Lista nr 2 Elektrotechnika i EiT, sem.I, studia niestacjonarne I stopnia, 2017/18
Macierze i wyznaczniki
1. Obliczy´c iloczyny macierzy:
a)
3 −2 5 −4
·
3 4 2 5
, b)
a b c d
·
α β γ δ
,
c)
4 3 7 5
·
−28 93 38 −126
·
7 3 2 1
, d)
1 0 2 3 5 1
·
1 3 7 5 0 2
oraz
1 3 7 5 0 2
·
1 0 2 3 5 1
e)
cos α − sin α sin α cos α
·
cos β − sin β sin β cos β
, f)
3 −4 5
2 −3 1
3 −5 −1
·
3 29 2 18 0 −3
,
g)
1 5 3 2 −3 1
·
2 −3 5
−1 4 −2
3 −1 1
, h)
1 2 1 3 1 3 1 2 1
·
1 3 1 2 1 2 1 3 1
,
i)
1 −1 3
−1 1 −3
2 −2 6
·
1 5 2
0 3 −1 2 1 −1
, j)
1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 3 0 0 3 1
·
1 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 −1
0 0 −1 1
2. Wykona´c podane dzia lania:
a)
3 0 2 0 0 1 2 1 2 3 0 0
·
1 −2 2
2 −1 1
−1 1 −2
2 2 −1
+ 3
−2 0 −3
0 6 −3
5 −2 8
,
b)
3 0 2 0 1 3 2 2 0 0 1 0
·
1 2 −1 2
−2 −1 1 2
2 1 1 2
− 2
0 −4 6 1
2 2 −5 −2
2 −2 6 4
1 3 0 1
3. Obliczy´c wyznaczniki stopnia trzeciego korzystajac: A) ze schematu Sarrusa, B) z rozwini, ecia Laplace’a.,
a)
1 2 3 5 1 4 3 2 5
, b)
−1 5 4
3 −2 0
−1 3 6
, c)
0 2 2 2 0 2 2 2 0
, d)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
,
e)
a b c b c a c a b
, f)
1 + j 1 − 2j 3j 3 −2 + j 1 − j
0 j 3 + 4j
, g)
1 0 1 + j
0 1 j
1 − j −j 1 .
4. Obliczy´c wyznaczniki:
a)
1 3 4 5 3 0 0 2 5 1 2 7 2 0 0 3
, b)
0 5 0 2 8 3 4 5 7 2 1 4 0 4 0 1
, c)
1 2 3 4
−3 2 −5 13
1 −2 10 4
−2 9 −8 25
,
d)
1 −1 1 −2
1 3 −1 3
−1 −1 4 3
−3 0 −8 −13
, e)
1001 1002 1003 1004 1002 1003 1001 1002 1001 1001 1001 999 1001 1000 998 999
, f)
27 44 40 55
20 64 21 40
13 −20 −13 24 46 45 −55 84 ,
g)
30 20 15 12 20 15 12 15 15 12 15 20 12 15 20 30
, h)
1 2
1 3
1
2 1
1 3
1 2 1 12
1
2 1 12 13 1 12 13 12
.
5. Nie obliczajac wyznacznik´, ow znale´z´c rozwiazania podanych r´, owna´n:
a)
1 1 1 1
2 5 − x 2 2
3 3 5 − x 3
4 4 4 5 − x
= 0, b)
1 −2 3 −4
−1 x −3 x
1 −2 x −4
−1 x −x x
= 0
6. Wyznaczy´c macierz odwrotna do danej metod, a: A) wyznacznikow, a, B) bezwyznacznikow, a., a)
3 −5
6 2
, b)
1 0 3 2
, c)
1 2 3 5
, d)
cos α − sin α sin α cos α
,
e)
2 7 3 3 9 4 1 5 3
, f)
−1 4 −3
2 −5 −6 2 −4 −9
, g)
3 3 −1
2 −7 3
−4 −3 1
, h)
3 −1 6
−2 4 5
2 −1 3
,
i)
2 −3 −2
−4 −1 3
2 1 −1
, j)
−2 4 −1
3 −3 2
2 −2 1
7. Korzystajac z metody bezwyznacznikowej wyznaczy´, c macierz odwrotna do podanej:,
a)
1 0 0 1 0 0 2 1 0 1 1 1 2 1 1 2
, b)
1 2 3 4
2 3 1 2
1 1 1 −1
1 0 −2 −6
8. Rozwiaza´, c r´ownania macierzowe, stosujac (o ile to mo˙zliwe) metod, e macierzy odwrotnej:, a) X ·
3 −2 5 −4
=
−1 2
−5 6
, b)
−1 1 3 −4
· X =
−2 −1
3 4
,
c)
3 1 2 1
· X ·
1 3 1 2
=
3 3 2 2
, d) X = XT ·
1 2
−2 −3
,
e) X ·
1 −1 1
0 2 −1
0 0 3
=
0 −1 1
−1 0 1
, f)
1 1 0 0 1 0
·
0 2 1 1 1 0
T
· X =
2 2 1 2
,
g)
0 3 5 −2
+ 4X
−1
=
1 2 3 4
, h) 3X +
1 3
−2 1
=
5 6 7 8
· X 9. Rozwiaza´, c podane r´ownania macierzowe:
a) X +
1 0 0 0 2 0 0 0 3
=12
X −
0 0 2 0 4 0 6 0 0
, b) 2Y ·
3 0 1 0 4 0 1 0 2
=
1 0 1 0 1 0 1 0 1
+ Y ·
2 0 2 0 4 0 2 0 0
10. Rozwiaza´, c uk lady r´owna´n macierzowych:
a)
X + Y =
2 0 0 0 2 0 0 0 2
X − Y =
0 0 2 0 2 0 2 0 0
, b)
X +
1 −1
−1 3
· Y =
1 0 0 1
,
3 1 1 1
· X + Y =
2 1 1 1
