NUMERYCZNE OBLICZENIA OBCIĄŻEŃ WAŁECZKÓW W CENTRALNYM ŁOŻYSKU PRZEKŁADNI OBIEGOWEJ

Z E SZY TY N A U K O W E PO L IT EC H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: T R A N S P O R T z. 41

200Q N r kol. 1491

M anfred C H M U R A W A B ogdan W A R D A

NUMERYCZNE OBLICZENIA OBCIĄŻEŃ WAŁECZKÓW W CENTRALNYM ŁOŻYSKU PRZEKŁADNI OBIEGOWEJ

Streszczenie. W artykule przedstaw iono problem rozkładu obciążenia zew nętrznego na elem enty toczne w łożysku w alcow ym , w którym funkcję bieżni pełni otw ór w ykonany w elem encie konstrukcyjnym . P rezentow aną m etodę obliczeń w ykorzystano do w yznaczania liczby i w artości sił nacisku w ałeczków obciążających koła obiegow e w przekładni Cyclo.

NUMERICAL CALCULATION OF ROLLER LOADS IN CENTRAL BEAR­

ING OF PLANET GEAR

Sum m ary. T he paper presents problem o f outer load distribution on rolling elem ents in cylindrical roller bearing in w hich a hole m ade in construction has th e function o f the race­

way. The m ethod o f calculation presented here has been im plem ented for determ ination the num ber and values o f pressures o f rollers loading planet w heel in cycloidal gear.

1. W P R O W A D Z E N IE

W układach napędow ych niektórych m aszyn stosuje się specjalne toczne w ęzły łożyskow e, w których funkcję bieżni dla zestaw u tocznego pełni otw ór w ykonany w elem encie konstruk­

cyjnym . R ozw iązanie takie w ystępuje w obiegow ych przekładniach cykloidalnych (Cyclo) z w ew nętrznym pozaśrodkow ym zazębieniem , które tw orzą specjalne koła obiegow e, w spół­

pracujące z nieruchom ym zestaw em rolek [1 - 6].

K oła obiegow e o specjalnym kształcie s ą uzębione zew nętrznie, a zarys zębów tworzy ekw idystanta epicykloidy skróconej [ 1 ,3 ,4 ] , R ysunki 1 i 2 przedstaw iają stan obciążenia i zasadę zrów now ażenia sił obciążających koło obiegowe. M om ent napędow y M h je s t przeka­

82 M. C hm uraw a, B. Warda

zy w any na koło obiegow e za p o m o cą siły oddziaływ ania m im ośrodu R, która obciąża central­

ny otw ór koła za pośrednictw em w ałeczków łożyska w alcow ego.

C entralny otw ór koła obiegow ego pełni funkcję bieżni dla elem entów tocznych szybko­

obrotow ego ło ż y sk a m im ośrodu. Jak w ynika z dośw iadczalnych i analitycznych badań stanu obciążenia, w alcow e łożysko m im ośrodu je s t w ęzłem tocznym silnie obciążonym , a siła R osiąga relatyw nie duże w artości [3 ,4 , 7, 8]. Trw ałość tego szybkoobrotow ego łożyska w al­

cow ego zależy od rozkładu siły R na poszczególne elem enty toczne (w ałeczki) i ja k w ykazały badania dośw iadczalne, przesądza o trw ałości całej przekładni [7, 8].

W artykule przedstaw iono problem rozkładu siły prom ieniow ej R na składow e Q m„ obcią­

żające w ałeczki specjalnego łożyska w alcow ego, na przykładzie przekładni C yclo. Rozkład siły R na poszczególne w ałeczki uw zględnia niepom ijalny luz prom ieniow y i odkształcenia bieżni zew nętrznej.

2. M O D E L O D K S Z T A Ł C E Ń BIE Ż N I Z M IE JSC O W Y M I PR Z E M IE SZ C Z E N IA M I W Ł O Ż Y SK U W A L C O W Y M PR Z Y K O Ł O W E J B IEŻN I Z E W N Ę T R Z N E J

Schem at w alcow ego łożyska z w ew nętrznym luzem g, obciążonego siłą prom ieniow ą R, przedstaw ia rys. 2. S iła R za pośrednictw em elem entów tocznych rozkłada się na szereg skła­

dow ych Q„„ = Q ri, które obciążają obw ód centralnego otw oru łożyskow ego ko ła obiegowego.

Pod działaniem siły R, rozłożonej na składow e Q m przy niepom ijalnym luzie g, następuje przem ieszczenie pierścienia w ew nętrznego z w ałeczkam i w zględem bieżni w otw orze cen­

tralnym , rys. 3. M iejscow e przem ieszczenia w stykach obciążonych w ałeczków z bieżniam i w ynoszą odpow iednio:

- 8mo - dla bieżni zew nętrznej, - 8mi - dla bieżni w ew nętrznej,

- 8raio = 8mo + 5rai - sum a przem ieszczeń obu bieżni, tj. całkow ite zbliżenie bieżni w postaci sum y w gnieceń w obu punktach styku w ałeczków ,

- 8,0, 8,j - m aksym alne przem ieszczenia dla najbardziej obciążonego w ałeczka, - 8m„ = 8 ,io = 8 |0 + 8,j - sum a m aksym alnych przem ieszczeń obu bieżni.

N um eryczne obliczenia obciążeń. 83

Rys. 1. Stan ob ciążen ia k o ła obieg o w eg o w y w o łan y siłą o d d ziały w an ia m im o śro d u napędzającego przekład­

nię C y c lo - rozkłady obciążeń działające na koło obiegow e w stanie rów now agi

Fig. 1. State o f load o f p lanet w heel created by eccentric reaction force driving cycloidal gear - load distribu­

tion acting on planet w heel in th e state o f equilibrium

84 M. C hm uraw a, B. W arda

jrg+Sio^io Z akłada się, że pierścienie łożyska s ą idealnie kołow e i nie zm ieniają kołow ego kształtu p od działaniem obciążenia. W tedy przem ieszczenie pierścieni z uw zględnieniem luzu pro­

m ieniow ego dla dow olnego kąta położenia w ałeczka vj/m = vp'„, > 0 w ynosi (rys. 3):

Am = ( s mM + ^ g ) c o s i ł/ m= ^ 5 , io+ ^ g j c o s Vm (1)

Rys. 2. Stan o b ciążen ia k o ła obieg o w eg o w y w o łan y siłą o ddziaływ ania m im ośrodu n apędzającego przekładnię C y clo - rozkład o b ciążen ia p ro m ie n io w eg o na w ałeczki w raz z m iejscow ym i p rzem ieszczeniam i w styku z u w zg lęd n ien iem luzu prom ieniow ego

Fig. 2. State o f load o f p lanet w h eel created by eccentric reaction force d riving cycloidal gear - radial load dis­

tribution on ro llers to g eth er w ith local displacem ents including radial clearance

a m aksym alne przem ieszczenie pierścieni dla kąta vpm = tp, = 0:

A = 5 mix+ ^ g = 5 l i + 5 ,0 + i g (2)

N atom iast bezw zględne odkształcenie w m iejscu styku w ałeczka z bieżniam i, tj. wzajem ne zbliżenie dociskanych elem entów d la \j/m > 0 i luzu prom ieniow ego g > 0 w yniesie:

N um eryczne obliczenia obciążeń.. 85

S mi0= [ 8 miX + ^ g J c o s v |/ m - ^ - g = ( ^ ]i + 5 ]0 + ^ g j c o s tg m - ^ g (3)

R ozkład obciążenia charakteryzuje w spółczynnik kąta rozkładu:

E „ . = = 1 ( 1 - c o s ą / J (4)

max 8 2 5 ,¡o + g 2

a kąt ograniczający obszar aktyw nych w ałeczków (przenoszących obciążenie) określony je st w zorem :

j - .

w , = arc co sj --- 1 (5)

U b ^ + g 1

Bieżnia pierścienia wewn. powiększona o w ałeczki (o k rq g )

Bieżnia pierśc' zew nętrznego

Rys. 3. P rzem ieszczen ia i o d kształcenia w łożysku prom ieniow ym z uw zględnieniem kształtu bieżni oraz luzu p ro m ie n io w eg o p rzy kołow ej bieżni w pierścieniu zew nętrznym

Fig. 3. D isplacem ents an d d eform ations in radial b earing w ith consideration shape o f th e racew ay and radial clearance for circu lar racew ay in outer ring

86 M. Chm uraw a, B. W arda

3. W Y Z N A C Z A N IE R O Z K Ł A D Ó W O B C IĄ Ż E N IA NA E L E M E N T Y TO C Z N E Z U W Z G L Ę D N IE N IE M LU Z U PR O M IE N IO W E G O

3.1. M etoda analityczna

W m etodzie analitycznej w ykorzystuje się m odel odkształceń przedstaw iony w rozdziale 2, a nacisk na dow olny m -ty elem ent toczny oblicza się z w zoru (rys. 1 i 2) [9]:

1

(6⁾

Q m i = Q i l

gdzie:

Q r, - m aksym alny nacisk na elem ent toczny, - kąt położenia m -tego elem entu tocznego,

n - w ykładnik; dla styku liniow ego n = 1,11, dla punktow ego n = 1,5.

N acisk Q rl obliczany je s t z w arunków rów now agi:

R = X Q ™ c°sV n, (7)

m-1

gdzie:

ą/m = 2n(m - l)/z, dla m = 1,2,... obciążonych wałeczków , z - liczba elem entów tocznych (w ałeczków ) w łożysku.

P rzyjm ując m odel odkształceń z kołow ym i bieżniam i i niezerow ym luzem prom ieniow ym otrzym a się:

R = z - Q n - - Z 1 - r - ( 1- C0SV m) Z ra=ll

cos Vg n

ponieważ:

J r ( e ) = l i m - £ l - ^ l - c o s ą / ; ) c o s V i = - ! - J

Z - > 0 0 2 Y ) V C ' /-TT J

_1

2e 2n 1 — — (i - cos v )

(8⁾

cos y • d y (9)

to sum ę w yrazów szeregu funkcyjnego w e w zorze (8) m ożna zastąpić ca łk ą w g w zoru (9), odpow iadającą nieskończonej liczbie w ałeczków w łożysku. O statecznie rów nanie (8) przyj­

m ie postać:

R = Z ■ Q„ ■ J,(8)

W yrażenie J,(s) w prow adzone przez Sjovalla [9] m ożna w ykorzystać do obliczenia poszuki­

w anego nacisku m aksym alnego:

N um eryczne obliczenia obciążeń.. 87

( 10)

niezbędnego przy obliczaniu rozkładu nacisków {O™} ze w zoru (6) dla przyjętej wartości w spółczynnika kąta rozkładu s, ujm ującego łączny w pływ zbliżenia pierścieni i luzu prom ie­

niowego.

3.2. M e to d a n u m e ry c z n a

Założenia przyjęte w m etodzie analitycznej, a szczególnie uproszczony m odel odkształceń bieżni oraz konieczność obliczania całek Sjovalla upow ażniają do opracow ania m etody num e­

rycznej, która pozw oli obliczać rozkłady obciążeń {Qmi} dla dow olnego m odelu odkształceń z du żą dokładnością, b ez potrzeby obliczania całek Sjóvalla.

W proponow anej tu m etodzie num erycznej zastosow ano iteracyjną m etodę zm iany kroku z poziom em dokładności AR, odniesionym do siły prom ieniow ej R.

M etoda num eryczna w ykorzystuje w zór Palm grena do obliczania w zajem nego przem iesz­

czenia dow olnego w ałeczka z każdym z pierścieni łożyska [9 ,1 0 ]:

P rzem ieszczenia 8mo = 8mi = 8mio/2 w e w zorze (11) m ożna w yrazić za p o m o cą zw iązku (3).

W tedy dla m odelu odkształceń przy kołow ych bieżniach:

( U ) gdzie:

Qto - nacisk działający na m -ty w ałeczek w N, 1 - czynna długość styku w ałeczka z bieżniam i w mm.

D la najbardziej obciążonego w ałeczka przy vpm = ąą = 0:

(12)

mo mi (13)

Po podstaw ieniu (12) do (13) i przekształceniach otrzym uje się poszukiw ane obciążenie m -tego w ałeczka w postaci:

88 M. C hm uraw a, B. W arda

(14)

Qm = 78200 (8 mo) 10/9 ■ l^ 9 (15)

O bliczone w artości obciążeń Q rm m uszą rów now ażyć siłę prom ieniow ą R, zatem:

- dla parzystej liczby w ałeczków w łożysku:

R = Qu + 2 Z Q ™ cos M/m + Q l(V2tI) (16) - dla nieparzystej liczby w ałeczków:

(»0/2

R = Q , l + 2 2]Q n „C O S H /m (17)

W pierw szym kroku obliczeń num erycznych m ożna przyjąć przy b liżo n ą w artość m aksy­

m alnego nacisku, cy to w a n ą w pracy [9]:

Proces iteracji je s t prow adzony do chw ili, gdy siła w ypadkow a R ', obliczona m etodą num e­

ry c z n ą w g w zoru (16) lub (17), będzie rów na z założoną d o k ła d n o ścią np. AR = 10'5R, ob­

ciążeniu prom ieniow em u R. R ysunek 4 przedstaw ia algorytm obliczeń, na podstaw ie którego opracow ano program kom puterow y PR O M , przeznaczony do w yznaczania rozkładu obciążeń na w ałeczki w dow olnym łożysku w alcow ym .

4. W Y Z N A C Z A N IE R O Z K Ł A D U O B C IĄ Ż E N IA N A W A Ł E C Z K I NA P R Z Y K Ł A D Z IE C E N T R A L N E G O Ł O Ż Y SK A PR Z E K Ł A D N I C Y C L O

B adanie stanu obciążenia i prognozow anie trw ałości przekładni Cyclo w ym aga znajom ości rozkładu skupionej siły prom ieniow ej R na szereg składow ych Qn„ = Qri, które obciążają koło obiegow e przekładni (rys. 1 i 2).

N um eryczne obliczenia obciążeń. 89

( START )

WPROWADZANIE DANYCH:

średnica bieżni dbi średnica wałeczka Dw długość wałeczka Lw sfazowanie r liczba wałeczków Z luz promieniowy g obciążenie promieniowe R

PRZYJĘCIE POCZĄTKOWEJ WARTOŚCI SIŁY Qri DLA NAJBARDZIEJ OBCIĄŻONEGO WAŁECZKA

Ó ŚLIĆ2£ŃIE PRZEMIESZCZENIA ODPOWIADAJĄCEGO SILE Qn

OBLICZENIE W SPÓŁCZYNNIKA s ORAZ Ką t a Mk OBLICZENIE PRZEMIESZCZEŃ ORAZ SIŁ ¿7

DLA POZOSTAŁYCH WAŁECZKÓW

o b l i c z e n i e Ob c ią ż e n ia p r o m ie n io w e g o r

TAK / \ NIE

l R - R 2adl< 10'5'R ,

ZMIANA■RiTCkSTOBLICZEŃ

WYNIKI:

siły i przemieszczenia dla kolejnych wałeczków w spółczynnik6

kątMŁ_____________ __________________

( STOP ~

Rys. 4. S chem at blokow y program u PROM Fig. 4. B łock diagram o f PR O M program

D la w ybranej w ielkości przekładni Cyclo o przełożeniu i = 19 i m om encie w yjściow ym M t = 2 M c = 8 8 0 N m centralne łożysko w alcow e charaktery'żują następujące dane (rys. 1 ,2 , 3 i 4):

- średnica otw oru: d ^ = 76,5 m m ,

- średnica w ałeczka: Dw = 11 mm,

- długość w ałeczka: L w = 12 mm,

90 M. C hm uraw a, B. Warda

Tablica 1 Rozkład obciążeń na (n)-aktywnych wałeczków w centralnym otworze łożysko­

w ym o średnicy d^ = 76,5 mm, w przekładni cykloidalnej o przełożeniu i = 19

Lp.

Siła naci­

sku [N]

Q m , = Q ń

Kąt położe­

nia siły

« i [°]

Dla kąta rozkładu obciążenia vpc [°]

na (n) aktywnych wałeczków 37,68

(3,4)

48,07 (5)

57,14 (5)

61,44 (5,6)

66,98 (5,6)

1 _{Q r .} a , = a R=42,5 5122 4468 3718 3518 3325

2 _{Q , t} a 2= 18,5 2842 3195 2952 2876 2805

3 _{Q ,3} a 3 = -5,5 0 6 894 1152 1392

4 _{Q ' o} a '3= 90,5 0 6 894 1152 1392

5 _{Q ',2} a '2= 66,5 2842 3195 2952 2876 2805

6 Luz promieniowy

g [mm]

0,19 0,09 0,045 0,033 0,022

] | ? | 5(6) 1 5 |____________ 3(4)____________ | 3 7(8) L ic z b o c z y n n y c h w a łe c z k ó w n = z c

Rys. 5. R ozkład siły pro m ien io w ej R n a sk ład o w e Q m = Q„ w funkcji luzu prom ieniow ego i liczby czynnych w ałecz k ó w w ło ży sk u centralnym przekładni C yclo

Fig. 5. D istribution o f radial force R into com ponents Q m = Q„ in the function o f radial clearance and num ­ b er o f active rollers in central b earing o f cycloidal gear

N um eryczne obliczenia obciążeń.. 91

- w ym iar sfazow ania technologicznego czoła wałeczka: r = 0,5 mm, - liczba wałeczków :

- graniczny luz prom ieniow y w łożysku:

- prom ieniow a siła obciążająca w ęzeł łożyskow y:

- kąt działania siły R:

z = 15,

g = 0,045 m m , R = 1 0 3 1 4 N a R = 42,5°.

O pierając się na w ym ienionych danych przeprow adzono obliczenia rozkładów obciążeń w łożysku centralnym . P rzyjęto m odel odkształceń z kołow ym i bieżniam i i otrzym ano roz­

kłady obciążeń (Q ri = Q nn} na n aktyw nych w ałeczków dla szerokiego zakresu luzów prom ie­

niow ych g = 0,003-0,3 m m (rys. 5 i tablica 1). N astępnie po ustaleniu granicznego luzu na poziom ie g = 0,045 m m przyjęto reprezentatyw ny dla M ES rozkład obciążeń siły R na 5 skła­

dow ych {Qri}, które w ykorzystano do num erycznych obliczeń stanu obciążenia w kołach obiegow ych przekładni Cyclo.

5. W N IO SK I

1. R ozkład obciążeń na elem enty toczne (wałeczki) w łożysku w alcow ym obciążonym siłą p ro m ien io w ą m oże być w yznaczony dotychczas stosow aną m eto d ą anality czn ą lub propo­

n ow aną tu m e to d ą n u m e ry c z n ą która um ożliw ia obliczanie obciążeń z zadanym pozio­

m em dokładności.

2. Do num erycznych badań stanu obciążenia, stanu naprężenia i odkształceń w kołach obie­

gow ych przekładni C yclo m ożna w ykorzystać rozkład siły prom ieniow ej na składow e, ob­

liczony m e to d ą num eryczną.

3. Z e w zrostem luzu prom ieniow ego zm niejsza się liczba aktyw nych w ałeczków , przenoszą­

cych relatyw nie w iększe obciążenia. Z e w zględów trw ałościow ych luz prom ieniow y nale­

ży ograniczyć do w artości odpow iadającej kątowi rozkładu obciążenia 2ą/t w 120°.

Literatura

1. C hm uraw a M ., O lejek G.: Zazębienie cykloidalne przekładni planetarnej. Z eszyty N a­

ukow e Pol. ŚI., ser. Transport, z.22, s. 71-78, G liw ice 1994.

2. H am erak K.: Das C yclogetriebe - eine geniale Idee und ihre technische V erw irklichung.

T echnik H eute 6, p. 1-4. V erlag Christiani, B onn 1979.

92 M. Chm uraw a, B. Warda

3. K udriaw cew W. N.: P łanetam yje pieriedaczi. M aszynostrojenie, M oskva-L eningrad 1966.

4. L ehm ann M.: B erechnung und M essung der Kräfte in einen Z ykloiden-K urvenscheiben G etriebe. D issertation, Technische U niversität, M ünchen 1976.

5. M üller H. W.: D ie U m laufgetriebe. Springer Verlag, Berlin 1971.

6. M üller L.: Przekładnie obiegow e. PW N, W arszawa 1983.

7. C hm uraw a M ., John A., K okot G.: The influence o f num erical m odel on distribution o f loads and stress in cycloidal planetary gear. In: Proceedings, p. 149-156, 4th International Scientific C olloquium C ax T echniques, B ielefeld, G erm any 1999.

8. C hm uraw a M.: D istribution o f loads in cycloidal planetary gear. In: Proceedings, p. 92-100, International Conference M echanics’99, K aunas U niversity, L ithuania 1999.

9. K rzem iński-Freda H.: Ł ożyska toczne. PW N, W arszawa 1979.

10. Palm gren A.: G rundlagen der W altzlagertechnik. Francklische V erlagshandlung, Stuttgart 1964.

N iniejsza p raca została zrealizow ana w ram ach projektu badaw czego K B N 7 T 07C 038 15.

Recenzent: D r hab. inż. A ndrzej R aczyński, prof. PL

A b s tra c t

In the paper it is presented problem o f outer load distribution on rolling elem ents (rollers) in cylindrical roller bearing in w hich a hole m ade in construction has the function o f the race­

w ay. It has been elaborated m odels o f displacem ents o f rings w ith rollers as the base for cal­

culations o f pressure o f rolling elem ents on bearing racew ay including radial clearance. The m ethod o f calculation presented here has been im plem ented for determ ination the num ber and values o f pressures o f rollers loading planet w heel in cycloidal gear.