Uogólnienia twierdzeń Helly’ego dotyczących rozwiązalności zagadnienia momentów w przestrzeniach Banacha

SERIA I : PRACE MATEMATYCZNE V (1961)

Z. Re m a d b n i (Poznań)

Uogólnienia twierdzeń Helly’ego

dotyczących rozwiązalności zagadnienia momentów w przestrzeniach Banacha

b

Momentami funkcji x(t) nazywane bywają całki fx(t)fdt. Klasyczne a

twierdzenie Lercha (1903) orzeka, że jeżeli wszystkie momenty pewnej funkcji całkowalnej w (a, b} są równe zeru, tzn. jeżeli

ь

j x(t) f dt = 0 dla ^ = 0 , 1 , 2 , . . . ,

a

to x{t) = 0 prawie wszędzie w <<%, b). Znanych jest wiele twierdzeń tego

ь

rodzaju; ze znikania całek fx{t)fn{t)dt wnioskuje się o znikaniu samej

a

funkcji x(t). Dotyczą one wszystkie jednorodnego zagadnienia momentów; zagadnienie niejednorodne polega na szukaniu, przy danym ciągu liczb

[cn\, funkcji x(t) takiej, że

b

J x(t)fn(t)dt — on dla n — 0 , 1 , 2 , . . .

a

Można kwestię tę rozpatrywać ogólnie, dla dowolnej przestrzeni Banacha. Pytamy się, czy dla danego układu elementów {#a} istnieje funkcjonał liniowy £ taki, że £ Ф 0 i £(xri) — 0 dla każdego a, względnie przy danym układzie funkcjonałów liniowych {£„} pytamy się, czy wa­ runki £a(x) = 0 pociągają x = 0. Jest to zagadnienie istnienia niezero- wych rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych i zarazem jest to zagadnienie totalności zbioru elementów, względnie totalności zbioru funkcjonałów liniowych ([3], str. 42 i 58). Problemem tego rodzaju jest również badanie jednoznaczności rozwinięcia względem układu orto­ gonalnego czy badanie warunków quasi-analityczności funkcji.

126 Z. S e m a d e n i

A. Dane: układ {жа}аеа elementów przestrzeni Banacha X, układ liczb

rzeczywistych (еа}ае31 oraz stała M > 0. Dodać warunki konieczne i dostateczne

na to, aby istniał funkcjonał liniowy £ taki, że

£(a?J = ca dla «,21 oraz ||£|| M.

B. Dane: układ {£a}ae3i funkcjonałów liniowych określonych na X,

układ liczb {ca}a€% oraz M > 0. Podać warunki konieczne i dostateczne na

to, aby istniał element x e X taki, że

£„(#) = ca dla a , 2t oraz ||a?|| < M.

Helly rozwiązał oba zagadnienia (1912, 1921), zakładał jednak w za­ gadnieniu B, że zbiór 21 jest skończony.

S. Mazur i W. Orlicz (1953) udowodnili, że warunkiem koniecznym i dostatecznym na istnienie (przy zadanych \xa), |ca} oraz p) funkcjonału liniowego £ spełniającego nierówności

*(».) ^ ca dla а ,21 oraz £(a?) ^ p(x)

П П

jest spełnienie nierówności hh с < P ( h яа.) dla dowolnych ax, . . . , an , 21 г = 1 1 i = 1 1

i źx > 0 , . . . , Aw ^ 0 ; p{x) jest tutaj dowolnym funkcjonałem Banacha (subaddytywnym i dodatnio jednorodnym). W szczególności dla p(x) =

= M\\x\\ warunki Mazura-Orlicza dotyczące rozwiązalności układu nie­ równości £{xa) > ca i ||£|| < M są analogiczne do warunków Helly’ego i twierdzenie Helly’ego dotyczące zagadnienia A wynika bezpośrednio z twierdzenia Mazura-Orlicza.

Nasuwa się naturalne pytanie, czy zagadnienie В może być analogicznie rozwiązane w przypadku, gdy poszukuje się elementu x e X spełniającego skończony układ nierówności. Odpowiedź jest pozytywna; warunki roz­ wiązalności takiego układu okazują się uogólnieniem warunków Helly’ego i w sformułowaniu swoim odpowiadają warunkom Mazura-Orlicza, podobnie jak jedno twierdzenie Helly’ego odpowiada drugiemu.

W pracy tej podany jest dowód tak uogólnionego twierdzenia (twier­ dzenie 3B) oraz pokazane jest, że wynikają z niego łatwo rozwiązania pozostałych zagadnień. Pośrednio więc podany jest dowód obu twierdzeń Helly’ego oraz nowy dowód szczególnego przypadku twierdzenia Mazura- Orlicza (dla p{x) = ilf||a?||).

Zestawienie twierdzeń. Omówione we wstępie twierdzenia będą teraz

dla większej przejrzystości zestawione w tabelce, w której X oznaczać będzie dowolną przestrzeń Banacha, S — przestrzeń do niej sprzężoną,

1. Skończony układ równości 2. Nieskończony układ równości 3. Skończony układ nierówności j Zagadnienie A | Dane: xx,..., xneX, cx, ... ;

. . . , cn, M . Na to, aby ist- \ niał funkcjonał £<sE taki, że I

' ę ( x t) = Ci { i = 1 , ..., n), j

I

llflK^r,

; potrzeba i wystarcza, aby \ ! dla dowolnego układu liczb \ , Xx, ..., Xn zachodziła nie- ! i równość I I n n

У к ч < мЬ V

^ I L

: £(^a) = ca (ae2l), i ш < m ,

I

; potrzeba i wystarcza, aby ; dla dowolnego skończonego

i układu wskaźników ax, ...

..., dyl' € 21 % liczb Xx, ..., X^ zachodziła nierówność П П

^ hcH ^ ^\\ У м 4

•

..., cn, M. Na to, aby ist­ niał funkcjonał tjeE taki, że H®i)>Gi {i = 1 , ..., n),

№ \ <m ,

potrzeba i wystarcza, aby dla dowolnego układu liczb Xx ^ 0, ..., Xn > 0 zacho­ dziła nierówność n n Zagadnienie В Dane: £1? £»еЯ, cx, ... ..., cn, M , e. Na to, aby istniał element x eX taki, że

£ i ( x ) = Ci (i = l , . . . , n ) ,

INI ^

potrzeba i wystarcza, aby dla dowolnego układu liczb Xx, ..., Xn zachodziła nie­ równość П П г = 1 ' г = 1 twierdzenie analogiczne do poprzednich nie zachodzi Dane: $x, ..., £ne S , c x, ... ...,cn, M , e . Na to, aby ist­ niał element xeX taki, że £i{x)>Ci {i = l , . . . , n ) ,

I N I < ^ + « ,

potrzeba i wystarcza, aby dla dowolnego układu liczb Xx > 0, . .. , Xn > 0 zacho­

dziła nierówność

128 Z. S e m a d e n i Zagadnienie A 4. Nieskończony układ nierówności Bane: {а?в}аеЯ, {са}аеЯ, M.

Na to J aby istniał funkcjonał i e E taki, że

£ Ы > с а (а e Я), I

№ \ < M , I

potrzeba i wystarcza, aby j | dla dowolnego skończone- j

go układu wskaźników \ аг, . .., On e Я i liczb Xx ^ j > 0, ..., ln > 0 zachodzi- \ ła nierówność | П П 2 ; ^ ł4< j f | i 2 ,^ e<|!. i i= 1 г = 1 Zagadnienie В twierdzenie analogiczne do poprzednich nie zachodzi

D o w ó d k o n i e c z n o ś c i nie nastręcza trudności dla żadnego z po­ wyższych twierdzeń. Pokażemy dla przykładu dowód konieczności twier­ dzenia 3B, tj. rozpatrzymy zagadnienie istnienia elementu x0e X speł­ niającego skończony układ nierówności. Przypuśćmy, że nierówności

(1) &(%o) > Ci, \\x0\\ < M + e

są spełnione dla pewnego x0eX. Wówczas nierówność

n n n

г = 1 г = 1 г = 1

zachodzi dla dowolnych ustalonych liczb Ax > 0, . .. , Xn > 0. Rozpatru­ jąc tylko skrajne nierówności i przechodząc do granicy przy s -> 0 otrzy­ mujemy nierówność żądaną.

D o w ó d d o s t a t e c z n o ś c i t w i e r d z e n i a 3B. Niech £x, ..., będzie dowolnym układem funkcjonałów liniowych, a cx, . . . , cni M — dowolnymi liczbami; załóżmy, że nierówność

П П

(-')

У ^ < Л Г | | У A; d l

г= 1 г = 1

jest spełniona dla dowolnych liczb ^ 0, ..., Xn > 0 . ‘Obierzmy e > 0 oraz 0 < e' < e. Układ £1? . .. , £n definiuje operację liniową

transformującą X w /г-wymiarową przestrzeń enklidesową En. Oznaczmy przez 8r kulę {х: х е Х , ||a?|| < r}, a przez q(u, v) odległość punktów u = = un) i v = («х, . .., ®n) przestrzeni En. Zbiory T(8r) są wypukłe, ale niekoniecznie domknięte, nawet dla n = 1. Zachodzi jednakże oczy­ wista inkluzja

U = T(8M+e, ) C T ( 8 M+s). Z drugiej strony stożek

К |гг. и - • (Wj, • • •, , 'W'l ^ , • • •, un cn}

jest zbiorem wypukłym i domkniętym w 25% a istnienie elementu x0 speł­ niającego nierówności (1) jest równoważne temu, że zbiory К oraz

T(SM+s) nie są rozłączne.

Udowodnimy, że przypuszczenie К ^ T ( S M+E) = 0 prowadzi do sprze­ czności. W tym celu rozważmy zbiór L = {J R(u), gdzie

U e U

R(u) = {v: veEn, q(u, v) < | ó}, d = inf {q{u, v) : U€lT,veK}.

L jest zbiorem wypukłym, otwartym i symetrycznym, zawierającym 0, wobec tego istnieje {n—l)-wymiarowa płaszczyzna nie przechodząca przez 0, oddzielająca zbiory Z i i ; innymi słowy, istnieją liczby Аг, . .., An takie, że

Я1 -j—... -}-An un ^ 1 dla u e К,

A-^Ui “i- ... “ł- An un 1 dla u e U . W szczególności zachodzi

П

(3) y V i > i

-i = l

Rozpatrując dowolne i (1 < i < n) oraz przechodząc w nierówności ^ici + • • • + Aj_ 1 ct-i + + \Ci.Vi + ..• + Ancn ^ 1

do granicy przy uL -> 00 stwierdzamy, że Аг > 0. Z drugiej strony, z in­ kluzji T(8M+E/) C L wynika nierówność

П

^ Ai ii (x) < 1 dla X € £r) ,

г=1 n

skąd (ЛГ + * '):|^Я, ^Jl < 1 , co prowadzi do sprzeczności z nierównościa-i=l

mi (2) i (3).

Pokażemy teraz, że z twierdzenia 3B wynikają łatwo pozostałe twier­ dzenia zestawione w tabelce.

130 Z. S e m a cleni

P r a w d z i w o ś ć 3B i m p l i k u j e p r a w d z i w o ś ć 1Б. Przypuśćmy, że dane są ct, ii, M i e, dla których nierówność (2) spełniona jest dla do­ wolnych Xx, Xn rzeczywistych. Bówności ii(x0) = ct zapisujemy w po­ staci podwójnego układu nierówności:

(4) ‘ii(oCq) > Ci oraz — i i { x 0) > — c* dla i = 1, n.

Na mocy 3B istnienie elementu x0 spełniającego (4) i nierówność ||ж0|| < MĄ- e jest równoważne temu, żeby dla dowolnych /ux ^ 0, ..., jun > > 0 , v x > 0, ..., v n > 0 zachodziła nierówność

n n n n

^ + ^ vi ( — C i )

<

£*)|j,

i =1 i = 1 i = l i= 1 która po podstawieniu A,: = /^ — sprowadza się do (2).

P r a w d z i w o ś ć 3B i m p l i k u j e p r a w d z i w o ś ć ЗА. Niech SY oznacza drugą sprzężoną przestrzeni X. Każdemu elementowi x{eX odpowiada jego obraz kanoniczny foeSY zdefiniowany wzorem di(i) = Цх{) dla

ieE. Układ nierówności i{Xi) > c£ można zapisać w postaci fc(i) > o(, więc korzystając z 3B stwierdzamy, że jeżeli nierówności

n n n

i= 1 i = 1 г = 1

są spełnione dla dowolnych liczb nieujemnych Xx, . .. , Xn, to dla dowolnego г > 0 istnieje funkcjonał iee S taki, że

ieixi) ^ °i dla i = l oraz ||£e|| < M-\- s.

Ponieważ funkcjonały i l j n {n = 1 , 2 , ...) mają normy wspólnie ograni­

czone, istnieje funkcjonał i0 będący punktem skupienia ciągu i l j n w sła­

bej topologii. Oczywiście |0(жг) ^ Gt dla i = 1, . .. , n oraz |||0|| < Ж + .1/>г dla każdego n, skąd |||0|| < M.

T w i e r d z e n i e ЗА i m p l i k u j e t w i e r d z e n i e 4A. Przypuśćmy, że dla każdego skończonego układu wskaźników аг, . .., an e 21 i dla dowol­ nego układu liczb nieujemnych Xx, . .. , Xn spełniona jest nierówność

П П

2 ЯiCa. < JM 2 h xa\\• Oznacza to, że dla każdego układu n = {ax, . . . , an)

i — l г = 1

istnieje funkcjonał i „ spełniający nierówności i „ ( x a ) > ca dla а ел oraz

||£J| < M. Belacja лх < n2 gdy лх С л2 porządkuje częściowo rodzinę wszystkich skończonych podzbiorów zbioru 2t. Zbiór { i ^ n ^ i tworzy ciąg

kofinalny {£%} ciągu { £л} zbieżny słabo w sensie Moore’a-Smitha do pew­ nego funkcjonału liniowego £0. Kofinalność podciągu {£ } oznacza, że dla dowolnego тге istnieje na takie, że nO. na. Oczywiście |0 spełnia nierówności £0(жа) ^ c« dla wszystkich a e 2t, a z domkniętości kuli

M} w słabej topologii wynika, że ||£0|| < M.

Implikacji ЗА z> 1A oraz 4A :z> 2A dowodzi się analogicznie jak implikacji 3B :z> IB.

Uwagi i wnioski. Twierdzenie 1A pochodzi od Helly’ego [7]; dla przestrzeni Lp udowodnił je wcześniej F. Biesz [16]. Jest ono również po­ dane z dowodem w książce Banacha ([3], str. 66).

Twierdzenie IB pochodzi również od Helly’ego [8], podaje je np. Day ([4], str. 38) z interpretacją geometryczną. Inny dowód tego twier­ dzenia, pochodzący od Y. Mimury, cytowany jest przez Kakutaniego [11], który również podaje kilka ciekawych przykładów stosowania tego twierdzenia. Jest ono również bliskie pewnym twierdzeniom Gantmacher i Smulyana [6]. I. Singer [20] pokazał, że wynika ono również bezpośred­ nio z pewnego twierdzenia Eidelheita [6].

Twierdzenia ЗА i 4A pochodzą od Mazura i Orlicza ([13], str. 147). Uproszczone dowody ogólnego twierdzenia Mazura-Orlicza o istnieniu unkcjonału liniowego £ spełniającego nierówności

£(xa) > ca (ae 21) oraz £( х) ^р( х)

podali Sikorski [19] (dowód uwypuklający treść geometryczną) oraz Ptak [15] (dowód czysto analityczny). Wszystkie te dowody sprowadzają zagadnienie do twierdzenia Hahna-Banacha. Warto tu jeszcze dodać, że twierdzenie Hahna-Banacha jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Mazura-Orlicza.

Dowód twierdzenia Mazura-Orlicza podany powyżej jest mniej ogólny (zamiast dowolnego funkcjonału Banacha rozpatruje się pseudonormę), dłuższy i bardziej okrężny niż dowody Sikorskiego i Ptaka, uwypukla jednak związki między różnymi twierdzeniami. Przejście od twierdzenia 3B do twierdzeń ЗА i 4A jest niemal automatyczne — wystarczy jedynie zastosować dobrze znane twierdzenia o przestrzeniach sprzężonych. Widać więc, że udowodnione w pracy twierdzenie 3B uzupełnia w sposób natu­ ralny wcześniejsze wyniki.

Warunki na to, aby istniał funkcjonał liniowy £ określony na pewnej przestrzeni typu BQ, spełniający dany układ nierówności, podane są przez Mazura i Orlicza ([13], str. 151); analogiczne warunki słuszne są również w przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie wypukłych (Alexiewicz i Orlicz [2]).

132 Z. S e m a d e n i

z pewnika wyborn (albo poprzez twierdzenie Hahna-Banacha, albo ko­ rzystając ze słabej zwartości koli jednostkowej w przestrzeni sprzężonej). Oczywiście jeżeli X jest przestrzenią refleksywną, to zagadnienie В sprowadza się bezpośrednio do zagadnienia A. Natomiast w ogólnym przy­ padku liczby e > 0 nie można w twierdzeniach IB i 3B usunąć. Oto naj­ prostsze przykłady.

a) X = 0<O, 1>, ||a?|| = sup{|a?(<)|: 0 < t < 1},

1 1/2 1

£x{x) = j x ( t ) d t , Śz{x) — J oc(t)dt— Jx( t ) dt , cx — c2 — 1.

0 0 1/2

Można łatwo sprawdzić, że nierówność Я1с1+ Я 2с2 < 2 ||Я1^1+Я 2|:2|| jest spełniona dla dowolnych liczb rzeczywistych Яп Я2. Funkcja

I 2 dla 0 < t < \,

x(t) =

10 dla i < i < 1

spełnia równości £x{x) = 1, f 2(a?) = 1 oraz ||#|| = 2, ale funkcja ta nie jest ciągła. Natomiast funkcja ciągła spełniająca równości £x{x) = 1, |2(ж) = 1 musi mieć normę większą od 2.

b) Dla n = 1 prawdziwość tAvierdzenia IB przy e = 0 jest гоаупо- Avażna temu, że dla danego funkcjonału £0e 3 istnieje element x0eX taki, że £0(a?0) = ||£0|| oraz ||ж0|| = 1.

В. O. James ([9], [10]) udowodnił, że jeżeli warunek ten jest speł­ niony dla dowolnego £0e £ , to przestrzeń jest refleksywną.

Na to, aby dla danego układu £x, . .., £n funkcjonałów liniowych twier­

dzenia IB i 3B były prawdziwe przy e = 0 i przy dowolnych cx, . . . , cn,

potrzeba i wystarcza, aby zbiór T(8X) był domknięty. Wynika to z analizy dowodu twierdzenia 3B przytoczonego poAyyżej (x).

Z twierdzeń 4A wynika, że jeżeli każdy skończony podukład układu nierówności £(xa) > ea ma rozwiązanie należące do pewnej kuli w 3 (tej samej dla wszystkich podukładów), to cały układ ma rozwiązanie. Twier­ dzenie to nie zachodzi dla zagadnienia B. Prawdziwość twierdzeń 2 В czy 4B — analogicznie sformułowanych — jest równoważna refleksywności przestrzeni X. Mianowicie, dla dowolnego funkcjonału liniowego 3 określo­ nego na Я i dla dowolnych £x, £nę 3 spełniona jest nierÓAvność

n n

Z k i d < J l j ( £ %i£i\i (gdzie Ci = 3(1/), M — Ц3Ц), zatem dla każdego e > 0

г=1 г=1

istnieje element x e X (zależny od £x, . . . , £ n i e) taki, że £t(x) =$(£,) oraz ||a?|| < = Ц3Ц + ś. Eozważmy układ równości £{x) — cs, gdzie

= 3(| ), a £ przebiega całą przestrzeń 3. Każdy skończony podukład tego układu ma rozwiązanie w X, natomiast istnienie rozAviązania x

nogo dla wszystkich £ e S oznacza, ż© 3 jest obrazem kanonicznym pewnego

elementu x e X ( 2).

Można podać warunki na to, aby nieskończony układ nierówności £„(#) > ca miał rozwiązanie należące do X. Korzystamy z następującego twierdzenia: każdy funkcjonał liniowy określony na E i ciągły względem słabej topologii a{3, X) jest jjostaci g(£) = £(ж); tym samym sprowadza­ my zagadnienie do kryteriów dla przestrzeni liniowo-topologicznych wy­ pukłych. Stosując takie kryterium ([2], str. 10) otrzymujemy wniosek:

Dany układ {£a}ae5( funkcjonałów liniowych i układ liczb {ca}aeSt. Na

to, aby istniał element xeX taki, że Sa(x) ^ ca dla ae2t, potrzeba i wy­

starcza, aby dla dowolnego zbioru skierowanego 8 {w sensie Moore'a-Smitha), dowolnych wskaźników a ^ e 2l i liczb nieujemnych (s eS, i = 1 , ..., ns)

warunek

Twierdzenie podobne do twierdzenia IB Helly’ego jest znane w te­ orii grup abelowych pod nazwą abstrakcyjnego twierdzenia Kroneckera (cf. Hewitt i Zuckerman [24], Hartman i Ryll-Nardzewski [23]).

[1] N. A c łiie z e r i M. K r e in (H. Ахиезер, M. Крейн), О некоторых вопро­

сах теории моментов, Charków 1938.

[2] A . A le x i e w i c z and W . O r lic z , Inequalities for functionals in locally convex linear spaces, Zeszyty Nauk. U A M Poznań, Mat. Fiz. Chem. 2 (1960), str. 9 -1 3 .

[3] S. B a n a c h , Theorie des operations lineaires, Warszawa 1932.

[4] M. M. D a y , Normed Linear Spaces, Ergebnisse Math. 21, Berlin 1958.

[5] M. E id e lh e i t , Quelques remarques sur les fonctionnelles lineaires, Studia

Math. 10 (1948), str. 140-147.

[6] V. G la n tm a ch er et Y . S m u ly a n , Sur les espaces lineaires dont la sphere unitaire est faiblement compact, C. R. (Doklady) A N ZSR R 17 (1937), str. 9 1 -9 4 .

[7] E. H e lly , Tiber lineare Funlctionaloperatoren, Wiener Bericlite 121 (19*12),

str. 265-297.

[8] — Tiber Systeme linearen Gleichungen mit unendlich vielen TJnbekannten,

Monatshefte Math. Phys. 31 (1921), str. 60-91.

[9] R. C. J a m e s, Beflexivity and the supremum o f linear functionals, Annals

of Math. 66 (1957), str. 159-169.

[10] — Characterizations o f reflexive Banach spaces, Materiały Konferencji

z Analizy Funkcjonalnej w Jabłonnie, 1960, w druku.

[11] S. K a k u t a n i, Weak topology and regularity o f Banach spaces, Proc. Imp.

Acad. Tokyo 15 (1939), str. 169-173.

dla każdego x e X pociągał

Prace cytowane

134 Z. S e m a d e n i

[12] j . L. K e l l e y , General Topology, New York 1966.

[13] S. M a z u r et W . O r lic z , Sur les espaces metriques lineaires (II), Studia Math. 13 (1953), str. 137-179.

[14] R. S. P h illip s , On weakly compact subsets o f a Banach space, Amer. J.

Math. 65 (1943), str. 108-136.

[15] Y . P t& k , On a theorem o f Mazur and Orlicz, Studia Math. 15 (1956), str. 365-366.

[16] F. R ie s z , Untersuchungen iiber Systeme integrierbaren FunTctionen, Math.

Annalen 69 (1910), str. 449-49 7.

[17] W . W . R o g o s iń s k i, On finite systems o f linear equations with an infinity o f unknowns, Math. Zeits. 63 (1955), str. 97-1 0 8 .

[18] — Continuous linear functionals on subspaces o f £ ' and Q, Proc. London Math.

Soc. 6 (1956), str. 175-190.

[19] R. S ik o r s k i, On a theorem o f Mazur and Orlicz, Studia Math. 13 (1953), str. 180-182.

[20] I. S in g e r, A short p roof o f a theorem o f E. Hetty, Revue Math. Pur. Appl. 3 (1958), str. 437-43 8.

[21] — Sur quelques theoremes de W. W. BogosińsJci et S. I . Zoukhovitzky, ibidem, str. 117-130.

[22] S. I. Z u c h o w ic k ij (G. И. Зуховицкий), О минимальных расширениях

функционалов в пространстве непрерывных функций, Izwiestia A N ZSRR ser. mat. 21 (1957), str. 4 09-42 2.

[23] S. H a r t m a n et R y l l - N a r d z e w s k i , Theoremes abstraits de Kronecker et les fonctions presque periodiques, Studia Math. 13 (1953), str. 296-310.

[24] E . H e w i t t and H . S. Z u c k e r m a n , A group-theoretical method in

approximation theory, Annals of Math. 52 (1950), str. 557-567.

Э ск и з д о к а з а т е л ь с т в а . Операция T(x) = { ( х ) , . . £ « . ( # ) } определена на X и принимает значения в Еп ; неравенства (i) не имеют решения тогда и только тогда, когда выпуклые множества К — | и\ и = (и1, . . . ,ип) , и х ^ сх, . . . , ип ^ сп} и V — {и: и = Т(х), ||ж|| ^ Ж -f е} не пересекаются. Если К г ^ у = 0, то существует плоскость Н, не содержащая О, разделяющая К и V, т. е. существуют такие числа Хг , . . . , Х п , что ^ 1 для и е К и ^ X k U k ^ l для и e V. Числа Х1, . . . , Х п являются неотрицательными и У^ХкС/с^ 1, что противоречит (ii). Кроме того рассматриваются некоторые выводы и варианты этой теоремы. Z. Se m ad en i (Poznań) G E N E R A L IZ A T IO N S ОЕ H E L L Y ’ S T H E O R E M S CO N CERN IN G T H E S O L V A B IL IT Y OF M O M EN T PRO BLEM S IN B AN A C H SPACES

S U |M M ARY

The author proves the following generalization of a theorem of Helly [8], which is analogous to a theorem of Mazur and Orlicz ([13], p. 147):

Let X he a Banach, space, f j , . . . , Цп a finite system o f linear functionals on X , and c x, . . cn , M arbitrary real numbers. In order that there exist, for any e > 0, an element x e X satisfying the inequalities

(i) £i{x) 7^ ci ( i = l , . . . , n ) and ||ж|| ^ Ж + е, it is necessary and sufficient that the inequality

n n

(ii) М\\%ХгЫ\

i —1 i=l

be satisfied for any system o f non-negative numbers Xx, . . . , Xn .

O u tlin e of the p r o o f. Considering the operation T( x) = { ^ ( x) , . . . , $n (x)}

which transforms X into E n we observe that (i) has no solution if and only if the

convex sets

E = j i ł : u ( u x , •. . , Uji) , u x c x , , Un ' f ' CyiI

and V — \u: u = T( x) , ||a;|| ^ Ж + е}

are disjoint. If K ^ y = 0, there exists a plane II, not containing 0, separating К and V, i.e. there exist numbers Xx, . . . , Xn such that ^Х%щ is ^ 1 for u e K and ^ 1 for u e V . Evidently Xi must be non-negative, whence £ Х щ ^ . 1 leads to a contradic­ tion of (ii).

R O C ZN IK I P O LSK IE G O T O W A R Z Y S T W A M ATEM ATYC ZNE G O Sęrią I: P R A CE M A T E M A T Y C ZN E V I I I (1963)

Z. Semadeni (Poznań)

Errata do pracy „Uogólnienia twierdzeń Helly'ego

dotyczących rozwiązalności zagadnienia momentów

w przestrzeniach Banacha”

(Prace Matematyczne V (1961), str. 125-135)

, str. 127: prawa część tabelki (IB i 3B) powinna zaczynać się w obu wypadkach jak następuje:

Dane: ..., cly ..., cn, M . Жа to, aby dla każdego e > 0 istniał element x e X . ..

str. 130: ostatnie zdanie u dołu strony i następujące po nim powinny brzmieć jak następuje:

Zbiór {£я} яеал tworzy ciąg skierowany w sensie Moore’a-Smitha (patrz np. [12], str. 62-83), zatem, wobec zwartości kuli jednostkowej w słabej topologii, istnieje „subnet” {r]e}ee<n zbieżny słabo w sensie Moore’a-Smitha do pewnego funkcjonału liniowego £0. Oznacza to, że istnieje funkcja у:Э1 УЯ, taka że rje — oraz dla każdego :t0€9Jc

istnieje £0e97, takie że q > q0 pociąga у (q) > n0. Wynika stąd łatwo,

że £0(жа) > ca dla dowolnego ae2l, a z domkniętości kuli {| e £ ,:||||| < M} w słabej topologii wynika, że ||£0|| < M.

П

str. 135: wiersz 8 od góry i wiersz 3 od dołu: nierówność с* < 1

n