Odkształcenia belek zginanych

Wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

EiP - Wykład Nr 9

Odkształcenia belek zginanych

linia ugięcia belki, kąt obrotu belki, warunek sztywności przy zginaniu, równanie

różniczkowe linii ugięcia belki, warunki brzegowe, warunki ciągłości odkształceń,

zastosowanie zasady superpozycji do wyznaczania odkształceń belek, wyznaczanie reakcji

w belkach statycznie niewyznaczalnych.

9.1. Linia ugięcia belki

𝑴

𝑴

Warstwy rozciągane (wydłużone)

Warstwy ściskane (skrócone)

Linia ugięcia – linia łącząca środki ciężkości przekrojów poprzecznych odkształconej belki.

Linia ugięcia

Proste zginanie – przypadek obciążenia kiedy wypadkowy moment zginający w przekroju

poprzecznym belki działa wzdłuż jednej z głównych osi bezwładności. © T. Machniewicz

Kąt obrotu belki:

9.2. Warunek sztywności belki

y

z

l

A A’



f y

y=f(z)

y=f(z) Równanie linii ugięcia belki:

Strzałka ugięcia: f=max (|y|) Warunek sztywności belki:

𝒇 ≤ 𝒇

𝒇

- dopuszczalna strzałka ugięcia (…, mm, cm, …)

Zwykle: 𝒇

= 𝒍 𝒌

l – długość belki,

k – współczynnik zależny od przeznaczenia belki,

𝒕𝒈(𝜶) = 𝒅𝒚 𝒅𝒛

y – ugięcie belki w danym punkcie,

 – kąt obrotu belki (rad)

Ponieważ zwykle kąt  jest bardzo mały, więc: 𝒕𝒈(𝜶) ≅ 𝜶 Stąd: 𝜶 = 𝒅𝒚

𝒅𝒛

© T. Machniewicz

9.3. Równanie różniczkowe linii ugięcia belki

y

z

l

A A’



f y

y=f(z)

𝑴

𝑴

dz

 ^d 



𝟏

𝝆 = 𝑴 _𝒈(𝒛) 𝑬𝑱

Według geometrii różniczkowej (dla układu osi y-z jak wyżej):

𝟏

𝝆 = −

𝒅 ^𝟐 𝒚 𝒅𝒛 ^𝟐 𝟏 + 𝒅𝒚

𝒅𝒛

𝟐 𝟑 𝟐

Krzywizna osi belki poddanej czystemu zginaniu

(por. zginanie – war. bezpieczeństwa):

(𝑬𝑱) - sztywność giętna

© T. Machniewicz

9.3. Równanie różniczkowe linii ugięcia belki

y

z

l

A A’



f y

y=f(z)



−

𝒅

𝒚 𝒅𝒛

𝟏 + 𝒅𝒚

𝒅𝒛

𝟐 𝟑 𝟐

= 𝑴

𝑬𝑱

ponieważ: 𝒅𝒚 𝒅𝒛

𝟐

≅ 𝟎

Równanie różniczkowe linii ugięcia belki:

𝑬𝑱 𝒅

𝒚

𝒅𝒛

= −𝑴

𝑬𝑱 𝒅𝒚

𝒅𝒛 = −𝑴

𝒅𝒛 + 𝑪

𝑬𝑱𝒚 = −𝑴

𝒅𝒛𝒅𝒛 + 𝑪𝒛 + 𝑫

E – moduł Younga

J – moment bezwładności M

– moment gnący

y – ugięcie belki

- równanie ma kąt obrotu (𝜶 =

)

- równanie linii ugięcia jednokrotne

całkowanie powtórne całkowanie

𝑪, 𝑫 – stałe całkowania, wyznaczane na podstawie warunków brzegowych

© T. Machniewicz

9.3. Warunki brzegowe – wyznaczanie stałych całkowania

Stałe całkowania C i D wyznacza się:

a) z warunków brzegowych, tzw. warunków podparcia:

b) z warunków ciągłości odkształceń w sąsiednich przedziałach, tzw. warunków szycia (belki o wielu przedziałach zmienności funkcji momentu M

):

y

z

l

𝒚

= 𝟎 𝒚

= 𝟎

y

z

l

𝒚

= 𝟎 𝒚′

= 𝟎

przedział n-1 przedział n



 

y

 y

przedział

n-1

przedział n



 

przypadek niemożliwy gdy nie ma przegubu

przedział n-1

przedział n

przypadek niemożliwy dla belki ciągłej

y

 y

© T. Machniewicz

9.4. Wyznaczanie odkształceń belek - przykłady Przykład 9.1

A

Dane: EJ, P, l Szukane: f

, 

y

z B

𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒍 𝑴

= −𝑷𝒛

𝑷

l

𝑴

𝑹

Wyznaczyć ugięcie (f

) i kąt obrotu ( 

) na swobodnym końcu belki jak na rysunku.

𝑬𝑱𝒚′′ = −𝑴

𝑬𝑱𝒚

= −𝑴

= 𝑷𝒛

𝑬𝑱𝒚

= 𝑷𝒛

𝟐 + 𝑪 𝑬𝑱𝒚 = 𝑷𝒛

𝟔 + 𝑪𝒛 + 𝑫

Warunki brzegowe:

1) 𝜶

= 𝟎 𝒚

= 𝟎 𝑷𝒍

𝟐 + 𝑪 = 𝟎 𝑪 = − 𝑷𝒍

𝟐 2) 𝒚

= 𝟎 𝒚

= 𝟎

𝑷𝒍

𝟔 − 𝑷𝒍

𝟐 𝒍 + 𝑫 = 𝟎 𝑫 = 𝑷𝒍

𝟑 Równania kątów obrotu i linii ugięcia mają postać:

𝜶 = 𝒚

= 𝟏 𝑬𝑱

𝑷

𝟐 𝒛

− 𝑷𝒍

𝟐 𝒚 = 𝟏

𝑬𝑱 𝑷

𝟔 𝒛

− 𝑷𝒍

𝟐 𝒛 + 𝑷𝒍

𝟑 Stąd:

𝜶

= 𝒚′

= − 𝑷𝒍

𝟐𝑬𝑱 𝒇

= 𝒚

= 𝑷𝒍

𝟑𝑬𝑱

© T. Machniewicz

9.4. Wyznaczanie odkształceń belek - przykłady Przykład 9.2

Dane: EJ, q, l Szukane: f

, 

, 

Korzystając z gotowych wzorów na wartości ugięć i kątów obrotu belek obciążonych poszczególnymi rodzajami obciążeń, obliczyć zgodnie z zasadą superpozycji ugięcie środka (y

) oraz kąty obrotu w przekrojach podporowych (

, 

) belki jak na rysunku.

A B

y

z

𝑹

𝑹

𝑷 = 𝒒𝒍

l/2 l/2

𝜶

= 𝒒𝒍

𝟐𝟒𝑬𝑱

𝜶

= 𝑷𝒍

𝟏𝟔𝑬𝑱

𝒒

𝜶

= 𝑴𝒍 𝟑𝑬𝑱 𝜶

= 𝑴𝒍 𝟔𝑬𝑱

𝒇

= 𝒇

+ 𝒇

+ 𝒇

𝒇

= 𝟓𝒒𝒍

𝟑𝟖𝟒𝑬𝑱 + 𝒒𝒍 ∙ 𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱 + 𝟑 ∙ 𝒒𝒍

∙ 𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱

𝒇

= 𝟑𝟕𝒒𝒍

𝟑𝟖𝟒𝑬𝑱

𝒇

= 𝟓𝒒𝒍

𝟑𝟖𝟒𝑬𝑱

𝒇

= 𝑷𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱

𝒇

= 𝟑𝑴𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱

© T. Machniewicz

9.4. Wyznaczanie odkształceń belek - przykłady Przykład 9.2

Dane: EJ, q, l Szukane: f

, 

, 

Korzystając z gotowych wzorów na wartości ugięć i kątów obrotu belek obciążonych poszczególnymi rodzajami obciążeń, obliczyć zgodnie z zasadą superpozycji ugięcie środka (y

) oraz kąty obrotu w przekrojach podporowych (

, 

) belki jak na rysunku.

A B

y

z

𝑹

𝑹

𝑷 = 𝒒𝒍

l/2 l/2

𝒒

𝜶

= 𝑴𝒍 𝟔𝑬𝑱

𝜶

= 𝜶

+ 𝜶

+ 𝜶

𝜶

= 𝒒𝒍

𝟐𝟒𝑬𝑱 + 𝒒𝒍 ∙ 𝒍

𝟏𝟔𝑬𝑱 + 𝒒𝒍

∙ 𝒍 𝟑𝑬𝑱

𝜶

= 𝟐𝟏𝒒𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱

𝒇

= 𝟓𝒒𝒍

𝟑𝟖𝟒𝑬𝑱

𝒇

= 𝑷𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱

𝒇

= 𝟑𝑴𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱 𝜶

= 𝒒𝒍

𝟐𝟒𝑬𝑱

𝜶

= 𝑷𝒍

𝟏𝟔𝑬𝑱

𝜶

= 𝑴𝒍

© T. Machniewicz 𝟑𝑬𝑱

9.4. Wyznaczanie odkształceń belek - przykłady Przykład 9.2

Dane: EJ, q, l Szukane: f

, 

, 

Korzystając z gotowych wzorów na wartości ugięć i kątów obrotu belek obciążonych poszczególnymi rodzajami obciążeń, obliczyć zgodnie z zasadą superpozycji ugięcie środka (y

) oraz kąty obrotu w przekrojach podporowych (

, 

) belki jak na rysunku.

A B

y

z

𝑹

𝑹

𝑷 = 𝒒𝒍

l/2 l/2

𝒒

𝒇

= 𝑷𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱 𝜶

= 𝑴𝒍

𝟑𝑬𝑱

𝒇

= 𝟑𝑴𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱

𝜶

= 𝜶

+ 𝜶

+ 𝜶

𝜶

= 𝒒𝒍

𝟐𝟒𝑬𝑱 + 𝒒𝒍 ∙ 𝒍

𝟏𝟔𝑬𝑱 + 𝒒𝒍

∙ 𝒍 𝟔𝑬𝑱

𝜶

= 𝟏𝟑𝒒𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱

𝒇

= 𝟓𝒒𝒍

𝟑𝟖𝟒𝑬𝑱 𝜶

= 𝒒𝒍

𝟐𝟒𝑬𝑱

𝜶

= 𝑷𝒍

𝟏𝟔𝑬𝑱

𝜶

= 𝑴𝒍

© T. Machniewicz 𝟔𝑬𝑱

9.4. Wyznaczanie odkształceń belek - przykłady Przykład 9.3

Dane: EJ, q, l Szukane: f

, 

, 

Napisać równanie różniczkowe linii ugięcia belki jak na rysunku, obliczyć ugięcie jej środka (y

) oraz kąty obrotu w przekrojach podporowych (

, 

).

A B

𝑷 = 𝒒𝒍

𝒒

l/2 l/2

y

z

𝑹

𝑹

𝑴

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎 −𝒒𝒍

+ 𝒒𝒍

𝟐 + 𝒒𝒍

𝟐 − 𝑹

𝒍 = 𝟎 𝑹

= 𝟎

𝟎 ≤ 𝒛

≤ 𝒍/𝟐 𝑴

= −𝒒 𝒛

𝟐 + 𝒒𝒍

𝑬𝑱𝒚

= −𝑴

= 𝒒 𝒛

𝟐 − 𝒒𝒍

𝑬𝑱𝒚

= 𝒒

𝟔 𝒛

− 𝒒𝒍

𝒛

+ 𝑪

𝑬𝑱𝒚 = 𝒒

𝟐𝟒 𝒛

− 𝒒𝒍

𝟐 𝒛

+ 𝑪

𝒛

+ 𝑫

𝑴 𝟎 ≤ 𝒛

≤ 𝒍/𝟐

z

z

𝑴

= −𝒒 𝒛

𝟐 + 𝟐𝒒𝒍 ∙ 𝒛

𝑬𝑱𝒚

= −𝑴

= 𝒒 𝒛

𝟐 − 𝟐𝒒𝒍𝒛

𝑬𝑱𝒚

= 𝒒

𝟔 𝒛

− 𝒒𝒍𝒛

+ 𝑪

𝑬𝑱𝒚 = 𝒒

𝟐𝟒 𝒛

− 𝒒𝒍

𝟑 𝒛

+ 𝑪

𝒛

+ 𝑫

𝑹

𝑭

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎 𝑹

− 𝒒𝒍 − 𝒒𝒍 + 𝑹

= 𝟎

𝑹

= 𝟐𝒒𝒍

= 𝟎

© T. Machniewicz

9.4. Wyznaczanie odkształceń belek - przykłady

Przykład 9.3 Dane: EJ, q, l

Szukane: f

, 

, 

A B

𝑷 = 𝒒𝒍

𝒒

l/2 l/2

y

z

𝑹

𝑹

𝟎 ≤ 𝒛

≤ 𝒍/𝟐 𝑬𝑱𝒚

= 𝒒

𝟔 𝒛

− 𝒒𝒍

𝒛

+ 𝑪

𝑬𝑱𝒚 = 𝒒

𝟐𝟒 𝒛

− 𝒒𝒍

𝟐 𝒛

+ 𝑪

𝒛

+ 𝑫

𝟎 ≤ 𝒛

≤ 𝒍/𝟐

z

z

𝑬𝑱𝒚

= 𝒒

𝟔 𝒛

− 𝒒𝒍𝒛

+ 𝑪

𝑬𝑱𝒚 = 𝒒

𝟐𝟒 𝒛

− 𝒒𝒍

𝟑 𝒛

+ 𝑪

𝒛

+ 𝑫

warunki brzegowe:

𝒚(𝒛

= 𝟎) = 𝟎 𝑫

=0

1 2 𝒚(𝒛

= 𝟎) = 𝟎 𝑫

=0

warunek ciągłości odkształceń na granicy sąsiednich przedziałów:

𝒚

𝒛

= 𝒍/𝟐 = −𝒚′(𝒛

= 𝒍/𝟐) 3

𝒒 𝟔

𝒍 𝟐

𝟑

− 𝒒𝒍

𝒍

𝟐 + 𝑪

= − 𝒒 𝟔

𝒍 𝟐

𝟑

+ 𝒒𝒍 𝒍 𝟐

𝟐

− 𝑪

y

z

y z

𝒒

𝟒𝟖 𝒍

− 𝒒

𝟐 𝒍

+ 𝑪

= − 𝒒

𝟒𝟖 𝒍

+ 𝒒

𝟒 𝒍

− 𝑪

𝑪

+ 𝑪

= 𝟑𝟒 𝟒𝟖 𝒒𝒍

= 𝟎

(ten sam kąt ma przeciwną wartość w obu układach współrzędnych)

© T. Machniewicz

9.4. Wyznaczanie odkształceń belek - przykłady

Przykład 9.3 Dane: EJ, q, l

Szukane: f

, 

, 

A B

𝑷 = 𝒒𝒍

𝒒

l/2 l/2

y

z

𝑹

𝑹

𝟎 ≤ 𝒛

≤ 𝒍/𝟐 𝑬𝑱𝒚

= 𝒒

𝟔 𝒛

− 𝒒𝒍

𝒛

+ 𝑪

𝑬𝑱𝒚 = 𝒒

𝟐𝟒 𝒛

− 𝒒𝒍

𝟐 𝒛

+ 𝑪

𝒛

+ 𝑫

𝟎 ≤ 𝒛

≤ 𝒍/𝟐

z

z

𝑬𝑱𝒚

= 𝒒

𝟔 𝒛

− 𝒒𝒍𝒛

+ 𝑪

𝑬𝑱𝒚 = 𝒒

𝟐𝟒 𝒛

− 𝒒𝒍

𝟑 𝒛

+ 𝑪

𝒛

+ 𝑫

warunki brzegowe:

𝒚(𝒛

= 𝟎) = 𝟎 𝑫

=0

1 2 𝒚(𝒛

= 𝟎) = 𝟎 𝑫

=0

𝒚 𝒛

= 𝒍/𝟐 = 𝒚(𝒛

= 𝒍/𝟐) 4

warunek ciągłości odkształceń na granicy sąsiednich przedziałów:

𝒚

𝒛

= 𝒍/𝟐 = −𝒚′(𝒛

= 𝒍/𝟐)

3 𝑪

+ 𝑪

= 𝟑𝟒

𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝒒

𝟐𝟒 𝒍 𝟐

𝟒

− 𝒒𝒍

𝟐

𝒍 𝟐

𝟐

+ 𝑪

𝒍

𝟐 = 𝒒 𝟐𝟒

𝒍 𝟐

𝟒

− 𝒒𝒍 𝟑

𝒍 𝟐

𝟑

+ 𝑪

𝒍 𝟐 𝒒

𝟏𝟗𝟐 𝒍

− 𝒒

𝟒 𝒍

+ 𝑪

= 𝒒

𝟏𝟗𝟐 𝒍

− 𝒒

𝟏𝟐 𝒍

+ 𝑪

𝑪

= 𝑪

+ 𝟏 𝟔 𝒒𝒍

= 𝟎

© T. Machniewicz

9.4. Wyznaczanie odkształceń belek - przykłady

Przykład 9.3 Dane: EJ, q, l

Szukane: f

, 

, 

A B

𝑷 = 𝒒𝒍

𝒒

l/2 l/2

y

z

𝑹

𝑹

𝟎 ≤ 𝒛

≤ 𝒍/𝟐 𝑬𝑱𝒚

= 𝒒

𝟔 𝒛

− 𝒒𝒍

𝒛

+ 𝑪

𝑬𝑱𝒚 = 𝒒

𝟐𝟒 𝒛

− 𝒒𝒍

𝟐 𝒛

+ 𝑪

𝒛

+ 𝑫

𝟎 ≤ 𝒛

≤ 𝒍/𝟐

z

z

𝑬𝑱𝒚

= 𝒒

𝟔 𝒛

− 𝒒𝒍𝒛

+ 𝑪

𝑬𝑱𝒚 = 𝒒

𝟐𝟒 𝒛

− 𝒒𝒍

𝟑 𝒛

+ 𝑪

𝒛

+ 𝑫

warunki brzegowe: 𝑫

=0 𝑫

=0

warunek ciągłości odkształceń na granicy sąsiednich przedziałów:

= 𝟎

𝑪

+ 𝑪

= 𝟑𝟒 𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝑪

= 𝑪

+ 𝟏

𝟔 𝒒𝒍

𝑪

+ 𝟏

𝟔 𝒒𝒍

+ 𝑪

= 𝟑𝟒

𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝑪

= 𝟏𝟑

𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝑪

= 𝟐𝟏 𝟒𝟖 𝒒𝒍

Ostateczna postać równań kątów obrotu i ugięć:

𝒚′(𝒛

) = 𝟏 𝑬𝑱

𝒒

𝟔 𝒛

− 𝒒𝒍

𝒛

+ 𝟐𝟏 𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝒚(𝒛

) = 𝟏

𝑬𝑱 𝒒

𝟐𝟒 𝒛

− 𝒒𝒍

𝟐 𝒛

+ 𝟐𝟏

𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝒛

𝒚′(𝒛

) = 𝟏 𝑬𝑱

𝒒

𝟔 𝒛

− 𝒒𝒍𝒛

+ 𝟏𝟑 𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝒚(𝒛

) = 𝟏

𝑬𝑱 𝒒

𝟐𝟒 𝒛

− 𝒒𝒍

𝟑 𝒛

+ 𝟏𝟑

𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝒛

© T. Machniewicz

9.4. Wyznaczanie odkształceń belek - przykłady

Przykład 9.3 Dane: EJ, q, l

Szukane: f

, 

, 

A B

𝑷 = 𝒒𝒍

𝒒

l/2 l/2

y

z

𝑹

𝑹

𝟎 ≤ 𝒛

≤ 𝒍/𝟐 ^z

^z

= 𝟎

𝒚′(𝒛

) = 𝟏 𝑬𝑱

𝒒

𝟔 𝒛

− 𝒒𝒍

𝒛

+ 𝟐𝟏 𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝒚(𝒛

) = 𝟏

𝑬𝑱 𝒒

𝟐𝟒 𝒛

− 𝒒𝒍

𝟐 𝒛

+ 𝟐𝟏

𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝒛

𝒚′(𝒛

) = 𝟏 𝑬𝑱

𝒒

𝟔 𝒛

− 𝒒𝒍𝒛

+ 𝟏𝟑 𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝒚(𝒛

) = 𝟏

𝑬𝑱 𝒒

𝟐𝟒 𝒛

− 𝒒𝒍

𝟑 𝒛

+ 𝟏𝟑

𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝒛

𝟎 ≤ 𝒛

≤ 𝒍/𝟐

𝜶

= 𝒚′ 𝒛

= 𝟎 = 𝟐𝟏𝒒𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱 𝜶

= 𝒚′(𝒛

= 𝟎) = 𝟏𝟑𝒒𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱 𝒇

= 𝒚(𝒛

= 𝒍/𝟐) = 𝟏

𝑬𝑱 𝒒 𝟐𝟒

𝒍 𝟐

𝟒

− 𝒒𝒍

𝟐

𝒍 𝟐

𝟐

+ 𝟐𝟏

𝟒𝟖 𝒒𝒍

𝒍

𝟐 = 𝟑𝟕𝒒𝒍

𝟑𝟖𝟒𝑬𝑱

co odpowiada wynikom otrzymanym w przykładzie 9.2:

𝜶

= 𝟏𝟑𝒒𝒍

𝒇

= 𝟑𝟕𝒒𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱

𝟑𝟖𝟒𝑬𝑱 𝜶

= 𝟐𝟏𝒒𝒍

𝟒𝟖𝑬𝑱

© T. Machniewicz

9.5. Belki statycznie niewyznaczalne - wyznaczanie reakcji

Przykład 9.4

A Dane: EJ, q, l Szukane: R

, R

, M

, M

, T

B

l

𝑴

𝑹

Wyznaczyć reakcje i siły wewnętrzne dla belki jak na rysunku:

y z

𝒒 ^𝑹

B y z

𝒒

A

𝑹

𝑴

B

z A y

𝑹

𝑴

𝑹

f

f

𝑴

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎 𝑴

− 𝒒𝒍

𝟐 + 𝑹

𝒍 = 𝟎 𝑭

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎 𝑹

− 𝒒𝒍 + 𝑹

= 𝟎

(1) (2) 𝒇

+ 𝒇

= 𝟎 (3) 1) Ugięcie belki pozbawionej podpory B:

𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒍 𝑬𝑱𝒚

= −𝑴

= 𝒒 𝒛

𝟐 𝑬𝑱𝒚

= 𝒒𝒛

𝟔 + 𝑪

𝑬𝑱𝒚 = 𝒒𝒛

𝟐𝟒 + 𝑪

𝒛 + 𝑫

Warunki brzegowe: 𝜶

= 𝟎 𝒚

= 𝟎 𝒒𝒍

𝟔 + 𝑪

= 𝟎 𝑪

= − 𝒒𝒍

𝟔

𝒚

= 𝟎 𝒚

= 𝟎 𝒒𝒍

𝟐𝟒 − 𝒒𝒍

𝟔 𝒍 + 𝑫

= 𝟎 𝑫

= 𝒒𝒍

𝟖 𝒇

= 𝒚

= 𝑫

𝑬𝑱 𝒇

= 𝒒𝒍

𝟖𝑬𝑱

© T. Machniewicz

9.5. Belki statycznie niewyznaczalne - wyznaczanie reakcji

Przykład 9.4

A Dane: EJ, q, l Szukane: R

, R

, M

, M

, T

B

l

𝑴

𝑹

Wyznaczyć reakcje i siły wewnętrzne dla belki jak na rysunku:

y z

𝒒 ^𝑹

B y z

𝒒

A

𝑹

𝑴

B

z A y

𝑹

𝑴

𝑹

f

f

2) Ugięcie belki pod wpływem siły R

:

𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒍 𝑬𝑱𝒚

= −𝑴

= −𝑹

𝒛 𝑬𝑱𝒚

= − 𝑹

𝟐 𝒛

+ 𝑪

𝑬𝑱𝒚 = − 𝑹

𝟔 𝒛

+ 𝑪

𝒛 + 𝑫

Warunki brzegowe:

𝒚

= 𝟎 − 𝑹

𝟐 𝒍

+ 𝑪

= 𝟎 𝑪

= 𝑹

𝟐 𝒍

𝒚

= 𝟎 − 𝑹

𝟔 𝒍

+ 𝑹

𝟐 𝒍

+ 𝑫

= 𝟎 𝑫

= − 𝑹

𝒍

𝟑 𝒇

= 𝒚

= 𝑫

𝑬𝑱 𝒇

= 𝒒𝒍

𝟖𝑬𝑱

𝒇

+ 𝒇

= 𝟎 (3)

𝒇

= − 𝑹

𝒍

𝟑𝑬𝑱 3) Obliczanie siły R

:

𝒇

+ 𝒇

= 𝟎 𝒒𝒍

𝟖𝑬𝑱 − 𝑹

𝒍

𝟑𝑬𝑱 = 𝟎 𝒇

𝒇

𝑹

= 𝟑 𝟖 𝒒𝒍

© T. Machniewicz

9.5. Belki statycznie niewyznaczalne - wyznaczanie reakcji

Przykład 9.4

A

Dane: EJ, q, l Szukane: R

, R

, M

, M

, T

B l

𝑴

𝑹

y z

𝒒 ^𝑹

B y z

𝒒

A

𝑹

𝑴

B

z A y

𝑹

𝑴

𝑹

f

f

4) Obliczanie pozostałych reakcji:

𝑹

= 𝟑 𝟖 𝒒𝒍 𝑴

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎 𝑴

− 𝒒𝒍

𝟐 + 𝑹

𝒍 = 𝟎 𝑭

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎 𝑹

− 𝒒𝒍 + 𝑹

= 𝟎

(1) (2)

𝑴

= 𝒒𝒍

𝟐 − 𝑹

𝒍

(1) 𝑴

= 𝟏

𝟖 𝒒𝒍

(2) 𝑹

= 𝒒𝒍 − 𝑹

𝑹

= 𝟓

𝟖 𝒒𝒍 5) Równania sił wewnętrznych:

𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒍

𝑴

(𝒛) = 𝟑

𝟖 𝒒𝒍𝒛 − 𝒒 𝒛

𝟐

𝑻(𝒛) = −𝑹

+ 𝒒𝒛 T

z − 𝟑𝒒𝒍

𝟖

𝑻 𝒛

= − 𝟑

𝟖 𝒒𝒍 + 𝒒𝒛

= 𝟎 𝒛

= 𝟑 𝟖 𝒍

𝑴

(𝒛

) = 𝟗

𝟏𝟐𝟖 𝒒𝒍

𝑴

(𝟎) = 𝟎

𝑴

𝒛 = 𝒍 = − 𝟏 𝟖 𝒒𝒍

z

𝟓𝒒𝒍 𝟖

M

z

𝟗

𝟏𝟐𝟖 𝒒𝒍

− 𝟏

𝟖 𝒒𝒍

© T. Machniewicz