1
PRZYKŁADOWE ZADANIA KONKURSOWE
„LICZBY RZECZYWISTE I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE”
Rok szkolny 2018/2019
Tematyka konkursu:
Podstawa programowa z zakresu podstawowego: Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne.
Cele konkursu:
popularyzacja wiedzy i umiejętności matematycznych wśród uczniów szkół ponadgimnazjalnych, zachęcanie młodzieży do rozwiązywania zadań matematycznych, które często pojawiają się w arkuszach maturalnych,
kształtowanie u uczniów nawyków rozwiązywania zadań matematycznych, w których uczeń prowadzi proste rozumowanie,
Literaturę obowiązującą stanowią podręczniki szkolne i dostępne zbiory zadań dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych.
Poniżej przedstawiam przykładowe zadania. Założeniem konkursu jest to, aby wszyscy kieleccy maturzyści wzięli w nim udział. Od wielu lat, w zestawach maturalnych pojawiają się zadania, w których uczniowie muszą przeprowadzić proste rozumowanie składające się z niewielkiej liczby kroków. Niestety, rozwiązywalność tego typu zadań wynosi około 20%. Mam nadzieję, że poniższe przykłady pomogą maturzystom lepiej przygotować się do egzaminu maturalnego, a nauczycielom dadzą wskazówkę do lepszej pracy i częstszego rozwiązywania na lekcjach zadań „na dowodzenie”.
Zadanie 1.
Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych oraz prawdziwa jest nierówność.
a) b)
c) d)
e) f) Zadanie 2.
Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych oraz , dla których prawdziwa jest nierówność.
a) b) c) d)
2
Zadanie 3. Uzasadnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x oraz y prawdziwa jest nierówność .
a)
b)
c) d)
Zadanie 4. Uzasadnij, że liczba jest liczbą całkowitą.
a) b)
c)
d)
e)
f)
Zadanie 5. Wyznacz wszystkie całkowite wartości dla których wyrażenie jest też liczbą całkowitą.
a)
b)
c) d)
Zadanie 6. Wykaż, że liczba
a) jest podzielna przez
b) jest podzielna przez c) jest podzielna przez Zadanie 7. Wykaż, że jeżeli jest liczbą naturalną dodatnią, to
a) jest liczbą całkowitą, b)
jest liczbą całkowitą, c) jest liczbą całkowitą.
3 Zadanie 8. Wykaż, że dla każdej liczby liczba
a) jest podzielna przez , b) jest podzielna przez c) jest podzielna przez
Zadanie 9. Wykaż, że jeżeli
a) oraz , to , b) oraz , to , c) oraz , to . Zadanie 10. Wykaż, że:
a) kwadrat liczby nieparzystej zwiększony o 3 jest podzielny przez 4,
b) suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych, które nie dzielą się przez 3 jest liczbą nieparzystą,
c) kwadrat sumy trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych przy dzieleniu przez 36 daje resztę 9,
d) różnica kwadratów dwóch liczb całkowitych nieparzystych różniących się o 4 jest liczbą podzielną przez 8.
Zadanie 11. Uzasadnij, że:
a)
, b) ,, c) , d)
.
Opracował: Piotr Leszczyński
