(1)Lista nr 1 Elektrotechnika i EiT, sem.I, studia niestacjonarne I stopnia, 2017/18 Liczby zespolone 1

Lista nr 1 Elektrotechnika i EiT, sem.I, studia niestacjonarne I stopnia, 2017/18

Liczby zespolone

1. Znale´z´c cze´_,s´c rzeczywista i urojon_, a liczb zespolonych:_,

a) (2 + j)(3 − j) + (2 + 3j)(3 + 4j), b) (2 + j)(3 + 7j) − (1 + 2j)(5 + 3j), c) (4 + j)(5 + 3j) − (3 + j)(3 − j), d) (5+j)(7−6j)

3+j , e) (5+j)(3+5j)

2j , f) (1+3j)(8−j)

(2+j)² ,

g) ^(2+j)(4+j)_1+j , h) (3−j)(1−4j)

2−j , i) (2 + j)³+ (2 − j)³,

j) (3 + j)³+ (3 − j)³, k)

−¹₂±

√ 3 2 j³ 2. Znale´z´c takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly r´owno´sci:

a) a(−√

2 + j) + b(3√

2 + 5j) = 8j, b) a(2 + 3j) + b(4 − 5j) = 6 − 2j, c) _2−3j^a +_3+2j^b = 1,

d) _2−j^a +^b+1_1+j = 2, e) (2 + j)a + (1 + 2j)b = 1 − 4j, f) (3 + 2j)a + (1 + 3j)b = 4 − 9j 3. Rozwiaza´_, c uk lady r´owna´n:

a)

 (1 + j)z1+ (1 − j)z2 = 1 + j

(1 − j)z1+ (1 + j)z2 = 1 + 3j , b)

 jz1+ (1 + j)z2 = 2 + 2j 2jz1+ (3 + 2j)z2 = 5 + 3j , c)

 2z1− (2 + j)z2 = −j (4 − 2j)z1− 5z2 = −1 − 2j

4. Przedstawi´c w postaci trygonometrycznej liczby:

a) 5, b) j, c) −2, d) −3j, e) 1 + j,

f) 1 − j, g) 1 + j√

3, h) −1 + j√

3, i) −1 − j√

3, j) 1 − j√ 3, k)√

3 + j, l) −√

3 + j, m) −√

3 − j, n)√

3 − j, o) 1 + j√ 3/3, p) cos α − j sin α, q) sin α + j cos α, r) ^{1+j tg α}_{1−j tg α}.

5. Obliczy´c warto´sci wyra˙ze´n:

a) (1 + j)¹⁰⁰⁰, b) (1 + j√

3)¹⁵⁰, c) (√

3 + j)³⁰, d)_1−j^√₃

1+j

¹²

, e)^√_3+j

1−j

³⁰ , f) 1 + cos^π₃ + j sin^π₃
⁶

.

6. Majac dane z_{, 1}= 2 cos^π₈ + j sin^π₈
, z2= cos^π₅+ j sin^π₅, z₃= 3 cos^3π₁₀ + j sin^3π₁₀
, obliczy´c:

a) z1· z2, b) z1· z2· z3, c) z³₁· z²₂, d) ^z_z²

3, e) ^z_z¹³4 3

, f) ^z1_z^·z3³² 2

7. Obliczy´c i wynik zapisa´c w postaci algebraicznej:

a) √³

1, b) √⁴

1, c) √⁶

1, d) √³

j, e) √⁴

−4, f)√⁶ 64, g) √⁸

16, h) √⁶

−27, i) p⁴ 8√

3j − 8, j) ⁴ q

−72(1 − j√ 3).

8. Znale´z´c wszystkie pierwiastki r´owna´n:

a) x⁴− 1 = 0, b) x⁴− j = 0, c) x⁶+ 64 = 0, d) x⁵− 1024 = 0, e) x⁴+ 4 = 0, f) x⁶− 1 = 0, g) x³+ 8 = 0

9. Rozwiaza´_, c r´ownania:

a) z²+ z + 1 = 0, b) z²+ 4z + 5 = 0, c) z²− 3z + 4 = 0, d) z²+ (1 + 4j)z − (5 + j) = 0, e) z³= −8, f) z⁴− 2z²+ 4 = 0.

10. Zaznaczy´c na p laszczy´znie zbi´or punkt´ow odpowiadajacych liczbom zespolonym z spe lniaj_, acym warunki:_,

a) |z| = 1, b) arg z = π/3, c) |z| 6 2, d) |z − 1 − j| < 1,

e) |z + 3 + 4j| 6 5, f) 2 < |z| < 3, g) 1 6 |z − 2j| < 2, h) | arg z| < π/6, i) | Re z| 6 1, j) −1 < Re jz < 0, k) | Im z| = 1, l) | Re z + Im z| < 1.

11. Stosujac postac wyk ladnicz_, a liczby zespolonej rozwi_, aza´_, c podane r´ownania:

a) z⁷= z, b) (z⁴) = z²|z²|, c) (z)²|z²| = _z⁴2, d) |z|³= jz³, e) z⁶= (z)⁶, f) |z⁸| = z⁴