Typy zadań egzaminacyjnych – Elektrotechnika i EiT sem.I, studia niestacjonarne I stopnia, 2017/18

Typy zadań egzaminacyjnych – Elektrotechnika i EiT sem.I, studia niestacjonarne I stopnia, 2017/18

1. Obliczyć i wynik zapisać w postaci algebraicznej:

a) √

³

1, b) √

⁴

1, c) √

⁶

1, d) √

³

j, e) √

⁴

−4, f) √

⁶

64, g) √

⁸

16, h) √

⁶

−27, i) p

⁴

8 √

3j − 8, j)

⁴

q

−72(1 − j √ 3).

2. Obliczyć wyznaczniki:

a)        

1 3 4 5 3 0 0 2 5 1 2 7 2 0 0 3

       

, b)

       

0 5 0 2 8 3 4 5 7 2 1 4 0 4 0 1

       

, c)

       

1 2 3 4

−3 2 −5 13

1 −2 10 4

−2 9 −8 25         ,

d)        

1 −1 1 −2

1 3 −1 3

−1 −1 4 3

−3 0 −8 −13

       

, e)

       

1001 1002 1003 1004 1002 1003 1001 1002 1001 1001 1001 999 1001 1000 998 999

       

, f)

       

27 44 40 55

20 64 21 40

13 −20 −13 24 46 45 −55 84         ,

g)        

30 20 15 12 20 15 12 15 15 12 15 20 12 15 20 30        

, h)

          

1 2

1 3

1

2 1

1 3

1 2 1 ¹ ₂

1

2 1 ¹ ₂ ¹ ₃ 1 ¹ ₂ ¹ ₃ ¹ ₂

           .

3. Stosuj ac metod _, e eliminacji Gaussa, rozwi _, azać układ równań: _, a)

 x +2y = 4

5x +10y = 1 , b)

 3x −y = 2

−6x +2y = −4 , c)

 x +y +2z = 1

2x −y +3z = 2 ,

d)

 2x −y +3z = 3

6x −3y +9z = 9 , e)

 x +2y −z = 1

3x +6y −3z = 0 , f)







x +y = 3

−x +2y = 5

2x −y = 1

,

g)







x +2y = 3 4x +5y = 6 7x +8y = 8

, h)



 



 



x +y +z = 1

x +2y +3z = 1 2x +3y +4z = 2

3x +2y +z = 3

, i)



 



 



2x −y = 3

x +y = 4

4x +8y = 11 x +4y = 10

,

j)



 



 



5x −3y −z = 3

2x +y −z = 1

3x −2y +2z = −4 x −y −2z = −2

, k)







x −y +2z −t = 1

2x −3y −z +t = −1

x +7y −t = 4

, l)







x −3y +2z = 7

x −t = 2

−x −3y +2z +2t = 3 4. Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostych spełniaj acych podane warunki: _,

a) prosta przechodzi punkt P (−3, 5, 2) i jest równoległa do wektora ~ v = [2, −1, 3];

b) prosta przechodzi przez punkty P 1 (1, 0, 6), P 2 (−2, 2, 4);

c) prosta przechodzi przez punkt P (0, −2, 3) i jest prostopadła do płaszczyzny π : 3x − y + 2z − 6 = 0;

d) prosta przechodzi przez punkt P (7, 2, 0) i jest prostopadła do wektorów ~ v ₁ = [2, 0, −3] i ~ v ₂ = [−1, 2, 0].

5. Obliczyć granic e ci _, agu o wyrazie ogólnym: _, a) 2n ³ − 4n − 1

6n + 3n ² − n ³ , b) (2n − 1) ³

(4n − 1) ² (1 − 5n) , c) 3 n − 10

√ n , d) (−1) ⁿ

2n − 1 , e) ( √

n + 3) ²

n + 1 , f) 2n + (−1) ⁿ

n , g)

√ 1 + 2n ² − √ 1 + 4n ²

n , h)

√ n ² − 1

√

3

n ³ + 1 , i) √

n + 2 − √

n, j) √

n ² + n − n, k) √

³

n ³ + 4n ² − n, l) 4 ⁿ⁻¹ − 5 2 ²ⁿ − 7 , m) 3 · 2 ²ⁿ⁺² − 10

5 · 4 ⁿ⁻¹ + 3 , n) −8 ⁿ⁻¹

7 ⁿ⁺¹ , o)  3

2

 ⁿ 2 ⁿ⁺¹ − 1

3 ⁿ⁺¹ − 1 , p) √

ⁿ

10 ⁿ + 9 ⁿ + 8 ⁿ ,

r)

ⁿ

√

10 ¹⁰⁰ −

ⁿ

r 1

10 ¹⁰⁰ , s)

ⁿ

s

 2 3

 ⁿ +  3

4

 ⁿ

, t)

 1 + 2

n

 ⁿ

, u)

 1 − 1

n ²

 ⁿ ,

v)  n + 5 n

 ⁿ

, x)

 1 − 4

n

 −n+3

, y)  n ² + 6 n ²

 ⁿ

²

, z)  n ² + 2

2n ² + 1

 ⁿ

²

6. Znaleźć wszystkie asymptoty wykresów podanych funkcji:

a) f (x) = x ²

x − 2 , b) f (x) = x ² − x − 1

2x , c) f (x) = 2x ³ − x ² + 2x + 2 x ² − 1 d) f (x) = x ³

(x + 1) ² , e) f (x) = 1 − x ²

x + 1

7. Obliczyć pochodne nast epuj _, acych funkcji: _, a) 3x ^7/3 − 4x ^13/4 + 4

7 x ^−1/2 + 7 ^3/2 , b) √ x − 5

6

√

5

x ³ − 2 √

x ³ , c) (2

³

√

x ² − x)(4 √

³

x ⁴ + 2

³

√

x ⁵ + x ² ),

d) 5

2x ² − 5x + 1 , e) 2 x + 1

x − 1 , f) x ² − 2x + 3 x ² + 2x − 3 ,

g) 3

(1 − x ² )(1 − 2x ³ ) , h) (3t + 1) ⁷ , i)

 7t ² − 4

t + 6

 6

, j) p

x ² − 4, k) (2x − 1)e ^x

2 √

x , l) 1

√ 6t − t ² ,

m) 1

p(2 − x

3

³ ) ⁴ , n) 1

p(a + bx)

n

^p , o) x ²

√

3

x ³ + 1 , p)

r x ² − 3x + 2

x ² − 7x + 12 , q) sin ² 3t, r) cos t

a , a 6= 0, s) 5

sin ³ 2t , t) sin t + cos t

2 sin 2t , u) x sin x

1 + tg x , v) tg ⁴ √

x, w) 3 ctg x + ctg ³ x, x) x ² e ^2x sin x.

8. Wyznaczyˇ dż˝ przedziaˇ dż˝y monotonicznoˇ dż˝ci oraz ekstrema nastˇ dż˝pujˇ dż˝cych funkcji:

a) f (x) = x ³ + 3x ² + 3x, b) f (x) = x ³ − 3x + 5, c) f (x) = x ² (x − 6), d) f (x) = 3 − 2x ² − x ⁴ , e) f (x) = x ²

1 − x f) f (x) = 4x

x ² + 4 , g) f (x) = x ² 2 + 8

x ² . h) f (x) = x ² e ^−x , i) f (x) = e ^−x + e ^2x , j) f (x) = (x ² + 4x + 4)e ^2x , k) f (x) = x ln x, l) f (x) = x ² ln x, m) f (x) = x ³ ln x.

9. Obliczyć podane całki z funkcji wymiernych:

a)

Z x + 2

x(x − 2) dx, b)

Z 2x + 3

x ² − 5x + 6 dx, c)

Z dx

x ² + 2x + 8 , d)

Z 2 dx

x ² + 6x + 18 , e)

Z (5 − 4x) dx

x ² − 4x + 20 , f)

Z x ² dx

x ² + 2x + 5 , g)

Z x(x + 2) dx

x ² + 2x + 2 , h)

Z dx

x(x ² + 4) , i)

Z dx

(x ² + 1)(x ² + 4) , j)

Z x dx

(x − 1)(x + 2)(x + 3) , k)

Z dx

x ³ − 4x , l)

Z x dx 1 − x ⁴ , m)

Z dx

(x − 2) ² (x + 3) ³ , n)

Z dx

x ⁸ + x ⁶ . 10. Obliczyć pola obszarów ograniczonych liniami:

a) parabol a y = 6x − x _, ² i osi a OX, _, b) parabol a 4y = 8x − x _, ² i prost a 4y = x + 6, _,

c) parabolami y = 4 − x ² , y = x ² − 2x, d) hiperbol a xy = 6 i prost _, a y = 7 − x, _,

e) krzyw a y = x _, ³ i prostymi y = x, y = 2x, f) parabolami y = x ² i y = ¹ ₂ x ² prost a y = 3x. _,