasz.kubiak@p.lodz.pl, cmariusz.urbaniak@p.lodz.pl
Streszczenie
W pracy zajęto się nieliniową statecznością cienkościennych belek o przekroju ceowym poddanych czystemu zginaniu. Rozpatrywane belki wykonane były z ośmiowarstwowego laminatu - włókna szklane w żywicy epok- sydowej. Stateczność i ścieżki równowagi rozpatrywanych belek wyznaczono, wykorzystując program ANSYS oparty na metodzie elementów skończonych. Przygotowano dwa modele numeryczne. W pierwszym modelu rozpatrzono jedynie fragment belki poddany czystemu zginaniu, modelując obciążenia na krawędziach przekro- ju poprzecznego, które odpowiadało rozkładowi naprężeń w belce zginanej w zakresie sprężystym. Drugi model odzwierciedla stanowisko badawcze – czteropunktowe zginanie. Otrzymane wyniki porównano z wynikami ba- dań doświadczalnych.
Słowa kluczowe: stateczność, stany zakrytyczne, MES, kompozyty, konstrukcje cienkościenne
INFLUENCE OF BOUNDARY CONDITIONS
AND MATERIAL PROPERTIES ON THE STABILITY OF BENT COMPOSITE BEAMS
Summary
The paper deals with buckling and postbuckling behaviour of thin-walled beams with C-shaped cross-section subjected to pure bending. The discussed beams were made of eight-layer laminate – glass fibres in epoxy resin. Buckling load and postbuckling equilibrium paths of the examined beams have been calculated using the ANSYS software based on the finite elements method. Two numerical models were prepared. In the first one only a part of the beam subjected to pure bending was taken into consideration. The loads corresponding to the distribution of stress in a beam bent in elastic range was applied on the edges of the cross-section. The second model one reflects the research assumption – a four-point bending. The obtained results were compared with the results of experiments..
Keywords: buckling, postbuckling behaviour, FEM, composite structures, thin-walled structures
1. WPROWADZENIE
Materiały kompozytowe w ostatnim dziesięcioleciu mają coraz większe znaczenie podczas projektowania i wytwarzania różnego rodzaju maszyn i urządzeń.
Wostatnim czasie najbardziej spektakularnym zasto- sowaniem materiałów kompozytowych, laminatów są wyprodukowane lub dopuszczone do eksploatacji samo- loty pasażerskie firm Boeing® i Airbus®, które zbudo-
wane są w ponad 50% z kompozytów. Laminaty są stosowane od wielu lat np. do budowy dźwigarów skrzydeł samolotów [7], łopat śmigłowców [8] czy dźwi- garów łopat w turbinach wiatrowych [9]. Jak wspo- mniano powyżej, wśród kompozytów istotną rolę od- grywają laminaty, czyli konstrukcje warstwowe z jed- nokierunkowym ułożeniem włókien w każdej z warstw.
W projektowaniu wykorzystuje się różne sposoby uło- żenia warstw [5, 6], tak aby jak najlepiej wykorzystać materiał podczas pracy danej konstrukcji. Ze względów praktycznych niezwykle istotne jest poznanie własności materiałowych takich konstrukcji oraz ich zastosowanie w procesie modelowania [4], które pozwala ocenić pracę istniejącej konstrukcji kompozytowej czy wspomagać proces konstrukcyjny dla nowych zastosowań.
Mając powyższe na uwadze, autorzy niniejszej pra- cy zaproponowali modele numeryczne MES do analizy stateczności i stanów zakrytycznych cienkościennych belek o przekroju otwartym poddanych czystemu zgi- naniu. Wykorzystując wyniki badań doświadczalnych, przeprowadzono walidację przygotowanych modeli numerycznych. Jak powszechnie wiadomo, na model numeryczny składają się: model materiałowy, model geometryczny, sposób dyskretyzacji oraz przyjęte wa- runki brzegowe i sposób obciążenia. Niniejsza praca poświęcona zostały wszystkim wyżej wymienionym aspektom modelowania numerycznego. W pracy zajęto się statecznością, do- i pokrytycznym zachowaniem się cienkościennych belek kompozytowych o przekroju ceowym poddanych czystemu zginaniu. Belki zginano w płaszczyźnie, w której moment bezwładności jest najmniejszy – takie podejście pozwoliło wyeliminować efekt skręcania, ponieważ środek sił poprzecznych leży wspólnie ze środkiem ciężkości na osi symetrii przekro- ju. Belki wykonane były z ośmiowarstwowego lamina- tu, w którym rolę zbrojenia pełniły włókna szklane, a funkcję osnowy stanowiła żywica epoksydowa (lami-
nat wytworzony z prepregu
SE70/EGL/300g/400mm/35%/ PoPa). Do rozważań przyjęto belki o długości 275 mm, wymiarach przekroju poprzecznego 82 x 40 mm i grubości 2,08 mm. Rozpa- trzono trzy quasi-izotropowe, symetryczne układy warstw laminatu o następującej orientacji głównych kierunków ortotropii w stosunku do wzdłużnych kra- wędzi ścian belki:
C1: [0/-45/45/90/90/45/-45/0];
C2: [90/-45/45/0/0/45/-45/90];
C5: [45/-45/45/-45/-45/45/-45/45].
Przetestowano modele numeryczne, w których ana- lizowano wpływ przyjętych własności materiałowych (głównie modułu sprężystości postaciowej G12) oraz wpływ warunków brzegowych i sposobu obciążenia na rezultaty obliczeń numerycznych. Opracowane modele numeryczne porównano z przeprowadzonymi badania- mi doświadczalnymi kompozytowych cienkościennych belek zginanych w próbie czteropunktowego zginania.
2. MODEL NUMERYCZNY
Modele numeryczne to modele MES przygotowane w programie ANSYS® [13], w którym przeprowadzono również obliczenia numeryczne.
W celu przygotowania modelu materiałowego prze- prowadzono badania wytrzymałościowe (rozciąganie i ściskanie dla próbek ze wzdłużnym oraz poprzecznym ułożeniem włókien oraz ścinanie), w których wyzna- czono następujące własności materiałowe dla pojedyn- czej laminy: moduły Younga w kierunku włókien E1
i w kierunku poprzecznym E2, liczbę Poissona ν12, moduł Kirchhoffa G12 oraz wytrzymałość na rozciąga- nie w kierunku włókien T1 i poprzecznym T2, wytrzy- małość na ściskanie w kierunku wzdłużnym C1 i po- przecznym C2, wytrzymałość na ścinanie S12.
Wszystkie próby wykonano na podstawie odpo- wiednich norm zestawionych w opracowaniu [1]. Próba ścinania została zrealizowana jako rozciąganie z orien- tacją głównych kierunków ortotropii +450/-450. Za- równo wymiary charakterystyczne próbek uczestniczą- cych w eksperymentach jak i parametry charakteryzu- jące sam przebieg prób wytrzymałościowych zostały zaczerpnięte z normy ISO 14125.
Podczas badań własności materiałowych otrzymy- wane wykresy zależności obciążenie-wydłużenie lub obciążenie-skrócenie miały charakter prostoliniowy aż do zniszczenia. Niestety, w przypadku próby rozciąga- nia kompozytowej próbki o ułożeniu warstw ±450 zależność naprężenie – wydłużenie (rys. 1) ma charak- ter krzywoliniowy. Wyznaczane wartości modułu sprę- żystości postaciowej zależą od wybranego punktu styczności bądź wybranych dwóch punktów dla modu- łu siecznego.
Rys. 1. Naprężenie w funkcji wydłużenia dla próby rozciąga- nia próbki z włókien szklanych z ułożeniem warstw ±450
(próba ścinania)
Brak możliwości jednoznacznego wyznaczanie mo- dułu Kirchhoffa skłonił autorów do zbadania jego wpływu na stateczność i podkrytyczne zachowanie się zginanych belek. Wyznaczono wartości siecznego mo- dułu ścinania G12 dla różnych przedziałów (zakresów) jego wyznaczania. Wyznaczone w ten sposób moduły sprężystości postaciowej zestawiono w tabeli 1.
Analizując otrzymane wartości modułu Kirchhoffa, łatwo zauważyć, iż jego wartość w zależności od prze-
działu, w którym została wyznaczona, zmienia się od 1,72 do 3,17 GPa, co stanowi różnicę na poziomie 84%.
Badania literaturowe wskazują, że dla takiego samego materiału (laminat z włókami szklanymi E-Glass o zbliżonych modułach Younga) moduł ścinania przyjmowany jest na poziomie G = 3,5 GPa [2], a nawet G = 3,8 GPa [3]. Wobec powyższego do dal- szych obliczeń numerycznych zdecydowano się przyjąć najniższą z otrzymanych wartości, wartość średnią z przedziałów 3-20 oraz 3-50 MPa oraz maksymalną znalezioną w literaturze [3] wartość modułu Kirchhoffa dla analizowanego kompozytu równą G12 = 3,80 GPa.
Niezbędne do przeprowadzenia analiz numerycznych wartości parametrów zestawiono w tabeli 2.
Tabela 1. Moduł Kirchhoffa dla różnych przedziałów naprężeń Przedział naprężeń
[MPa]
G12
[GPa]
3 - 20 3,05
3 - 50 2,77
3 - 80 2,26
3 - 100 1,72
Tabela 2. Własności materiałowe materiałów użytych w modelu materiałowym
KOMPOZYT
E1 [GPa] 38,5
E2 [GPa] 8,1
G12 [GPa] 1,72 2,91 3,8 ν12 [-] 0,27
C1 [MPa] 679
C2 [MPa] 71
T1 [MPa] 792
T2 [MPa] 39
S12 [MPa] 108
STAL E [GPa] 200
ν [-] 0,3
Dla wszystkich zastosowanych materiałów w mode- lu MES przyjęto, że materiał jest liniowo sprężysty do zniszczenia dla kompozytu. Dla elementów modelu ze stali (model uchwytów w zginaniu czteropunktowym) założono, że naprężenia nie przekraczają granicy pro- porcjonalności – uchwyty posiadają dużo większą sztywność od rozpatrywanej belki kompozytowej.
Głównym elementem modelu geometrycznego dla modelu próby zginania belki kompozytowej jest sama belka z ośmiowarstwowego laminatu (rys. 3). W niniej- szej pracy rozważano zginaną belkę ceową o długości 275 mm, wymiarach przekroju 82 x 40 mm i grubości ścianki 2,08 mm. Przekrój poprzeczny z wymiarami przedstawiono na rys. 2.
Rys. 2. Przekrój rozpatrywanej belki
Rys. 3. Analizowana belka na stanowisku badawczym Przyjęto dwa modele geometryczne, które różniły się przyjętymi warunkami brzegowymi i sposobem obciążenia. Do pierwszego modelu (oznaczony dalej jako MES-1) zginanej belki kompozytowej przyjęto jedynie część belki znajdującej się pomiędzy uchwytami ze stanowiska do badań eksperymentalnych (rys. 3).
Przyjęty model geometryczny przedstawiono na rys. 4, a model dyskretny na rys. 5.
Rys. 4. Model geometryczny MES-1 z warunkami brzegowymi Do dyskretyzacji użyto czterowęzłowego wielowar- stwowego elementu powłokowego o sześciu stopniach swobody w każdym węźle. Użyty element do wyzna- czenia pola przemieszczeń wykorzystuje teorię ścinania pierwszego rzędu. Warunki brzegowe przyjęto w taki sposób, aby jak najdokładniej odpowiadały modelowi analityczno-numerycznemu [11,12]. Założono, że brzegi obciążone (brzegi czołowe) pozostają proste, przyjmu- jąc (rys. 5a):
– stałą wartość przemieszczeń w kierunku normal- nym do płaszczyzny ściany we wszystkich węzłach leżących na każdej czołowej krawędzi ściany belki;
– stałą wartość przemieszczeń w kierunku wzdłuż- nym słupa w każdym węźle leżącym na każdej czo- łowej krawędzi środnika belki;
– stałą wartość kąta obrotu wokół osi normalnej do półek belki w każdym węźle leżącym na danej czo- łowej krawędzi półki belki.
Rys. 5. Model dyskretny MES-1 a) z warunkami brzegowymi i b) przyjętym sposobem obciążenia
Dodatkowo dla spełnienia przegubowego podparcia obciążonych brzegów przyjęto następujące warunki brzegowe (rys. 4) w punktach leżących na osiach obo- jętnych zginania przekroju:
– zerowe przemieszczenia w kierunku normalnym do płaszczyzny półek (ux = 0) w punktach leżą- cych na krawędziach czołowych półki w połowie jej szerokości;
– zerowe przemieszczenia w kierunku wzdłużnym (uz = 0) i w kierunku normalnym do powierzchni środnika (uy = 0) w punktach leżących w płasz- czyznach czołowych rozpatrywanej belki na prze- cięciu osi obojętnych zginania i półek ceownika.
Obciążenie w postaci momentu gnącego wprowa- dzono jako rozkład ciśnienia (rys. 5b) działający na czołowych krawędziach słupa o rozkładzie odpowiada- jącym rozkładowi naprężeń przy czystym zginaniu w stanie dokrytycznym sprężystym.
Alternatywę dla przedstawionego powyżej rozwią- zania stanowił model 2. (oznaczony w dalszej części jako MES-2), w którym oprócz części kompozytu ule- gającej swobodnym odkształceniom zdecydowano się zamodelować fragmenty belek znajdujących się w spe- cjalnych uchwytach stosowanych podczas doświadczal- nych prób zginania czteropunktowego. Ze względu na znacznie wyższą sztywność fragmentu belki kompozy- towej znajdującej się w uchwytach, w porównaniu do
samego kompozytu, fragment ten zdecydowano się zamodelować, przyjmując własności materiałowe jak dla stali (tabela 2). Ponadto w miejscach przyłożenia obciążenia oraz realizacji podparcia zamodelowane zostały dodatkowe płaszczyzny usztywniające model (rys. 6). Cały układ, tj. belkę kompozytową z modelem uchwytów, dyskretyzowano z zastosowaniem czterowę- złowego elementu powłokowego o sześciu stopniach swobody w każdym węźle (rys. 7).
Rys. 6. Model geometryczny MES-2
Rys. 7. Model dyskretny i warunki brzegowe w modelu MES-2 Obciążenie, wywołujące zginanie belki, zrealizowa- no identycznie jak na stanowisku doświadczalnym (rys. 3) w postaci czteropunktowego zginania.
W węzłach leżących wzdłuż linii, gdzie obciążano uchwyty, założono stałe wartości przemieszczenia (uy = const., rys.7), a do jednego z węzłów (na każdym uchwycie) przyłożono siłę pionową. Układ ceownika z uchwytami podparto przegubowo na dwóch końcach (punkty A i B – rys. 7) wzdłuż linii na powierzchni dolnej uchwytu. We wszystkich węzłach leżących wzdłuż linii przechodzącej przez punkt A (rys. 7) ode- brano przemieszczenia w kierunku wzdłużnym uz=0 i poprzeczym uy = 0 oraz przyjmując przemieszczenie w kierunku x ux = 0 w węźle pokrywającym się z punk- tem A, modelując w ten sposób podporę przegubową nieprzesuwną. Na przeciwległym końcu układu belka- uchwyt w punkcie B (rys. 7) odebrano możliwość przemieszczania w kierunku x ux = 0 oraz we wszyst- kich węzłach leżących wzdłuż linii przechodzącej przez punkt B odebrano możliwość przemieszczenia w kie- runku poprzecznym uy = 0, modelując podparcie prze- a)
b)
3. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
Obliczenia numeryczne przeprowadzono w dwóch etapach. Pierwszy z nich stanowiła liniowa analiza stateczności, której wyznaczono postacie utraty sta- teczności oraz odpowiadające tym postaciom wartości obciążeń krytycznych (punkty bifurkacji). Znając war- tości krytyczne dla analizowanych układów warstw w laminacie oraz różnych modeli materiałowych (róż- nych modułów sprężystości postaciowej), przeprowa- dzono nieliniową analizę stateczności, w ramach której wyznaczono ścieżki równowagi.
Porównanie wartości krytycznych Mkr otrzymanych z obu modeli MES-1 i MES-2 oraz dla różnych ułożeń warstw w laminacie i dla modułu sprężystości równego G12 = 2,91 zestawiono w tabeli 3. W tabeli 4. przed- stawiono porównanie wartości krytycznych Mkr otrzy- manych przy wykorzystaniu modelu MES-2 dla modu- łów sprężystości postaciowej G12 dla belek ceowych o różnym ułożeniu warstw w laminacie.
Tabela 3. Wpływ ułożenia warstw w laminacie na krytyczne wartości momentów gnących (Mkr) oraz od-
powiadającą im liczbę półfal dla różnych modeli MES
model: MES-1 MES-2
ułożenie
warstw Mkr [Nm] m Mkr [Nm] m
C1 307 4 324 3
C2 300 5 308 5
C5 352 4 353 4
Tabela 4. Wpływ ułożenia warstw w laminacie na krytyczne wartości momentów gnących (Mkr) oraz odpowiadającą im liczbę półfal dla różnych wartości modułu sprężystości posta-
ciowej
G12 [GPa] 1,72 2,91 3,80
ułożenie warstw
Mkr
[Nm] m Mkr
[Nm] m Mkr
[Nm] m
C1 309 3 324 3 335 3
C2 291 5 308 5 319 5
C5 323 4 353 4 365 4
Porównując zestawione w tabelach 3 i 4 wyniki, widać niewielki wpływ zastosowanego modelu na war- tość obciążenia krytycznego. Największa różnica w odniesieniu do wartości większej wynosi 5,2% dla zginanej belki kompozytowej z ułożeniem warstw [0/- 45/45/90]S oznaczonym jako C1. Najmniejsza różnica wynosi zaledwie 0,3% i występuje dla przypadku C5 z ułożeniem warstw [45/-45/45/-45]S. Zdecydowanie większy wpływ ma przyjęta do obliczeń wartość modu- łu sprężystości postaciowej G12. Zaobserwowano, że wraz ze wzrostem modułu Kirchhoffa wzrasta moment krytyczny Mkr. We wszystkich rozpatrywanych przy-
padkach ułożenia warstw w laminacie nieco ponad dwukrotny wzrost wartości modułu ścinania (z warto- ści 1,72 GPa do wartości 3,80 GPa) powoduje około 10% wzrost obciążenia krytycznego. Taką różnicę moż- na uznać jedynie dla konstrukcji idealnych, gdyż, jak pokazują badania doświadczalne dotyczące stateczności konstrukcji cienkościennych, wszelkie niedokładności (np. niedokładność kształtu, sposobu wprowadzenia obciążenia, czy metody wyznaczania obciążenia kry- tycznego) powodują, że różnice w obciążeniach kry- tycznych sięgają nawet 20% [10].
Weryfikacja otrzymanych wartości krytycznych z liniowej analizy stateczności jest praktycznie niemoż- liwa, gdyż w rzeczywistości podczas zginania w stanie dokrytycznym belka ugina się - przestaje być prosta i obciążenia krytyczne wyznaczyć należy tak jak dla belki z ugięciami wstępnymi lub na podstawie ścieżek równowagi. Dlatego też weryfikację przyjętych modeli MES oraz założonych własności materiałowych prze- prowadzono na podstawie wyników analizy nieliniowej geometrycznie. Wyniki obliczeń numerycznych porów- nano z wynikami badań doświadczalnych. Zarówno z analiz numerycznych jak i badań doświadczalnych wyznaczono zależności ugięcia belki w zależności od obciążenia (momentu gnącego). W celu wyznaczenia wpływu momentu gnącego na wartość przyrostu ugię- cia środnika wsr belki zginanej jako wartość ugięcia w danym przekroju belki przyjmowano różnicę pomię- dzy ugięciami całkowitymi w mierzonymi w punkcie położonym na środku szerokości środnika i punkcie leżącym na krawędzi we (połączenie środnika z półką).
Krzywe momentu gnącego w funkcji ugięcia M(wsr) otrzymane z obliczeń przy wykorzystaniu obu modeli MES i badań doświadczalnych dla wartości modułu Kirchhoffa wynoszącego G12 = 2,91 GPa i różnych ułożeń warstw w rozpatrywanej belce przedstawiono na rys. 8. Porównanie ścieżek równowagi otrzymanych z obu modeli MES wskazuje na bardzo dobrą zgodność w zakresie dokrytycznym oraz słabo zakrytycznym, tj. do obciążenia większego od obciążenia krytycznego o około 25 %. W tym zakresie odkształcenia, ugięcia środnika wsr są niewielkie i są porównywalne z grubo- ścią ściany belki. Dla większych odkształceń krzywe M(wsr) rozbiegają się, a różnice rosną wraz ze wzrostem ugięcia. Wykazane różnice wynikają z przyjętego mode- lu obciążenia, który dla modelu MES-2 jest zgodny z obciążeniem realizowanym podczas doświadczenia, natomiast w przypadku modelu MES-1 jest zupełnie inny i ma charakter obciążenia niezachowawczego, w całym zakresie obciążenie działa w płaszczyźnie normalnej do przekroju poprzecznego obciążonej belki.
Porównując przebiegi ścieżek równowagi otrzymane z badań doświadczalnych i obliczeń numerycznych za pomocą modelu MES-2 dla układu warstw oznaczo-
nych jako C1 i C5, widać, że mają one identyczny charakter. Krzywe wyznaczone w doświadczeniu leżą nieco poniżej ścieżek wyznaczonych w obliczeniach numerycznych.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
0 2 4 6 8 wsr 10
M
MES-1 MES-2 EXP1 EXP2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
0 2 4 6 8 wsr 10
M
MES-1 MES-2 EXP-1 EXP-2 EXP-3
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
0 2 4 6 8 10 12
wsr
M
MES-1 MES-2 EXP-1 EXP-2
Rys. 8 Ścieżki równowagi dla różnych modeli MES i badań doświadczalnych dla G12 = 2,91 GPa i ułożeń warstw w laminacie oznaczonych jako C1 (a), C2 (b) i C5 (c) Dla przypadku ułożenia warstw C2: [90/-45/45/0]s
uzyskano nieco odmienny charakter przebiegu ścieżek równowagi. Rozbieżności pomiędzy modelem nume- rycznym a doświadczeniem dla przypadku C2 wynikają ze zmiany postaci podczas narastania obciążenia.
W przypadku modelu numerycznego MES-2 postać ugięć zmienia się z jednej półfali sinusoidy wzdłuż długości środnika dźwigara na pięć (rys. 11), a podczas
badań doświadczalnych zmiana postaci następuje z jednej na cztery niesymetrycznie rozłożone względem płaszczyzny zawierającej przekrój poprzeczny w poło- wie długości belki, półfale (rys. 12). Przebieg zaprezen- towanych krzywych jest odmienny (przebiegach M(wsr) dla przypadku C2 – rys. 9), gdy pomiaru ugięć dokonu- je się w przekroju poprzecznym leżącym w połowie długości. W modelu numerycznym MES-2 z modułem Kirchhoffa G12 = 1,72 GPa lub G12 = 2,91 GPa ampli- tuda środkowej półfali zmienia kierunek (rys. 11b), a w belce rzeczywistej nie zmienia kierunku narastania ugięć (rys. 12). W modelu MES-1 nie zaobserwowano zmiany postaci podczas narastania obciążenia.
0 100 200 300 400 500 600 700
-4 -2 0 2 wsr 4
M
MES-2 EXP-1 EXP-2 EXP-3
Rys. 9. Ścieżki równowagi wyznaczone w przekroju środko- wym z obliczeń numerycznych (MES-2, G12 = 2,91GPa) i badań doświadczalnych dla ułożenia warstw w laminacie
oznaczonych jako C2
Ze względu na niezadowalające wyniki otrzymywa- ne z modelu MES-1, w dalszej części skupiono się na wykorzystaniu modelu MES-2 i porównywaniu wyni- ków otrzymywanych z tego modelu z wynikami badań doświadczalnych. Ponieważ ścieżki równowagi z badań doświadczalnych leżą nieco poniżej tych otrzymanych z obliczeń numerycznych (rys. 8) dla belek o ułożeniu warstw C1, C2 i C5, postanowiono sprawdzić, jaki jest wpływ modułu Kirchhoffa na przebieg obciążenia w funkcji ugięcia. Na rys. 10 zaprezentowano ścieżki równowagi dla różnych modułów ścinania G=1,72 GPa, 2,91 GPa i 3,80 GPa oraz ścieżki otrzy- mane z badań doświadczalnych. Analizując przebieg krzywych zaprezentowanych na rys. 10, łatwo zauwa- żyć bardzo dobrą zgodność krzywych doświadczalnych ze ścieżkami równowagi otrzymanymi z obliczeń nume- rycznych dla modułu ścinania G=1,72 GPa i dla belek o układach warstw C1: [0/-45/45/90]S
i C5: [45/-45/45/-45]S. W przypadku belki o układzie warstw oznaczonym C2: [90/-45/45/0]S, dla której podczas narastania obciążenia zmienia się postać ugięć, brak jest zgodności wyników obliczeń numerycznych z badaniami doświadczalnymi. W tym wypadku należy rozważyć wymuszenie w modelu numerycznym kierun- ku narastania ugięć na środniku, w taki sposób, aby a)
b)
c)
odpowiadał kierunkowi zaobserwowanemu podczas eksperymentu. Takie wymuszenie może być np. zreali- zowane poprzez zadanie małych ugięć wstępnych od- powiadających postaci wyboczenia m=3.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
0 2 4 6 8 wśr 10
M
G=1.72 G=2.91 G=3.8 EXP
0 100 200 300 400 500 600 700
-4 -2 0 2 wsr 4
M
G=1.72 G=2,91 G=3.8 EXP-1 EXP-2 EXP-3
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
0 2 4 6 8 10wsr12
M
G=1.72 G=2.91 G=3.8 EXP-1 EXP-2
Rys. 10 Ścieżki równowagi wyznaczone z ugięć w przekroju poprzecznym w połowie długości na podstawie obliczeń nume- rycznych (modelu MES-2 i różne wartości modułu Kirchhoffa)
i badań doświadczalnych dla ułożeń warstw w laminacie oznaczonych jako C1 (a), C2 (b) i C5 (c)
Przebieg ścieżek równowagi (rys. 10) potwierdza wnioski wyciągnięte z obciążeń krytycznych, że wzrost modułu Kirchhoffa powoduje wzrost sztywności belki.
Dodatkowo zauważono, że dla przypadku z ułożeniem warstw oznaczonym jako C2 wzrost modułu ścinania powoduje nie tylko wzrost sztywności, ale również odmienny sposobu zmiany postaci (rys. 11). Charakter narastania ugięć dla modułu sprężystości postaciowej G12=3,8 GPa jest identyczny jak ten wyznaczony pod- czas eksperymentu. Ścieżka równowagi wyznaczona numerycznie leży pomiędzy krzywymi obciążenie –
ugięcie (mierzone w przekroju poprzecznym w połowie długości) wyznaczonymi podczas badań doświadczal- nych (rys. 10b), pomimo że, jak zauważono dla przy- padków C1 i C5, model z modułem ścinania równym G12=3,8 GPa jest sztywniejszy od belki rzeczywistej.
Rys. 11. Otrzymana numerycznie mapa ugięć dla belki obcią- żonej momentem M = 550 Nm o układzie warstw C2 dla modułów Kirchhoffa G12=3,80 GPa (a) i G12=1,72 GPa oraz
G12=2,91 GPa (b)
Rys. 12. Mapa ugięć belki z ułożeniem warstw C2 otrzymana doświadczalnie
4. WNIOSKI
W wyniku przeprowadzonych analiz numerycznych można stwierdzić, że belki kompozytowe poddane czy- stemu zginaniu mogą pracować przy obciążeniach powyżej obciążeń krytycznych. Przekroczenie obciąże- nia krytycznego w przypadku analizowanych belek nie prowadziło do ich zniszczenia, a jedynie do obniżenia sztywności. W przypadku belki o ułożeniu warstw C2:
[90/-45/45/0]s zaobserwowano mniejszą zmianę sztyw- ności niż w dwu pozostałych analizowanych przypad- kach. Mniejsza zmiana sztywności wynika ze względu na zmianę postaci wyboczenia.
Zarówno wartość obciążenia krytycznego, jak i cha- rakter pracy belki kompozytowej w zakresie pokry- tycznym zależą od sposobu ułożenia warstw względem płaszczyzny środkowej oraz, jak wykazano w pracy, od
a)
b) a)
b)
c)
przyjętej w modelu numerycznym wartości modułu ścinania, wynikającej ze sposobu jej wyznaczenia.
W perspektywie zastosowanych modeli numerycz- nych i nałożonych na nich warunków brzegowych można stwierdzić, że wyniki obliczeń numerycznych zbliżone do badań doświadczalnych uzyskano z zasto- sowaniem modelu MES-2, który dokładniej odzwiercie- dlał stanowisko badawcze i realizowane na nim cztero- punktowe zginanie. Powyższe spostrzeżenie potwierdza regułę, która mówi o konieczności w miarę możliwości
dokładnego odwzorowania w modelu numerycznym rzeczywistych warunków brzegowych i sposobu obcią- żenia.
Wyniki otrzymane dla belek zginanych z ułożeniem warstw C2: [90/-45/45/0]s wskazują na konieczność prowadzenia dalszych prac nad modelem numerycznym tak, aby dokładniej odzwierciedlał pracę w przypadku, gdy w zakresie zakrytycznym następuje zmiana postaci wyboczenia.
Praca wykonana w ramach projektu sfinansowanego przez Narodowego Centrum Nauki na podstawie decyzji numer DEC-2011/03/B/ST8/06447
Literatura
1. Hodgkinson J.M.: Mechanical testing of advanced fibre composites. Woodhead Publishing Limited, Cam- bridge, 2000.
2. Correia J.R., Branco F.A., Silva N.M.F., Camotim D., Silvestre N.: First-order, buckling and post- buckling behavior of GFRP pultruded beams. Part 1: Experimental study. “Computer & Structures” 2011,89 (21-22), p. 2052-2064..
3. Generic E-Glass/Epoxy Unidirectional Prepreg, http://composite.about.com/od/data/l/blg_egepoxy.htm (3.
luty 2014).
4. Mazurkiewicz Ł., Małachowski J., Damaziak K., Baranowski P., Gotowicki P.: Identification of layers distri- bution in the composite coupon using finite element method and three point bending test. „Acta Mechanica et Automatica” 2013, 7(3),p. 160-165.
5. York, C.B.: Characterization of non-symmetric forms of fully orthotropic laminates. „Journal of Aircraft”
2009, 46(4), p. 1114 - 1125.
6. York, C.B.: Coupled quasi-homogeneous orthotropic laminates. „Mechanics of Composite Materials” 2011, 47(4), p. 405 - 426.
7. York, C.B.: Buckling analysis and minimum-mass design procedures for composite wing-box structures.
„Journal of Aircraft” 2006, 43(2), p. 528 - 36.
8. Dębski H., Ostapiuk M.: Numerical FEM analysis for the part of composite helicopter rotor blade. „Journal of Kones” 2012, Vol. 19, 1, p. 71 - 77.
9. Bechly M.E., Clausen P.D.: „Structural design of a composite wind turbine blade using finite element analy- sis” 1997, Vol. 63, 3, p. 639 - 646.
10. Dębski H., Kubiak T., Teter A.: Experimental investigation of channel section composite profiles behaviour with various sequences of plies subjected to static compression. „Thin-Walled Structures” 2013, 71, p. 147- 154.
11. Dębski H., Kubiak T., Teter A.: Buckling and postbuckling behaviour of thin-walled composite channel section column. „Composite Structures” 2013,100, p.195 - 204.
12. Kubiak T., Metoda elementów skończonych jako eksperyment numeryczny stateczności dźwigarów cienko- ściennych obciążonych statycznie i dynamicznie. „Analizy numeryczne wybranych zagadnień mechaniki”
Wojskowa Akademia Techniczna, 2007, s. 209 - 228.
13. User’s Guide ANSYS 14.5, Ansys, Inc., Houston, USA
