Wielowymiarowy problem momentów Hamburgera

VIOgólnopolskie Warsztaty dlaMłodychMatematyków

TeoriaOperatarów Kraków, 22-28 września 2003

ss. 195-199

WIELOWYMIAROWY PROBLEM MOMENTÓW HAMBURGERA

MICHAŁ WOJTYLAK

Pragnąłbym podziękować mojemu opiekunowi

naukowemu, profesorowi

Janowi

Sto- chelowi

z

Instytutu

Matematyki UJ

za

pomoc przy pisaniu

pracy

magisterskiej,

na

bazie

której

powstał niniejszy referat.

Wpracy będziemy

zajmować

się

operatorami w zespolonych przestrzeniach

Hilber-

ta.

Przez

operator

rozumiemy

odwzorowanie

liniowe

T : "D(T)

—>

H,

gdzie

dziedzina T jest

podprzestrzeniąliniową U.

Podstawowym

narzędziem

będzie twierdzenie

spektralne dla (nieograniczonych)

operatorów

samosprzężonych:

Twierdzenie 1 (Twierdzenie spektralne).

Dlakażdego

operatora samosprzężonego S

w

Tt istnieje dokładnie jedna miara

spektralna

E : *B(C) —> B(?i)

taka, że

S

=

i xE(dx).

Jc

Przyjmijmy

też

podstawowe defnicje

dotyczące przemienności:

Definicja 2. Niech Tj,

...,

T

n

będą operatorami w

H i

niech

£ będziepodprzestrzenią

liniową

U. Mówimy,

że

T\,

...,T

n

komutują punktowo na £, jeśli

£

C T>(TiTj)

PiD^TjTi) oraz

TiTjf

=

TjTif

dla f

&£,

i,j

= 1,...

,n.

Jeżeli powiemy tylko, że operatory

T\,...

,T

n komutują

punktowo

to oznacza

to, że jako

£

bierzemy

przestrzeń

P|"j

=1 T>(TiTj).

Definicja 3. Niech S\,..., S

n

będą operatorami

normalnymi

o miarach

spektralych odpowiednio Ei,...,E

n

. Mówimy, że Si,...,

S

n

komutują spektralnie, jeśli

EitajEjlj) =

Ej(T)Ei(<7), a,r

e

*B(C), i,j =

l,...,n

Można wykazać, że operatory

samosprzężone

komutujące

spektralnie

komutują

punktowo. Twierdzenie

odwrotne nie

jest prawdziwe, kontrprzyklad został

podany

w

pracy

[Nel

1959].

W przypadku,

gdy

operatory

Si,...,S

n są

samosprzężone

i komutują spektralnie, istnieje łączna

miara

spektralna

systemu (Si

...

Sn

), mianowicie

E

: Borel(Rn) —

B(7i), miara spektralna

taka,

że

Sj = J

ZjE(dzi,...,dzn), j

= l,...,n.

Poniższy przykład

pełni bardzo

ważną rolę w

teorii:

Przykład 4.

Niech /2

będzie miarą borelowską

taką, że

wielomiany

są bezwzględnie całkowalne i niech

G L2

(p,). We

definiujemy gęsto

określony

(ponieważ

funkcje

charakterystyczne

sąw

jego dziedzinie)

operator

;= {f

G L2(ji)

:

(Rn 9

x

<p(x)f(x) G C) G L

2(fi)}

Można

łatwo wykazać, że

powyższa

definicja

jest

poprawna,

tj.

nie zależy

od

wy

­

boru

reprezentanta

w

klasie

funkcji

równych /2

prawie wszędzie. Rozważmy

operator

Mx.

(mnożenie przez

j-tą

współrzędną). Jego miara

spektralna

dana jest

wzorem:

° e

Borel(R

n

), / € P(M

X.).

Łączna

miara spektralna

systemu

(Af

X1,...,

Af

Xn

)

jest

natomiast

postaci:

E(a)f =

Xaf, a

G

Borel(Rn

), f G P(MX

).

Wprowadzimy

teraz dwie podstawowe definicje:

Definicja 5.

Multiciąg

(s

Q)

QeNn

C

R

nazywamy dodatnio

określonym jeśli

a,/3GNn

dlawszystkich

ciągów

(AQ)

QeNn

Q C

o

skończonej ilości niezerowych

wyrazów.

Ciąg (sa)Q6N

n C

R

nazwiemy

ciągiem

momentów

jeśli istnieje miara

borelowską^

na

Rn

taka,

że:

a G Nn

sa —

i

x

a

dp,,

a G N

n.

(Przyjmujemy

standardową notację dotyczącą

multiindeksów:

x

a =

i

“1

•

•

• i

“

n.) Zauważmy

najpierw, że

każdy

ciąg momentów

jest dodatnio określony.

Istotnie,

przy oznaczeniach

z

ostatniej definicji

mamy:

* S aĄ-¡3 ^/3 “ / ) ^aX@X @ dp,(xj — a,/?6N" "'R" a,0gN"

=

i | Y2 AQ

x

Q|2

dg(a:)

>

0

oSN-

Interesujący rys historyczny

znajduje

się w

pozycji [Sho-Tam

1943]. Warto

wspo­

mnieć, że

pierwsze badania nad problemem

momentów (jednowymiarowym)

rozpo­

czął

wkońcu

XIX wieku

Stjelties.

Natomiast Hamburger w

latach

1920-21 udowodnił,

żedlan

=

1

każdy ciąg

dodatnio

określony jest

ciągiemmomentów

(zob.[Ham

1920]).

Charakteryzacja

ta

przestaje

być prawdziwa

dla

n

> 1,

kontrprzykłady

można

znaleźć w

[Ber-Chr-Res 1984].

Za pomocą

teorii

operatorów

znajdziemy

warunki konieczne

i wystarczające

na to,

aby ciąg

dodatnio

określony

był

ciągiem

momentów.

Twierdzenie 6.

Ciąg (sQ)Q

gNn

jest dodatnio określony wtedy

i

tylko wtedy, gdy

WIELOWYMIAROWY PROBLEM MOMENTÓW HAMBURGERA 197

istnieje

przestrzeń

Hilberta "H,

istnieje T)

-

gęsta liniowa

podprzestrzeń

Ti, istnieje

fo

€

T>,

istnieją Xi,...,

Xn

:V V

- operatory w

H:

i

spełnione

są

następujące własności:

(i) Xi,

...

, Xn są punktowo

komutującymi

symetrycznymi

operatorami,

(ii) V =

lin{X

a

f0

: a

e

Nn}

(gdzie Xa

= X"1 ... X“"),

(iii) sQ

= (X“/

o

,/o) dlaaEW

1.

Szkic

dowodu.

Załóżmy, że

nasz

ciąg

jest dodatnio określony

(dowód implkacji

prze­

ciwnej

wymaga

tylko prostego przeliczenia). Oznaczmy przez Po zbiór wielomianów n

zmiennych

rzeczywistych

o

współczynnikach zespolonych. Dla

p E Po , P =

52a

a%

a

kładziemy:

L(p)

■=

57 s

a

aa a€N"

(p,ą)

:=

L(pq),

p,qEV0-

(0.1)

Tak

określona forma

jest

póltoraliniowa i

dodatnio

określona

(dzięki

dodatniej

okre-

śloności ciągu (sQ)Q

eN

n)-

Dzielimy

przestrzeń Po przez

ideał

A/

- :=

{p

£ Po : (p,p) = 0}

i

otrzymujemy przestrzeń

unitarną,

którą

następnie uzupełniamy

do

przestrzeni Hil­

berta.

Kładziemy:

P:=P0/X, /O:=l+X

Xj(p

+

N)

:= Xjp -I- X.

□ Jeśli (s

o)

ae

n"

jest

ciągiem momentów, to możemy

identyfikować:

W = PbTT;L2(M) p = p0/~ ,

fo =

[1]~ Xjp(x) = Xjp(x).

gdzie

~

jest

relacją

równości p-prawie

wszędzie.

Poniższe

twierdzenie(zob.[Fug 1983])

jest

operatorową

charakteryzacją ciągów mo­

mentów.

Twierdzenie 7.

Ciąg dodatnio

określony (s

Q)

QeN"

jest

ciągiem momentów wtedy

i tylko

wtedy, gdy (stosując oznaczenia z

poprzedniego twierdzenia)

istnieje przestrzeń Hilberta X D 7Y,

istnieją

operatory Si

. ..S

n

samosprzężone

w

X, spektralnie komutujące

takie, że:

Sjf

= Xjf,

f EV,

j = l,...,n.

Twierdzenie Najmarka

mówi, że każdy

symetryczny operator

rozszerza

się

(w pew

­

nejnadprzestrzeni) dooperatora samosprzężonego,zatem

wykazaliśmy rezultat Ham­

burgera mówiący, że dla

n

= 1

ciągi dodatnio

określonesą ciągami

momentów.

Dowód

twierdzenia. (<=) Niech E oznacza łączna miarę spektralną systemu (Si

...

Sn

).

Kładziemy

m

(

ct

) := {E(a)f

0,

f0

),

£

Borel(Rn).

Z

teorii spektralnej wynika, że:

j

x

a

dp= (Sa

fo,fo) = (X

a

fo,fo) = sa

(=>)

Jako

K.przyjmujemy przestrzeńL2(g), gdzie

/z jest miarą

reprezentującą

nasz

ciąg

momentów,

ajako Sj przyjmujemy

operator M

Xj.

□

Poniższe twierdzenie

pojawiło

się

po raz

pierwszy

w pracy

[Put-Vas

1999], a

póź­

niej w poprawionej

wersji

w [Sto-Sza2003]. Podaje ono

pełną

charakteryzacjęciągów momentów

w

terminach dodatniej określoności.

Twierdzenie 8. Niech

^{Sq >}

0.

n-ciąg (s

Q)QgNn

jest ciągiem

momentów

wtedy

i

tylko

wtedy, gdy istnieje (n +

l)-ciąg

(t(

Qt

/3))(

Q

/3)g

Nn

X

N ta.ki, ¿e •

’

(i) s

Q = t(

Q>o) dla a

e

Nn,

(ii)

i(a,/3) =

i(a,/?+i)+E"=i

^0+2^

,/3+i)

dla

(a,

0)

e

NnxN

(ej

=

(0,...

,0,1,0,...

,0)/

Jeśli

(s

a)

a

eNnjest

ciągiem

momentów, to

reprezentująca go miara

jest

jedyna

wtedy

i

tylko wtedy,

gdy istnieje dokładnie jeden

ciąg

(t(

Q

,/3))(

Q

/3)eN

n

xN

spełniający

zadane

w twierdzeniu warunki.

Nie

podamy

dowodu tego twierdzenia,

ale ograniczymy

sie do kilku uwag.

Jedna

z implikacji

jest

prosta

w dowodzie.

Jeśli założymy,że (s

Q)QgN» jest

ciągiem momentów

to przyjmując

dla (o, (3)

G

Nn x N

“

/ (1

+ x^

+

■

■

■

+

dostajemy ciąg

spełniający

podane w twierdzeniu warunki.

Załóżmy,

że ciągi

(s

Q)

QgNn

i

(i(

Qi/

3))(a/3)

gNn

xN

spełniają

(i)-(iii). Przypomnijmy

so

­

bie

twierdzenie 6. Zarówno

z ciągiem

(s

Q

)Q

€N" możemy związać

czwórkę (Ha

,D

a,

f

a

, (Xi,

..

jaki z

ciągiem (t(Q,/3))(a/3)eN"xN

możemy

związać czwórkę

(7i(,A,/t,

(Yi,

...,

Yn, y

n+

i)). Zauważmy, że

po stosownych utożsamieniach

7Y

S

Ç 7Y

t,

fs = f

t, oraz

Xjf =

Yjf dla

f

e T>„,j

=

1,...,n.

Warunki

w twierdzeniu są

tak dobrane, aby

operatory (Yj,...,

Y

n+i)

były istotnie

samosprzężone

i ich

domkięcia komutowały

spektralnie. Zatem

spełniliśmy założenia

twierdzenia 7.

WIELOWYMIAROWY PROBLEM MOMENTÓW HAMBURGERA 199

Spis literatury

[Ber-Chr-Res 1984] Berg C., Christensen J.P.R., Ressel, P., Harmonie Analysis on Semigroups,

[Fug 1983]

[Ham 1920]

Springer 1984.

Fuglede, B., The multidimensional moment problem, Expo. Math.l (1983) 47-65.

Hamburger H., Ueber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentproblems, Math. Ann., 81 (1920) 235-319; 82 (1921) 120-164, 168-187.

[Mla 1972]

[Nel 1959]

[Put-Vas 1999]

Młak, W., Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, PWN, Warszawa 1972 Nelson, E., Analytic vectors, Ann. Math., 70 (1959), 572-615

Putinar, M., Vasilescu, F., Solving moment problems by dimensional extension, Ann. Math., 149 (1999), 1087-1107.

[Rus 2000] Rusinek, J., Non liearity of the set ofp-quasi analytic vectors for some essentially self-adjoint operators, Bull. Polish Acad. Sci. Math., 48 (2000), 287-292.

[Sho-Tam 1943] Shohat, J., A., Tamarkin J., D., The Problem Of Moments Math. Surveys 1, AMS 1943

[Sto-Sza 2003] Stochel, J., Szafraniec, F. H., Domination of unbounded operators and commu­

tativity, Journal of the Math. Soc. of Japan, 55 No.2 (2003)).