Typy zada´ n egzaminacyjnych – TRiL, studia niestacjonarne, sem. I, 2012/13 UWAGA: Na egzamin nale˙zy przynie´ s´ c:

(1)

Typy zada´ n egzaminacyjnych – TRiL, studia niestacjonarne, sem. I, 2012/13 UWAGA: Na egzamin nale˙zy przynie´ s´ c:

a) indeks - osoby bez indeksu mog a zosta´ _, c niedopuszczone do egzaminu, b) kalkulator (nie mo˙zna korzysta´ c z innych urz adze´ _, n elektronicznych).

Na egzaminie mo˙zna tak˙ze korzysta´ c z pojedy´ nczej kartki formatu A4. Jedn a stron _, e tej kartki mo˙zna wype lni´ _, c odr ecznym pismem zwyk lej wielko´ _, sci - na tej stronie mo˙ze znajdowa´ c si e dowolna tre´ _, s´ c z wyj atkiem rozwi _, azanych _, zada´ n.

1. Obliczy´ c warto´sci wyra˙ze´ n:

a) (1 + j) ¹⁰⁰⁰ , b) (1 + j √

3) ¹⁵⁰ , c) ( √

3 + j) ³⁰ .

2. Wyznaczy´ c wszystkie pierwiastki zespolone liczby z wskazanego stopnia. Wynik zapisa´ c w postaci algebraicznej.

a) z = 8 √

3j − 8, stopie´ n 4 b) z = −72(1 − j √

3), stopie´ n 4 c) z = 8j, stopie´ n 3 d) z = −1, stopie´ n 3.

3. Obliczanie wyznacznik´ ow czwartego stopnia przy zastosowaniu operacji elementarnych.

4. Wyznaczy´ c A ⁻¹ metod a: A) wyznacznikow _, a, B) bezwyznacznikow _, a, je´sli _,

a) A =





1 −2 3

−4 5 6

2 −4 1



, b) A =





−5 −6 −2

−4 2 −3

−1 −3 0



.

5. Stosuj ac wzory Cramera obliczy´ _, c niewiadom a y z podanych uk lad´ _, ow r´ owna´ n

a)



 



 



x + y + 3z + t = 1 4x + 5y + 3z − 4t = 0 7x + 8y + 9z − 2t = 0 x − 2y + t = 0

b)



 



 



2x + 4y − z + t = 0 2x + y + z = 1 x + 6y + z − t = 0 3z + 5t = 0

6. Stosuj ac metod _, e eliminacji Gaussa rozwi _, aza´ _, c podane uk lady r´ owna´ n:

a) 2x +3y = 1

3x +y = 0 , b)







x +y = 1

x +2y −3z = −3

2x +4y +z = 1

, c)







3x +y +z = −1

x +2z = −6

3y +2z = 0 ,

d)







2x +3y +2z = 1 3x +4y +2z = 2 4x +2y +3z = 3

, e)



 



 



x +y +z +t = 1

2x +2y +z +t = 0 3x +2y +3z +2t = 3 6x +4y +3z +2t = 2

.

7. Korzystaj ac z tw. Kroneckera-Capelliego rozwi _, aza´ _, c uk lad r´ owna´ n:

a)

x +2y −z = 1

3x +6y −3z = 0 , b)







x +y = 3

−x +2y = 5

2x −y = 1

, c)







x +2y = 3 4x +5y = 6 7x +8y = 8

8. Zbudowa´ c czworo´scian o wierzcho lkach O(0, 0, 0), A(5, 2, 0), B(2, 5, 0), C(1, 2, 4) i obliczy´ c jego obj eto´s´ _, c, pole ´sciany ABC oraz wysoko´s´ c czworo´scianu opuszczon a na t _, e ´scian _, e. _,

9. Napisa´ c r´ ownanie og´ olne p laszczyzny spe lniaj acej podane warunki: _,

a) p laszczyzna przechodzi przez punkty P ₁ (0, 0, 0), P ₂ (1, 2, 3), P ₃ (−1, −3, 5);

b) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (1, −1, 3) oraz jest r´ ownoleg la do wektor´ ow ~a = [1, 1, 0], ~b = [0, 1, 1];

c) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (2, 1, −3) i jest prostopad la do p laszczyzn π ₁ : x + y = 0,

π ₂ : y − z = 0.

(2)

10. Napisa´ c r´ ownanie parametryczne i kierunkowe prostej spe lniaj acej podane warunki: _,

a) prosta przechodzi przez punkt P (0, −2, 3) i jest prostopad la do p laszczyzny π : 3x − y + 2z − 6 = 0;

b) prosta przechodzi przez punkt P (7, 2, 0) i jest prostopad la do wektor´ ow ~ v ₁ = [2, 0, −3] i ~ v ₂ = [−1, 2, 0].

11. Zbada´ c wzajemne po lo˙zenie prostych l ₁ i l ₂ . Obliczy´ c odleg lo´s´ c mi edzy tymi prostymi i kosinus k _, ata _, mi edzy nimi: _,

a) l 1 : x − 2

1 = y + 1

2 = z + 3

2 i l 2 : x − 1

1 = y − 1

2 = z − 1 2 ; b) l 1 : x + 1

1 = y

1 = z − 1

2 i l 2 : x

1 = y + 1

3 = z − 2 4 ; c) l ₁ : x = −2y = z i l ₂ : x = y = 2;

d) l ₁ :







x = −2 + 3t y = 3 + t z = 1 − 2t

i l ₂ :







x = −6s y = 2 − 2s z = 3 + 4s

;

e) l ₁ :







x = 1 − t y = −3 + 2t z = 5 + 3t

i l ₂ :







x = 4 + s y = 1 − 3s z = 2 + 5s

.

12. Okre´sli´ c funkcje z lo˙zone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g oraz ich dziedziny, je˙zeli:

Typy zada´ n egzaminacyjnych – TRiL, studia niestacjonarne, sem. I, 2012/13 UWAGA: Na egzamin nale˙zy przynie´ s´ c: