4.1.1 Widmo atomu wodoru

Rozdział 4

Mechanika kwantowa I

4.1 Teoria Bohra

4.1.1 Widmo atomu wodoru

Na przełomie XIX i XX wieku stwierdzono, że wiele zjawisk z zakresu fi- zyki atomowej wskazuje, że energia mikroskopowych układów fizycznych, np. atomów i cząsteczek, jest skwantowana. Oznacza to, że ich energia może przybierać tylko ściśle określone, nieciągłe wartości. Jednym z takich zjawisk jest emisja i absorbcja promieniowania elektromagnetycznego przez atomy i cząsteczki.

Prowadzone w tym okresie przez wielu fizyków, m.in. przez E. Rutherfor- da, badania doprowadziły do ustalenia budowy atomów i cząsteczek. Każdy niezjonizowany atom składa się z bardzo małego jądra o rozmiarach rzę- du 10 ⁻¹⁵ m, mającego ładunek +Ze, gdzie e jest ładunkiem elementarnym.

Wokół jądra atomu, w obszarze o rozmiarach rzędu 10 ⁻¹⁰ m, porusza się Z elektronów, każdy o ładunku −e, tworząc obojętny elektrycznie atom (rys.

4.1). Masa jądra atomowego jest znacznie większa, w przypadku atomu wo- doru ok. 2000 razy, od masy elektronu i praktycznie cała masa atomu jest skupiona w jego jądrze. Liczba Z, nazywana liczbą atomową, jest równa liczbie porządkowej pierwiastka w układzie okresowym Mendelejewa. Naj- prostszą budowę posiada atom wodoru o liczbie atomowej Z = 1. Składa się on z jądra zwanego protonem o ładunku +e, dookoła którego porusza się pojedynczy elektron.

Widma promieniowania pierwiastków w postaci gazów i par, pobudzo- nych do świecenia np. za pomocą wyładowania elektrycznego, są złożone z jasnych, ostrych linii, odpowiadających ściśle określonym długościom fal.

Jest to tzw. widmo emisyjne. Jeżeli światło o widmie ciągłym, np. światło

77

+ Z e

~10 m ^-15 - e

- e

- e

~10 m ^-10

Rysunek 4.1:

a l

H H d H g H b H

Rysunek 4.2:

żarówki, przechodzi przez gaz lub parę, na tle ciągłego widma widoczne są ciemne linie zwane widmem absorpcyjnym. Długości fal widma emisyjnego i widma absorpcyjnego danego pierwiastka są identyczne.

Ze względu na prostą budowę atomu wodoru jego widmo posiada naj- prostszą strukturę. Linie widmowe wodoru układają się w określone serie, z których jedna, zwana serią Balmera (rys. 4.2), leży częściowo w zakre- sie widzialnym. Bezpośrednio widoczne są cztery linie — czerwona (H α ), niebiesko-zielona (H β ), i dwie fioletowe (H γ i H δ ).

Długości fal, odpowiadających wszystkim seriom w widmie wodoru, mo-

gą być opisane empirycznym wzorem, podanym po raz pierwszy w szczegól-

TEORIA BOHRA 79 nym przypadku przez J. Balmera w 1885 r.:

1

λ = R ^ 1 n ² − 1

n ^{0 2}



, n ⁰ > n. (4.1) W przytoczonym wzorze n i n ⁰ są liczbami naturalnymi a R tzw. stałą Ryd- berga o wartości liczbowej

R = 1, 0967758 · 10 ⁷ m ⁻¹ . (4.2) Na przykład podstawiając we wzorze (4.1) n = 2 i n ⁰ = 3 otrzymujemy dłu- gość fali linii H α serii Balmera. Nazwy serii widmowych, odpowiadających kilku wartościom liczby n, podaje tabelka 4.1.

n n ⁰ seria zakres

1 2, 3, 4, . . . Lymana nadfiolet 2 3, 4, 5, . . . Balmera św. widzialne 3 4, 5, 6, . . . Paschena podczerwień 4 5, 6, 7, . . . Bracketta podczerwień . . . . . . . . . . . .

Tabela 4.1:

Strukturę widm podobną do widma atomu wodoru wykazują także tzw.

atomy wodoropodobne. Są to zjonizowane atomy, składające się z jądra o ładunku +Ze i pojedynczego elektronu, np. He ⁺ , Li ⁺⁺ . Uogólniony wzór Balmera ma wtedy postać

1

λ = Z ² R

 1 n ² − 1

n ^{0 2}



, n ⁰ > n . (4.3)

4.1.2 Model Bohra atomów wodoropodobnych

Zaproponowany przez Rutherforda model atomu (rys. 4.1) nie dawał po- prawnego opisu widm atomowych, w szczególności widma atomu wodoru.

Zgodnie z klasyczną elektrodynamiką, elektron poruszający się wokół jądra

z określonym przyspieszeniem dośrodkowym powinien wypromieniowywać

w sposób ciągły falę elektromagnetyczną o częstości równej jego częstości

obiegu, aż do upadku elektronu na jądro. Atomy powinny być zatem nie-

stabilne a ich widmo promieniowania — widmem ciagłym, w sprzeczności z

doświadczeniem.

- e, m v , E

+ Ze, m F r _n

n n

p

Rysunek 4.3:

Pierwszą próbę usunięcia wad modelu Rutherforda i zbudowania kwan- towej teorii atomu wodoru podjął Niels Bohr w 1913 r. Teoria Bohra opierała się na dwóch postulatach, sprzecznych z klasyczną mechaniką i elektrody- namiką:

1. Elektron w atomie może krążyć tylko po takich orbitach kołowych, na których jego moment pędu L n wynosi:

L _n = mv n r _n = nh/2π, n = 1, 2, 3, . . . , (4.4) gdzie m — masa elektronu, r n i v n — promień n-tej dozwolonej or- bity i prędkość elektronu na tej orbicie, h — stała Plancka (rys. 4.3).

Elektron znajdujący się na dozwolonej orbicie nie promieniuje energii.

Liczbę n, numerującą kolejne dozwolone orbity elektronu, nazywamy liczbą kwantową.

2. Przy przejściu elektronu z jednej orbity na inną zostaje wyemitowany lub zaabsorbowany kwant promieniowania — foton o energii:

E _f = E n ⁰ − E n , (4.5)

gdzie E n ⁰ i E n — całkowita energia elektronu na orbitach o liczbach kwantowych n ⁰ i n. Postulat ten wynika z zasady zachowania energii.

Biorąc pod uwagę, że siła F i energia potencjalna U elektrostatycznego oddziaływania elektronu z jądrem atomu wodoru lub atomu wodoropodob- nego wyrażają się wzorami

F = Ze ²

4πε 0 r ² , (4.6)

TEORIA BOHRA 81

U = − Ze ²

4πε 0 r (4.7)

(ε 0 — przenikalność elektryczna próżni, r — promień orbity), z pierwszego postulatu Bohra można obliczyć promienie r n dozwolonych orbit oraz pręd- kości v n i energie E n elektronu na tych orbitach. Ponieważ masa elektronu m jest znacznie mniejsza od masy protonu m p , m  m p , jądro atomu można uważać za nieruchome. Przyrównując siłę (4.6) przyciągania elektrostatycz- nego elektronu przez jądro do siły dośrodkowej,

F = mv ²

r , (4.8)

otrzymujemy równanie

Ze ²

4πε 0 r ² = mv ²

r , (4.9)

czyli

Ze ²

4πε ₀ r = mv ² . (4.10)

Z pierwszego postulatu Bohra wynika zależność v = nh

2πmr . (4.11)

Podstawiając to wyrażenie do wzoru (4.10) znajdujemy:

Ze ²

4πε 0 r = m n ² h ²

4π ² m ² r ² , (4.12)

skąd wynika wzór, określający promienie dozwolonych orbit,

r _n = ε ₀ h ² n ²

πmZe ² . (4.13)

Podstawiając ostatnie wyrażenie do wzoru (4.11) dostajemy z kolei wzór, określający prędkości elektronu na dozwolonych orbitach,

v = nh 2πm ·

πmZe ²

ε ₀ h ² n ² , (4.14)

czyli

v n = Ze ²

2ε ₀ hn . (4.15)

Promień pierwszej orbity elektronu w atomie wodoru (Z = 1) wynosi r ₁ = 5, 3 · 10 ⁻¹¹ m a jego prędkość na tej orbicie v ₁ = 2, 2 · 10 ⁶ m/s.

Całkowita energia E elektronu w atomie jest równa sumie jego energii kinetycznej E k i potencjalnej U,

E = E k + U = mv ² 2 −

Ze ²

4πε ₀ r . (4.16)

Uwzględniając wzór (4.10) dostajemy stąd E = Ze ²

2 · 4πε 0 r − Ze ²

4πε ₀ r = − Ze ²

8πε ₀ r . (4.17)

Znak „-” wskazuje, że elektron jest związany w atomie, tj. że jego oddzielenie od atomu wymaga wykonania określonej pracy. Korzystając ze wzoru (4.13) otrzymujemy wzór, określający dozwolone wartości energii elektronu:

E = − Ze ²

8πε 0 · πmZe ²

ε ₀ h ² n ² , (4.18)

E n = − mZ ² e ⁴

8ε ² ₀ h ² n ² . (4.19)

Liczbowa wartość energii elektronu na pierwszej orbicie w atomie wodoru wynosi E 1 = −13, 6 eV (1 eV= 1, 602·10 ⁻¹⁹ J). Jest ona, co do wartości bez- względnej, równa energii jonizacji atomu wodoru w stanie niewzbudzonym (n = 1), tzn. energii potrzebnej do odłączenia elektronu od atomu.

Na podstawie drugiego postulatu Bohra można teraz, uwzględniając wzór na energię fotonu,

E f = hc

λ , (4.20)

otrzymać wzór, określający długości fal emitowanych lub absorbowanych przy przejściu elektronu między dozwolonymi orbitami. Podstawiając wy- rażenie (4.19), analogiczne wyrażenie dla E n ⁰ i wyrażenie (4.20) do wzoru (4.5) znajdujemy:

1

λ = mZ ² e ⁴ 8ε ² ₀ h ³ c

 1 n ² − 1

n ^{0 2}



. (4.21)

Otrzymany wzór ma postać identyczną ze wzorem Balmera (4.3). Stała Ryd- berga wyraża się więc wzorem:

R = me ⁴

8ε ² ₀ h ³ c . (4.22)

TEORIA BOHRA 83

E 1

E 2

E 3

E 4

E 5

0

1 2 3 4 5 n =

a) b) c) d)

Rysunek 4.4:

Można sprawdzić, że po podstawieniu wartości liczbowych poszczególnych stałych otrzymuje się istotnie poprawną wartość stałej Rydberga.

Dozwolone poziomy energetyczne elektronu w atomie wodoru i schemat przejść elektronowych dla czterech serii w widmie emisyjnym pokazuje ry- sunek 4.4. Litery od a) do d) oznaczają kolejno serię Lymana, Balmera, Paschena i Bracketta (por. z tabelką 4.1). Dla większej przejrzystości na ry- sunku nie zostały zachowane rzeczywiste odległości między poziomami ener- getycznymi. Serie widma absorpcyjnego wodoru odpowiadają analogicznym przejściom w kierunku większych wartości energii.

4.1.3 Widma rentgenowskie

Teoria Bohra pozwala również wyjaśnić widma charakterystycznego promie-

niowania rentgenowskiego (podrozdział 3.2.1). Widma rentgenowskie pier-

wiastków składają się z małej liczby linii, które można pogrupować w serie

oznaczane literami K, L, M, N, . . . . Poszczególne linie serii oznacza się ja-

ko K α , K β , K γ itd. Kolejne serie odpowiadają coraz większym długościom

fal. Ze wzrostem liczby atomowej Z odpowiadające sobie linie widmowe po-

szczególnych pierwiastków przesuwają się w kierunku mniejszych długości fal

(większych częstotliwości). W 1913 r. H. Moseley wykazał doświadczalnie,

0 20 40 60 80 Z L a

K a

n Rc

Rysunek 4.5:

że zachodzi liniowa zależność między √ν, gdzie ν jest częstotliwością okre- ślonej linii widmowej danej serii a liczbą atomową Z pierwiastka. Zależność tę, noszącą nazwę prawa Moseley’a, można zapisać w postaci

r ν

Rc = A(Z − σ) , (4.23)

gdzie R jest stałą Rydberga, c prędkością światła natomiast A i σ stałymi o różnych wartościach dla poszczególnych linii widmowych (rys. 4.5).

W celu interpretacji widm rentgenowskich pierwiastków trzeba przyjąć, że elektrony w atomach wieloelektronowych układają się w grupy o okre- ślonych promieniach orbit i określonych energiach. Grupy te są nazywa- ne powłokami lub warstwami elektronowymi, przy czym w każdej powłoce może znajdować się ograniczona ilość elektronów. Kolejne, coraz bardziej odległe od jądra atomu powłoki elektronowe oznacza się liczbą kwantową n = 1, 2, 3, . . . albo kolejnymi literami K, L, M , N , . . . . W atomach ciężkich pierwiastków wewnętrzne powłoki są całkowicie zapełnione przez elektrony.

Jeżeli na atom pada kwant promieniowania rentgenowskiego o dosta-

tecznej energii, może on wybić elektron np. z położonej najbliżej jądra po-

włoki K. Na jego miejsce przechodzi wtedy elektron z powłoki L, M, N lub

dalszej. Przejścia takie związane są z emisją kwantów promieniowania rent-

WŁASNOŚCI FALOWE CZĄSTEK 85 genowskiego o określonych energiach i pojawieniem się odpowiednio linii widmowych K α , K _β , K γ itd. Podobnie, linie widmowe serii L, M, N po- wstają przy przejściach elektronów na powłokę oznaczoną tą literą z powłok bardziej odległych od jądra.

Dla wyjaśnienia prawa Moseley’a zakłada się, że siłę i energię potencjal- ną oddziaływania elektronu z jądrem w atomach wieloelektronowych można w przybliżeniu opisać wzorami analogicznymi do wzorów (4.6) i (4.7), w któ- rych rzeczywisty ładunek jądra +Ze jest zastąpiony mniejszym ładunkiem + (Z − σ) e. Stałą σ wprowadza się w celu uwzględnienia częściowego prze- słaniania ładunku jądra przez ładunek poruszających się w pobliżu niego elektronów. Wzór Balmera (4.3) przyjmuje wtedy postać

1

λ = (Z − σ) ² R

 1 n ² − 1

n ^{0 2}



, n ⁰ > n. (4.24) Korzystając ze związku λ = c/ν, gdzie c jest prędkością światła, wzór ten można przepisać jako

ν

Rc = (Z − σ) ^{2 } 1 n ² − 1

n ^{0 2}



. (4.25)

Otrzymuje się stąd prawo Moseley’a (4.23), przy czym stała A =

r 1 n ² − 1

n ^{0 2} . (4.26)

Przykładowo, dla linii K α widma rentgenowskiego, odpowiadającej przej- ściu elektronu z powłoki n ⁰ = 2 na powłokę n = 1, stała A = √

3/2. Nato- miast, jak wynika z doświadczenia, dla tej linii stała przesłaniania σ = 1, co oznacza, że ładunek jądra jest przesłaniany przez ładunek pojedynczego elektronu z powłoki K.

4.2 Własności falowe cząstek

4.2.1 Fale de Broglie’a

Teoria Bohra, mimo swoich sukcesów, miała również pewne wady. Opierała się ona na dowolnych założeniach i miała ograniczony zakres stosowalności.

W szczególności nie dawała poprawnego opisu optycznych widm atomów,

zawierających więcej niż jeden elektron. Konsekwentny opis wszystkich zja-

wisk z zakresu fizyki atomowej i fizyki ciała stałego a także większości zja-

wisk fizyki jądrowej daje mechanika kwantowa. Podstawy mechaniki kwan-

towej opracowali w latach 1925-26 niezależnie od siebie W. Heisenberg, E.

a) b)

r.

E, p

r. l

Rysunek 4.6:

Schr¨odinger i P.A.M. Dirac. Istotnym krokiem na drodze do odkrycia me- chaniki kwantowej okazała się hipoteza de Broglie’a.

W r. 1924 Louis de Broglie wysunął przypuszczenie, że dwoistą, korpu- skularno – falową naturę, ma nie tylko promieniowanie elektromagnetyczne, ale również poruszające się cząstki materialne (rys. 4.6). Długość i częstotli- wość fal materii są wg. de Broglie’a, przez analogię do wzorów (3.1) i (3.23) określających pęd i energię fotonów, dane zależnościami:

λ = h

p , (4.27)

ν = E

h , (4.28)

w których h — stała Plancka, p i E — pęd i energia cząstki.

Hipoteza de Broglie’a została potwierdzona w 1927 roku przez C.J. Da- vissona i L.H. Germera, którzy zarejestrowali dyfrakcję fal de Broglie’a elek- tronów na krysztale niklu. Schemat ich doświadczenia pokazuje rysunek 4.7a.

Wiązka elektronów, przyspieszonych napięciem U w dziale elektronowym D, padała na powierzchnię kryształu Ni. Elektrony rozproszone pod określonym kątem α wpadały do puszki Faraday’a P (wydrążonego cylinderka), połą- czonej z elektrometrem El. Rejestrowane przez elektrometr natężenie prądu było więc proporcjonalne do liczby zbieranych elektronów. Zmieniając poło- żenie puszki Faraday’a można było mierzyć liczbę rozproszonych elektronów w funkcji kąta α.

Dla określonych wartości napięcia U przyspieszającego elektrony Davis-

son i Germer zaobserwowali w pewnych kierunkach wyraźne maksima w

WŁASNOŚCI FALOWE CZĄSTEK 87

+

q a q

U D

El

P

Ni -e, m p e

kierunek wi¹zki padaj¹cej 50 ^o

a) b)

Rysunek 4.7:

ilości rozproszonych elektronów. Jak pokazuje rysunek 4.7b, dla wartości U = 54 V maksimum takie występuje dla kąta α = 50 ^◦ . Zamieszczony wykres jest tzw. wykresem biegunowym, gdzie długość odcinka łączącego początek układu współrzędnych i dany punkt krzywej jest proporcjonalna do liczby rozproszonych w tym kierunku elektronów.

Interpretując to zjawisko jako dyfrakcję fal elektronów na sieci krysta- licznej i korzystając ze wzoru Bragga (3.19),

nλ = 2d sin θ, (4.29)

można znaleźć ich długość. Odległość d = 9, 1 · 10 ⁻¹¹ m płaszczyzn ato- mowych kryształu niklu, na których zachodzi w tym przypadku dyfrakcja, była znana wcześniej z badań rentgenograficznych. Związek między kątem rozproszenia α i kątem selektywnego odbicia θ we wzorze Bragga łatwo jest znaleźć z rysunku 4.7a. Widać, że 2θ + α = 180 ^◦ , skąd θ = 90 ^◦ − α/2, czyli, dla wartości α = 50 ^◦ , θ = 65 ^◦ . Ponieważ pojawia się tylko jedno maksimum dyfrakcyjne, należy w podanym wzorze przyjąć n = 1. Zmierzona długość fali de Broglie’a wynosi zatem

λ = 2 · 9, 1 · 10 ⁻¹¹ m · sin 65 ^◦ ,

λ = 1, 65 · 10 ⁻¹⁰ m. (4.30) Z drugiej strony, znając wartość napięcia przyspieszającego elektrony, można obliczyć długość związanych z nimi fal de Broglie’a. Ponieważ energia kinetyczna elektronu wyraża się wzorami:

E _e = p ²

2m , (4.31)

E e = eU (4.32)

(m i e — masa i ładunek elektronu), pęd elektronu określa równanie p ²

2m = eU, (4.33)

z którego

p = √

2meU . (4.34)

Korzystając ze wzoru de Broglie’a (4.27) dostajemy następujący wzór na długość fali elektronu

λ = h

√ 2meU . (4.35)

Dla wartości U = 54 V otrzymujemy (ładunek elektronu e = 1, 602 · 10 ⁻¹⁹ C, masa elektronu m = 9, 11 · 10 ⁻³¹ kg):

λ = 6, 62 · 10 ⁻³⁴ J · s

p 2 · 9, 11 · 10 ⁻³¹ kg · 1, 602 · 10 ⁻¹⁹ C · 54 V ,

λ = 1, 66 · 10 ⁻¹⁰ m. (4.36) Z porównania wyników (4.30) i (4.36) widać, że zachodzi dobra zgodność rezultatów doświadczalnych z przewidywaniami de Broglie’a.

W roku 1928 G.P. Thomson przeprowadził doświadczenia nad dyfrak-

cją wiązki elektronów przechodzących przez cienką, polikrystaliczną folię

ze złota. Zarejestrowany na kliszy fotograficznej obraz miał postać koncen-

trycznych okręgów, podobnie jak w przypadku dyfrakcji promieni X na po-

likrystalicznych próbkach (por. rys. 3.9c). I. Estermann i O. Stern w 1930

r. stwierdzili doświadczalnie dyfrakcję cząsteczek wodoru i atomów helu na

kryształach LiF i NaCl. W r. 1956 J. Faget i C. Fert zaobserwowali dyfrak-

cję fal de Broglie’a elektronów przechodzących przez bardzo małe otworki

i szczeliny. We wszystkich doświadczeniach zmierzona długość fal zgadzała

się z teorią de Broglie’a. Współcześnie do badania struktury ciał stałych

WŁASNOŚCI FALOWE CZĄSTEK 89 szeroko stosuje się, oprócz dyfrakcji promieni X, również dyfrakcję fal de Broglie’a neutronów i elektronów.

Omówione doświadczenia wskazują, że wszystkie poruszające się cząstki materialne wykazują własności falowe. Powstaje pytanie, dlaczego nie ob- serwuje się własności falowych ciał makroskopowych, np. lecącego pocisku.

Odpowiedź wynika ze wzoru de Broglie’a. Długość tych fal jest tak mała, że nie mogą być one wykryte w żadnym doświadczeniu dyfrakcyjnym. Np. dla pocisku o masie m = 10 ⁻² kg i prędkości v = 10 ² m/s otrzymujemy:

λ = h

mv , (4.37)

λ = 6, 62 · 10 ⁻³⁴ J · s

10 ⁻² kg · 10 ² m/s = 6, 62 · 10 ⁻³⁴ m.

Obliczona długość fali de Broglie’a jest niezmiernie mała w porównaniu z odległościami spotykanymi w codziennym życiu.

Należy jeszcze rozpatrzyć fizyczną naturę fal de Broglie’a. Fale te nie są falami elektromagnetycznymi ani żadnymi innymi falami, znanymi w fi- zyce klasycznej. Ich fizyczny sens polega na tym, że prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w danym, niewielkim obszarze przestrzeni jest pro- porcjonalne do kwadratu amplitudy fali de Broglie’a w tym obszarze. Np.

w omówionych doświadczeniach nad dyfrakcją cząstek kierunki, w których jest rozproszonych najwięcej cząstek są kierunkami, w których kwadrat am- plitudy fali de Broglie’a ma największą wartość. Zachodzi tu analogia do omówionej w podrozdziale 3.1.2 zależności między liczbą fotonów, znajdu- jących się w niewielkim obszarze przestrzeni a natężeniem promieniowania, proporcjonalnym do kwadratu amplitudy fali elektromagnetycznej. Ponie- waż fale de Broglie’a określają prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w danym obszarze przestrzeni, nazywa się je niekiedy „falami prawdopodo- bieństwa”.

4.2.2 Zasada nieoznaczoności Heisenberga

W mechanice klasycznej zarówno położenie jak i prędkość lub pęd cząstki mogą być określone, przynajmniej teoretycznie, z dowolnie dużą dokładno- ścią. W istocie, pod pojęciem cząstki rozumiemy obiekt, zlokalizowany w określonym, niewielkim obszarze przestrzeni i posiadający określoną pręd- kość lub pęd.

W r. 1926 W. Heisenberg opierając się na formaliźmie mechaniki kwan-

towej wykazał, że istnieje ograniczenie dokładności, z jaką można określić

jednocześnie położenie i pęd cząstki materialnej, wynikające z jej falowej

x

x b)

c) x a)

Dx Dx 0

0

0

v v v

Rysunek 4.8:

natury. Matematyczne sformułowanie tego ograniczenia dają wyprowadzone przez Heisenberga nierówności, zwane zasadą nieoznaczoności. Przytoczymy teraz uproszczone rozważania, prowadzące do tej zasady.

Przypomnimy najpierw niektóre wielkości opisujące fale. Do scharakte- ryzowania płaskiej fali monochromatycznej (rys. 4.8a) wystarcza określić jej liczbę falową k, częstotliwość kołową ω oraz amplitudę i kierunek ruchu.

Wielkości te są związane z długością λ i częstotliwością ν fali wzorami:

k = 2π

λ , (4.38)

ω = 2πν. (4.39)

W przypadku, gdy czas emisji fali przez źródło ma skończoną wartość ∆t,

w przestrzeni rozchodzi się ciąg falowy o długości ∆x (rys. 4.8b, c). Jak

stwierdzono w podrozdziale 2.1.2, ciąg falowy składa się z monochroma-

tycznych fal o wektorach falowych i częstotliwościach kołowych zawartych w

WŁASNOŚCI FALOWE CZĄSTEK 91 określonych przedziałach, ∆k i ∆ω. Zachodzą przy tym nierówności

∆x · ∆k ­ 1, (4.40)

∆ω · ∆t ­ 1. (4.41)

Wynika z nich, że stopień monochromatyczności ciągu falowego jest tym większy, im większe są wartości ∆x i ∆t.

Powyższe zależności są słuszne dla wszystkich rodzajów fal. Zastosujemy je teraz do fali de Broglie’a cząstki o pędzie p x = p i energii E, poruszającej się wzdłuż osi x. Ze wzorów de Broglie’a (4.27) - (4.28) i wzorów (4.38) - (4.39) wynika, że liczbę falową i częstotliwość kołową monochromatycznej fali de Broglie’a można wyrazić wzorami

k = 2πp

h , (4.42)

ω = 2πE

h . (4.43)

Wzory te zapisuje się zwykle w postaci k = p

, (4.44)

ω = E

, (4.45)

gdzie stała = h/2π ma wartość = 1, 0545 · 10 ⁻³⁴ J·s.

Będziemy dalej nazywać niedokładność określenia współrzędnej i pę- du cząstki nieoznaczonością jej położenia i pędu. Przyjmijmy najpierw, że cząstkę opisuje monochromatyczna fala de Broglie’a (rys. 4.8a). Ze wzoru (4.44) widać, że pęd cząstki jest wtedy ściśle określony i jego nieoznaczoność

∆p = 0. Ponieważ amplituda fali de Broglie’a jest w każdym punkcie osi x jednakowa, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w dowolnym punkcie osi x jest, zgodnie z fizycznym znaczeniem fali de Broglie’a, takie samo.

Zatem dla monochromatycznej fali de Broglie’a nieoznaczoność położenia cząstki ∆x = ∞.

Załóżmy teraz, że poruszającą się cząstkę reprezentuje ciąg falowy, na- zywany w mechanice kwantowej pakietem lub paczkę falową (rys. 4.8b, c).

W tym przypadku nieoznaczoność położenia cząstki ma skończoną wartość

równą długości pakietu ∆x. Jednak pakiet falowy składa się z fal monochro-

matycznych o różnych wektorach falowych, leżących w przedziale ∆k. Ze

wzoru (4.44) wynika, że nieoznaczoność pędu cząstki ma obecnie skończoną wartość, związaną z ∆k wzorem

∆k = ∆p

. (4.46)

Podstawiając to wyrażenie do wzoru (4.40) otrzymujemy związek między nieoznaczonością położenia ∆x i pędu ∆p cząstki:

∆x · ∆p ­ . (4.47)

Widać, że gdy nieoznaczoność ∆x współrzędnej cząstki maleje, nieoznaczo- ność ∆p jej pędu rośnie i na odwrót. Nie można więc jednocześnie określić położenia i pędu cząstki z dowolną dokładnością.

W podobny sposób można wykazać, że dla ruchu cząstki w dowolnym kierunku nieoznaczoności wszystkich jej współrzędnych i składowych pędu spełniają zależności:

∆x · ∆p x ­ , (4.48)

∆y · ∆p y ­ , (4.49)

∆z · ∆p z ­ . (4.50)

Wzory te przedstawiają zasadę nieoznaczoności Heisenberga: iloczyn nie- oznaczoności współrzędnej cząstki i nieoznaczoności odpowiedniej składowej pędu cząstki nie może być mniejszy niż wartość stałej Plancka, podzielonej przez 2π.

Zasady nieoznaczoności nie należy interpretować w ten sposób, że mikro- skopowe cząstki mają w rzeczywistości ściśle określone wartości położenia i pędu, których jednak z pewnych przyczyn nie można dokładnie wyznaczyć.

Zasada nieoznaczoności wskazuje, że cząstki takie mają specyficzne cechy wynikające z ich falowej natury, nieznane w mechanice klasycznej i pozwala określić granicę jej stosowalności. Jeżeli spełnione są jednocześnie nierówno- ści ∆x  x i ∆p  p (lub ∆v  v), do opisu ruchu cząstki można stosować prawa mechaniki klasycznej. W innych przypadkach należy stosować prawa mechaniki kwantowej.

Rozpatrzymy dwa proste przykłady. Niech pocisk o masie m = 10 ⁻² kg ma prędkość v = 10 ² m/s. Przyjmiemy, że położenie pocisku można wyzna- czyć z dokładnością ∆x = 10 ⁻⁶ m. Ponieważ pęd pocisku p = mv, to nie- oznaczoność pędu ∆p = m∆v, skąd nieoznaczoność prędkości ∆v = ∆p/m.

Z zasady nieoznaczoności (4.47) wynika, że minimalna nieoznaczoność pręd- kości

∆v = m∆x (4.51)

WŁASNOŚCI FALOWE CZĄSTEK 93 i po podstawieniu danych liczbowych

∆v = 1, 05 · 10 ⁻³⁴ J · s

10 ⁻² kg · 10 ⁻⁶ m = 1, 05 · 10 ⁻²⁶ m/s.

Ponieważ ∆v  v, do opisu ruchu pocisku można stosować prawa mecha- niki klasycznej. Ogólnie, w przypadku ruchu ciał makroskopowych zasada nieoznaczoności nie wnosi żadnych istotnych ograniczeń.

Rozważymy teraz ruch elektronu w atomie wodoru, opisywany mode- lem Bohra. Zgodnie z nim średnica pierwszej orbity elektronu wynosi x = 1, 06 · 10 ⁻¹⁰ m a prędkość elektronu na tej orbicie jest równa v = 2, 2 · 10 ⁶ m/s. Przyjmiemy, że nieoznaczoność położenia elektronu jest równa średnicy orbity, ∆x = 1, 06 · 10 ⁻¹⁰ m. Ze wzoru (4.51) otrzymujemy (masa elektronu m = 9, 11 · 10 ⁻³¹ kg):

∆v = 1, 05 · 10 ⁻³⁴ J · s

9, 11 · 10 ⁻³¹ kg · 1, 06 · 10 ⁻¹⁰ m = 1, 09 · 10 ⁶ m/s.

Ponieważ ∆v ≈ v, nie można twierdzić, że elektron w atomie porusza się po określonej orbicie, na której ma określoną prędkość. Model Bohra jest więc sprzeczny z mechaniką kwantową.

Podobna relacja nieoznaczoności dotyczy energii E cząstki i czasu t jej przebywania w danym stanie energetycznym. Zgodnie ze wzorem (4.45), między zakresem ∆ω częstotliwości fal zawartych w pakiecie falowym i nie- oznaczonością ∆E energii cząstki zachodzi związek

∆ω = ∆E

. (4.52)

Podstawiając to wyrażenie do wzoru (4.41) otrzymujemy nierówność

∆E · ∆t ­ , (4.53)

gdzie ∆t jest nieoznaczonością czasu. Wielkości E i t mogą więc być jedno- cześnie wyznaczone tylko z ograniczoną dokładnością.

Zasada nieoznaczoności (4.53) odgrywa istotną rolę w fizyce atomowej i fizyce jądrowej. Wynika z niej m.in., że jeżeli średni czas przebywania cząstki (np. elektronu w atomie) na danym poziomie energii ma skończoną wartość

∆t, to poziom ten ma określoną szerokość, nie mniejszą niż ∆E = /∆t.